典型中考题（有关二次函数的最值）
屠园实验 周前猛
一、选择题
1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )
A. ab D 不能确定 答案：C
2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）
A 、-
74 B C 、2或 D 2或或-74
答案：C
∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.
当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=-74 ，2
765y x 416??=-++
??
?此时 ，它在－2≤x≤l 的最大值是
65
16
，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1 解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.
当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得 m=当m=.它在－2≤x≤l
的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.
综上所述，实数m 的值为2或 . 故选C ．
3． 已知0≤x≤
1
2
，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A C . D. -6
答案：C
解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x ＜2上y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤
12，∴当x=12时，y 取最大值，y 最大=-2（1
2
-2）2+2=．故选：C ．
4、已知关于x的函数.
下列结论：
①存在函数，其图像经过（1,0）点；
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；
③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）
A,1个B、2个 C 3个D、4个
答案：B
分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
③根据二次函数的增减性，即可作出判断；
④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点
的纵坐标表达式，即可作出判断.
解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，
解得：k=0．运用方程思想；
②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；
③假，如k=1，
b5
-=
2a4
，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；
④真，当k=0时，函数无最大、最小值；
k≠0时，y最=
22
4ac-b24k+1
=-
4a8k
，
∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；
当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．
二、填空题：
1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是
答案：12
2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为 时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是
答案：4、4，8
解：设直角三角形得一直角边为x ，则，另一边长为8-x ；设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0 ∴当x=4时，S 最大=8. 及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8. 3、函数2y=24x-x （0x 4） -≤≤的最大值与最小值分别是 答案：2,0 解：24x-x 最小值为0，当4x-x 224x-x 最大，即x=2时，2 4x-x 最大为4， 所以，当x=0时，y 最大值为2，当x=2时，y 取最小值为0 4、已知二次函数y=x 2+2x+a （0≤x ≤1）的最大值是3，那么a 的值为 答案：0 解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0. 5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ． 三、解答题： 1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本 的百分率为x ⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本； ⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值 ⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本） 解：（1）()x -150 ⑵ ()5.9501502 -=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0φx ，∴2.00≤x π 而()()2 150160x x y ---= ＝1040502++-x x ＝ ()184.0502 +--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x π， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元） 说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形： 若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。 若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。 2、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似如果存在，求出点Q 的坐标；如果不 存在，请说明理由． 解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）2+k ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，） ∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A（1，0），B（7，0） ∴0=9a+k② 由①②解得a=，k=﹣ ∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）2﹣ （2）∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD， ∴∠BPM=∠BDO， 又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点P的坐标为（4，） （3）由（1）知点C（4，）， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=， ∴∠ACM=60°， ∵AC=BC， ∴∠ACB=120° ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°∴QN=3，BN=3，ON=10， 此时点Q（10，）， 如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，） ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，）， 经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）． 3、如图，抛物线经过 (40)(10)(02) A B C- ，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM x ⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC △相似若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA △的面积最大，求出点D的坐标． 解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2）， ∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2， 将A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）存在， 如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为， 当1＜m＜4时，AM=4-m ，， ∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当时， △APM∽△ACO， 即4-m=2 ， 解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）； ②当时， △APM∽△CAO， 即， 解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）， ∴当1＜m＜4时，P（2，1）， 类似地可求出当m>4时，P（5，-2）， 当m<1时，P（-3，-14）， 综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）； （3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D 点的纵坐标为，过D作y 轴的平行线交AC于E， 由题意可求得直线AC 的解析式为， ∴E点的坐标为， ∴ ∴ ∴当t=2时，△DAC的面积最大， ∴D（2，1）。 4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF． （1）求线段EF的长； （2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值． 5．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N． (1)求证：MN∥AB； (2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由． （1）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论； （2）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论． 解答 （1）证明：∵△ACD 与△BCE 是等边三角形， ∴AC=CD ，CE=BC ， ∴∠ACE=∠BCD ， 在△ACE 与△DCB 中， ∵AC=CD ∠ACE=∠BCD CE=BC ∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴∠CAE=∠BDC ， 在△ACM 与△DCN 中， ∵∠CAE=∠BDC AC=CD ∠ACM=∠DCN ∴△ACM ≌△DCN ， ∴CM=CN ， 又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC=∠NCB=60° 即MN ∥AB ； （2）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ， 6、如图，在ABC ?