圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)特殊情形如下表
圆心位置极坐标方程图形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r
(0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)
ρ＝2r cos θ
(－
π
2
≤
θ<
π
2
)
圆心在点(r，
π
2
)
ρ＝2r sin θ
(0≤θ<π)
圆心在点(r，π)
ρ＝－2r cos
θ
(
π
2
≤θ<
3π
2
)
圆心在点(r，
3π
2
)
ρ＝－2r sin
θ
(－π<θ≤0)
(2)00|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.
1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( )
A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线
B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线
C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆
D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆．
2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( )
A ．ρ＝1
B ．ρ＝cos θ
C ．ρ＝2cos θ
D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C.
3．极坐标方程ρ＝cos ? ??
??π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆
解析：选D.ρ＝cos ? ????π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，
所以ρ2
＝22ρcos θ＋2
2ρsin θ， 即x 2
＋y 2＝
22x ＋22
y . 化简整理得?
?
???x －242＋? ????y －242＝14，表示圆．选D.
4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．
解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2
＝π. 答案：π
圆的极坐标方程
求圆心在C ?
????2，
3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点?
????－2，sin 5π6是否在这个圆上．
[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，
A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .
在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ? ????3π2－θ， 所以ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ?
??
??
4，
3π2的坐标满足上式． 所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. 因为sin
5π6＝12
， 所以ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π
6＝－2，
所以点?
????－2，sin 5π6在此圆上．
求曲线的极坐标方程的五个步骤
(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出
等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)．
[注意] 求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.
求圆心在C ?
??
??
2，
π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得 |OM |2
＋|OC |2
－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2
，
即ρ2
－22ρcos ? ????θ－π4＋1＝0.
当O ，C ，M 三点共线时，
点M 的极坐标?
??
??
2±1，
π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为
ρ2－22ρcos ?
??
??
θ－π4
＋1＝0.
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x； (2)x2＋y2－2x－1＝0； (3)ρ＝
1
2－cos θ
.
[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.
化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)因为ρ＝1
2－cos θ
，
所以2ρ－ρcos θ＝1.
所以2x2＋y2－x＝1.
化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y＝3x；(2)x2－y2＝1.
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x得ρsin θ＝3ρcos θ，从而
θ＝π
3
.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
化简，得ρ2＝
1
cos 2θ
.
2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝1；
(2)ρ＝2cos?
?
??
?
θ－
π
4
.
解：(1)因为ρ2
cos 2θ＝1， 所以ρ2
cos 2
θ－ρ2
sin 2
θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x 2
－y 2
＝1.
(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4
＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2
＝2
ρcos θ＋2ρsin θ.
所以化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x －2y ＝0.
求相关动点的极坐标方程
从极点O 作圆C ：ρ＝2a cos θ的任意一条弦ON ，求各弦的中点M 的极坐标方
程．
[解] 法一：如图所示，圆C 的圆心C (a ，0)，半径r ＝|OC |＝a ，
因为M 为弦ON 的中点，连接CM .
所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上， 所以动点M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ. 法二：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． 因为N 点在圆ρ＝2a cos θ上， 所以ρ1＝2a cos θ1.① 因为M 是ON 的中点，
所以?????ρ1＝2ρ，
θ1
＝θ.
将它代入①式得2ρ＝2a cos θ，故M 的极坐标方程是ρ＝a cos θ.
将本例中所求得的中点M 的极坐标方程化为直角坐标方程．
解：因为ρ＝a cos θ，所以ρ2
＝a ·ρcos θ， 所以x 2
＋y 2
＝ax ，
所以中点M 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－ax ＝0.
本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程．求解时找出等量关系，代入化简即可．
从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使
OP PQ ＝2
3
，求点Q 的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？
解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，
ρ0ρ－ρ0＝23，所以ρ0＝2
5
ρ，因为ρ0
＝2cos θ0.所以2
5
ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例
如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ? ????π4，π4可以表示为? ????π4，π4＋2π或? ????π4，π4－2π或
? ????－π4，5π4等多种形式，其中，只有? ??
