提公因式法（基础）
【学习目标】
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏
掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、（2016?石家庄校级模拟）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A．6a2b2=3ab?2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1
C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．
【答案】C.
【解析】A 、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；
B 、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C 、a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4），符合题意；
D 、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．
故选：C ．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：
【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A.a 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21
B.a 2
+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）
C.（a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21
D.a 2+4a ﹣21=（a+2）2﹣25
【答案】B.
类型二、提公因式法分解因式 2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；
(2)多项式32
4168mn m m --的公因式是________；
(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；
(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．
【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .
(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
A ．2x y -
B ．22x x +
C ．2x y 2+
D ．2x xy y 2-+
3、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）
A ．1q p --
B ．q p -
C ．1p q +-
D ．1q p +-
【答案】C ；
【解析】
解：()()23p q q p ---=()()2
1q p p q -+-．故选C ．
【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）
A ．1m +
B ．2m
C ．2
D ．2m +
【答案】D ；
解：()()()111m m m +-+-，
＝()()111m m -++，
＝()()12m m -+． 4、（2015春?新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.
【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x+2y ）．
【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A ．()222
129343abc a b c abc ab -=- B ．()
2233632x y xy y y x x y -+=-+
C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+
D ．()
2255x y xy y y x x +-=+
解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误；
B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误；
C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；
D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误．
类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.
【答案与解析】
解： 由0232=-+x x ，得232x x +=
()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=?-=.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2016?长沙模拟）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bx
B ．x 2﹣1+y 2=（x ﹣1）（x +1）+y 2
C ．y 2﹣1=（y +1）（y ﹣1）
D ．ax +by +c=x （a +b ）+c
2.（2014春?东营区校级期末）多项式6ab 2c ﹣3a 22bc+12a 2b 2的公因式是（ ）
A.abc
B.3a 2b 2
C.3a 2b 2c
D.3ab 3. 多项式32n n n a a
a +-+分解因式的结果是（ ） A.()321n a a a
-+ B. ()22n n a a a -+ C. ()221n n a a a -+ D. ()31n n a a a -+
4. 分解因式()()2552x y x -+-的结果是（ ）
A. ()()251x y -+
B. ()()251x y --
C. ()()521x y -+
D. ()()521x y --
5. 下列因式分解正确的是（ ）
A.()()()m a b n a b a b mn -+-=-
B.()()()()m x y n y x x y m n ---=--
C. ()()1mn x y mn x y mn ++=++
D.()()()()232232y x x y x y x y -+-=---
6. 把3223284x y x y xy ++提公因式得（ ）
A ．2232(42)x x xy y ++
B ．32232(42)x y x y xy ++
C ．222(42)xy x xy y ++
D ．22(4)xy x xy +
二.填空题
7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.
8. ,,ax ay ax -的公因式是___________；236,2,4mn m n mn -的公因式是__________.
9. （2016?南京）分解因式：2a （b +c ）﹣3（b +c ）= ．
10. 多项式33222339a b a b a b --的公因式是______________.
11.（2015?澄海区一模）分解因式：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=_____________________.
12. 因式分解243210515m n m n m n -+-＝_____________________.
三.解答题
13. 应用简便方法计算：
（1）1098222--； （2）16 3.148 3.1426 3.14?+?+?
14.已知1,3a b ab +==-，求22a b ab +和3322a b ab +的值.
