《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；
（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3
1
.1000i i
p
方法一（按比例分配） ,35.23
1
11==
∑=i i
p
N
p q ,33.33
1
22==
∑=i i
p
N
p q 32.43
1
33==
∑=i i
p
N
p q
分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为
,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322
3=?=
Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n
方法三（d ’Hondt 方法）
此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n
此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.
i
i
n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i
i n p
尽量接近.
再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得
??
+=n
t
dn wkn r k vdt 0
)(2π
)22 2
n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v
k w n v rk t ππ+=∴
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．
01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
kr rT c T c T C ++=
2
)(21
2221r c T
c dT dC
+-= 令
0=dT
dC
， 解得 r
c c T 21
*2= 由rT Q = ， 得2
12c r
c rT Q =
=*
*
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：
??
????
+-++
=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),( 2223322221222T
kQ rT Q c r c rT Q c T c T C
--+--=??
T
k rT Q c c rT Q
c Q C ++-=??332 令???????=??=??00Q
C
T
C
， 得到驻点：
???
?
??
?+-
+-+=-
+=
**
3
23222
2
3323213
22
33221)(22c c kr
c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，
r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的
一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.
解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：
贮存费为 ∑?=→??-==?
i T
i i t T
T r k c dt t g c t g c 1
02
20
22
))()(lim
ξ
又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =
0 , ∴ 贮存费变为 k
T
T r k r c 2)(2?-=
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
k
T
r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=
k r k r c T
c dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC
令
, 得)
(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*
T T C )(取得最小值，即最优周期为： )
(221r k r c k
c T -=
*
r
c c ，T
r k 21
2≈
>>*
时当 . 相当于不考虑生产的情况.
∞→≈*
，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1
)(+=
b k
b λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011
b b 而加的. 总费用函数()x
c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)
1()(2)1(2+--++--++=β
ββββββ
最优解为 []
k b k
c b b b c kb
c x β
β)1(2)1()1(22
322
1
+++++=
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设
t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售
期分为T t T
T t <<<<2
20和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，
使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为
??
???<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,2
0,21
又 t q t q β+=0)(.于是总利润为
[][]?
?--+--=2
2
221121)()()()(),(T
T
T dt bp a t q p dt bp a t q p p p
=2
2)(022)(20222011T T
t t q t p bp a T t t q t p bp a ??????
---+??????---ββ
=)8
322)(()822)((2
0222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+---
)(2
)822(12011bp a T
T T q T p b p -+---=??β )(2
)8322(22022bp a T
T t q T p b p -+---=??β 0,02
1=??=??p p 令
, 得到最优价格为: ???
???
???????++=???
???++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为
??+-
=-+-=20
2
21210)(2
)()(T
T
T p p bT
aT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：
)8
322)(()822)((),(m ax 2
022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=
t s . 021)(2
Q p p bT
aT =+-
利用拉格朗日乘数法，解得：
??
???+
-=--=88
0201T
bT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=212
1
)( 得：k T T
T C 10092500
)(++=
令
0=dT
dC
， 解得：3
50
92500*==T 由实际意义知：当3
50*
=
T （即订货周期为350）时，总费用将最小.
又k T C 10035095025003)(*
+?+?=＝300＋100k
k T C 10030930
2500
)(0+?+==353．33＋100k
)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32
＝53．33.
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *
=3
50，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用
A 原料2千克,
B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价
分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t. ??
?
??∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70
2l
92500
2+-=T
dT dC
对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数 量1+k x 和k x 决定。如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并 与6.4的结果进行比较。 （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和 1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1） 设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为： )2 (11k k k x x f y +=++ 则 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k 消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ，k=1,2,…. 该方程的特征方程为 022=++αβαβλλ 与6.4节中 )2 (11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0<αβ<2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2 (11k k k x x f y +=++ )2 (11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2 (0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y,得到 0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为 02423=+++αβαβλαβλλ 令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程 0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ： syms x a solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x) 解得 1x = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 2x = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i +
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
实验一动力系统 一、实验目的与要求 掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。 1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证； 2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析； 3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点； 4、用Excel分析多元动态系统模型。 二、实验内容 Example 1.1 P9 研究课题第一题 随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。每年公司都向你提供如下的“优惠价”。你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。 混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月 Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月 解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型： Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000 b n+1= b n+0.0595b n-6000 b0=21045 Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000 b n+1= b n+0.055b n-6000 b0=22850 Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000 b n+1= b n+0.0625b n-6000 b0=25450 Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000 b n+1= b n+0.06b n-6000 b0=26015
第四版姜启源数学模型复习总结（2015年春） 【内容总结与思考】 第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。 数学建模实例的建模思想及其步骤 §1 数学模型的概念： 模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。 数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。 1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（ ）。
1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（） A。数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。 B。数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。C。数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。 D。数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。 1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（） A。数学模型和数学建模是完全相同的概念。 B。数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。C。数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。 D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。 §2 建模的重要意义 （1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. 数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。 例1-2-1 数学建模的具体应用为（）。§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位
数学模型姜启源第四版答案 【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】 t>第二章(1)（2008年9月16日） 1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍 分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， 3 p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000. i?1 方法一（按比例分配） q1? p1n 3 ?2.35,q2? p2n 3 ?3.33, q3? p3n 3 ?4.32 ? i?1 pi ? i?1 pi
i?1 pi 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1? 235 2 2?3 ?9204.17, q2? 333 2 3?4 ?9240.75, q3? 432 2 4?5 ?9331.2 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pini pini pini 是 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. 中选较大者，可使对所有的i,尽量接 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn t
第一章建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模
1.1从现实对象到数学模型 我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… …~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题” 用x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 75050)(750 30)(=?-=?+y x y x 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20y =5求解
航行问题建立数学模型的基本步骤?作出简化假设（船速、水速为常数）； ?用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； ?用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； ?求解得到数学解答（x=20, y=5）； ?回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型(Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型 数学 建模