??π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.
2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化
与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化．
3．求曲线的极坐标方程
求解步骤与直角坐标系中求曲线方程的步骤基本相同．较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化．
4．极坐标方程表示的曲线形状的判断方法
极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状．
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A ．直线
B ．射线
C ．圆
D ．半圆
解析：选C.因为ρ＝1，所以ρ2
＝1，所以x 2
＋y 2
＝1.所以表示圆． 2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )
解析：选C.如图所示．
设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，
在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，
即ρ＝2r sin θ＝a sin θ.
3．把圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ转化为直角坐标方程为______________，圆心的直角坐标为________．
解析：因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入得直角坐标方程为x2＋y2＝2x，其圆心坐标为(1，0)．
答案：x2＋y2＝2x(1，0)
4．写出圆心在(1，－1)处，且过原点的圆的极坐标方程．
解：圆的半径为r＝2，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
变形得x2＋y2＝2(x－y)，
用坐标互化公式得ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，
即ρ＝2cos θ－2sin θ.
[A 基础达标]
1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )
A．ρ＝22cos θ B．ρ＝－22cos θ
C．ρ＝22sin θ D．ρ＝－22sin θ
解析：选B.如图所示，P(2，π)，
在圆上任找一点M(ρ，θ)，
延长OP 与圆交于点Q ，
则∠OMQ ＝90°，在Rt △OMQ 中， |OM |＝|OQ |·cos ∠QOM ， 所以ρ＝22cos (π－θ)， 即ρ＝－22cos θ.选B.
2．x 2
＋y 2
－4x ＝0的极坐标方程为( )
A ．ρ＝2cos θ
B ．ρ＝2sin θ
C ．ρ＝4cos θ
D ．ρ＝4sin θ 解析：选C.把x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ，x 2
＋y 2
＝ρ2
代入得ρ2
－4·ρ·cos θ＝0，
所以ρ＝0或ρ＝4cos θ.
又极点也在ρ＝4cos θ上，故选C.
3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )
A.?
????5，－2π3 B ．? ????5，2π3 C.? ????5，π3 D ．? ??
??5，5π3
解析：选D.因为ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， 所以ρ2
＝5ρcos θ－53ρsin θ， 所以x 2
＋y 2＝5x －53y ， 所以? ????x －522＋? ????y ＋5322＝25，
所以圆心C ? ????5
2
，－532，ρ＝
254＋75
4
＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π
3
，
所以圆心C 的极坐标为C ?
?
?
??5，
5π3. 4．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．22
解析：选D.两圆的直角坐标方程分别为
? ????x －122＋y 2＝14，x 2＋? ????y －122
＝14
， 圆心分别为? ????12，0，? ??
??0，12， 圆心距d ＝14＋14＝22
， 故选D.
5．极坐标方程ρ＝cos(π
4
－θ)表示的曲线是( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．圆 解析：选D.因为ρ＝cos ? ????π4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin θ)， 所以ρ2
＝
2
2
(ρcos θ＋ρsin θ)， 所以x 2
＋y 2＝22x ＋22y ，即?
?
???x －242＋? ????y －242＝14.
6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．
解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2
＝2ρsin θ，所以 x 2
＋y 2
＝2y ， 即x 2
＋y 2
－2y ＝0. 答案：x 2
＋y 2
－2y ＝0
7．圆心在点(3，π)处，半径为3的圆的极坐标方程为____________．
解析：如图所示C (3，π)，A (6，π)，设M (ρ，θ)为圆上异于O 、A 的任一点，连接
OM ，AM ，则OM ⊥AM ，|OA |＝6为圆C 的直径，在Rt △OMA 中，∠AOM ＝π－θ或θ－π，
因为|OM |＝|OA |cos (π－θ)， 所以ρ＝6cos (π－θ)，
即ρ＝－6cos θ，验证知O 、A 也适合， 所以所求圆的极坐标方程为ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π
2
)． 答案：ρ＝－6cos θ(π2≤θ≤3π
2
)
8．在极坐标系中，若过点A (3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝________．
解析：由题意知，直线方程为x ＝3， 曲线方程为(x －2)2
＋y 2
＝4， 将x ＝3代入圆的方程， 得y ＝±3，则|AB |＝2 3. 答案：2 3
9．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2
＋y 2
－2x ＝0；
(2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2
＝cos 2
θ.
