解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求
边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数． 在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】利用解直角三角形求边或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形． (1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长； (2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cos B＝ a c，即c＝ a cos B＝ 36 3 2 ＝243，∴b＝sin B·c＝ 1 2×243＝123； (2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tan A＝ a b＝ 3 3，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求：
解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（） A．B．C．D． 【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC===6， ∴sinA===， 故选：A． 2．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B 为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设BD=x， 则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，
∴AC=AD+DE+CE=2x+2x， ∵AC=30， ∴2x+2x=30， 解得：x=≈5.49， 故选：B． 3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形． 在Rt△CJD中，==，设CJ=4k，DJ=3k， 则有9k2+16k2=4， ∴k=， ∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=， 在Rt△AEM中，tan∠AEM=，
在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A
解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 s i n =?+C O S α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030 cos sin 2 2 =?=? +? ，而 1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它
第五讲 解直角三角形 一、【知识梳理】 知识点1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。 知识点2、解直角三角形的工具： 1、直角三角形边、角之间的关系： sinA=cosB= c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=a b 2、直角三角形三边之间的关系： 2 2 2 c b a =+（勾股定理） 3、直角三角形锐角之间的关系 ： ?=∠+∠90B A 。（两锐角互为余角） 知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种， （1）、已知一边和一锐角解直角三角形； （2）、已知两边解直角三角形。 知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角： 在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点. 2、仰角和俯角 在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下 方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据. 3、坡度和坡角： 在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（1）），则有,l h i = 坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：αtan ==l h i ， 这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大. 二、【典型题例】 考点1、解直角三角形 例1．、1、在ABC ?中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、． （1）已知3=b ， 30=∠A ，求a 和c ． （2）已知20=a ，20=b ，求A ∠． 2、如图，已知△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD 是BC 边上的高，求AD 的长 3、已知，如图，△ABC 中，∠A=30°，AB=6，CD ⊥AB 交 AB 延长线于D ，∠CBD=60°。 求CD 的长。 考点2、解直角三角形的应用 例2. （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度 A B C D C A D B
解直角三角形练习题 一、真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm =则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=,AB=10,则BC ＝ 5 44、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018， 则cos36042\= 5、∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝ 9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若则tanA= b a 32=9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值 是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 32=c 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ 3BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8， 则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、 余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜，则∠A （ ） 3A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 C 、acosA D 、A a sin A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ） 3A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、cm B 、cm C 、cm D 、cm 4121432 3
