课题：正弦交流电路中的功率及功率因数的提高
教学目标：
1．掌握有功功率、无功功率、视在功率和功率因数
教学重点：
功率的计算
教学难点：
功率的计算
教学过程：
正弦交流电路中的功率及功率因数的提高
在中分析了电阻、电感及电容单一元件的功率，本节将分析正弦交流电路中功率的一般情况。
3.7.1 有功功率、无功功率、视在功率和功率因数
设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图所示，
则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为
)()(t i t u p ?=
设 )sin(2)(?+ω=t U t u
t I t i ω=sin 2)( 图
其中?为电压与电流的相位差。
)()()(t i t u t p ?=
t I t U ω??+ω=sin 2)sin(2
)2cos(cos ?+ω-?=t UI UI
(2-49)
其波形图如图所示。
瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从
图 瞬时功率波形图
外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P 为瞬时功率)(t p 在一个周期内的平均值，
?=T pdt T P 01
将式（2-49）代入上式得 ()[]??+ω-?=T t UI UI T P 0cos cos 1dt ?=cos UI （3-50）
可见，正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。
?cos 称为二端网络的功率因数，用λ表示，即?=λcos ，?称为功率因数角。在二端网络为纯电阻情况下，0=?，功率因数1cos =?，网络吸收的有功功率 UI P R =；当二端网络为纯电抗情况下，?±=?90，功率因数0cos =?，则网络吸收的有功功率 0=X P ，这与前面2．3节的结果完全一致。
在一般情况下，二端网络的jX R Z +=，R X
arctg =?，0cos ≠?，即?=cos UI P 。
二端网络两端的电压U 和电流I 的乘积UI 也是功率的量纲，因此，把乘积UI 称为该网络的视在功率，用符号S 来表示，即
UI S =
（3-51）
为与有功功率区别，视在功率的单位用伏安（VA ）。视在功率也称容量，例如一台变压器的容量为kV A 4000，而此变压器能输出多少有功功率，要视负载的功率因数而定。
在正弦交流电路中，除了有功功率和视在功率外，无功功率也是一个重要的量。即 Q I U x =
而 ?=sin U U X
所以无功功率?=sin UI Q （3-52） 当?=0时，二端网络为一等效电阻，电阻总是从电源获得能量，没有能量的交换； 当0≠?时，说明二端网络中必有储能元件，因此，二端网络与电源间有能量的交换。
对于感性负载，电压超前电流，0>?，Q 0>；对于容性负载，电压滞后电流，0
2.7.2 功率因数的提高
电源的额定输出功率为?=cos N N S P ，它除了决定于本身容量（即额定视在功率）外，还与负载功率因数有关。若负载功率因数低，电源输出功率将减小，这显然是不利的。因此为了充分利用电源设备的容量，应该设法提高负载网络的功率因数。
另外，若负载功率因数低，电源在供给有功功率的同时，还要提供足够的无功功率，致使供电线路电流增大，从而造成线路上能耗增大。可见，提高功率因数有很大的经济意义。 功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载的存在。工厂生产中广泛使用的三相异步电动机就相当于电感性负载。为了提高功率因数，可以从两个基本方面来着手：一方面是改进用电设备的功率因数，但这主要涉及更换或改进设备；另一方面是在感性负载的两端并联适当大小的电容器。
下面分析利用并联电容器来提高功率因数的方法。
原负载为感性负载，其功率因数为?cos ，电流为1I &，在其两端并联电容器C ，电路
如图所示，并联电容以后，并不影响原负载的工作状态。从相量图可知由于电容电流补偿了
负载中的无功电流。使总电流减小，电路的总功率因数提高了。
(a)电路图 (b)相量图
图
设有一感性负载的端电压为U ，功率为P ，功率因数1cos ?，为了使功率因数提高到?cos ，可推导所需并联电容C 的计算公式： U P I I =?=?cos cos 11 流过电容的电流 )(sin sin 111?-?=?-?=tg tg U P I I I C
又因 C U I C ω=
所以 )(12?-?ω=tg tg U P C （2-53）
