第12章优化设计和敏感性分析
本章主要讲解应用Abaqus进行结构优化设计和敏感性分析。
目前的产品结构设计，大多靠经验，规划几种设计方案，结合CAE分析择优选取，但规划的设计方案并不一定是最优方案，故本章前半部分讲解优化设计中的拓扑优化和形状优化，并制定操作SOP，辅以工程实例详解。
工程实际中，加工制造、装配误差等造成的设计参数变异，会对设计目标造成影响，因此寻找出参数的影响大小即敏感性，变得尤为重要，故本章后半部分着重讲解敏感性分析，并制定操作SOP，辅以工程实例求出设计参数敏感度，详解产品的深层次研究。
知识要点：
?结构优化设计基础
?拓扑、形状优化理论
?拓扑、形状优化SOP及实例
?敏感性分析理论
?敏感性分析SOP及实例
12.1 优化设计基础
优化设计以数学中的最优化理论为基础，以计算机为手段，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，在满足给定的各种约束条件下，优化设计使结构更轻、更强、更耐用。
在Abaqus 6.11之前，需要借用第三方软件（比如Isight、TOSCA）实现优化设计及敏感性分析，远不如Hyperworks及Ansys等模块化集成程度高。从Abaqus 6.11新增Optimization module后，借助于其强大的非线性分析能力，结构优化设计变得更具可行性和准确性。
12.1.1 结构优化概述
结构优化是一种对有限元模型进行多次修改的迭代求解过程，此迭代基于一系列约束条件向设定目标逼近，Abaqus优化程序就是基于约束条件，通过更新设计变量修改有限元模型，应用Abaqus进行结构分析，读取特定求解结果并判定优化方向。
Abaqus提供了两种基于不同优化方法的用于自动修改有限元模型的优化程序：拓扑优化（Topology optimization）和形状优化（Shape optimization）。两种方法均遵从一系列优化目
标和约束。
12.1.2 拓扑优化
拓扑优化是在优化迭代循环中，以最初模型为基础，在满足优化约束（比如最小体积或最大位移）的前提下，不断修改指定优化区域单元的材料属性（单元密度和刚度），有效地从分析模型中移走单元从而获得最优设计。其主体思想是把寻求结构最优的拓扑问题转化为对给定设计区域寻求最优材料的分布问题。
下图12-1为Abaqus帮助文件提供的应用实例，展示了汽车控制臂在17次迭代循环中设计区域单元被逐渐移除的优化过程，其中优化的目标函数是最小化控制臂的最大应变能、最大化控制臂的刚度，约束为降低57%产品体积。优化过程中，控制臂中部的部分单元不断被移除。
图 12-1拓扑优化进程示例
Abaqus拓扑优化提供了两种算法：通用算法（General Algorithm）和基于条件的算法（Condition-based Algorithm）。
通用拓扑优化算法是通过调整设计变量的密度和刚度以满足目标函数和约束，其较为灵活，可以应用到大多数问题中。相反，基于条件的算法则使用节点应变能和应力作为输入数据，不需要计算设计变量的局部刚度，其更为有效，但能力有限。两种算法达到优化目标的途径不同，Abaqus默认采用的是通用算法。
从以下几个方面比较两种算法:
中间单元：通用算法对最终设计会生成中间单元（相对密度介于0~1之间）。相反，基于条件的算法对最终设计生成的中间单元只有空集（相对密度接近于0）或实体（相对密度为1）。
优化循环次数：对于通用优化算法，在优化开始前并不知晓所需的优化循环次数，正常情况在30~45次。基于条件的优化算法能够更快的搜索到优化解，默认循环次数为15次。
分析类型：通用优化算法支持线性、非线性静力和线性特征频率分析。两种算法均支持几何非线性、接触和大部分非线性材料。
目标函数和约束：通用优化算法可以使用一个目标函数和数个约束，这些约束可以全部是不等式限制条件，多种设计响应可以被定义为目标和约束，而基于条件的优化算法仅支持应变能作为目标函数，材料体积作为等式限制条件。
12.1.3 形状优化
形状优化主要用于产品外形仅需微调的情况，即进一步细化拓扑优化模型，采用的算法与基于条件的拓扑算法类似，也是在迭代循环中对指定零件表面的节点进行移动，重置既定区域的表面节点位置，直到此区域的应力为常数（应力均匀），达到减小局部应力的目的。比如图12-2所示的连杆，其进行形状优化，表面节点移动，应力集中降低。
图 12-2形状优化示例
形状优化可以用应力和接触应力、选定的自然频率、弹性应变、塑形应变、总应变和应变能密度作为优化目标，仅能用体积作为约束，但可以设置几何限制，以满足零件制造可行性（冲压、铸造等）。当然也可以冻结某特定区域、控制单元尺寸、设定对称和耦合限制。
12.1.4 优化术语
拓扑和形状优化必须在设定好的目标和约束条件下进行，如此程序才会在约束框架内向
优化目标迈进。仅仅描述要减小应力或者增大特征值是不够，必须有更为特定的定义，比如，最小化两种载荷下的最大节点应力，最大化前5阶特征值之和，如此的优化目标称之为目标函数（Objective Function）；同时，在优化过程中可以强制限定某些特定值，比如可以指定某节点的位移不超过一定值，如此的强制性限制叫做约束（Constraint）。