解：(1)因为x 2
＋y 2
－2x ＝0， 所以ρ2
－2ρcos θ＝0. 所以ρ＝2cos θ.
(2)因为ρ＝cos θ－2sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. 所以x 2
＋y 2＝x －2y ， 即x 2
＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)因为ρ2
＝cos 2
θ，
所以ρ4
＝ρ2
cos 2
θ＝(ρcos θ)2
. 所以(x 2
＋y 2)2
＝x 2
， 即x 2
＋y 2
＝x 或x 2
＋y 2
＝－x .
10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝3π
4对称的圆的极坐标方程．
解：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求． (2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝
3π4对称的点为? ??
??ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ? ??
??3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．
[B 能力提升]
11．以极坐标系中的点(1，1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ? ????θ－π4 B ．ρ＝2sin ? ????θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)
解析：选C.在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为：r 2
＝ρ2
0＋ρ2
－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
12．在极坐标系中，已知点P ? ????2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ? ??
??θ＋π3 上的动点，则|PQ |
的最小值是________．
解析：已知圆的圆心为C ? ??
??1，53π，半径为1，将点P ，C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ? ????1
2
，－32.
由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径，即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝
? ????－1－122
＋? ?
?
??3＋322－1＝3－1＝2. 答案：2
13．设点M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于点P ，求P 点的极坐标方程．
解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点． 因为MP ⊥MA ，
所以|MA |2
＋|MP |2
＝|PA |2
. 由余弦定理，可知
|MA |2
＝a 2
＋r 2－2ar cos θ， |MP |2
＝a 2
＋ρ2
－2aρcos θ. 而|PA |＝r －ρ，
由此可得a 2
＋r 2
－2ar cos θ＋a 2
＋ρ2
－2aρcos θ＝(r －ρ)2
. 整理化简，得ρ＝
a (a －r cos θ)
a cos θ－r
.
14．(选做题)在极坐标系中，已知圆C 的圆心为?
??
??
3，
π3，半径为3，点Q 在圆周上运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若点P 是OQ 的中点，求点P 的轨迹．
解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，OD 为直径，连接DQ ，OQ ，则|OD |＝6，
∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π
3
，
因为∠DQO ＝π
2
.
所以在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos ?
?
?
