§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）【学习要求】
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题
【学法指导】
两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与分步.
【知识要点】
两个计数原理
1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.
2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.
【问题探究】
探究点一分类加法计数原理
问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
问题2问题1中最重要的特征是什么？
问题3由问题1你能归纳出一般结论吗？
问题4分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系？
例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
问题5若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
小结如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同的方法．
跟踪训练1某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
（1）从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
探究点二分步乘法计数原理
问题1如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？
问题2用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
问题3由上述问题1,2，你能归纳猜想出一般结论吗？
问题4分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？
问题5如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？
例2某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？
小结利用分步乘法计数原理解决问题时，一定要正确设计“分步”的程序，即完成这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步乘法计数原理求解．
跟踪训练2已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？
探究点三两个计数原理的综合应用
问题比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？
例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
小结解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．
跟踪训练3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
（4）要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
【当堂检测】
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A ．7
B ．12
C ．64
D ．81
2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A ．1＋1＋1＝3 B ．3＋4＋2＝9 C ．3×4×2＝24 D ．以上都不对 3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线 ( ) A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种
4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有________个． 5．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．
【课堂小结】
1．本课主要学习了两个重要的计数原理，应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系． 2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．
【拓展提高】
1．用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121B B A A ???…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.
3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?
【课后作业】
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）
【学习要求】
巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个原理解决实际问题．
【学法指导】
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性.
【双基检测】
1．如图所示，在由开关组A 与B 所组成的并联电路中，接通电源，则只闭合一个开关能使电灯发光的方法
种数为 (
)
A ．6
B ．5
C ．30
D ．1
2．用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A ，B ，C ，D 中，每个矩形只涂入一种，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有 ( ) A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种
3．在夏季，一个女孩有红、绿、黄3件上衣，红、绿、黄、白、黑5种裙子，这位女孩夏季某一天去学校上学，有________种不同的穿法．
【题型解法】
题型一 两个计数原理在排数中的应用 例1 数字不重复的四位偶数共有多少个？
小结 排数问题实际就是分步问题，需要用乘法原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用． 跟踪训练1 用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个： （1）三位整数？
（2）无重复数字的三位整数？
（3）小于500的无重复数字的三位整数？
题型二 两个计数原理的实际应用 例2 （1）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z ，后两个要求用数字1～9，最多可以给多少个程序命名？
（2）核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分．一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每个位置上都有一个称为碱基的化学成分所占据．总共有4种不同的碱基，分别用A 、C 、G 、U 表示(如图所示)．在一个RNA 分子中，各种碱基能以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？
小结 以上两个问题分别表示两个原理在计算机字节与生物学中的应用，要解决好实际问题，首先要将问题
与学习过的两个原理联系，确定用分类还是分步，或是分类和分步综合应用．
跟踪训练2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：
（1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码(GB 码)包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
【当堂检测】
1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为() A．125 B．15 C．100 D．10
3．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项．
4．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
5．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照号码组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么按照这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
【课堂小结】
本课时主要讲解了两个基本原理的应用，通过不同类型的题目，要仔细体会两个计数原理的具体用法，尤其是在自然科学、现代科技中处处都离不开两个计数原理的应用，从而深刻体会数学本身的重要性，进一步坚定学好数学的信念.
【拓展提高】
1．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
2．在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有条.
3．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．
4．自然数2520有多少个约数？
5．现要排一份5天的值班表，每天有1人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不准同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的选法？
6．用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.
【课后作业】
§1.1习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【学习要求】
1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．
【知识要点】
两个计数原理在解决计数问题中的用法
在利用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，是分类还是分步．【题型解法】
题型一抽取(分配)问题
例1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()
A．16种B．18种C．37种D．48种
小结解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪训练13个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
题型二涂色问题
例2一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？
（2）如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？
小结(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此
一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．
(2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾
条件的情况下分步涂色．
跟踪训练2如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1
组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
题型三 种植问题
例3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
小结 按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．
跟踪训练3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答).
