板块一、有理数基本加、减混合运算 【例1】
已知线段AB 的长度为a ,点C 是线段AB 上的任意一点，M 为AC 中点，N 为BC 的中点，求 MN 的长。
A ?
T
? ? 一
M C N
【例2】 .已知，线段 AB=IoCm ,直线AB 上有一点C ,且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段 AM 的
长。
【例3】 点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ,点M 、N 分别是线段 AC 、BC 的中点.
(1) 求MN 的长;
(2) 若点C 为线段AB 上任意一点，AC C^k ,其他条件不变，则 MN 的长度为多少？
【例4】 如图，已知B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 中点，N 是CD 中点，若MN = a, BC = b.求
AD.
1 1
【例5】 如图，已知线段 AB 和CD 的公共部分BD AB CD,线段AB ，CD 的中点E 、F 的距离是
3 4
12cm ,求 AB ，CD 的长。
【例6】 在数轴上有两个点 A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为 6，B 在原点右侧到原点的距离为 4, M ， N 分别是线段AO 和
BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段 MN 的长度。
【例7】 （1）如图，点 C 在线段AB 上，AC = 8 Cm , CB = 6 Cm ,点M N 分别是AC BC 的中点，求线段
MN 的长；
（2） 若C 为线段AB 上任一点，满足 AC + CB = a Cm ,其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明理由。
（3） 若C 在线段AB 的延长线上，且满足 AC-BC = b Cm ，M N 分别为AC BC 的中点，你能猜想 MN 的长度 吗？请画出图形，
A ?
?
? M B
EDBF
并说明理由。
CNB
【例8】已知线段AB=acm点A平分ABA平分AAA平分AA,……,A I平分A A IA,则AA n =____________________________ cm.
2 工1 3×2
【例9】过两点最多可画1条直线（1 = ---------- ）;过三点最多可画3条直线（3= ----------- ）;过同一平面内四点
2 2
最多可画 ______________ 条直线；过同一平面内n点最多可画______________________ 条直线；
【例10】在一条直线上取两上点A、B,共得几条线段？在一条直线上取三个点A B、C,共得几条线段？在一条直线上取A、B C D四个点时，共得多少条线段？在一条直线上取n个点时，共可得多少条线段？
A B
―* * ---*—
ABC
→---?-- ?---- 9—
ABC D
【例11】如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P B出发以1cm∕s、2 cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1 ）若C、D运动到任一时刻时，总有PD= 2AC,请说明P点在线段AB上的位置：
A C P D B
PQ
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ- BQ=PQ求一^的值。
AB
I L 」
A P B
一1
（3）在（1）的条件下，若C D运动5秒后，恰好有CD AB ,此时C点停止运动，D点继续运动（D点
2
在线段PB上） , M N分别是CD PD的中点，下列结论：① PM- PN的值不变；②-MN
的值不变，可以说明，
AB
只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值。
1
如图所示，AB 为一条直线，OC 是∠A0D 的平分线，OE 在∠BOD 内，/DOE=— ∠BOD , ∠COE=72 ,
3
求∠EOB 的度数。
如图，已知∠ AOB 是∠ AOC 的余角，∠ AOD 是∠ AoC 的补角，且
1
NBOC=— NBOD ,求∠ BOD ∠ AoC 的度数
2
【例3】 已知，如图∠ BOC 为∠ AOC 内的一个锐角，射线 OM ON 分别平分∠ AOC ∠ BOC
(1) 若∠ AOB=90 , ∠ BOC=30 ,求∠ MON 勺度数； (2) 若∠ AOB 孜,∠ BOC=30 ,求∠ MON 勺度数；
(3) 若∠ AOB=90 , ∠ BOC 申，还能否求出∠ MON 勺度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。 (4)
从前三问的结果你发现了什么规律?
【例4】 (1)如图所示，已知∠ AOB 是直角，∠ BOC=3C 度, OM 平分∠ AOCQNF 分∠ BOC 求∠ MON 勺度数。
(2) 如果(1)中，∠ AOB a ,其他条件不变，求∠ MON 勺度数。 (3) 你从(1), (2)的结果中能发现什么规律？
【例1】
【例2】
【例5】 O 是直线AB 上一点，∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC （1） 如图1,若∠ AOC=40 ,求∠ DoE 的度数；
（2） 在如1中，若∠ AOC=,直接写出∠ DoE 的度数（用含:的代数式表示） （3）
将图1中的∠ COC 按顺时针方向旋转至图 2所示的位置。
探究∠ AoC 与∠ DoE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
1
在∠ AoC 的内部有一条射线 OF,满足：2 AOF ? . BOE C AOC -/AOF ）,试确定∠ AOF 与∠ DOE
2
的度数之间的关系。
【例6】
如图，已知∠ AOB=6O 度，OC 是∠ AOB 的平分线，OD OE 分别是∠ BOC 和∠ AOC 的平分线。
（1） 求∠ DOE 的大小；
（2） 当OC 在∠ AOB 内绕O 点旋转时，OD OE 仍是∠ BOC 和∠ AOC 的平分线，问：此时∠ DOE 的大小是 否和（1）中相
同吗？说明理由。
【例7】 如图，在图（a ）中，在角内引一条射线时，图中共有（ ）个角；
在图（b ）中，在角内引两条射线时，图中共有（
）个角；
在图（C ）中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引 n 条射线（n 为自然数）时，则
共有几个角？
AOB 图1
C
借比较程求解数轴上动点规题
【例1】已知数轴上有A、B、C三点，分别代表一24,—10, 10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？
⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上
的哪个点相遇？
⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。
甲乙
A B C
- ? ------- 4 ----- * ----- ==f
-241C 0 10
【例2】如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20，B点对应的数为100。
⑴求AB中点M对应的数；
⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A
点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点
出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。
A B
--- *----------- * -- >■
-20 100
【例3】已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1，3,点P为数轴上一动点，其对应的数为X。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数;
⑵数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，请求出X的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B
一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
A B
→ - ?---- *■
-1 O 3
【例4】已知数轴上A、B两点对应数分别为一2，4，P为数轴上一动点，对应数为X o
⑴若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。
⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10?若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由。
⑶若点A、点B和P点(P点在原点)同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则
第几分钟时P为AB的中点？
【例5】电子跳蚤落在数轴上的某点K o,第一步从Ko向左跳一个单位到K1,第二步由K I向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K100所表示的数恰是19.94。试求电子跳蚤的初始位置K。点表示
的数。
【例6】如图，点C在线段AB上，AC=8cm , CB=6cm ,点M、N分别是AC、BC的中点。
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm ,其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。你能用一句简
洁的话描述你发现的结论吗？
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC —BC=bcm , M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出
图形，写出你的结论，并说明理由。
Il Ill
A M CN B
【例7】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为6, BC=4, AB=12,
(1) 写出数轴上点A B表示的数；
(2) 动点P Q分
别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3
1
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN CQ ,设运动时间为
3
t(t ?0)秒。
求数轴上点M N表示的数（用含t的式子表示）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点。