例两个负载并联,接到220V 、50Hz 的电源上。一个负载的功率1P =，功率因数cos 1?=(感性)，另一个负载的功率2P =，功率因数cos 2?=(感性)。试求:
(1)电路的总电流和总功率因数；
(2)电路消耗的总功率；
(3)要使电路的功率因数提高到，需并联多大的电容此时，电路的总电流为多少
(4)再把电路的功率因数从提高到1, 需并联多大的电容
解：(1) 9.158.02202800cos 111=?==
?U P I A
cos 1?= 1?=°
(2) 225.02202420cos 222=?==
?U P I A
cos 1?= 1?=60°
设电源电压 U &=220/0°V ， 则 1I &=°A
2I &=22/-60°A
I &=1I &+2I &=°+22/-60°=°A
I =
?'=° cos ?'=
21P P
P +==+= kW (3) 9.0cos =? 2 ?=?1.23
cos ?'= ?'=°
)1.233.50(2?-?ω=tg tg U P C =μ 8.2592.02205220cos =?==?U P I A
(4) 9.0cos ='? 2 ?=?'1.23
1cos =? ?=?0 )01.23(2?-?ω='tg tg U P C
==μ
由上例计算可以看出，将功率因数从提高到1，仅提高了，补偿电容需要μ，将增大设备的投资。
在实际生产中并不要把功率因数提高到1，因为这样做需要并联的电容较大，功率因数提高到什么程度为宜，只能在作具体的技术经济比较之后才能决定。通常只将功率因数提高到～之间。
课后作业：
什么是有功功率，功率因数怎么提高
课后反思：
学生上课反应不好，理解困难，效果不明显，还应加强练习巩固
第九章 正弦稳态电路的分析 本章重点： 1.阻抗，导纳及的概念 2.正弦电路的分析方法 3.正弦电路功率的计算 4.谐振的概念及谐振的特点 本章难点：如何求电路的参数 主要内容 §9-1阻抗和导纳 1．阻抗 (1)复阻抗：u i Z U U Z Z R jX I I ψψ?==-=∠=+&& 式中22U Z R X I ==+为阻抗的模； Z u i X arctg R ?ψψ=-=为阻抗角(辐角)； R=Re[Z]cos z Z ?=称为电阻； X=Im[Z]=sin z Z ?称电抗。 (2)RLC 串联电路的阻抗： 1 U Z R j L I j c ωω==++ =&& 1 ()()L C Z R j L c R j X X R jX Z ωω?+- = ++=+=∠ 式中L X L ω=称为感抗；1C X c ω=- 称为容抗；1L C X X X L c ωω=+=- 可见，当X.>0，即1L c ωω>时，Z 是感性； 当X<0，即1L c ωω<时，Z 呈容性。 (3)阻抗三角形： 2．导纳 Z ?Z Ｒ Ｘ Z &U &+ — I &U &+ — C L
(1)复导纳：1i u Y I I Y Y G jB Z U U ψψ?===∠-=∠=+&& 式中I Y U = =称为导纳的模；arctan Y B G ψ=称为导纳角； Re[]cos Y G Y Y ψ==称为电导； Im[]sin Y B Y Y ψ==称为电纳。 (2)RLC 并联电路的导纳： 1111 ()I Y j c j c U R j L R L ωωωω==++=+-=&& ()C L Y G j B B G jB Y ψ++=+=∠ 式中1L B L ω=- 称为感纳；C B C ω=称为容纳；1C L B B B c L ωω=+=-；1 G R =。 可见，当0,B >即1c L ωω>时，Y 呈容性；当0,B <即1 ,c L ωω 正弦交流电路的功率 电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。如某台变压器提供的容量为250kV A ，某台电动机的额定功率为2.5kW ，一盏白炽灯的功率为60W 等等。由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小也各自不一样。前面所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量。所以我们要对电路中的不同功率进行分析。 3.8.1瞬时功率 如图 3.21所示，若通过负载的电流为)sin(2i t I i ?ω+=，负载两端的电压为)sin(2u t U u ?ω+=，其参考方向如图。