??θ－π3， 即ρ＝6cos ? ????θ－π3. (2)若P 的极坐标为(ρ，θ)， 则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． 所以2ρ＝6cos ? ????θ－π3， 所以ρ＝3cos ? ????θ－π3. 所以P 的轨迹是圆．
2012—2013学年下学期高二文数学案第4周 第三节 圆的极坐标方程（第1课时） 学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解 学习重点：圆的极坐标方程的求法 学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用 学习过程： 一、复习引入 问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 二、新知探究 1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①， 可以验证点(0,)2 O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条 件.反之，适合等式①的点都在这个圆上. 2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 三、例题展示 类型一：圆心在极点的圆 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 类型二：圆心在极轴上且过极点的圆 例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？ 类型三：圆心在点?? ? ??2,πa 处且过极点的圆
例3：求圆心在?? ? ??2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？ 变式训练：求下列圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程； （2） 圆心为2π（，） ，半径为2的圆的极坐标方程； （3） 圆心在3(2,)2 A π处并且过极点的圆的方程。 类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化 例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。 变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。 （1）cos 2ρθ= （2）=2cos ρθ （3）2cos 22ρθ = （4）11cos ρθ=- 四、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A.2cos 4πρθ??=- ??? B.2sin 4πρθ??=- ??? C.()2cos 1ρθ=- D.2sin(1)ρθ=- 2.将下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1) 22230x y x y + -+= (2) 210x y -+= (3) 22x y +=９ (4) x =３ 3.说明下列极坐标方程表示什么曲线 （1）π ρθ＝２cos(-) 4（2）πρθ＝cos(-)3（3）sin ρθ＝3 (4) ρ＝６
师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢？我们一起来探讨一下下面的问题。 探究：如图，半径为a 的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？ (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系 中求曲线方程的一般步骤。 生众：建系→设点→列式→化简→结论 师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系， 设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA ？ 生众：2a 师： 设),(θρM 为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则⊥OM ？ 生众：AM 师：在AMO RT ?中，=||OM ？ ，即=ρ ？ 生众：ρ=||OM ，θθρcos 2cos a OA =?= ······① 师：注意，我们可以可以验证，点O （0,0） ，A （2a ，0） 的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件。， 师：像这样（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程 【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。 （教师板书） 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？
圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 (2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r, https://www.doczj.com/doc/5812458371.html,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.
o
1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（） A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 ?过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线 C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ?以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选 D.由极 坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆. 2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ? p=2sin8 解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在 （1 , 0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2 所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0, 即 x 2 + y^=2 2x+ 2y ? 2 2 2 2 ］ _ 化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ? 4 4 4 4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ? 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗? 答案：u 圆的极坐标方程 3TT 求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点 是否在这个圆上. ［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0, A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA. 3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（） -rr-i ?椭 A.双曲线 B 闾 C.抛物线 解析：选D.p TT cos K 4 —0 IT =cos cos 0+sin A D ?圆 K 4 sin 0 = 2 2 COS 0 + 2 2 sin 0, 5TT —2, sin 6
三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程
§1.3 直线与圆的极坐标方程 撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________ 授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________ 【学习目标】 1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程； 2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义； 3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点难点】 重点：直线和圆的极坐标方程的求法 难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【自主探究】 探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？ 探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义; 3、求曲线方程的步骤; 【合作探究】 探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？ 探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。 教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案：cos 1ρθ=- 例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。 分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。 反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。 例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。 学生练习，准对问题讲评。 变式训练：求圆心在)2 ,3(π A 且过极点的圆A 的极坐标方程。 【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3 小结：本节课学习了以下内容： 1．如何求直线和圆的极坐标方程 。 2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。 3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。 【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1 【教学反思】
圆的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心在点(r，0) ρ＝2r cos θ (－ π 2 ≤ θ< π 2 ) 圆心在点(r， π 2 ) ρ＝2r sin θ (0≤θ<π) 圆心在点(r，π) ρ＝－2r cos θ ( π 2 ≤θ< 3π 2 ) 圆心在点(r， 3π 2 ) ρ＝－2r sin θ (－π<θ≤0) (2)00|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.
1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( ) A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线 B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线 C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆 D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆． 2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C. 3．极坐标方程ρ＝cos ? ?? ??π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 解析：选D.ρ＝cos ? ????π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ， 所以ρ2 ＝22ρcos θ＋2 2ρsin θ， 即x 2 ＋y 2＝ 22x ＋22 y . 化简整理得? ? ???x －242＋? ????y －242＝14，表示圆．选D. 4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________． 解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2 ＝π. 答案：π 圆的极坐标方程 求圆心在C ? ????2， 3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点? ????－2，sin 5π6是否在这个圆上． [解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ， A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF + 为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：2 2 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =u u u r u u u r ，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程． 3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一． [基础·初探] 圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝θ)，(***) 其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e＜1时，方程ρ＝θ)表示椭圆； 当e＝1时，方程(***)为ρ＝θ)，表示抛物线； 当e＞1时，方程ρ＝θ)表示双曲线，其中ρ∈R. [思考·探究] 1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？ 【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝θ)的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝θ)，则e＝，表示椭圆． 2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？ 【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑：
疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 疑问4： 解惑： 已知A、B为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上两点，⊥(O为原点)．求证：＋为定值． 【自主解答】以O为极点，x轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x＝ρθ，y＝ρθ，代入＋＝1中得＝＋.设A(ρ1，α)，＋＝＋＝＋(为定值)．[再练一题] 1．本例条件不变，试求△面积的最大值和最小值． 【解】由例题解析得，S△＝ρ1ρ2， 而ρ1＝， ρ2＝， ∴S△＝· ＝· ＝ ∴当2α＝1时，(S△)＝； ∴当2α＝时，(S△)＝. 过双曲线－＝1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，求. 【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求.