目标函数和约束都是结构优化的特定术语，Abaqus/CAE中用到的术语有：
设计区域（Design area）：即结构优化的模型修改区域，可以是整个模型，也可以是模型的一部分或几个部分。
在给定的边界条件、载荷和制造约束条件下，拓扑优化通过增加或删除设计区域内单元的材料达到最优化设计，而形状优化则通过移动表面节点以修改设计区域表面达到优化目的。
设计变量（Design variables）：设计变量即优化设计中需要改变的参数。
对于拓扑优化，设计区域中单元密度即是设计变量，Abaqus拓扑优化模块（ATOM）在其优化迭代中改变单元密度并将其耦合到刚度矩阵之中，实质是赋予单元极小的质量和刚度从而使其几乎不再参与结构的全局响应。
对于形状优化而言，设计区域的表面节点位移即是设计变量，优化时，Abaqus将节点向外或向内移动，抑或不动，限制条件决定表面节点移动的大小和方向。
设计循环（Design cycle）:优化是一个不断更新设计变量的迭代过程，在每次迭代中Abaqus会对更新了变量的模型进行求解、查看结果以及判定是否达到优化目的，一次迭代过程即一个设计循环。
优化任务（Optimization task）：一个优化任务即包含有设计响应、目标、约束条件和几何限制等在内的优化定义。
设计响应（Design responses）:导入优化程序用于优化分析的输入值称之为设计响应。
设计响应可以从Abaqus的结果输出文件.odb中直接读取，比如刚度、应力、特征频率及位移等，或者对结果文件计算得到，比如重量、质心或相对位移等。设计响应是与模型区域紧密相关的标量值，例如一个模型区域内的最大应力或体积，同时，设计响应也与特定分析步、载荷工况有关。
目标函数（Objective functions）:即定义的优化目标。
目标函数是从设计响应中萃取的标量值，如最大位移或最大应力。一个目标函数可以由几个设计响应组成函数公式表达。如果设定目标函数是最小化或最大化设计响应，Abaqus优化模块则加入每个设计响应值到目标函数进行计算。此外，如果定义了多目标函数，可以使用权重因子定义其对优化的影响程度。
约束（Constraints）:约束也是从设计变量中萃取的标量值，但其不能从设计响应组合得到。约束是用于限定设计响应值，比如体积减少50%；同时约束也可以是到独立于优化之外的制造和几何限制，比如约束优化后的结构能够用于铸造或冲压成形。
停止条件（Stop conditions）: 当满足某一停止条件时，优化迭代即终止。
全局停止条件是最大优化迭代（设计循环）次数；局部停止条件是优化结果达到某一最大/最小定义值。
12.2 优化设计SOP
12.2.1 优化设计SOP
先试算Abaqus初始结构模型，以确认边界条件、结果是否合适，然后结合图12-3的Abaqus/CAE优化模块，设置优化设计：
?创建优化任务。
?创建设计响应。
?应用设计响应创建目标函数。
?应用设计响应创建约束（可选）。
?创建几何限制（可选）。
?创建停止条件。
以上设置完成，进入Job模块创建优化进程，并提交分析。
图 12-3Abaqus/CAE优化模块
提交分析后，优化程序基于定义的优化任务及优化进程，开始优化迭代：
?准备设计变量（单元密度或者表面节点位置），
?更新有限元模型。
?执行Abaqus/Standard分析。
在优化迭代（设计循环）满足以下条件即终止：
?达到设定的最大迭代数
?达到设定的停止条件。
以上操作步骤可概括为图12-4所示的优化设计SOP（Standard Operating Procedure）。
图 12-4优化设计SOP
在图12-4 SOP基础上，还需对关键步（设计响应、目标函数和约束）的设置详加说明。
12.2.2 设计响应设置
设计响应是从特定的结构分析结果中读取的唯一标量值，随后能够被目标函数和约束引用。要实现设计变量唯一标量值，必须在优化模块中特别运算，比如对体积的运算只能是“总和”，对区域应力的运算只能是“最大值”，由此可知Abaqus优化模块提供了以下两种设计响应操作：
最大值或最小值：寻找出选定区域内的节点响应值的最大/最小值，但对应力、接触应力和应变只能是“最大值”。
总和：对选定区域内节点的响应值作“总和”。Abaqus优化模块仅允许对体积、质量、惯性矩和重力作“总和”运算。
此外，可以定义基于另一个设计响应的响应，也可以定义由几个响应经数学运算而成的组合响应。比如，已分别对两个节点定义了两个位移响应，可再定义两个位移响应的差值作
组合响应。
下面详细介绍在不同优化情况下，可用或推荐使用的设计响应。
1、基于条件拓扑优化的设计响应
针对基于条件的拓扑优化算法，只能使用应变能和体积作为设计响应。
1）应变能（Strain energy ）：即每个单元应变能的总和，可以定义为结构柔度，其是结构整体柔韧性或刚度的一种度量。众所周知，柔度是刚度的倒数，最小化柔度意味着最大化全局刚度。
针对线性模型的结构柔度，可以用式（12-1）计算。
∑=ku u energy Strain t （12-1）
其中，u 是位移矢量；k 是全局刚度矩。