在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率为 ()()i u t I t U ui p ψωψω++==sin 2sin 2 ()()i u i u t t UI t t UI ψωψωψωψω+++---+=cos cos ()()i u i u t UI UI ψψωψψ++--=2cos cos 设i u ψψ?-=，且为了简化，设0=i ψ，上式可写成 )2cos(cos ?ω?+-=t UI UI p （3-45） 可见，正弦交流电路的瞬时功率由恒定分量和正弦分量两部分构成，其中，正弦分量的频率是电压、电流频率的两倍，波形如图3.22所示 图3.21 复阻抗 图3.22 瞬时功率 由图可以看出，当i u ,瞬时值同号时0>p ，从外电路吸收功率，当i u ,瞬时值异号时0 p 的部分大于0 课题：正弦交流电路中的功率及功率因数的提高 教学目标： 1．掌握有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 教学重点： 功率的计算 教学难点： 功率的计算 教学过程： 正弦交流电路中的功率及功率因数的提高 在中分析了电阻、电感及电容单一元件的功率，本节将分析正弦交流电路中功率的一般情况。 3.7.1 有功功率、无功功率、视在功率和功率因数 设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图所示， 则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为 )()(t i t u p ?= 设 )sin(2)(?+ω=t U t u t I t i ω=sin 2)( 图 其中?为电压与电流的相位差。 )()()(t i t u t p ?= t I t U ω??+ω=sin 2)sin(2 )2cos(cos ?+ω-?=t UI UI (2-49) 其波形图如图所示。 瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从 图 瞬时功率波形图 外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P 为瞬时功率)(t p 在一个周期内的平均值， ?=T pdt T P 01 将式（2-49）代入上式得 ()[]??+ω-?=T t UI UI T P 0cos cos 1dt ?=cos UI （3-50） 可见，正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。 ?cos 称为二端网络的功率因数，用λ表示，即?=λcos ，?称为功率因数角。在二端网络为纯电阻情况下，0=?，功率因数1cos =?，网络吸收的有功功率 UI P R =；当二端网络为纯电抗情况下，?±=?90，功率因数0cos =?，则网络吸收的有功功率 0=X P ，这与前面2．3节的结果完全一致。 在一般情况下，二端网络的jX R Z +=，R X arctg =?，0cos ≠?，即?=cos UI P 。 二端网络两端的电压U 和电流I 的乘积UI 也是功率的量纲，因此，把乘积UI 称为该网络的视在功率，用符号S 来表示，即 UI S = （3-51） 为与有功功率区别，视在功率的单位用伏安（VA ）。视在功率也称容量，例如一台变压器的容量为kV A 4000，而此变压器能输出多少有功功率，要视负载的功率因数而定。 在正弦交流电路中，除了有功功率和视在功率外，无功功率也是一个重要的量。即 Q I U x = 而 ?=sin U U X 所以无功功率?=sin UI Q （3-52） 当?=0时，二端网络为一等效电阻，电阻总是从电源获得能量，没有能量的交换； 当0≠?时，说明二端网络中必有储能元件，因此，二端网络与电源间有能量的交换。 对于感性负载，电压超前电流，0>?，Q 0>；对于容性负载，电压滞后电流，0 最全的功率计算公式 概述 功率包括电功率、机械功率。电功率又包括直流电功率、交流电功率和射频功率；交流功率又包括正弦电路功率和非正弦电路功率；机械功率又包括线位移功率和角位移功率，角位移功率常见于电机输出功率；电功率还可分为瞬时功率、平均功率（有功功率）、无功功率、视在功率。在电学中，不加特殊声明时，功率均指有功功率。在非正弦电路中，无功功率又可分为位移无功功率，畸变无功功率，两者的方和根称为广义无功功率。 本文列出了上述所有功率计算公式，文中p(t)指瞬时功率。u(t)、i(t)指瞬时电压和瞬时电流。U、I指电压、电流有效值，P指平均功率。 