【当堂检测】
1．某电话局的电话号码为168*****，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有 ( ) A ．20个 B ．25个 C ．32个 D ．48个
2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax ＋By ＝0的系数，则形成不同的直线最多有 ( ) A ．18条 B ．20条 C ．25条 D ．10条
3．如图是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻正方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．
4．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个： （1）无重复数字的三位数？ （2）可以有重复数字的三位数？
【课堂小结】
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．
2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．
3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏． 4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.
【拓展提高】
1．有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是
2．如图6个扇形区域F E D C B A 、、、、、，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，有多少种染色方法？
3．将一个四棱锥S ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
§1.2.1排列（一）
【学习要求】
1．理解并掌握排列的概念．
2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
【学法指导】
排列是分步乘法计数原理的一个重要应用，学习中要理解排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想.
【知识要点】
1．排列：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)．
2．排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示．
3．排列数公式：A m
n ＝ (n ，m ∈N *，m ≤n )＝ .
【问题探究】
探究点一 排列(数)的概念
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的安排方法？
问题2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 问题3 怎样判断一个具体问题是否为排列问题？ 例1 判断下列问题是否是排列问题．
（1）从1、2、3、4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ （2）从1、2、3、4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ （3）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人就座，有多少种不同的方法？
小结 判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序，有顺序且是从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列． 跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题：
（1）某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ （2）从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？
（3）从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
探究点二 排列的列举问题
问题 对于简单的排列问题，怎样写出从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列？ 例2 写出下列问题的所有排列：
（1）从1,2,3,4
四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ （2）写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．
小结 在写出所要求的排列时，可采用“树形”图或“框”图一一列出，一定保证不遗漏．
跟踪训练2 写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
（2）A 、B 、C 、D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？
探究点三 排列数公式的推导及应用
问题1 由例2中两个问题知：A 24＝4×3＝12，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2
n 的值？ 问题2 由以上规律，你能写出A m n 吗？有什么特征？若m ＝n 呢？
例3 （1）计算：2A 58＋7A 4
8
A 88－A 59
. （2）求证：A m n ＋1＝m ·A m －
1
n ＋A m n .
小结 利用排列数公式进行运算时，要注意排列数之间的关系，两种形式中，一种形式用于化简，证明等，而另一种形式常用于求解．
跟踪训练3 （1）某年全国足球甲级(A 组)联赛共有10个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
（2）解不等式：2
996->x X A A
【当堂检测】
1．下列问题属于排列问题的是 ( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A ．①④ B ．①② C ．④ D ．①③④
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B ．甲乙丙，乙丙甲
C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D ．甲乙，甲丙，乙丙 3．设m ∈N *，且m <15，则(15－m )(16－m )…(20－m )等于( )
A ．A 615－m
B ．A 15－m 20－m
C ．A 6
20－m D ．A 520－m
4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
【课堂小结】
1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．
2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.
【拓展提高】
1．（1）2
15A
;
（2）66A
（3）28382A
A -;
（4）66
8
8A A .
2．某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，
共进行 场比赛；
3．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？
【课后作业】
§1.2.1排列（二）
【学习要求】
1．进一步加深对排列概念的理解．
2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
【双基检测】
1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于
( )
A ．A 4n
B ．A n －4n
C ．n ！－4!
D ．A n －3
n
2．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( ) A ．36 B ．120 C ．720 D ．240
3．从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ， ①可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1？
②可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2
b
2＝1？
其中属于排列问题的是________，其结果为________．
4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
【题型解法】
题型一 无限制条件的排列问题
例1 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
小结 本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
跟踪训练1 （1）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的 信号？
（2）将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机
和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
题型二 元素“在”与“不在”问题
例2 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
小结解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．
跟踪训练2五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？
题型三元素“相邻”与“不相邻”问题
例37人站成一排．
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
小结处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练3对于本例中的7人，
（1）甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？
（2）甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？
（3）甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
【当堂检测】
1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()
A．30个B．36个C．40个 D．60个
2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()
A．720 B．144 C．576 D．684
3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()
A．42 B．30 C．20 D．12
4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．
【课堂小结】
1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．
2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．
3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”、“插空法”.