如果加载条件是集中力或压力，是通过最小化应变能优化出最大的全局刚度；恰恰相反，如果加载的是热场，则通过最大化应变能优化出最大的全局刚度，因为优化修改模型会使结构变软导致应变能下降。此外，如果模型中有特定位移加载，应选择使用最大化应变能。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →Condition-based topology task, Design Response →Create: Single-term, Variable: Strain energy 。
2）体积（Volume ）:即设计区域的单元体积之和，可以用式（12-2）计算。
∑=e V lume V o （12-2）
其中，e V 是单元体积。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →Condition-based topology task, Design Response →Create: Single-term, Variable: Volume 。
2、通用拓扑优化的设计响应
针对通用拓扑优化算法，可以使用重心、位移和旋转、特征频率、惯性矩、内力和内转矩、反作用力和反作用转矩、应变能、体积和重量作为设计响应。
1）重心（Center of gravity ）：三个方向的重心可以用式（12-3）计算。
??????===dV
zdV z dV ydV y dV xdV x g g g ρρρρρρ ; ; （12-3） 其中，单元密度ρ使用的是优化并修改的模型现有相对密度；坐标轴可以是全局坐标系统，也可以用户自定义的局部坐标系统。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →General topology task, Design Response →Create: Single-term, Variable: Center of gravity 。
2）位移和旋转（Displacement and Rotation ）：大部分优化问题，都可使用位移和/或旋转响应定义目标函数或约束。节点位移和旋转变量含义可从表12-1中查知。
表 12-1
位移和旋转变量
仅响应顶点或较小区域的位移或旋转，能够提升优化速度，此外，如果响应的顶点或区域是在冻结区域内，优化速度会提升更多。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →General topology task, Design Response →Create: Single-term, Variable: Displacement 。
3）模态特征频率（Modal Eigenfrequency ）：模态特征频率值是结构分析中最简单的动态响应。
Abaqus 优化模块支持两种评估特征频率方法：
● 从模态分析中获得单一特征频率
● Kreisselmaier-Steinhauser 公式计算
两种方法中Kreisselmaier-Steinhauser 方法更加有效率，而单一特征频率方法有其唯一的优势——应用各阶特征频率之和作约束。
在最大化最低特征频率时，不仅仅要考虑第一阶的特征频率，还要考虑接下来的几阶，因为在优化中，随着结构的变化，模态振型可能会发生转换。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →General topology task, Design
Response →Create: Single-term, Variable: Eigenfrequency from modal analysis or Eigenfrequency calculated with Kreisselmaier-Steinhauser formula 。
4）惯性矩（Moment of inertia ）：在三个方向或平面上的惯性矩可以用式12-4计算。
()()()??????-=-=-=+=+=+=;
;;;;22z 22y 22x yzdV Iyz xzdV Ixz xydV Ixy dV
y x I dV z x I dV z y I ρρρρρρ (12-4) Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →General topology task, Design
Response →Create: Single-term, Variable: Moment of inertia 。 5）内力和内转矩、反作用力和反作用转矩和重量在此无特别表述，应变能和体积与式（12-1）和式（12-2）一致。
3、形状优化的设计响应
针对形状优化，可以使用特征频率、应力、接触应力、应变、节点应变能密度和体积作为设计响应，其中仅体积设计响应可被用以约束定义。