5 圆的极坐标方程 主备： 审核： 学习目标： 1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形； 2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法. 学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题： 1．直角坐标系中，单位圆221x y +=在极坐标系中如何表示？ 答：1ρ= 2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：可以，可以表示为2ρ=. 二、新课导学： （一）新知： 1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程. 图3 图2 图1 C C O P x O P x O x P 设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ， （1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=. （2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形O P A 中，cos 2a ρθ= ，即 2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. （3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则P B O θ∠=，在直角三角形PBO 中， sin 2PBO a ρ ∠=，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. 按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：
图5 图4 （4）图4中，设直线O C 与圆交于点A ，则32 POA π θ∠=-， 在R t P O A ?中，3cos()22a ρπθ- =，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则P O A πθ∠=-， 在R t P O A ?中，cos()2a ρπθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程. （二）典型例题： 【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在OPM ?中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =， P O M θ∠=，由余弦定理可得： 222 cos 2a R a ρθρ +-=， 即 0cos 2222=-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程. 动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦O P 的中点为(,)M ρθ，连M A ， 在R t A M O ?中，cos 4 ρθ= ，所以，所求方程为 4cos ρθ=. 【例2】（1）化在直角坐标方程082 2 =-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3 cos(6π θρ- = 为直角坐标方程. 【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθρθ=??=? ，得： 2222 cos sin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=. (2) 将)3 cos(6π θρ- =展开，得6cos cos 6sin sin 3 3 π π ρθθ=+， P O y x M M A x P
《圆的极坐标方程》案例 一、教学目标： 知识目标：认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线的直角坐标方程的区别与联系，掌握各种圆的极坐标方程，能 根据圆的极坐标方程画出其对应的图形 能力目标：通过求圆的极坐标方程，培养学生的转化能力和全面分析问题 的能力，帮助学生进一步认识极坐标系的作用。 情感目标：通过求圆的极坐标方程．培养学生数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。 M.
x C(a,0) O 它们的互化公式是什么 生3：直角坐标化为极坐标 )0(tan ,222≠=+=x x y y x θρ 极坐标化为直角坐标θρθρsin ,cos ==y x 师：这些是我们上一节课所学习的极坐标知识。在前面我们已经学习了简单曲线的直角坐标方程。这一节课开始，我们将共同来探讨简单曲线的极坐标方程。 【设计意图】由极坐标系的定义、极坐标的表示以及极坐标与直角坐标的互化导入新课，一方面是对已经学习的知识点的复习巩固，另一方面是因为这部分的知识与新课内容有很大的联系，除了能自然地过渡到新课内容，还有利于新知识的学习。 2、共探新知 师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢我们一起来探讨一下下面的问 探究：如图，半径为a 的圆的圆 心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等 式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件吗 (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系中求曲线方程的一般步骤。
1.3.1圆的极坐标方程（教学设计） 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线与方程。 2、圆的标准方程。 3、圆的一般方程。 4、极坐标与直角坐标的互化。 平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： ???==θρθρsin cos y x ?? ???≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 5、正弦定理。 6、余弦定理。 二、师生互动，新课讲解： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲 线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程 的曲线。 例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝ r
