利用空间向量求线面夹角
最新考纲
1、能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题;
2、了解向量方法在研究立体几何问题中的应用、
教学目标:
1、能用向量方法解决线面夹角的计算问题.
2、通过对例题的探究与解决的过程提高学生的逻辑推理能力、运算求解能力,培养学生规范做答的习惯。
3、通过向量方法在研究立体几何问题中的应用,发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
教学重点:
能用向量方法解决线面夹角的计算问题
教学难点:
应用向量方法正确求解线面夹角
教学方法:
探究式、启发式
教学过程:
一、课前测试:
1、已知向量m,n分别就是直线l与平面α的方向向量与法向量,若cos
〈m,n〉＝－1
2
,则l与α所成的角为
2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
二、知识梳理
直线与平面所成的角
(1)定义:一条斜线与它在平面上的射影所成的角叫作这条直线与这个平面所成的角。若一条直线垂直于平面,则它们所成的角就是直角;若一条直线与平面平行或在平面内,则它们所成的角就是0°的角、
(2)范围:
(3)设直线l 的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线l 与平面α所成的角为θ,则sin θ＝ ＝
l
α
[微点提醒] 线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值
的绝对值,即sin θ＝|cos 〈a ,n 〉|,不要误记为cos θ＝|cos 〈a ,n 〉|,不要忘记θ∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤0π2的取值范围、
三.考点强化 用空间向量求线面角
例题:如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为平行四
边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD 、
(Ⅰ)证明:PA ⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值。
四.变式练习:(1)求直线AP 与平面PDB 所成的角;
(2)求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值。
【规律方法】求直线与平面所成的角,大致有两种基本方法:
①传统立体几何的综合推理法:通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角,然后在直角三角形中求角的大小、找射影的基本方法就是过直线上一点作平面的垂线,连接垂足与斜足得到直线在平面内的射影;有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影,此时平面与垂面的交线即为射影、
②空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线与平面所成的角、
五.课堂小结
求直线与平面所成的角,大致有两种基本方法:
A
B C
θ
①传统立体几何的综合推理法②空间向量的坐标法
六、课后练习:
(2016·全国)如下图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD ＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点.(1)证明MN
∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN夹角的正弦值。
七、板书设计:
八、课后反思:
利用空间向量求线面夹角
一、知识梳理三、巩固练习
二、例题分析四、课堂小结