1）特征频率（Eigenfrequency ）：应用Kreisselmaier-Steinhauser 公式计算的特征值作为设计响应，并被定义到目标函数中。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task → Shape task, Design Response → Create: Single-term, Variable: Eigenfrequency calculated with Kreisselmaier-Steinhauser formula 。
2）应力和接触应力（Stress and Contact stress ）:无论应力是从高斯点还是从单元计算得到，优化模块都会把其插值到节点上。应力和接触应力设计响应尽可被用作定义目标函数。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task → Shape task, Design Response → Create: Single-term, Variable: Stress or Contact stress 。
3）应变（Strain ）:如果是大变形模型，用应力作设计响应就不太合适了，比如金属结构进入塑性变形其塑性区域的应力值几乎一样大。在此情况下选用弹性应变、塑性应变或总应变作设计响应较为合适。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →Shape task, Design Response → Create: Single-term, Variable: Strain 。
4）节点应变能密度（Nodal strain energy density ）：其用式（12-5）计算。
j i j i u εσ= （12-5）
由式12-5可知，节点应变能密度综合考虑了应变和应力，所以针对非线性材料，局部逐点应变能密度能够更好的表征材料失效。
』 Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Task →Shape task, Design Response → Create: Single-term, Variable: Strain energy density 。
5）体积（Volume ）：参考上文已有之表述。
12.2.3 目标函数设置
目标函数用于定义优化的目标，其是通过对一组设计响应公式运算得到的唯一的标量值，比如设计响应为节点应变能，目标函数可以定义成最小化设计响应总和。优化问题可以用()[]{}x x ,u m in φ表征，其中目标函数Ф值依赖于状态变量u 和设计变量x 。
由此可知，最小化N 个设计响应的目标函数可用式12-6表述。
()
??????-=∑=N 1i ref i i i W ??φmin min （12-6） 同理，最大化N 个设计响应的目标函数可用式12-7表述。
()
??????-=∑=N 1i ref i i i W ??φmax max （12-7） 其中，对每个设计响应i ?都引入一个权重因子i W 和一个参考值ref i ?。默认权重因子为1，对拓扑优化的默认参考值为0，而对形状优化的默认参考值是由软件计算而来。
另外，还有一个重要的目标函数优化公式，即最小化最大的设计响应，用式（12-8）表述。在每次设计循环，优化程序首先判断哪个设计响应具有最大值，然后最小化这个设计响应。
()[]{}ref i i i i W ??φ-=max min max min （12-8）
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Objective Function →Create: Target 。
12.2.4 约束设置
约束是对优化强加限制以获得合适之设计。其可用式（12-9）表述。即设计响应i ψ被常数*
i ψ约束限制。 ()[]0,x u ≤-*i i x ψψ （12-9）
通过约束以减少优化方案的尝试，提高优化速度，并获得合适的优化结果。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Constraint →Create 。
12.2.5 几何限制
几何限制是对设计变量直接施加约束，可用式（12-10）表述。
()0K x K i i ≤-* （12-10）
其中，i K 是对设计变量x 布局的表达式。
几何限制包括两类：设计上的限制和制造上的限制
1、设计上的限制
设计上的限制有冻结区域、限制部件最大/最小尺寸。
● 冻结区域（Frozen area ）
特别定义一个区域，使其从优化区域中排除，不修改冻结区域内的模型。对加载有预定义条件的区域都必须冻结，为简化此操作，Abaqus 优化模块能够自动冻结具有预定义条件和加载的区域。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Geometric Restriction →Create: Frozen area 。
● 最大/最小元件尺寸（Member size ）