④证明或说明. ()()12343,0,,,,,,22 . 1C a C a C a C a πππ???? ? ?????变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程： 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3) ρ＝-2acos θ (2) ρ＝-2asin θ 例2.求圆心在(ρ0，θ0 )，半径为r 的圆的方程 2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。 222225sin cos 5sin 55(()2522 5 (,),5 22x y y x y ρθθρρθρθ-+=--++=-＝两边同乘以得 ＝－即化为直角坐标为 即所以圆心为解半径是： 38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。 (4,0), 4, , 4cos C r OC CM M ON CM ON M ρθ ==∴⊥如图，圆的圆心半径连结，是弦的中点, 所以，动点的轨迹方程是＝解： [解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ， 故其极坐标方程为 r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)． 1 10(cos sin )10cos(), 26(5,),5,6π ρθθθπ -?=+-解：原式可化为 ＝所以圆心为半径为
§1.3.1 圆的极坐标方程 教学设计思考： 本节内容是节选自人教版选修4--4第一讲第三小节第一部分，它是在学生学习了极坐标系、极坐标与直角坐标互化的基础之上学习的，学生初次接触极坐标系，相对与直角坐标系来说，接受起来显得会更加困难一些，毕竟直角坐标系从初中就开始接触啦！加之，2017年考试大纲的要求是学生能进行极坐标和直角坐标的互化，以及能在极坐标系中求出简单图形的方程.同时参考2015年全国II卷文理试卷的考查方式不难发现，对于圆的极坐标方程，高考主要考察特殊位置的圆的极坐标方程，2015年全国I卷理科试卷中涉及到圆的一般极坐标方程，但只是要求将圆的一般式方程化成极坐标方程.因此，本节课的知识设计力求简单，且主要研究特殊位置下的圆的极坐标方程，对于一般式方程留做课后思考题处理. 本堂课，先利用预习学案让学生明了本节课的主要知识，同时在预习学案中，设计了让学生将已经熟悉的几种特殊位置的圆的直角坐标方程化成极坐标方程，旨在让学生通过互化来认识这几种特殊位置下的圆的极坐标方程形式，让学生对结果先有一个初印象，在通过课堂上的推导过程起到一个验证作用，使学生更容易接受这样的结果形式.另外，对于方程形如ρ=2acosθ（a<0）和ρ=2asinθ（a<0)的情况，一是可以习题课上处理，而是等到学完直线的极坐标方程后一起处理. 在课中，根据新课标要求，采用启发诱导、自主探究、合作交流的学习模式；课后作业设计分成几个层次，使不同的人在自己已有
的基础之上得到不同的发展. 同时，本堂课荣获全市同课异构大赛一等奖，当时效果很不错。不过，学生在学习本节内容后还需要做足够的练习来巩固消化，毕竟对学生来说，极坐标是个全新的概念。
1.3.1圆的极坐标方程(教学设计)
1.3.1圆的极坐标方程（教学设计） 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线与方程。 2、圆的标准方程。 3、圆的一般方程。 4、极坐标与直角坐标的互化。 平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和) ,(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： ?? ?==θ ρθ ρsin cos y x ? ? ???≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 5、正弦定理。 6、余弦定理。 二、师生互动，新课讲解： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在 曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？
①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. ()()12343,0,,,,,, 22 .1C a C a C a C a ππ π???? ? ????? 变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程： 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3) ρ＝-2acos θ (2) ρ＝-2asin θ 例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程 2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。 222225sin cos 5sin 5 5()()2522 5 ),52 x y y x y ρθθρρθρθ-+=--++=-＝两边同乘以得 ＝－即化为直角坐标为 即所以圆心为解半径是： 38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。 [解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ， 故其极坐标方程为 r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)． 110(cos sin )10cos(),26 (5,),5,6 πρθθθπ -?=+-解：原式可化为 ＝所以圆心为半径为