【拓展提高】
1.（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？2．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
3．用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数？
4．有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）4个男学生必须连在一起；（2）其中甲、乙两人之间必须间隔2人.
（3）若三女生互不相邻（4）若甲、乙两位同学必须排两端
（5）若甲、乙两位同学不得排两端（6）若甲、乙两女生相邻且不与第三女生相邻
5．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？
6．一条铁路原有n个车站，为适应客运需要新增)1
(
m
m个车站，客运车票增加62种，问原有多少个车站，现有多少个？
【课后作业】
§1.2.2组合(一)
【学习要求】
1．理解组合及组合数的概念．
2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
【学法指导】
组合研究的问题与排列是平行的，两者的区别是有无“顺序”．学习中可和排列相比较，领悟概念的本质，组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.
【知识要点】
1．组合：一般地，从n个不同元素中，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．2．组合数:从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．
3．组合数公式：C m n＝
A m n
A m m＝＝(n，m∈N
*，m≤n).
【问题探究】
探究点一组合的概念
问题1从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动，有多少种不同选法？
问题2问题1和“从3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动”有何区别？
问题3排列与组合有什么联系和区别？
例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？
（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？
（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
小结 判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正确区分事件有无顺序，区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化． 跟踪训练1 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
（1）从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？ （2）从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？
（3）从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
（4）从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
探究点二 组合的列举问题
问题 怎样写一个问题的所有组合？
例2 从4个不同元素a 、b 、c 、d 中任取3个元素，写出所有的组合形式．
小结 用树形图来写所有组合时，当前面的元素写完后，后面再不能出现该元素，要避免重复和遗漏． 跟踪训练2 写出从A ，B ，C ，D ，E 5个元素，依次取3个元素的所有组合．
探究点三 组合数公式及应用
问题1 由例2看出组合数C 34与排列数A 34有什么关系？你能写出求C m
n 的公式吗？ 问题2 组合数公式的两种形式在应用中如何选择？
例3 （1）求值：C 5－n n ＋C 9－n
n ＋1；
（2）若C 4n >C 6
n ，则n 的取值集合为________．
小结 处理组合数的计算问题，首先要注意组合数中的隐含条件，涉及具体数字的可以用展开式计算；涉及字母的可以用阶乘式计算．
跟踪训练3 （1）计算：C 38－n 3n ＋C 3n
n ＋21的值．
（2）求证：C m n
＝m ＋1n －m ·C m ＋1
n
.
例4 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场 方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
小结 组合数公式意义的理解是应用的前提；应用组合数公式求解应用问题要正确分类和分步． 跟踪训练4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． （1）现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【当堂检测】
1．已知C 2
n ＝10，则n 的值等于 ( ) A ．10 B ．5 C ．3
D ．2
2．如果A 3m ＝6C 4
m ，则m 等于 ( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 3．给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中是组合问题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列等式不正确的是 ( ) A ．C m n ＝n ！
m ！(n －m )！
B ．
C m n ＝C n
－m
n
C ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1
n ＋1
D ．C m n ＝C m ＋
1
n ＋1
5．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5
种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种_____种．(结果用数值表示)
【课堂小结】
1．排列与组合的联系与区别
（1）联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． （2）区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算：
（1）涉及具体数字的可以直接用公式
C m
n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！
计算；
（2）涉及字母的可以用阶乘式C m
n ＝
n ！
m ！(n －m )！
计算；
【拓展提高】
1．计算：
（1）26C ； （2）38C ； （3）2
6
37C C -； （4）253823C C -. 2．写出从a,b,c,d ,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合 3．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？
（2）过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？
4．（1）已知5532
2122：：：：=+++++m n m n m n C C C ，求m 、n 的值 （2）设x N +∈，求123231x x x x C C ---++的值。
（3）已知
n
n n C C C 7
6510711=-，求n
C 8 5．壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
【课后作业】
§1.2.2组合(二)
【学习要求】
1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．
2．能解决有限制条件的组合问题．
【学法指导】
学习本节注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题．
【双基检测】
1．若集合M＝{x|C x7≤21}，则组成集合M的元素的个数为()
A．1 B．3 C．6 D．7
2．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有________条；
（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有________条．
3．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系：
（1）从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；
（2）从甲、乙、丙、丁四名学生中选出2名担任班长和团支部书记．
【题型解法】
题型一简单的组合应用题
例1某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？
小结（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
（2）要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．跟踪训练17名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
题型二有限制条件的组合问题
例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
小结解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
跟踪训练2“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
题型三与几何有关的组合应用题
例3（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．
小结解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题一样，只要将图形中隐含的条件准确理解，分析有哪些限制条件．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
跟踪训练3（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
【当堂检测】
1．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()
A．5 040 B．36 C．18 D．20
2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()
A．25种B．35种C．820种 D．840种
3．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
4．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．
【课堂小结】
应用组合知识解决实际问题的四个过程
【拓展提高】
1．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
（1）这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？
2．在200件产品中有2件次品，从中任取5件：
（1）其中恰有2件次品的抽法有多少种？
（2）其中恰有1件次品的抽法有多少种？
（3）其中没有次品的抽法有多少种？
（4）其中至少有1件次品的抽法有多少种？
3．高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,
（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?