1普遍适用的功率计算公式 在电学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在力学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在电学和力学中，下述平均功率计算公式普遍适用 W为时间T内做的功。 在电学中，上述平均功率P也称有功功率，P=W/T作为有功功率计算公式普遍适用。 在电学中，公式（3）还可用下述积分方式表示 其中，T为周期交流电信号的周期、或直流电的任意一段时间、或非周期交流电的任意一段时间。电学中，公式（3）和（4）的物理意义完全相同。 电学中，对于二端元件或二端电路，下述视在功率计算公式普遍适用： 2直流电功率计算公式 已知电压、电流时采用上述计算公式。 已知电压、电阻时采用上述计算公式。 已知电流、电阻时采用上述计算公式。 针对直流电路，下图分别列出了电压、电流、功率、电阻之间相互换算关系。 3正弦交流电功率计算公式 正弦交流电无功功率计算公式： 正弦交流电有功功率计算公式： 正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系： 当负载为纯电阻时，下式成立： 此时，直流电功率计算公式同样适用于正弦交流电路。 第五节正弦稳态电路的功率 设N0为任意线性无源网络（u、i取关联参考方向）。 在正弦稳态情况下，设： （1）p有时为正，有时为负； （2）p>0，一端口吸收功率；p<0，一端口发出功率。 下一页 二、平均功率P 单位：W（瓦） 平均功率又称有功功率：为瞬时功率在一个周期内的平均值。 有功功率代表一端口电阻实际消耗的功率，是瞬时功率的恒定分量。它不仅与电压和电流的有效值的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。这是交流电路和直流电路的区别，其原因在于储能元件在交流电路中产生了阻抗角。 【正文】 1.前言 在电工和无线电技术等领域中存在着许多周期性的正弦、非正弦电压、电流（或信号）。对于非正弦电压、电流（或信号），可利用傅里叶变换，将周期性时间函数分解为许多不同频率和幅值的正弦时间函数之和。然后应用叠加定理对每一频率的正弦时间函数，用相量法计算它们的稳态响应，将所有这些响应叠加起来，就可以得到周期性时间函数激励下的稳态响应。对称的三相非正弦激励下的三相电路，也可以根据叠加定理，先分别计算各谐波电压单独作用时三相电路中的电压、电流谐波，然后叠加求出各电压、电流[1]。 电路的正弦稳态是电路在正弦电压（流）的激励作用下，电路最终所达到的稳定状态。实际上，当电路中的自由响应衰减到可以不计时，便可认为电路进入了稳态。在正弦稳态下，电路中所有电流、电压都依电源的频率按正弦方式变化。按正弦规律变化的物理量称为正弦量。分析正弦电路，就是要找出正弦电路的变化规律，这个规律就是描述正弦电路方程的解。在时域中，描述正弦电路的方程是常系数微分（或积分）方程，它的完全解由两部分组成：一部分是对应齐次方程的通解---这部分解与激励性质无关，它可通过一般解微分方程的方法而求得；另一部分是方程的特解----它取决于激励形式。以正弦电流为例，数学表达式。式中三个量、、为正弦量的三要素。称为正弦电流的振幅（又称最大值或峰值）。它表示正弦电流变化过程中所能达到的最大值。称为正弦电流的角频率，它表达了正弦量的相位角（）随时间变化的速度，或者说表示单位时间增加的相位角。描述交流电变化快慢除用角频率外，还用周期T来描述，周期T是指交流电变化一周所用的时间，即交流电从零开始变到最大，然后逐渐减小到零，接着反方向变到负的最大，最后又回到零所需时间。还可用频率f来描述交流电变化快慢。频率是指1S内交流电重复出现的次数。角频率和正弦量的周期T及频率f的关系为：。称为正弦电流的初相位（又称初相角），它是正弦量在t=0时刻的相角。两个同频率的正弦量之间的相位差与计时起点无关。当两个同频率正弦量的相位差为零时，称这两个正弦量同相；当相位差为180°时，称这两个正弦量为反相；当相位差为正时，称电压U领先电流I，领先角度为?，或称电流?落后电压?，落后角度为?[2]。 研究分析正弦稳态电路的方法为相量法。而相量法则是用复数来表示正弦量的有效值和初相位。运用这一方法使得正弦电流电路的稳态分析成为与线性电阻电路的分析在形式上相同的问题。将相量形式的欧姆定律和基尔霍夫定律应用于电路的相量模型，建立相量形式的电路方程并求解，即可得到电路的正弦稳态响应。在分析时，画出电路中各电压、电流的相量图，往往对分析电路问题会有所帮助。用相量法分析正弦稳态响应的步骤可以归纳如下： (1)画出和时域电路相对应的电路相量模型； (2)建立相量形式的电路方程，求出响应的相量； (3)将求得的相量变换成对应的时域的实函数[3]。 