解直角三角形练习题一、真空题：0 sinA= ＝90 ，AB ＝3，BC＝4，则中，∠1、在Rt△ABCB0 AB90＝，2、在Rt △ABC中，∠C＝,5cmBC?3cm cosA= 则SinA= 40＝ABC中，∠C＝90，SinA=,AB=10,则3、BCRt△5 \00，sin53=0.8018α=cos1518,则α＝若sin4、α是锐角，若\0则cos3642= 2cosB－1＝0则∠B＝、5∠B为锐角，且0，ba，，∠A，∠B，∠C所对的边分别为6、在△ABC中，∠C＝90 sinB= sinA= c，a＝9，b＝12，则 0则cotA= 7、Rt△ABC中，∠C＝90 ，tanA=0.5, 0ba?32 90 ，若tanA= 则C8、在Rt△ABC中，∠＝，则它的底角的正切值，底边长8cm9．等腰三角形中，腰长为5cm 是 2A＝为锐角，且tan A+2tanA－3＝0则∠10、若∠A 0，b＝△11、RtABC中，∠A＝60c=8，，则a＝ 32c?,面积中，若S＝,b＝3，则tanB= ABC12、在△ 3，AB＝6，∠B＝，AC＝BCABC13、在△中，AC：＝1： 0，AC边上的中线BD＝5中，∠14、在△ABC B＝90，AB ＝BC ＝8，则tanACB= 1
二、选择题的正弦、A2倍，那么锐角1、在Rt△ABC中，各边的 长度都扩大）余弦值（ 4倍2倍B、都扩大A、都扩大D、都缩小一半C、没有变化3），则∠A 2、若∠A为锐角，且cotA（＜ 0 0000 60DB、大于30、大于 C45、大于且小于60A、小于30 ）（△3、在RtABC中，已知a边及∠A，则斜边应为 aa、 C、、AasinA B、 acosA D A sin A cos3），则顶角为（ 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2 ：0000、150120 D、60 B、90 C、A，则这个三角形是＝cosBsinA中，A，B为 锐角，且有5、在△ABC ）（、直角三角形、等腰三角形BA 、 锐角三角形C、钝角三角形D 0）30则斜边上的高为的直角三角形，斜边为1cm，（、6有一个 角是1133、Dcm C、cm、B、Acm cm4242 2 三、求下列各式的值02000202、sin60cos30sin1、－602sin30+cos 60 020032?| 2cos45|+ 45 4. 3. sin30－cos
初中数学解直角三角形测试题 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
） A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，∠C=90°，5 2 sin = A ，则sin B 的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2 A. 150 B. C. 9 D. 7 9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角 为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A. α sin 1 B. α cos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分）
第11关 解直角三角形（讲义部分） 知识点1 解直角三角形 1.已知一边一角 （1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠ο ,sin A c a =A c B c b cos sin == （2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠ο ,tan B a b =A a c sin = 2.已知两边 （1）已知两直角边b a ,，解法：由b a A = tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠οA b A a c cos sin = = （2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由 c a A =sin 求出A ∠，,90A B ∠-=∠ο A c B c b cos sin == 解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念. 题型1 解直角三角形 【例1】如图，AD 是ABC ?的中线，1 tan 3 B =，cos C =，AC = （1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值． 【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ， cos C = Q ， 45C ∴∠=?， 在Rt ACE ?中，cos 1CE AC C ==g ， 1AE CE ∴==， 在Rt ABE ?中，1tan 3B =，即1 3 AE BE =， 33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=； （2）AD Q 是ABC ?的中线， 1 22 CD BC ∴==， 1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥Q ，DE AE =， 45ADC ∴∠=?， sin ADC ∴∠．
课题：1.4解直角三角形 课型：新授课 年级：九年级 姓名：杨彬 单位：枣庄市第二十四中学 电话： 邮箱： 能否提供录像课：能 教学目标： 1．了解解直角三角形的意义，知道三角形的六个要素. 2．掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形. 教学重、难点： 重点：利用所给的已知元素，正确的解直角三角形． 难点：如何灵活利用锐角三角函数快速解出直角三角形． 课前准备： 教师准备：多媒体课件. 学生准备：完成预习提示，预习新课. 教学过程： 一、创设情境，导入新课 师：我们从小学都认识了直角三角形，请同学们观察老师手中的一副三角板，谁来说说它的每个内角分别是多少度？它们的各边之间有什么关系？ （1） （2） （出示三角板找生回答） 师：同学们掌握的非常棒,我们再来看下面的问题. 师:我们一起看来观察,已知Rt △ABC 中,一共有几个元素?请分别写出来. （1）△ABC 的三条边分别是 ； （2）△ABC 的三个角分别是 . 师:因此,一个直角三角形中共有6个元素,那么至少知道几个元素,就可以求出其他元素呢? 师：今天，我们就来研究与直角三角形有关的问题. (板书课题)1.4解直角三角形. 处理方式：教师出示我们最常见的三角板，一是容易接受，二是简单明了，学生比较熟悉，然后，观察一个直角三角形，说出他的6个元素，简单直接引入新课. a b C B A c