（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?
（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?
（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?
4．某医院内科医生12名，外科医生8名，选派5名参加医疗队
（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加
（2）某内科医生甲与某外科医生乙均不参加
（3）某内科医生甲与某外科医生乙至少有一人参加
（4）对中至少一名内科医生和一名外科医生
5．有11个工人，其中5人只会当钳工，4人只会当车工，还有2人既会当钳工又会当车工．现在要从这11人中选出4人当钳工，4人当车工，一共有多少种选法？
（挡板问题）10．某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队参加市高中数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？
6．6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水有多少种带法？
7．从一楼到二楼的楼梯共17级，上楼可一步一级，一步两级，要求11步走完有多少种走法？
8．一排有10个具有编号的座位，3个人来坐，都不坐两头且两人之间至少有一空位有多少种不同坐法？9．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检。每校1医生2名护士则（）
A．90 B．180 C．270 D．540
10．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人，有10人中选4人的选法多少种？
【课后作业】
§1.2习题课排列与组合
【学习要求】
进一步深化排列与组合的概念，了解组合的两个性质；综合运用排列组合解决计数问题．
【学法指导】
本节学习过程中，注意以下几点：（1）注意区别“恰好”与“至少”；（2）特殊元素(或位置)优先安排；（3）“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；（4）混合问题，先“组”后“排”.
【双基检测】
1．下列问题中是组合问题的个数是()
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2 C．3 D．4 2．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________．
3．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是________
4．5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是________．
【题型解法】
题型一组合数的两个性质
例1（1）计算：①C310和C710；②C37－C26与C36；③C411＋C511与C512.
（2）由（1）中计算，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？
小结第一个性质常用于m>
n
2时组合数的计算，该性质可较大幅度地减少运算量;第二个性质常用于恒等式变形和证明等式．
跟踪训练1(1)C98100＋C199
200
；(2)C37＋C47＋C58＋C69.
题型二分组分配问题
例2将6本不同的书，分配给甲、乙、丙三人，问如下分配的分配方法各有多少种？
（1）甲一本，乙两本，丙三本？
（2）其中有一人一本，有一人两本，有一人三本？
（3）甲、乙、丙每人两本？
（4）分成三堆，每堆两本？
小结分组问题是组合问题，分配问题是排列问题，“分组”方法与“组合数”是不同的概念．
跟踪训练2有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；
（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；
（3）甲、乙、丙各得3本．
题型三排列组合综合应用
例3从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
小结排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．
跟踪训练3现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()
A．152 B．126 C．90 D．54
【当堂检测】
1．若C2x17＋C2x－1
17
＝C618，则x＝________
2．计算：C22＋C23＋C24＋…＋C210＝________
3．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．
4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．
【课堂小结】
1．恰当利用组合数的两个性质，可使问题简化．
2．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．
3．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．
4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.