15.（2014春?常州期中）分解因式：6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C ；
【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
因式分解---------提公因式法 下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 （1）)2(3362 2 3 b a a b a a -=- （2）)1(2 3 2 x x x x --=+- （3）))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= （4）)3)(2(--x x 652+-=x x （5）㎡=m ×m （6）㎡+m=m 3（ ） 二、用提公因式法因式分解(一) （1）332168b a ab - （2）22mn n m +- （3）2 515x xy -- （4）3224 1ab b a - （5）ab b a b a -+2233 （6） 3 22316128ay y a y a -+- （7）am m a m a 126323+--（8）xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) （1）2 )()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+- （3）)(2)(62 n m n m +-+（4）)(2)(32 y x x y -+- （5）)()(3y x x y x ----（6）2 2 )()(m n n n m m --- （7）)(4)(6p q q q p p +-+ （8）)(4)(122 x y ab y x b a --- （9）))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) （1）)(2)(72a b y b a x --- （2） )3()3(52 2x a x --- （3） 23)()(2b a b a +-+ （4）2 22)3()3(a b x b a x --- 5）)(3)(2p q b q p a ---（6）2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- （7）2 )1()1(---a a a （8）2 2 )()()(b a b a b a --+- （9）)1()1(2)1(3x c x b x a -+---- （10）)32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) （1）2 )())((y x x y x y x x +--+
提公因式法分解因式专项练习题 提公因式法（1） （一）课堂练习 一、填空题 1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式______________。 2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。 (1)x 2-5xy _________ (2)-3m 2+12mn _________ (3)12b 3-8b 2+4b _________ (4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)21a 2 -a=21 a( ) 二、选择题 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4 (C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y) (C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是（） (A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y) (C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2 +ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是（） (A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 2 5.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是（） (A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 3 6.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是（） (A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z 7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于（ ） (A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 2 8. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x 1(x 2+2x) ④
因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+
【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式
4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）
《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★ 知识体系梳理 ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积） 注意： 、因式分解对象是多项式； 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止； 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性； ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 （1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 （2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个
多项式因式都再不能分解为止。 （3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。 ◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： （1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 （2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因
因式分解练习题(提取公因式) 知识点一 因式分解的定义理解 把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 【例题 】 1．下列变形是分解因式的是( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、2222)1(xy y x x xy -=- B 、)3)(3(92-+=-x x x C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- D 、c b a x c bx ax ++=++)( 3、下列分解因式结果正确的是( ) A. a 2b +7ab －b =b (a 2+7a ) B. 3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2) C. 8xyz －6x 2y 2=2xyz (4－3xy ) D. －2a 2+4ab －6ac =－2a (a －2b －3c ) 知识点二：确定多项式的公因式的方法 1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、找公因式的方法 【例题】 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2 410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 【专项训练】 一、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+
1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?
因式分解概念及提公因式法 学科： 任课老师： 学生： 上课时间： 课次： 一：知识点 1、【因式分解】： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 说明可以从下述几方面了解这个概念： 1、因式分解是对多项式而言，是把多项式进行因式分解，这是因为单项式本身已经是整式的积的形式。 2、因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，即被分解的式子及分解 的结果都是整式。如)1)(1(1 11)1)(1(1-+-=--+=+a a a a a a a ，由于结果中出现了分式1 1-a ，所以不是因式分解。 3、因式分解最后的结果应当是“积”，否则就不是因式分解。如()43432--=--x x x x ，就不是因式分解。 2、【公因式】： 多项式各项都有的一个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 3、【提公因式法】 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即 ma+mb+mc=m(a+b+c) ． （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号第一项 的系数是正的，并且注意括号其它各项要变号。