针对一些设计，不能有太薄的元件，以免加工困难。而针对类似铸造件，又不能有过厚的元件。一旦设定了尺寸限制，优化时间会增加很多，所以，如无必要不要使用此限制。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Geometric Restriction →Create: Member size 。 ● 对称结构（Symmetric Structure ）
设定对称限制，能够加速优化，比如施加轴对称和平面对称、点对称和旋转对称、循环对称等。
Abaqus/CAE 操作:切换到优化模块，Geometric Restriction → Create: Planar symmetry, Point symmetry, Rotational symmetry, or Cyclic symmetry 。
2、制造上的限制
制造上的限制主要是为了满足可注塑性和可冲压性。
● 可注塑性/可锻造性（Moldable/Forgeable ）
』
为满足可注塑性，要阻止优化模型含有空洞和负角。图12-5所示意的结构就不具备可注塑性。
(a) 含有空洞（b）含有负角
图 12-5不具备可注塑性
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction→Create: Demold control; Demold technique, Demolding with a central plane or Demolding at the region surface or Forging。
●可冲压性（Stampable）
考虑冲压的特殊性，在优化时，如果删除了一个单元，也会把其前后的单元一起删除，如图12-6所示。
图 12-6可冲压性结构
针对拓扑优化，Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction→Create: Demold control; Demold technique,Stamping。
针对形状优化，Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction→Create: Stamp control。
12.3 拓扑优化实例
针对拓扑优化，一般是用在概念性设计阶段，大幅度改变产品设计。本节举2例详解拓扑优化：C形夹（壳单元）概念设计、汽车摆臂（实体单元）概念设计。
12.3.1 C形夹的拓扑优化
本例以图12-7的C形夹作拓扑优化对象，在满足性能的前提下，最轻化结构。
1、问题描述
此C形夹的有限元模型见图12-7，边界条件：约束A点的XYZ自由度、约束B点的Y 自由度、约束C点的Z自由度、D和E点分别施加方向相反的集中力100N。材料为厚度1mm的铜材C70250：密度8.82E-006kg/mm^3，杨氏模量131000MPa，泊松比0.34，屈服强度473MPa，极限强度816Mpa。
优化目标：最小化体积（最轻化）；
约束条件：D点Y方向位移≤0.07mm；E点Y方向位移≥ -0.07mm；
设计变量：设计区域中的单元密度。
图 12-7C形夹有限元模型
2、初始设计分析
从光盘打开本节图12-7所示的有限元模型12.3.1_C-clip_pre.cae，并提交求解。
查看位移云图如图12-8，得知D、E两点的Y方向位移分别为0.0369mm和-0.0369mm。
查看应力云图如图12-9，可知近蓝色区域应力值几乎为0，即其对结构强度并无贡献，也正是需要拓扑优化删除的区域。
』
图 12-8原始模型Y方向位移云图图 12-9原始模型应力云图
3、优化设置
把打开的12.3.1_C-clip_pre.cae另存为12.3.1_C-clip_opt.cae，CAE界面切换到优化模块以进行拓扑优化设计。
●创建优化任务
从菜单栏Task→Create→Topology optimization，Advanced：General optimization。
选择整个模型做设计区域，创建优化任务Task-C_clip。
对优化任务的设置，一般默认即可，但为防模型失效，如图12-10左图，在Basic选项卡冻结加载和边界区域；同时在初始设计循环时，材料密度突变会不收敛，故如图12-10右图，在Density选项卡对初始密度（Initial density）比值设置较大值0.9。
图 12-10优化任务设置
●创建设计响应
从菜单栏：Design Response→Create→Single-term。
体积响应：如图12-11所示，选择整个模型创建体积（V olume）响应，对选中的区域体积和的计算默认为：Sum of values。
图 12-11体积设计响应设置
位移响应：选择节点D，创建Y方向（2-direction）的位移（Displacement）响应，跟踪选择区域节点中最大值（Maximum value），如图12-12所示。当然，这里只选了一个节点（D 点），计算方式对结果无影响；
同上，选择节点E，创建Y方向（2-direction）的位移（Displacement）响应，区域节点状态值计算方式为Minimum value。
图 12-12D、E节点的位移设计响应
』
创建完成的3个设计响应如图12-13所示。
图 12-13创建完成的3个独立设计响应