中，∠°，10=BC , ABC ?的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设x DE =以为折线将△翻折，所得的DE A '?与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y. （1）．用x 表示ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，的值最大最大值是多少 A 解:(1) ∵ DE ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC ∴2 )(BC DE S S ABC ADE =?? 即 2 41 x S ADE =? (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤ 时 2 41 x S y ADE ==? （3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ∵S △A'DE =S △ADE =241x ∴DE 边上的高AH=AH'=x 21 由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN ∽△A'DE 知 2 DE A'MN A')H A'F A'(=??S S 2 MN A') 5(-=?x S ∴25 1043 )5(41222-+-=--=x x x x y （4）在函数 2 41x y =中 ∵0﹤x ≤5 ∴当x=5时y 最大为：425 在函数25 1043 2-+-=x x y 中 当 3202= -=a b x 时y 最大为：325 ∵425﹤325 ∴当320= x 时，y 最大为：325 7、如图，抛物线22 12 -+= bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与 Y 轴交于C 点， 且A （－1，0）。 （1）求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标 （2）判断△ＡＢＣ的形状，证明你的结论。 （3）点Ｍ（m ，0）是Ｘ轴上的一个动点， 当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，求m 的值 解：（1）将A （－1，0）代入22 12 -+=bx x y 得23-=b ，所以抛物线的解析式22 3 212--=x x y 配方得：825)23(212--=x y ，所以顶点D ?? ? ??-825,23（2）求出AC=，BC=，而AB=5 ∴222AB BC AC =+，故△ＡＢＣ为RT △ （3）作点C 关于X 轴的对称点E （2，0）， 连接DE 交X 轴于点M ，通过两点式可求得直线DE 的 解析式：21241+-=x y ，当=0时，解得x =41 24 ∴Ｍ（4124，0）即m=41 24 8．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （12，5 2 ）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标． A B O C D E M Y 分析： （1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上， ∴m=4+2=6，∴B（4，6）， ∵A（1 2 ， 5 2 ）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴5 2=（ 1 2 ）2a+ 1 2 b+6，6=16a+4b+6 解得a=2，b=-8 ∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6）， =-2n2+9n-4， =-2（n-9 4 ）2+ 49 8 ， ∵PC＞0，∴当n=9 4 时，线段PC最大且为 49 8 （3）∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°． 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°． 如答图3-1，过点A（1 2 ， 5 2 ）作AN⊥x轴于点N，则ON= 1 2 ，AN= 5 2 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=5 2 ，∴OM=ON+MN=+ 5 2 =3， ∴M（3，0）． 设直线AM的解析式为：y=kx+b， 则：1 2 k+b= 5 2 ，3k+b=0，解得k=-1，b=3 ∴直线AM的解析式为：y=-x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=1 2 （与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M重合． 当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）； iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． 如答图3-2，作点A（1 2 ， 5 2 ）关于对称轴x=2的对称点C， 则点C在抛物线上，且C（7 2 ， 5 2 ） 当x=7 2 时，y=x+2= 11 2 ， ∴P2（7 2 ， 11 2 ）． ∵点P1（3，5）、P2（7 2 ， 11 2 ）均在线段AB上， ∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（7 2 ， 11 2 ）。 二次函数应用题 一、选择题 1．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s 2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A．5元B．10元C．0元D．3600元 3．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为 ，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ) A．10m B．20m C．30m D．60m 4．由表格中信息可知，若设，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( ) x -1 0 1 1 8 3 A．B． C．D． 5．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(米)与时间t(秒)间的关系式为 ，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( ) A．24米B．12米C．米D．6米 6．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为，则该企业一 年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月 8．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大 二、填空题 9．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN 第4课时 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动． （1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案： 63 363 3360726612626262 1 )1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米 则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -= x x 3442 +-= 一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． （2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． （2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上． 二次函数最值问题专题资料 名校冲刺班一题80问（最值篇） 01、如图，二次函数212124 y x x =-++与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于D 点，对称轴为直线l . （1）若E 为l 上一动点，求DE BE +的最小值，并求出此时E 点的坐标； （2）若E 为l 上一动点，求DE EC -的最大值，并求出此时E 点的坐标； （3）若K 为直线CD 上一动点，求BK OK +的最小值，并求出此时K 点坐标； （4）若F N 、分别为直线CD 、x 轴上的动点，求DN FN BF ++的最小值，并求出此时F N 、的坐标； （5）若R 为y 轴上一点，满足CR BD ⊥，S T 、为直线CD 上的动点，且满足2ST =，求 RS ST TO ++的最小值，并求出此时tan TOC ∠的值； （6）若M 点从C 点出发，以1个单位每秒的速度运动到y 轴，再以10个单位每秒的速度 沿着y 轴运动到D 点，求从C 点到D 点的最短时间； （7）若一点从O 点出发以1个单位每秒的速度先到达直线BD 上一点Z ，再从Z 到达y 轴 上一点K ，求整个过程的最短时间； （8）E 为对称轴与x 轴的交点，从E 出发以1个单位每秒的速度运动到直线CD 上一点F ， 再从F 运动到y 轴，求整个运动过程的最短时间； （9）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作y 轴平行线交线段CD 于R ，求线段QR 的 最大值； （10）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作QS 垂直于直线CD ，求QS 的最大值； （11）如图，Q 为一象限抛物线上一点，连接BQ 交直线CD 于点R ，求QR BR 的最大值； （12）如图，Q 为一象限抛物线上一点，求DQC 面积的最大值； 典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验周前猛 一、选择题 1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( ) A. ab D不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A、- 7 4 B、3或-3 C、2或-3D2或-3或- 7 4 答案：C ∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 7 4 ， 2 765 y x 416 ?? =-++ ? ?? 此时，它 在－2≤x≤l的最大值是65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符. 当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m的值为2或-3. 故选C． 3．已知0≤x≤1 2 ，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C 解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是 二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值． 二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（） A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．二次函数应用题(含答案)
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