课时作业55 抛物线
1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一
点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B )
A.7π12 B ．2π3
C.3π4
D ．5π6
解析：由抛物线y 2
＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝
23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π
3
，故选B.
2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( D )
A ．y 2
＝4x B ．y 2
＝－4x C ．y 2＝8x
D ．y 2
＝－8x
解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝
12
×2p ×? ??
??p
2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2
＝8x ，所以直线AB 的方程
为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2
＝－8x ，故选D.
3．已知抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( C )
A ．x 2
＝8y B ．x 2
＝4y C ．x 2＝2y
D ．x 2
＝y
解析：由?
??
??
x 2
＝2py ，
y ＝2x ，得?
??
??
x ＝0，
y ＝0或?
??
??
x ＝4p ，
y ＝8p ，
即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )， 则
4p
2
＋8p 2＝45，得p ＝1(舍去负值)，
故抛物线C 的方程为x 2
＝2y .
4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝3
2
(O 为坐标原点)，则OM →·MF →
＝( A )
A ．－74
B ．74
C.94
D ．－94
解析：不妨设M
(m ，2pm )(m ＞0)，
易知抛物线C 的焦点F 的坐标为? ??
??p
2，0， 因为|MO |＝|MF |＝3
2，
所以?????
m 2
＋2pm ＝9
4，m ＋p 2＝3
2，
解得m ＝1
2
，p ＝2，
所以OM →＝? ????12，2，MF →
＝? ????12，－2， 所以OM →·MF →
＝14－2＝－7
4
.故选A.
5．如图，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )
A.|BF |－1
|AF |－1 B ．|BF |2
－1|AF |2
－1 C.|BF |＋1|AF |＋1
D ．|BF |2
＋1|AF |2
＋1
解析：过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，
则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.
可知S △BCF S △ACF ＝1
2·|CB |·|CF |·sin∠BCF
12
·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1
，故选A.
6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2
＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( B )
A ．8
B ．2 3
C ．
4 3 D ．8 3
解析：法一：不妨设点P 在x 轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，
设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，所以θ＝π3，
由抛物线焦点弦的性质可知， |PF |＝
p
1－cos θ＝3
1－cos
π
3＝23，
|QF |＝
p
1＋cos θ＝31＋cos
π3
＝23
3
，
所以|MN |＝|PQ |·sin θ＝(|PF |＋|QF |)·sin π3＝833×3
2＝4，
所以S △MFN ＝12×|MN |×p ＝1
2×4×3＝23，故选B.
法二：由题意可得直线PQ ：
y ＝3? ??
??x －
32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得? ????3x －322＝23x ，即3x
2
－53x ＋9
4
＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53
3，
所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝83
3，
所以|MN |＝|PQ |sin π
3
＝4，
所以S △MNF ＝1
2
×4×3＝23，故选B.
7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了 1 m.
解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2
＝－2py (p ＞0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2
＝－2y .将x ＝6代入x 2
＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.
8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2
＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a
＝ 1＋ 2 .
解析：|OD |＝a
2
，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，
故C ? ????a 2，－a ，F ? ??
??a
2＋b ，b ， 又抛物线y 2
＝2px (p ＞0)经过C 、F 两点，
从而有???
??
－a
2
＝2p ×a
2
，
b 2
＝2p ? ??
??a 2＋b ，即???
?
?
a ＝p ，
b 2
＝ap ＋2bp ，
∴b 2
＝a 2
＋2ab ，∴? ??
??b a 2－2·b a
－1＝0，
又b a ＞1，∴b a
＝1＋ 2.
9．已知抛物线C 1：y ＝ax 2
(a ＞0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2
b
2＝1(b ＞0)的一个焦点，点
M ，P ?
??
??3
2
，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为 2 . 解析：将P ? ??
??32，1代入到y 2
4＋x 2
b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴
c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，
∴抛物线C 1的方程为x 2
＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.
10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2
＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 6 .
解析：由抛物线方程为y 2
＝6x ，
所以焦点坐标F ? ????32，0，准线方程为x ＝－32，
因为直线AF 的斜率为－3，
所以直线AF 的方程为y ＝－3? ??
??x －32，画图象如图．
当x ＝－3
2
时，y ＝33，
所以A ? ??
??－32，33， 因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，
可得点P 的坐标为? ??
??92，33，
根据抛物线的定义可知 |PF |＝|PA |＝92－? ??
??
－32＝6.
11．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
；
(2)1|AF |＋1|BF |
为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为? ??
??p
2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p
2
，代入y 2
＝2px ，
得y 2
＝2p ?
????my ＋p 2， 即y 2－2pmy －p 2
＝0.(*)
因为? ??
??p
2，0在抛物线内部，
所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2
.
因为y 2
1＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 2
2＝4p 2
x 1x 2，
所以x 1x 2＝y 21y 22
4p 2＝p 44p 2＝p 24
.