●创建目标函数
从菜单栏：Objective Function→Create，命名为Objective-minVolume，如图12-13以最小化体积设计响应作优化目标。
图 12-14目标函数设置
●创建约束
从菜单栏：Constraint→Create。分别创建对节点D、E设计响应的约束，即约束节点位移：D点Y方向位移≤0.07mm，E点Y方向位移≥ -0.07mm。如图12-15所示。
4、优化结果
●创建并提交优化进程
切换到Job模块，从菜单栏：Optimization →Create。如图12-16创建名称为Opt-process-C-clip的优化进程，并默认设置最大循环次数50作为全局终止条件。
随后从菜单栏：Optimization →Submit：Opt-process-C-clip，提交优化进程。
图 12-15D、E位移约束
图 12-16创建优化进程
●查看优化结果
从菜单栏：Optimization →Results：Opt-process-C-clip，进入后处理模块。
后处理模块下，从工具箱中激活View cut，并打开View cut Manager，对Opt_Surface 进行Cut操作，隐藏材料密度小于0.3倍原始密度的区域，查看优化结果如图12-17所示。
同时，输出优化进程中，目标函数和约束值变化。
操作如下：从工具箱Create XY data：ODB history output，分别输出目标函数体积、约束D点位移变化曲线，整理后如图12-18。
』
图 12-17优化结果
图 12-18目标函数体积和约束位移变化曲线
查看图12-19第36次循环后优化模型位移、应力云图，可与图12-8、图12-9作比较。
图 12-19第36次优化后的位移及应力云图
●导出优化的几何
切换到Job模块，从菜单栏：Optimization →Extract：Opt-process-C-clip，可输出Inp 和STL格式。
5、Inp解释说明
结构分析部分的Inp就不再赘述，在此节选优化迭代中的第36次设计循环的Inp文件：Opt-Process-C-clip-Job_036.inp
*************************************************************************
** NEW ELEMENT SET ADDED BY THE OPTIMIZATION SYSTEM
**重新定义单元集
*ELSET, ELSET=EL_P1_M39
608,
** NEW PROPERTY ADDED BY THE OPTIMIZATION SYSTEM
**对单元集赋予新的材料
*SHELL SECTION, ELSET=EL_P1_M39, MATERIAL=OPT_39
1.0000000, 5
**
** NEW MATERIAL ADDED BY THE OPTIMIZATION SYSTEM
**新添加的材料属性
*MATERIAL, NAME=OPT_39
**新的密度
*DENSITY
8.8200000e-011, 0.00000000,
**新的弹性模量
*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC
0.00013100000, 0.34100000, 0.00000000
**新的塑性应变-应力数据
*PLASTIC, HARDENING=ISOTROPIC
4.7336200e-007, 0.00000000, 0.00000000,
5.0900000e-007, 0.0010040100, 0.00000000,
……
**
』
本12.3.1节完整讲述了C形夹的拓扑优化，在满足强度要求的同时，把体积减少了48%。此外，为了加工制造方便，可加入平面对称限制条件，让优化后的结构具有对称性。
12.3.2 汽车摆臂的拓扑优化
本例以图12-20的汽车摆臂作拓扑优化对象，在满足性能的前提下，最轻化结构。
1、问题描述
此汽车摆臂的有限元模型见图12-20，所用材料为刚材，此模型是小应变，仅设置线性材料，其密度7.85E-006kg/mm^3，杨氏模量200000MPa，泊松比0.3。
此有限元模型，设置了3步线性静力分析步，即3个工况；分别Coupling相应节点到参考点上(A、B、C、D)。
边界条件：约束B点的Y、Z自由度，C点的X、Y、Z自由度，D点的Z自由度；
集中力加载：在1、2、3分析步，分别对A点加载X、Y、Z方向的1000N集中力；
优化目标：最小化体积；
约束条件：在1、2、3分析步，A点合位移分别小于0.05mm、0.02mm、0.04mm；
设计变量：设计区域中的单元密度。
图 12-20汽车摆臂的有限元模型
2、初始设计分析
从光盘打开本节图12-20所示的有限元模型12.3.2_Controlarm_pre.cae，并提交求解。
查看位移云图如图12-21，可大概了解结构的加载变形情况。
查看应力云图如图12-22，可知近蓝色区域应力值几乎为0，即其对结构强度并无贡献，也正是拓扑优化需要删除的区域。