在电能、电信号的传输、处理和应用等技术领域中，有关功率计算问题是电路计算的一个非常重要的方面,因为任何电路都毫无例外地进行着由电源或信号源到负载的功率传输, 在交流电路中，由电源供给负载的电功率有两种：一种是有功功率，一种是无功功率。功率因数是供用电系统的一项重要技术经济指标。在供电系统中，希望是功率因数越大越好，即电路中的视在功率将大部分用来转化成有功功率，以减少无功功率。用电设备在消耗有功功率的同时，还需大量的无功功率由电源送往负荷，功率因数反映的是用电设备在消耗一定的有功功率的同时所需的无功功率。负载功率因数的高低，关系到输配电线路、设备的供电能力，也影响到功率损耗，对于电力系统供电设备的充分利用，有着显著的影响[4]。 提高功率因数常用的方法就是在保证负载功率不变的情况下，采用无功补偿来减小无功功率，从而提高功率因数。在日常生活中，一般的用电设备都是感性的，导致其功率因数都很 一轮复习（二） 一、填空题 1.正弦交流电的三要素为_______、________和________。 2.已知一正弦交流电流的最大值是50A，频率为50HZ,初相位为120°，则其解 析式为_______________________。 3.一个1000Ω的纯电阻负载，接在u=311sin（314t+30°）V的电源上， 负载中电流I=_____A，i=____________________A。 4. 已知一个电感L=5H的线圈，接到电压 u=500 2 sin （100t+ π/6 ） V 的电源 上，则电感的感抗为__________，电流的瞬时表达式为 ________________________。 5. 图2-1所示为两个正弦交流电的向量图，已知u1=311sin（5πt+π/3） V,u2的有 效值为220V，则两者的相位关系为_______________，其瞬时值的表达式为____________________。 6.已知某交流电路，电源电压u=100 2 sin（ωt-30°）V，电路中通过的电流 i= 2 sin（ωt-90°） A，则电压和电流之间的相位差是 _____，电路的功率因 数cosφ=_______,电路消耗的有功功率P=_______，电路的无功功率Q=_______，电源输出的视在功率 S=_______。 7.在电感性负载两端并联一只适当的电容器后，电路的功率因数_______，线路 中的总电流_______，但电路的有功功率_______，无功功率和视在功率都_______。 8.如图2-2所示的电路中，电流表的读数为______，电压表的读数为 ______。 2—1 图2—2 图 9. 一个电感线圈接到电压为120V 的直流电源上，测得电流为 20A；接到频率 为50HZ、电压为220V 的交流电源上，测得电流为28.2A，则线圈的电阻R=_______Ω , 电感 L=_____mH。 10. 在RLC串联电路中，总电压与各部分电压的向量关系为________________， 总阻抗为____________________；当电路满足_____________条件时，电路呈感性，总电压_______(超前或滞后或同相)电流；当电路满足_______条件时，电路呈容性，总电压_______(超前或滞后或同相)电流；当电路满足_______ 条件时，电路呈阻性，总电压_______(超前或滞后或同相)电流，并称电路的这种状态为______________。 二、选择题 1.已知某交流电流， t=0 时的瞬时值 i O=10A，初相位为φO=30°，则这个交流电的有效值为（） 正弦交流电路的功率 1)．基本概念 在一个二端网络上加正弦交流电压u(t)和电流i(t)若 根据功率的计算公式可求瞬时功率： 设，则上式可写作 可见，瞬时功率是随时间变化的，有时为正，有时可能是负。瞬时功率为正时表示此时电路消耗功率；为负时表示此时电路向电源输送功率。为了表征电路实际消耗的平均功率，一般用在一个周期内消耗功率的平均值来表示，称为有功功率，用P表示，即 有功功率的单位为瓦（W）。 电路的有功功率为电压和电流有效值的积乘以cosφ。 cosφ称为功率因数，φ称为功率因数角。一般功率因数用λ表示，即 λ=cosφ 从瞬时功率表达式中可以看出，第一项表示电路的功率消耗，第二项表示电路与电源能量交换，其交换的最大速率为UIsinΦ,一般称它为无功功率，用Q表示，即 Q=UIsinΦ 无功功率的单位为乏（var）。 为了便于求解有功功率和无功功率的表示式，引入了复功率的概念。所谓复功率就是电压的相量与电流相量的共扼复数的乘积，一般用表示，即 可见，复功率是一个复数，表示出了有功功率（实部）和无功功率（虚部），一般将复功率的模用S表示，称作视在功率，它等于电压和电流有效值的的积，即 视在功率的单位为伏安（VA）。 