函数与零点
欧阳光明（2021.03.07）
基础回顾：
零点、根、交点的区别
零点存在性定理：f （x ）是连续函数；f （a ）f （b ）<0 二分法思想：零点存在性定理 一、基础知识—零点问题
1．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）
A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
B ．若0)()(
C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
D ．若0)()(
A ．函数)(x f 在（1，2）或[2，3]内有零点
B ．函数)(x f 在（3，5）内无零点
C ．函数)(x f 在（2，5）内有零点
D ．函数)(x f 在（2，4）内不一定有零点
3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）
A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到
B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点
C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点
D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解 4．通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（）
A ．○1○2○3
B ．○2○3○4
C ．○1○2○4
D ．○1○3○4
5．求132)(3
+-=x x x f 零点的个数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （）
A ．有且仅有一个根
B ．至多有一个根
C ．至少有一个根
D ．以上结论都不对
7．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是（）
A ．ε越大，零点的精确度越高
B ．ε越大，零点的精确度越低
C ．重复计算次数就是ε
D ．重复计算次数与ε无关
8．设函数)(x f y =的图象在[a ,b ]上连续，若满足，方程0)(=x f 在[a ,b ]上有实根.
9．用“二分法”求方程0523
=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是. 10．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解.
11．已知函数)(x f 图象是连续的，有如下表格，判断函数在那几个区间上有零点.
二、利用图象法解零点问题
1. 函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0
f ?≤??（的零点个数为 ( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.设
()f x 是定义在
R
上的奇函数，当0x >时，
()2x
f x e =-，则()f x 的零点个数是3个.
变式1：设偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当x ∈[0,1]时，
()f x x =，则关于x 的方程
1
()()8x
f x =在区间[0,3]上解的个数有 3 .
2:方程lg 10x
x -=的根的个数是
1 .
3:已知01a <<,函数
()|log |x
a f x a x =-的零点个数为2 . 4．已知1x 是方程lgx +x =3的解，2x 是310=+x x
的解，求21x x +（）
A ．23
B ．32
C ．3
D ．31
5．方程0lg =-x x 根的个数（）
A ．无穷多
B ．3
C ．1
D ．0
6．函数2
(4)|4|
()(4)
x x f x a x ?
≠?-=??=?
，若函数2)(-=x f y 有
3个零点，则实数
a 的值为（ C ）
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．不存在
三、解方程法——数型结合
1.函数f(x)=x —cosx 在[0，+∞）内 （ B ）
A.没有零点
B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点
D.有无穷多个零点 变式:函数
在区间内的零点个数是( B )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.函数f （x ）=2x
e x +- 的零点所在的一个区间是( C )
A.（-2,-1）
B. （-1,0）
C. （0,1）
D. （1,2） 3.函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( B ) A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）
变式:若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ D ）
A.（0，1）.
B.（1，1.25）.
C.（1.25，1.75）
D.（1.75，
2）
4.函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ C ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
变式:1.已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点0(,1),x n n n N +∈+∈,则n 的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4
*欧阳光明*创编 2021.03.07
2.已知x
是函数f(x)=2x +1
1x
-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈
（0x ，+∞），则( B )
A.f(1x )＜0，f(2x )＜0
B.f(1x )＜0，f(2x )＞0
C.f(1x )＞0，f(2x )＜0
D.f(1x )＞0，f(2x )＞0
3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是(B ) A.5 B.4 C.3 D.2 4．已知函数
()()22
log 1,0
2,0x x f x x x x ?+>=?--≤?，若函数
()()g x f x m
=-有三个零
点，则实数m 的取值范围是(0,1) .
5.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是(B ) A.5 B.4 C.3 D.2