知识梳理
1点到直线距离公式: 教学内容
点P （x o ，y o ）到直线1: ax by c 0的距离为：d ax o by o C
2.已知两条平行线直线l i 和12的一般式方程为 l i : Ax By C , 0 , l 2 : Ax By C 2
，
则l i 与丨2的距离为
d C l C
2 I 3?两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 l i ：y i 2：y k 1x b, k 2x b 2 k1 k2,b1 b2 k
i k 2 1 丨1,丨2有
斜率
4. 5. 已知 圆的方程:
l i ：A i x+B
i y+C i =0, |2：A 2X +B 2y+C 2=0, l i 丄|2的充要条件是 A i A 2+B 1 B 2=O 。 ⑴标准方程：①（X a ）2 (y b)2 r 2 ?，② ⑵一般方程：x 2 2
y Dx Ey 0 ( D 2
E 2 4
F 0)
注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 6?圆的方程的求法： ⑴待定系数法； 7?点、直线与圆的位置关系： ⑴点与
圆的位置关系： ①d R 表示圆 A=CM0 且 B=0 且 D 2+E 2 — 4AF>0 ;
⑵几何法。 （主要掌握几何法）
（d 表示点到圆心的距离） 点在圆上；②d R 点在圆内；③d R
（d 表示圆心到直线的距离） ③d R 相离。 ⑵直线与圆的位置关系： ①d R 相切；②d R 相交; ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距,
R, r 表示两圆半径，且 点在圆外。 ①d R r 相离；②d R r
④d R r 内切；⑤0 d R
外切；③R r d 内含。
R r 相交; 8、直线与圆相交所得弦长|AB| 2J r 2 d 2 9. 过圆x 2+y 2=r 2
上的点M （X o ,y o ）的切线方程为: 10. 以A （x i , y 2）、B （x 2,y 2）为直径的圆的方程
是
2
x o x+y o y=r 2
;
(x — x i )(x — X 2)+(y — y i )(y
— y 2)=0;
二、课堂训练
1.(最值问题)已知实数X 、y 满足方程X 2
y 2
4x 1 0,
(1) 求y 的最大值和最小值；
X
X y 的最大值和最小值;
:方程求最值首推几何法，几何法应用的前提是要熟练的掌握所求表达式的 几何含义。
2.(位置关系)设m,n R ，若直线(m 1)x (n 1)y 2 的取值范围是()
的距离。
. . 2 2
5. (定点问题) 圆 C: (X — 1) + (y — 2) = 25,直线 l : (2 耐 1)x + (耐 1)y = 7耐 4 ( mE R).
(1) 证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2) 求O C 与直线l 相交弦长的最小值.
［解析］(1)将方程(2 m^ 1)x + ( m^ 1)y = 7n u4,变形为(2x + y — 7) m^ (x + y — 4) = 0. 直线l 恒过两直线2x + y — 7 = 0和x + y — 4= 0的交点，
2x + y — 7= 0 由
得交点M 3,1).
又??? (3 — 1) + (1 — 2) = 5<25,.?.点 M 3,1)在圆C 内，.??直线I 与圆C 恒有两个交点. ⑵ 由圆的性质可知，当l 丄CM 时，弦长最短. 又 | CM (3 — 1)2
+ (1 — 2)2
= V 5,
???弦长为 I = 2p r 2
- I CM 2
= 2寸25- 5 = 4^5.
(2)求 (3)求 X 2
y 2的最大值和最小值。
【小结】 2 2
0与圆(x 1) (y 1)
1相切，则m n
【小结】：直线与圆锥曲线相切条件一般情况下需要联立方程令
血=0,而对于圆可特殊的表示为点到直线
3.(对称冋题) 圆 C i ：(X 3)2 (y 1)2
4关于直线 0对称的圆C 2的方程为：()
A. (X
3)2
(y 1)2
B. (X 1)2
(y 3)2
C. (X 1)2
(y 3)2
D.
(X 3)2
(y 1)2
【思考】：
圆关于直线的对称问题实际上是求 圆心关于直线的对称点 ，那直线关于直线的对称问题?
4. (图像法)若曲线y 山 X 2
与直线y
X b 始终有两个交点，贝y b 的取值范围是
【小结】：求直线与圆锥曲线相交弦长一般情况下需要联立方程计算|Za — Xsl，而对于圆可特殊的利用
I = 2庐二乔进行计算。
6.已知过点M 3, 3的直线I与圆x2 y2 4y 21 0相交于A, B两
点,
(1)若弦AB的长为2J15，求直线I的方程;
(2)设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程.