（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c变成-（c-a-b）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 二、容讲解 考点1：因式分解的概念 例1：1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（） A．（x﹣1）（x+1）=x2﹣1B．ax﹣ay+1=a（x﹣y）+1 C．8a2b2=2a2×4b3D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2） 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A．m2+n2=（m+n）2B．x2﹣1=x（x﹣）: C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2﹣2D．x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y） 总结： 。 动动手：1．下列从左到右的变形中是因式分解的是（） A．（x+y）2=x2+2xy+y2B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．m2+m﹣3=m（m+1）﹣3D．5x2﹣3xy+x=x（5x﹣3y）
因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。
（4）-24x 3 –12x 2 +28x (注意：提公因式后括号内各项的符号)
二、自学新知 阅读课本P1——P4的内容，思考下列问题： 因数：如8=2×4，则 与 都是8的一个因数。 素数（质数）：因数只有1和它 的正整数叫作素数。 如：2，3,5,7，11 3、36与60的最大公因数是 4、因式：一般地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh,那么 和 叫作f 的一个因式。 如：ma+mb+mc = m(a+b+c)，则ma+mb+mc 的因式是 和 ； a 3 -a= a(a+1)(a-1)，则a 3 -a 的因式是 、 和 5、因式分解：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。 如：a 3 -a= a(a+1)(a-1)，就叫把a 3 -a 因式分解。 三、合作讨论: 探究一、整式乘法与因式分解的关系 1、计算：公式：()()a b a b +-= 2 ()a b + = 2()a b -= (1)单?单：34a ab ?= (2) 单?多：(35)a a b -= (3) 多?多：(3)(2)x y x y -+= 2、因式分解：由上述计算可知： （1）22a b -= 22 2a ab b ±+= (2) 235a ab -= ( 3) 22253x xy y --= 归纳：（1）、整式乘法与因式分解的关系是 （2）、因式分解的特点是： 探究二、判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解 下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a （2）4x 2 y –8xy+1=4xy(x –y)+1 （3）a(a –b)=a 2–ab （4）a 2–2ab+b 2 =(a –b)2 探究三、因式分解的简单应用：解方程 解方程：x 2-4=0 (提示：如果A ×B=0，那么A=0或B=0) 四、课堂展示: 1、等式22 25(5)(5)a b a b a b -=+-从左到右的变形叫做____,从右到左的变形叫做___ ,它们是互逆过程。 2、下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是( ) A 、2(1)(1)1x x x +-=- B 、2 21(2)1x x x x -+=-+ C 、 22 ()()a b a b a b -=+- D 、()()mx my nx ny m x y n x y +++=+++ 3、已知多项式2 15x mx -+可分解成(3)(5)x x --,则m 的值为____。 五、课堂小结 因式分解的目的是什么？因式分解与多项式乘法有什么关系？ 六、当堂达标 1、下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？ （1） 22111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()222424ab ac a b c +=+ （3） 2 4814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）222 4(2)a ab b a b -+=- （6） 2(3)(3)9x x x +-=- 2、因式分解的结果为(2)(5)x x +-的多项式为_________。 3、因式分解:2 4x -=___________。 4、当3,1a a b =-=时,代数式2a ab -的值为_____。 5、若多项式mx A +可分解因式为()m x y -, 则A 为_______. 6、解方程 ：x 2-3x=0
因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
《15．4．1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观 察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)= 个整式的
五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误； （在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。
提公因式法分解因式的常用 技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
提公因式法分解因式的常用技巧 仁德一中高粉翠 内容摘要 提取公因式法是因式分解应首先考虑的方法，是初中数学学习中很重要的恒等变形之一，也是新课程中的重要内容，它被广泛地应用于初等数学学习之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．提取公因式法分解因式方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用． 关键词提取公因式法分解因式的方法、技巧 首先，我们必须把握什么是公因式，多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。明确因式分解实质只是一个多项式的变形而已，不是计算。即等式的左边是一个多项式，右边是几个整式相乘的形式。 其次，我们必须掌握提取公因式法分解因式的几种简单的分解方法及技巧。主要体现以下几种方法： 方法一：提系数，有负号的包括负号比如分解因式 （1）8a3b2－12 解：原式 =4（2a3 b2－3） 方法二：提系数和字母比如分解因式 (2)8a3b2－12ab3c 解：原式=4ab2（2a2－3bc） 方法三：先变号再提取公因式比如分解因式 (3)6（x－2）＋x（2－x） 解：原式=6（x－2）－x（x－2） = （x－2）（6－x） 方法四：先展开括号再分组提取公因式比如分解因式
(4)a2－ab＋（ac－bc） 解：原式= a2－ab＋ac－bc =（a2－ab）＋（ac－bc） = a（a－b）＋c（a－b） =（a－b）（a＋c） 通过观察探讨，我们发现，一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。具体做法是： （1）找出各项的公因式。 （2）然后用多项式除以公因式，再把所得的商写在括号里与公因式相乘。 注意：（1）若多项式的首项为负数，为使提公因式后括号里首项不含负号，可提一个带负号的公因式。 （2）结果中出现相同因式时写成乘方的形式.公因式中字母也可以是整 式。（3）多项式中某一项全提公因式后不要漏掉“1”这一项。 （4）提公因式要一次提“全”提“尽”，直到不能再分解为止。 参考资料： （1）人教版八年级数学课本 （2）数学新课程标准
13.5.1 因式分解-提公因式法 【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x）D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1）B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3）D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？ （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1 知能点2 提公因式法分解因式 4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a）B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1）D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3D．－m+n=－（m+n） 9．分解下列因式: （1）6abc－3ac2（2）－a3c+a4b+a3 （3）－4a3+16a2－26a （4）x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）