【拓展提高】
1．平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上．
（l ）可以确定多少条直线？（2）可以确定多少个三角形？（3）可以确定多少个四边形？
2．一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？
3．从五棱柱的10个顶点中选出5个顶点，最多可作多少个不同的四棱锥？
4．平面内有相异的11个点，有且仅有n （113≤≤n ）个点在一条直线上，过每两点作直线共有50条不同的直线．（l ）求n ； （2）求这11个点可确定多少个圆？
5．在角A 的一边上除A 点外有5个点，在另一边上除A 点外有4个点，由A 点和另外9个点可组成多少个三角形？
6． 在空间有n 个点，若其中任意四点不共面，则这些点中的三点决定的平面有多少个？由这些点中的四点决定的四面体有多少个？种？
7．空间8个点其中任三点不共线，任四点不共面，若两异面直线为“一对异面直线”，问有多少对不同的异面直线？（3倍三棱锥的个数）
8．平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条 （1）这11点中含3个或3个以上的点的直线有几条？ （2）这11点构成几个三角形？
9．平面内有n 个点，如果有m 个点共线，其余各点没任何三点共线，这n 个点可连成多少条直线？连成多少个三角形？
10．四面体的顶点和各棱中点共10个，在其中取4个不共面的点有多少种？
【课后作业】
§1.3.1 二项式定理
【学习要求】
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．
3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【学法指导】
二项式定理是计数原理的一个应用，学习中要理解二项式中的有关元素，利用二项式系数及其性质解决有关问题.
【知识要点】
1．二项式定理
公式 叫做二项式定理． 2．(a ＋b )n 展开式共有 项，其中各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 3．(a ＋b )n 展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝ .
【问题探究】
探究点一 二项式定理
问题1 如何利用计数原理得到(a ＋b )2，(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式？
问题2 根据问题1猜想(a ＋b )n 的展开式，并简要说明每一项的形成过程． 问题3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？
问题4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
例1 求(3x ＋1
x
)4的展开式
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x )5(1＋x ＋x 2)5的展开式，可将原式变形为(1－x 3)5，再展开较为方便． 跟踪训练1 求???
?1＋1
x 4的展开式．
探究点二 二项展开式的通项
例2 （1）求(1＋2x )7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数； （2）求???x －1
x 9的展开式中x 3的系数．
小结 (1)要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C r n ；(2)要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没有必然的联系． 跟踪训练2 （1）(1＋2x )7的展开式的第几项的二项式系数等于35?
（2）????x －1
x 9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？
探究点三 综合应用
例3 已知?
????x －124x n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）证明：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
小结 根据通项公式求二项展开式的某些项，要理解并准确应用项的特征，合并通项中同一字母的指数；若通项中含有根式，可把根式化为分数指数幂．
跟踪训练3 已知在? ??
???3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n ；
（2）求含x 2的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【当堂检测】
1．求(2a ＋3b )6的展开式中的第3项为________
2．求(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为________，二项式系数为________
3．已知(ax ＋1)7(a ≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值为________．
4．求?
???2x －1x 6的展开式． 【课堂小结】
1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．
2．要牢记C k n a
n －k b k
是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.
【拓展提高】
1．（1）求9
212x x ?
?- ??
?的展开式中的常数项；
（2）若()12n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求n 及()12n x +展开式中含3
x 的项．
2．()11
2a b +的展开式中第3项的二项式系数为 ， 第3项系数为 ； 3．10)1(-x 展开式的第6项系数是（ ）
A ．610C
B ．610
C - C ．510C
D ．5
10C -
4．在()6
12x -的展开式中，含3
x 项的系数是
；
5．在5
的展开式中，其常数项是 ；
6．()12
x a +的展开式中倒数第4项是 .
【课后作业】
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习要求】
1．了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．
2．理解二项式系数的性质并灵活运用．
【学法指导】
从联系的观点讨论二项式系数的性质，与杨辉三角结合，同时，二项式系数组成的数列是一个函数，可以从函数的角度，利用图象，数形结合进行思考.