不难看出，如果是纯电阻电路，它只消耗功率，视在功率与有功功率相等。如果是由R、L、C组成的电路，电路不仅有消耗功率还有能量交换，则视在功率要大于有功功率。同时，由视在功率和有功功率可以求出功率因数，即 可见功率因数表示了电路实际消耗功率（有功功率）所占视在功率的比例。功率因数愈大，电路实际消耗功率的比例愈大。 以上概念和公式要孰记。 2)．例题分析 已知电压分别加在电阻、电感和电容两端，又知，f=50Hz，R=1KW, L=10mH, C=100mF。试求:各元件上的功率及其物理意义? 解: （1）电阻中电流为 电阻吸收有功功率p=100mW, 无功功率Q=0, 功率因数为1。 （2）电感中电流为： 电感吸收有功功率p=0, 吸收无功功率Q=31.8var, 功率因数为cos90°=0, 所以不消耗有功功率,只消耗无功功率。 （3）电容中电流为 电容吸收有功功率p=0, 无功功率Q=-3.14var,所以它产生无功功率, 功率因数为cos(-90°)=0 。 第三节正弦交流电路的功率与功率因数 一、正弦交流电路的功率 设有一无源二端网络如图2-19，其电压、电流分别为 u=Umsinωt i=Imsin（ωt - φ） 其中φ为电压与电流I之间的相位差。 经分析电路所消耗的平均功率即有功功率 （2-45） 可以看出，正弦电路的有功功率与直流电路相比多一个乘数cosφ。即正弦电路的有功功率不仅与电压、电流的有效值有关，还与它们的相位差φ有关。cosφ称为功率因数，φ又称功率因数角。 正弦电路中电压与电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，单位伏安（V A）。 S=UI （2-46） 仿照电压三角形，以S为斜边、P为直角边、φ为夹角做功率三角形如图2-20，则另一直角边为无功功率Q（证明从略）。 Q=UI sin φ （2-47） 无功功率是储能元件（电感和电容）与电源能量交换而产生的，可用下式表示 Q=QL – QC （2-48） 例2-11某电路中，已知电压u=311 sin（314t+150）V，电流i=14.1 sin（314t+750）A。计算该电路的视在功率S，平均功率P，无功功率Q及功率因数。 解： 功率因数cosφ=cos（15°-75°）=0.5 P=Scosφ=2200×0.5=1100（W） Q=Ssinφ=2200×sin（15°-75°）=--1905（var） 2．功率因数的提高 电源的额定容量一定即视在功率S=UI不变时，提供给负载的有功功率P=UIcosφ，cosφ越大，P越大、越接近S，越能充分利用电源能量。当电路是电阻性负载时，cosφ=1最大。另一方面，当负载有功功率P及电压U一定时，功率因数cosφ越大， 电路电流就越小，消耗在输电线及各设备绕组等上的功率就越小。因此提高功率因数，既可以充分利用发电设备的容量，又能够减少线路损失。 功率因数不高，主要是由于电感性负载的存在。电动机、工频炉、日光灯等电器设备都是感性负载，使功率因数大大降低。生产中常用的异步电动机在额定负载时功率因数只有0．7~0．9左右，轻载时更低。 感性负载功率因数小于1，其实质是负载本身占有了一定比例的无功功率QL。由式2-48和图2-20可知，我们可以在电路中增加一个大小适当的电容元件，使Q=QL-QC 变小。实质就是让电感元件尽量与电容元件进行能量交换，从而减少电感元件与电源之间的能量交换，而电源的能量更大比例地被负载所消耗、使用。为不改变负载电路的电压，电容器应与负载并联，如图2-21a，其相量图为图2-21b。 设感性负载电路原功率因数为cosφ1，要提高到cosφ2，则需并联电容器的 电容值 （2-49） 式中，ω为电路电流角频率，P为原有功功率，U为负载电压有效值（证明过程从略）。 例2-12某感性负载其功率P=80KW，功率因数cosφ1=0．5，接在U=220V，f=50HZ的电源上。若希望提高功率因数cosφ=0．95，试问应并联电容器的电容值是多少？ 解：cosφ1=0．5 ，φ1=60° cosφ2=0．95 ，φ2=18．2° 正弦交流电路中的功率计算 1.瞬时功率 设如图所示的无源二端网络，电流和电压分别为，，则电路的瞬时功率为： 2. 有功功率P（平均功率） 有功功率，又称为平均功率，是电路一个周期内消耗电能的平均速率。 单位：W或kW 从有功功率的表达式可以看出，电路消耗的功率不仅与电压、电流的有效值有关，还与有关。是电压和电流的相位差，即阻抗角，由电路的参数决定。 