(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋
p
2 ＝
x 1＋x 2＋p
x 1x 2＋p 2
x 1＋x 2＋
p 2
4
.
因为x 1x 2＝p 2
4，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2|AB |－p ＋p 24＝2
p
(定
值)．
(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，
分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，
则|MN |＝1
2(|AC |＋|BD |)
＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2
|AB |.
所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
12．(2019·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2
＝12x 相交于A ，B 两点，M
是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .
(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；
(2)是否存在实数k 使NA →·NB →
＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由?
???
?
y ＝k x －2，y 2＝1
2x 消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2
＋1
2k
2，x 1x 2＝4，
∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k
2，
y M ＝k (x M －2)＝k ? ????8k 2
＋
14k 2－2＝
14k
. 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2
N ＝18k 2，
∴N ?
??
?
?18k 2，14k .
设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为
y －1
4k ＝m ? ?
?
??
x －18k 2， 将x ＝2y 2
代入上式， 得2my 2
－y ＋14k －m 8k 2＝0.
∵直线l 与抛物线Γ相切，
∴Δ＝1－4×2m ×? ??
??14k －m 8k 2＝
m －k 2
k 2＝0，
∴m ＝k ，即l ∥AB .
(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →
＝0， 则NA ⊥NB .
∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝1
2|AB |.
由(1)，得|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝1＋k 2·
? ??
??8k 2
＋
12k 22－4×4
＝1＋k 2
·16k 2
＋1
2k
2
. ∵MN ⊥y 轴，
∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2
＋14k 2－18k 2＝16k 2
＋1
8k 2
. ∴16k 2
＋18k 2＝121＋k 2
·16k 2
＋12k 2
， 解得k ＝±12
.
故存在k ＝±1
2
，使得NA →·NB →
＝0.
13．(2019·福建六校联考)已知抛物线E ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1
的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则抛物线E 的方程为( C )
A ．y 2
＝x B ．y 2
＝2x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
解析：由题意，得F ? ??
??p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p
2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，
y 0)，联立y ＝x －p 2
和y 2
＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，所以y 0＝y 1＋y 22
＝p ，故N (0，
p )，又因为点M 在直线AB 上，所以x 0＝3p 2
，即M ? ??
??3p 2，p ，因为MC ⊥AB ，所以k AB ·k MC ＝－1，
故k MC ＝－1，从而直线MC 的方程为y ＝－x ＋52p ，令y ＝0，得x ＝52p ，故C ? ??
??5p 2，0，四边形
CMNF 的面积可以看作直角梯形CMNO 与直角三角形NOF 的面积之差，
即S 四边形CMNF ＝S 梯形CMNO －S △NOF ＝
12? ????52p ＋32p ·p －12p ·p 2＝7
4p 2＝7，∴p 2＝4，又p ＞0，∴p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，故选C.
14．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠
AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
|MN |
|AB |
的最大值为( A ) A.33 B ．1 C.23
3
D ．2
解析：过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，如图，
由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝1
2
(|AF |＋|BF |)，
在△AFB 中，|AB |2
＝|AF |2
＋|BF |2
－2|AF ||BF |·cos120°＝|AF |2
＋|BF |2
＋|AF ||BF |，
∴? ???
?|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2
＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |
＝14? ????1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |
＝
14?
?????1＋
1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1 ≤14×? ?
???1＋12＋1＝13
， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号， ∴
|MN ||AB |的最大值为3
3
. 15．设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 (2,4) .
解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，
则?
????
y 2
1＝4x 1，y 2
2＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．
当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2，
则有
y 1＋y 22·y 1－y 2
x 1－x 2
＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·
y 0－0
x 0－5
＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上． 将x ＝3代入y 2
＝4x ，
得y 2
＝12，则有－23＜y 0＜2 3. 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2
＋y 2
0＝r 2
， 故r 2
＝y 2
0＋4＜12＋4＝16.
又y 20＋4＞4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4＜r 2
＜16，即2＜r ＜4.
16．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .
(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得
x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两个不等实根，
则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2
＝2py ，得y ′＝x p
， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2
p
＝－1， 则有p ＝2.
(2)设切线AN 为y ＝x 1
p
x ＋b ，
又切点A 在抛物线y ＝x 2
2p 上，
∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 21
2p ，
∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 22
2p
.
又∵N 在y AN 和y BN 上，
∴?????
y ＝x 1p x －x 21
2p
，
y ＝x 2
p x －x
2
2
2p ，
解得N ?
??
??x 1＋x 22，x 1x 22p .
∴N (pk ，－1)．
|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2·4p 2k 2
＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2
＋2|
1＋k
2
， S △ABN ＝1
2
·|AB |·d ＝p pk 2＋2
3
≥22p ，
∴22p ＝4，∴p ＝2. 故抛物线C 的方程为x 2
＝4y .