【知识要点】
【问题探究】
探究点一 “杨辉三角”的性质
问题1 观察(a ＋b )n 展开式的二项式系数 (a ＋b )1…… 1 1 (a ＋b )2…… 1 2 1 (a ＋b )3…… 1 3 3 1 (a ＋b )4…… 1 4 6 4 1 (a ＋b )5…… 1 5 10 10 5 1 (a ＋b )6…… 1 6 15 20 15 6 1 ………………………………
问题2 问题1中的表称为“杨辉三角”，杨辉三角有什么作用？
例1
如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.
小结 利用杨辉三角和二项式系数的关系，将问题转化，利用组合数的性质求解问题．
跟踪训练1 在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1
探究点二 二项式系数的单调性及最值
问题1 根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
问题2 计算C k n
C k －1n
，并说明你得到的结论．
问题3 二项式系数何时取得最大值？ 例2 在(3x －2y )20的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项．
小结 可根据已知条件确定n 的值；展开式中二项式系数在中间一项或中间两项取得最大值，要注意二项式系数和系数的区别．
跟踪训练2 (1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
探究点三 二项式系数的和
问题1 怎样利用二项展开式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n
，求二项式系数的和． 问题2 在(a ＋b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，为什么？ 例3 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： （1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和； （4）系数绝对值的和．
小结 赋值法是求展开式系数和的常用方法，有时还要求奇次项、偶次项系数的和，令其中字母等于0,1，－1是常见的赋值方法．
跟踪训练3 设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求： （1）a 8＋a 7＋…＋a 1； （2）a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.
【当堂检测】
1．(1＋x )2n ＋
1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A ．n ，n ＋1
B ．n －1，n
C ．n ＋1，n ＋2
D ．n ＋2，n ＋3
2. ???
?x －1
x 10的展开式中，系数最大的项是 ( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项
3．在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是 ( ) A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、6项 D ．第6、7项
4．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为 ( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
【课堂小结】
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系
数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 3．注意以下两点：
（1）区分开二项式系数与项的系数．
（2）求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r ∈{0,1,2，…，n }的范围.
【拓展提高】
1．① 在10)1(x +的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）
② 在11)1(x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （用符号表示即可） 2．若()7722107
21x a x a x a a x +???+++=-，
则=+???++721a a a ，=+++7531a a a a ，=+++6420a a a a . 3．在()99
1x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项；
4．
100
+的展开式中，系数为有理数的共有（ ）项
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
5． ()()6
2
11x ax +?-展开式中3x 项的系数为20，则实数a =
6．计算1091829
10101033331C C C -+-
-+=
7．若()9
2
9012912x a a x a x a x -=+++
+，则 129a a a ++
+＝ ；
8． （1）求12
33???
?
??-x x 展开式的中间一项； （2）求()
15
x
y y x -展开式的中间两项.
【课后作业】
§1.3习题课 二项式定理
【学习要求】
1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念．
2．会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．
【知识要点】
1．(a ＋b )n ＝ (n ∈N *)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，其中C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做 ，通项是指展开式的第 项，即 . 2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) （1）对称性： ； （2）性质：C r n ＋1＝ + ；
（3）二项式系数的最大值： ；
（4）二项式系数之和 ，所用方法是 ．
【双基检测】
1.????2x 3
－1x 7的展开式中常数项是 ( )
A ．14
B ．－14
C ．42
D ．－42
2．?
???x －1
3x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
3．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于 ( ) A ．2n
B ．3n －12
C ．2
n ＋1
D ．3n ＋12
4．若?
???x 3＋1
x 2n 的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x 的项为________ 【题型解法】
题型一 求二项展开式的项或系数
例1 （1）求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． （2）求(3x ＋3
2)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．
小结 (1)求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．
(2)对于若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查对知识的把握程度．
跟踪训练1 （1）设(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 50x 50，则a 3的值是 ( )
A ．C 450
B ．2
C 350 C ．C 351
D ．C 4
51
题型二 二项式系数的性质的应用
例2 已知????2x －1
x n 展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数
小结 利用C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n
列出方程，
通过解指数方程求出n 的值；然后，利用二项式系数的性质，列出含x 的有关方程，求出x 的值，另外，解决该题时，要注意灵活变形．
跟踪训练2 若(2x ＋3)4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
，求(a 0＋a 2＋a 4)2
－(a 1＋a 3)2
的值． 之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x .