对于只含一个电阻的电路，＝0，则 对于只含一个电感或电容的电路，＝±90°，则P=0 由上分析，说明电路中只有电阻元件消耗有功功率，电感和电容是储能元件，不消耗有功功率。电路中若有若干个电阻，求有功功率时可采用两种方法：（1）运用公式直接求；（2）可将各个电阻的有功功率求出，相加求得，即。 定义：——功率因数 功率因数是交流电路的重要技术数据之一。功率因数的高低，对于电气设备的利用率和分析、研究电能消耗等问题都有十分重要的意义。功率因数的大小，取决于电路中负载的性质。对于电阻性负载，其电压与电流的相位差为0，因此，电路的功率因数最大（）；在纯电感电路中，电压与电流的相位差为π／2，电压超前电流；在纯电容电路中，电压与电流的相位差则为－（π／2），即电流超前电压。在后两种电路中，功率因数都为0。对于一般性负载的电路，功率因数就介于0与1之间。 3.无功功率Q 从瞬时功率的表达式中可以看出： p1≥0，它反映了电阻所消耗的瞬时功率。 p2是一个正弦量，它的频率是电源频率的两倍，在一个周期中有正有负，而且正负面积相等，它反映了电感、电容这些储能元件与电源进行能量交换的瞬时功率。 无功功率Q定义为p2的幅值。即 无功功率Q反映的是储能元件L、C 与电源进行能量交换的规模。 当电路只含一个电阻元件时，＝0，＝0，Q=0 当电路只含一个电感元件时，＝90º，＝1，Q =UI=I2XL=U2/XL 当电路只含一个电容元件时，＝－90º，＝－1，Q=－UI=－I2XC=－U2/XC 当（感性电路）时，Q>0 当（容性电路）时，Q<0 当电路中有若干电感、电容元件时，求总的无功功率，方法有二：（1）直接运用公式；（2）可将各部分无功功率相加获得。 注意，电容元件的无功功率为负数。 无功功率的单位为乏（Var）或千乏（k Var ）。 可根据电路无功功率的正负，判断电路的性质。Q>0，感性电路；Q<0，容性电路；Q=0，阻性电路。 4.视在功率S 定义：电路中总电压与总电流有效值的乘积。 ，单位：VA（伏安） kVA S又称为容量，表征的是电源能够提供的最大有功功率，但电源实际输出的有功功率的大小取决于负载，也就是功率因数。 根据P、Q、S的计算公式，我们可以得到： ，， P、Q、S构成了一直角三角形，称功率三角形。 %%阻抗串并联 Z1=1+j;Z2=2;Z3=-2j;U=10; //明白Z1和Z3是如何得到的？jwl ,-j/wc Zi=Z1+(Z2*Z3)/(Z2+Z3); //电阻的串并联 I=U/Zi; //电流等于电压除以阻抗 I1=Z3/(Z2+Z3)*I; //并联电路中的电流关系 I2=I-I1; //并联电路中的电流关系 disp('I I1 I2') //在MATLAB工作窗口显示I I1 I2这三个量的名字 disp('幅值');disp(abs([I,I1,I2])) //显示“幅值”二字，显示I I1 I2的幅值，掌握abs用法disp('相角');disp(angle([I,I1,I2])*180/pi) //显示“相角”二字，显示I I1 I2的相角，掌握angle 用法 ha=compass([I,I1,I2]); //compass的作用是用来画罗盘图 set(ha,'linewidth',2) //设置罗盘图中I I1 I2线的宽度 %%节点分析法 Z1=1+j;Z2=2;Z3=-2j;U=10; // Un=U/Z1/(1/Z1+1/Z2+1/Z3); //以电感右边为所考虑节点 I=(U-Un)/Z1; //电流等于落在元件两端电压差除以其阻抗 I1=Un/Z2; I2=Un/Z3; disp('I I1 I2') disp('幅值');disp(abs([I,I1,I2])) disp('相角');disp(angle([I,I1,I2])*180/pi) ha=compass([I,I1,I2]); set(ha,'linewidth',2) %%戴维南定理//理解其开路电压，等效电阻 Z1=1+j;Z2=2;Z3=-2j;U=10; Uth=Z2*U/(Z1+Z2); //求开路电压，电容二端开路 Zth=Z1*Z2/(Z1+Z2); //等效电阻等于电流源开路电压源短路时的电阻 I2=Uth/(Zth+Z3); //I2为戴维南等效电路带上负载Z3后的电流 I1=Z3*I2/Z2; //两并联支路电压相等 I=I1+I2; //KCL电流为0 disp('I I1 I2') disp('幅值');disp(abs([I,I1,I2])) disp('相角');disp(angle([I,I1,I2])*180/pi) ha=compass([I,I1,I2]); set(ha,'linewidth',2) 第二章 正弦交流电路 习题参考答案 一、填空题： 1. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是 角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的 初相 。三者称为正弦量的 三要素 。 2. 电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR ；电感元件上任 由上述三个关系式可得， 电阻 元件为即时元件； 电 感 和 电容 元件为动态元件。 3. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为 容 性电路。电路中吸收的有功功率为 750W ，吸收的无功功率又为 1000var 。 二、 判断题： 1. 正弦量的三要素是指最大值、角频率和相位。 （错） 2. 电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率等于零。 （对） 3. 因为正弦量可以用相量来表示，所以说相量就是正弦量。 （错） 4. 电压三角形是相量图，阻抗三角形也是相量图。 （错） 5. 正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。 （错） 6. 一个实际的电感线圈，在任何情况下呈现的电特性都是感性。 （错） 7. 串接在正弦交流电路中的功率表，测量的是交流电路的有功功率。 （错） 8. 正弦交流电路的频率越高，阻抗越大；频率越低，阻抗越小。 （错） 三、选择题： 1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ） A 、t u 314sin 380=V ； B 、)45314sin(537?+=t u V ； C 、 )90314sin(380?+=t u V 。 2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的最大值为（ D ） A 、； B 、5V ； C 、14V ； D 、10V 。 3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ） A 、减少了用电设备中无用的无功功率； B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量； C 、可以节省电能； D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。 4. 已知)90314sin(101?+=t i A ，?+=30628sin(102t i ）A ，则（ C ） A 、i 1超前i 260°； B 、i 1滞后i 260°； C 、相位差无法判断。 RLC 正弦交流电路参数测量实验报告 一、实验题目： RLC 正弦交流电路参数测量 二、实验目的： ? 1、在面包板上搭接R 、L 、C 的并联电路 电路参数：R=1K 、L=10mH 、C=0.1uF ，正弦波Vpp=5V 、f=1KHz ? 2、将R 、L 并联，测量电压和电流的波形和相位差，计算电路的功率因素。 ? 3、将R 、C 并联，测量电压和电流的波形和相位差，计算电路的功率因素。 ? 4、将R 、L 、C 并联，测量电压和电流的波形和相位差，由相位差分析负载性质。计算功率因素。 三、实验摘要： 在面板板上搭接RLC 并联电路 四、实验仪器： 1、函数信号发生器 2、示波器 3、数字万用表 4、，一个10uF 电容，一个10mH 电感，一个1千欧电阻和1个47欧电阻，导线 五、实验原理： 1. 正弦交流电的三要素 2. 电路参数 在正弦交流电路的负载中，可以是一个独立的电阻器、电感器或电容器，也可由它们相互组合（这里仅采用串联组合方式，如图所示）。 电路里元件的阻抗特性为 当采用交流电压表、电流表和有功功率表对电路测量时（简称三表法），可用下列计算公式来表述 Z P 与、U 、I 相互之间的关系： 图4.1-1正弦交流电 1 ()() L C Z R j X X R j L C ωω=+-=+- 负载阻抗的模 /Z U I =；负载回路的等效电阻 2cos R P I Z ? ==； 负载回路的等效电抗 sin X Z ? = =； 功率因数 cos P UI ?= ；电压与电流的相位差 1arctan arctan L C X R R ωω?-==； 当?>0时,电压超前电流；当?<0时,电压滞后电流。正弦交流电路的功率
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