15.4.1 提公因式法 一、教学目标 （一）、知识与技能： （1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 （二）、过程与方法： （1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 （三）、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。三、教学过程 教学环节： 活动1：复习引入 看谁算得快：用简便方法计算： （1）7/9 ×13-7/9 ×6+7/9 ×2= ； （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= ； （3）992–1= 。 设计意图： 如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而
为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶． 注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式。 活动2：导入课题 1.P165的探究（略）； 2. 看谁想得快：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？ 设计意图： 引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备。 活动3：探究新知 看谁算得准： 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； （5）a(a+1)(a-1)= ； 根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= 。 在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。
《提公因式法》教案 教学目标 1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系． 2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力. 教学重点及难点 教学重点： 因式分解的概念及提公因式法． 教学难点： 正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系． 教学过程设计： 一、复习提问 乘法对加法的分配律． 二、新课 1．新课引入：用类比的方法引入课题． 在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7． 在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法． 2．因式分解的概念： 请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．) 如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy (a+b)(a-b)＝a2-b2 (a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn (x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等． 再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边，整式×整式；右边，是多项式． 可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【知能点分类训练】 知能点1因式分解的意义 1 ?下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )? A ? (x+3) (x — 3) =x 2 - 9 B ? x 2 — 9+x= ( x+3) (x — 3)— x 2 2 2 C ? xy — x y=xy (y — x ) D . x +5x+4=x ( x+5+ ) 2?下列变形不属于分解因式的是( )? 1 1 A ? x 2 —仁(x+1) (x — 1) B ? x 2 +x+—= (x+— ) 2 4 2 C ? 2a 5 — 6a 2 =2a 2 (a 3 — 3) D ? 3x 2 — 6x+4=3x (x — 2) +4 3?下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 (1) ad+bd+cd+n=d (a+b+c ) +n (2) ay 2 — 2ay+a=a (y — 1) 2 (3) (x — 4) ( x+4) =x 2 — 16 (4) x 2— y 2 +1= (x+y ) (x — y ) +1 知能点2提公因式法分解因式 4.多项式—7ab+14abx — 49aby 的公因式是 ___________ (2) — a 3c+a 4b+a 3 (4) x ( m — x ) ( m — y ) — m (x — m ) ( y — m ) 知能点3利用因式分解解决问题 10. 9992 +999= _________ = __________ ? 11 .计算(—2) 2007 + (— 2) 2008 的结果是()? A . 2 B .— 2 C . 2007 D .— 1 A . 5a 3 +4a 2 — a=a (5a 2 +4a ) B . p ( a — b ) 2+pq (b — a ) 2 =p (a — b ) 2 (1+q ) C . —6x 2 (y — z ) 3+x (z — y ) 3=— 3x (z- —y ) 2 ( 2x — z+y ) D . —x n — x n+1 — x n+2 = — x n (1 — x+x 2 ) 5. 3x 2y 3 , 2x 2 y ,— 5x 3y 2 z 的公因式是 __________ ? 6?下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是( )? 7?把多项式a 2 (x — 2) +a (2 — x )分解因式等于( )? A ? (x — 2) (a 2 +a ) C ? a (x — 2) (a — 1) &下列变形错误的是( )? A ? (y — x ) 2= (x — y ) 2 C ? (a — b ) 3 = — ( b — a ) 3 B ? (x — 2) ( a 2 — a ) D ? a (x — 2) (a+1) B ? — a — b=— ( a+b ) 9 .分解下列因式： (1) 6abc — 3ac 2 (3)— 4a 3+16a 2 — 26a
提公因式法因式分解的教学设计 教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。 2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。 3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。 教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。 教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。 教学过程： （一）创设情景，温故知新，导入新课。 1. 问题：（1）1. 问题：（1）12与18有哪些公因数？最大公因式数是多少？ 要解决这个问题，需要把12和18分别进行因数分解：12=1×2×2×3 18=1×2×3×3 （2）当a=198，b=98时，求2017a-2017b的值。 让学生充分讨论后，说明： 对于问题（1），在小学我们已经知道，要解决这个问题，需要把48进行质因数分解：48=2×2×2×2×3对于问题（2），虽然可以直接把a=198,b=98代入进行计算，但是如果先把2017a-2017b变形成2017（a-b）)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简洁。 通过对上面两个问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便。 2.乘法对加法的分配律：m(a+b)=am+bm. （二）探究活动： 1.请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1）x2+x= ; (2 ) x2-1= . 引导学生根据整式的乘法去联想，得出： x2+x=x(x+1)； x2-1=(x+1)(x-1)。 2.提出因式分解的概念。 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 4. 请同学们看下面的关系图： （从左到右变形是因式分解） x2－1 ＝(x＋1)(x－1) （从右到左变形是整式乘法） 可以看出，因式分解与整式乘法是相反方向的变形。 （三）巩固练习：下列各式从左到右的变形哪些是因式分解？ 1.（x+3）(x-3）=x2-9 ； 2. x2-9=(x+3) (x-3) ； 3. x2-4x+4=(x-2)2。 4. a2-2a+1=a(a-2)+1