解：(1 )若直线I 的斜率不存在，则I 的方程为
2
x 3，此时有y 4y 12 0，弦
|AB| |y A y B l 2 8，所以不合题意.
故设直线I的方程为3，即kx y 3k 3
将圆的方程写成标准式得 2 225, 所以圆心0, 2，半径r 5 .
圆心0, 2到直线I的距离汨，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以
孕225,即k 3
k21 0,所以k 3.
所求直线I的方程为3x y 12
(2)设P x,y，圆心O1 0, 2 ，连接O i P , 则O i P AB .当x 0且x 3 时，?P k AB 1,
又k AB k MP
y ( 3)
x ( 3)，
Y—- 1，化简得
x 3
(1)
3时, P点的坐标为0
,
2 ,
0,
3
,
2 ,
3
,
3都是方程(1)的解，所以弦AB
中点P的轨迹方程为x
【切点弦方程：过圆C:(x a)2(y 2 2
b) r外一点P(X0, Y c)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为: (x。a)(x a) (y。b)(y b) r2】
7.过点C(6 , - 8)作圆X2+ y2= 25的切线于切点一
- - - 15
2 A B,那么C到两切点A、B连线的距离为( )
A. 15
B. 1
C.
D. 5
【切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,
m 的取值范围是 2710, 2J 5
2屁2尿
【小结】：求动点的轨迹方程是圆锥曲线部分的重要题型，解题思路为先假设动点坐标再找相关关系
式。
2 即 |PT | |PC PD
8.自动点P 引圆 2
y 10的两条切线
(1)若 k , k 2 1，求动点P 的轨迹方程;
(2)若点P 在直线x y m 上，且PA PB ， 求实数 m 的取值范
围。
(1)由题意设P(x o , y o )在园外，切线I: y o k(x X o )
,
kx o y 。
(x 。2 10)k 2 2x o y o k y o 2 10 0
由k 1 k 2 k 1k 2
1得点P 的轨迹方程为X y 2丿5
(2)
P (
x o ,
y o )在直线 x y m 上，
x o y o m
又PA
PB ，
k
1k
2
1, y o 2 10
1
2 1
，即 X
o
2
y o
X o 10
2x o 2
2mx 0 m 2 20 0
又 0，
-2710 m 2710
又X o
2 2
y o
10恒成
立，
m 2或 m 2U 5
。
2
20，将x y m 代入化简得
三、综合强化
1.已知圆 (1)
(2)
x 2+y 2
+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线 y=kx+b 对称,
求k 、b 的值； 若这时两圆的交点为 A 、B,求/ AOB 的度数. 2.若动圆 C 与圆（X-2） 2+y 2=1外切，且和直线 x+1=0相切.求动圆圆心C 的轨迹E 的方程. 3.已知圆 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，说明理由. C: x 2+y 2- 2x +4y — 4=0,是否存在斜率为1的直线I ,使I 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点. 4.
设圆满足（1） y 轴截圆所得弦长为 2.（2）被X 轴分成两段弧，其弧长之比为 3： 1，在满足（1）、（2）的
所有
圆中，求圆心到直线I :X — 2y =0的距离最小的圆的方程.
学生姓名:
、填空题
(1)曲线y=|x-2|-3 与x 轴转成的面积是
(2)已知 M={(x,y)|x 2
+y 2
=1,0 € R}，并且 Min N M ，那么 b 的取值范围 (3) 圆(X — 3) +(y +1) =1关于直线x +2y — 3=0对称的圆的方程是 (4) 直线X — 2y — 2k =0与2x — 3y — k =0的交点在圆 x +y =25上，贝U k 的值是 y =| x |与x 2+y 2=4所围成的图形的最小面积是 () (5) 过点(2 , 1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是 () A.( x — 1)2 +(y — 1)2 =1 B.( x — 1)2+(y — 1)2=1 或(x — 5)2+(y — 5) 2=5 C.( x — 1)2 +(y — 1)2 =1 或(x — 5)2 +(y — 5) =25 D.( x — 5) 2 +(y — 5) 2 =5 二、选择题 (1)由曲线 A.— 4 B. n C.3. 4 D . 3 2 (2)圆 x 2 1与直线xsin y 1 0的位置关系为 A 、相交 B 、相切 C 、相离 相切或相交 (3)已知二元二次方程 Ax 2 +Cy+Dx+Ey+F=Q 贝 U A C 0, D 2 E 2 4 F 是方程表示圆的( ) A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2 2 (4)圆x +y — 2x +4y — 20=0截直线5x — 12y +c =0所得的弦长为 8, 则c 的值是() A. 10 B. 10 或—68 C. 5 或一34 D.— 68
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