题型三 二项式定理的综合应用
例3 （1）求证：5151－1能被7整除； （2）求1.9975精确到0.001的近似值．
小结 （1）利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧．
（2）近似计算是二项式定理的重要应用，用二项式定理近似计算也是分析问题、解决问题的主要体现，在高考中时有考查．
跟踪训练3 求证：2n ＋
2·3n ＋5n －4能被25整除(n ∈N *)．
【当堂检测】
1．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是
( )
A ．1.23
B ．1.24
C ．1.33
D ．1.34 2．已知x >0，(1＋x )10???
?1＋1
x 10展开式中的常数项为
( )
A ．1
B ．(
C 110)2
C ．C 120
D ．C 1020
3．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32
＋1，则A －B 的值为 ( ) A ．128 B ．129 C ．47 D ．0
4．????2x 2－1
x 6的展开式中的常数项是第________项，整数项有________项，x 的最高次项是第________项，二项式系数之和是________，系数之和是________
【课堂小结】
1．求二项式展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．
2．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．
3．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的 性质．
4．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.
【拓展提高】
1．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值？并求这个最小值．
2．设10
32)1(10)1(3)1(2)1()(x x x x x f ++++++++= ，求)(x f 的展开式中2
x 的系数。
3．()n
x 21-展开式中各项系数的和是 ；
4．今天是星期三，再过2009
8
是星期 .
5．10
211??
? ??-x 展开式的5
x 系数是 ；
6．已知()()2611-+ax x 展开式中3
x 系数是56，则实数a 的值为 ；
7．求4
2)43(-+x x 的展开式中x 的系数.
8．求()
()10
211x x x -++展开式中的4
x 的系数.
9．用二项式定理证明95555
+能被8整除. 10．20
)32(x +展开式中系数最大的项是第几项？
11．若,)32(44104x a x a a x +???++=+则=+-++2312420)()(a a a a a 12．若)(1)1(2
3
N n bx ax x x n
n
∈+???+++???+=+且,1:3:=b a 则=n
13．已知21872221221=+???+++n n n n n C C C ，求=+???++n
n n n C C C 21
【课后作业】
章末习题课
【知识结构】
【题型解法】
题型一两个计数原理的应用
基本原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行．在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合．
例1在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()
A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2m B．C1m C2n＋C1n C2m
C．C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n D．C1m C2n＋1＋C2m＋1C1n
跟踪训练1现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部
分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()
A．144种B．72种C．64种D．84种
题型二排列与组合应用题
在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．
解决排列组合应用题的常用方法：
（1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；
（3）先取后排，间接排除；（4）集团捆绑，间隔插空；
（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序．
例2用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有________个．(用数字作答) 跟踪训练2停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？
题型三二项式定理的应用
对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题．
例3（1）已知????
x2－
i
x
n的展开式中第三项与第五项的系数之比为－3
14，其中i
2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为()
A．第三项B．第四项C．第五项D．第五项或第六项
（2）已知x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9的值为________
跟踪训练3（1）(x－1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是()
A．第4项和第5项B．第5项
C．第5项和第6项D．第6项
（2）已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．
【拓展提高】
1．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A．4
10
2
1
26
)
(A
A B．24
2610
A A C．4
2
1
26
10
)
(A D．24
26
10
A
2．23
262
+被9除的余数为（）
A．0 B．1 C.2 D.3
3．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为．（以数字作答）
4．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数
（1）能够组成多少个六位奇数？
（2）能够组成多少个大于
201345的正整数？【课后作业】
第80炼 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求， 只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简 单。3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法
高中数学讲义 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0 C 1n =） 知识内容 排列组合问题的常见模型 1
排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的
插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．
高二数学知识点：排列与组合 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C-------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序，组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列" 把5本书分给3个人，有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示. p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n，m)表示. c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m); 3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符 号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 2019-07-0813：30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例： Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.
到车间也有7种分依此类推由分步计数原理共有76种不同的排法 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这 两个位置 先排末位共有C 3 然后排首位共有C i 最后排其它位置共有A 3 113 由分步计数原理得 C 4C 3A 4 =288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 ，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内 5 2 2 部进行自排。由分步计数原理可得共有 A 5A 2A ； =480种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m n 种 练习题： 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 _42_ 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯六. 环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？ 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以 从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1 ）!种排法即7 ! 要求某几个元素必须排在一起的问题 ，可以用捆绑法来解决问题 ?即将需要相邻的元素合并 为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列 ?练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，则节目的岀场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 Ae 不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A 5A 4 ______ 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 练习 一5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目 ----------- 插入原节目单中， 且两个新 节目不相邻，那么不同插法的种数为 JQ_ 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题 ，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ，然后用总排列数除以这几个 元素之间 的全排列数，则共有不同排法种数是： A 7∕A 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有 A ：种 方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗 ？ — — （插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C 15O 五. 重排问题求幕策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 J-种分法.把第二名实习生分配 排列组合 A 4并 -CKMXxMXXX) ABCDEFGHA D- B E A F H G
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，?，在第n 类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20
1、体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）种。 2、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种 3、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（各项目冠军都只有一人），共有多少种可能的结果？ 4、从集合{1，2，…，10}中任选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（） 5、有4位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）种。 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 6、3人玩传球游戏，由甲开始并做为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，有多少种不同的传球方式呢？ 7、集合A ＝{a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}。（1）从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？（2）从集合A 到集合B 的映射中，要求集合A 中元素的象不同，这样的映射有多少个 8、对一个各边长都不相等的凸五边形的各边进行染色，每条边都可以染红、黄、蓝三种不同的颜色，但是不允许相邻相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种。 9、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案。 10、将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有 A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种 11、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A ．64B ．72C.84 D ．96 12、（13山东）用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 13、（13福建）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 14、（16全国）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数。若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18（B ）16（C ）14 （D ）12
高中数学:排列与组合练习 1．(昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法(D) A．A55种B．A22种 C．A24A22种D．C12C12A22A22种 解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法． 2．(广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有(B) A．36种B．24种 C．22种D．20种 解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有A33A22＝12种推荐方法；第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法,选B. 3．(广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(C) A．480种B．360种 C．240种D．120种 解析:根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A44＝24种情况,则不同放法有10×24＝240种．故选C. 4．某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(C) A．16 B．18
概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .
2排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一．直接法 1.特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2.特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在百位的 5 3 有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ? 4 2 5 3 4 A2 =432（个） 三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有A1 ?A1 =100 9 10 中插入方法。 四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
实用标准 文档大全排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）
A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有 种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的 实用标准 文档大全插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列 10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中：
~ 高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2 步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 … 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C / 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
、 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法， 再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222 222A A A 种排法. ： 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那 么共有陈列方式的种数为254 254A A A 3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255 255A A A 种 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种 （ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1 m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合 要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13 C C 1 4 A 3 4 C 1 3 然后排首位共有14 C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花
不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素， 同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5225 2 2 480A A A 种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈 节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55 A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456 A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
排列组合 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 mi 种不同的方法，在第 2类办法中有 m 2种不同的方法，…，在第 n 类办法中 有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i mt L m *种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第i 步有种不同的方法，做第 2步有m 2种不同的方法，…，做第 n 步有m n 种不同 的方法，那么完成这件事共有： N m i 讥 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 一 __________________ 先排末位共有C 3 然后排首位共有C ： t J J 1 最后排其它位置共有A '1 C 4 ■ 3 A 4 11 C 3 由分步计数原理得 C 4C 3A 4^ 288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 5 2 2 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 As A 2A 2 480种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素 一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列 . 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，则节目的岀场顺序有多少种？ 5 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种A 6不同 的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A ：A ： ____________________ 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 练习题：某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中， 且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7 人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题 ，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ，然后用总排列数除以这几个元素 7 3 之间的全排列数，则共有不同排法种数是： A ；/A ； （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A ；种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有 A ；种 方法。 思考：可以先让甲乙丙就坐吗？ （插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理