设计意图：通过学生回答一副三角板的边角关系，比较自然的过渡，从而较好地引出本节课的研究内容，并对一副三角板的边角关系加以巩固. 二、自主学习，合作探究 师: 我们一起看来观察,已知Rt △ABC 中,你能找出6个元素之间的相互关系吗? 探究问题1: 1.直角三角形的两锐角之间的关系: ∠A +∠B =900 ; 2.直角三角形三边之间的关系: a 2+b 2 =c 2 ; 3.直角三角形边与角之间的关系(1)sin A = ;(2)cos A = ;(3)tan A = . (教师出示问题,同学们回答,师生系统归纳知识点) 师: 在Rt △ABC 中,如果已知其中两边长,你能求出这个三角形的其他元素吗? 探究问题2: 例1 在Rt △ABC 中,∠C =900 ,∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=15，b =5， 求这个三角形的其他元素. (出示问题,小组研讨后,找生板书过程) 解: 在Rt △ABC 中,∠C =900,根据勾股定理, a 2+b 2 =c 2 , a=15，b =5， ∴c=.52)5()15(2 2=+ 在Rt △ABC 中,∠C =900 ,sin B = ,2 1525==c b ∴∠B =300 , ∠A =600 . 师:我们已知直角三角形的两边长,求出其他未知元素,这个过程叫做什么呢? 归纳定义3: 解直角三角形:由直角三角形中已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 处理方式：教师探究问题1,回顾旧知识,可以通过复习达到熟练应用的目的,把所学到的直角三角形两锐角互余,勾股定理,锐角三角函数结合在一起，然后利用所学知识解决问题探究2，从而引出解直角三角形的定义. 设计意图：通过回顾旧知,达到学以致用的目的,再通过一道例题,真正把学到的知识用到实处,通过解题,归纳出解直角三角形的定义,找生板书解题过程,进一步要求书写规范. 三、落实双基,总结方法 师:在直角三角形中,已知两边,我们可以求出其他未知元素,在Rt △ABC 中,如果已知一边和一个锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗? 例2在Rt △ABC 中,∠C =900,∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =30, ∠B =300 ,求这个三角形的其他元素. (出示问题,同学们各抒己见,然后书写过程,找生上黑板) 方法总结: 方法1: 解: 在Rt △ABC 中,∠C =900, ∠B =300,∴∠A =600 . c =2, b =2×30=60; a =.33030602 2=- a b C B A c b a C A B c
初三数学解直角三角形通用版 【本讲主要内容】 解直角三角形 包括解直角三角形的意义以及所用到的关系式 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。 2. 在解直角三角形中用到的一些关系式： （1）三边之间的关系： a b c 222+= （2）两锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90° （3）边角之间的关系 sin sin A a c B A B b c = ==∠∠=的对边斜边的对边斜边 ，； cos cos A A b c B B a c = ∠==∠=的邻边斜边，的邻边斜边 ； tan tan A A A a b B B B b a =∠∠==∠∠=的对边的邻边，的对边的邻边。 【解题方法指导】 例1. 在Rt ABC ?中，∠C ＝90°，c ＝42，∠B ＝60°，解这个直角三角形，并求出它的面积。 分析：我们可以画出图来，帮助我们进行思考。由∠B ＝60°，则∠A 可求。由c ＝42， 则由sin B b c = ，则b 可求；再由cosB a c =，则a 可求。 解：∵∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＝60°， ∴∠A ＝30°。 ∵sin B b c =， ∴b c B =?=??=?=sin sin 4260423 2 26。 ∵cosB a c =， ∴a c B =?=?=cos 421 2 22。 ∴S ab ?==??=121 2 222643。
评析：在解直角三角形中，尽可能用一些原始数据，可以减少由计算错误而造成的累计错误。如求a 时，既可以用c B ?cos ，也可以用c b 22-，显然用第一个方法好一些。 例2. 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ＋b ＝3＋3。求a 、b 、c 。 分析：由a b +=+33，它不属解直角三角形的基本类型，因此设法再找出a 、b 之间的一个关系，从而利用二元一次方程组加以解决。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠A ＝60°， ∴tan A a b = =3。 ∴a b =3 ① 又a ＋b ＝3＋3， ② 将①代入②，得 333b b +=+， ∴（），3133+=+b ∴b = ++= +-+-= =33313331313123 2 3（）（） （）（） ， a b ==33。 ∵a b c 222+=， ∴c a b =+=+=22223323（）。 评析：此题用到了tan A a b = ，找出了a 、 b 之间的一个关系式，再结合a b +=+33求出a 、b ，这样把解直角三角形与二元一次方程组结合在一起解决问题，体现了综合运用知识的能力。 例3. 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 、AC 的长。 分析：此题中出现两个直角三角形，但BC 却不在某个直角三角形中，直接解直角三角形显然有些困难。若设AD ＝x ，则DC ＝x ，BD ＋DC ＝2，于是可列出一个关于x 的方程。 解：设AD ＝x ，则DC ＝x 。 在△ABD 中，tan B AD BD = ， ∴BD AD B x x = =?=tan tan 603 ， ∴BD x = 33 。 又BD ＋DC ＝2， ∴33 2x x +=。 ∴（），13 3 2+=x
初中数学导学案 一、目标引领 1.课题名称： 北师大版九年级下数学第23课时《解直角三角形》 2.达成目标： 1.认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值； 2.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； 3.问题解决过程中，体会数形结合、转化思想、方程思想等重要数学思想 3.课前准备建议： （提示：复习相关知识或思考问题情境） 二、学习指导 录像课学习经历案（简要把教学过程呈现就行） 一、课标要求、知识体系、考点呈现、（约3分钟） 二、知识回顾，典型例题（约6分钟） 三、知识回顾，典型例题（约5分钟）一、结合济南学考呈现课标要求、知识脉络、历年考点。 二、锐角三角函数（正弦、余弦、正切） 1.知识点 2.典型例题 （一）锐角三角函数 例1.如图，在平面直角坐标系中，点P（3，m）是第一象限内的点，且OP与x轴正半轴的夹角 α的正切值为 4 3，则sinα的值为（） A． 4 5 B. 5 4 C. 3 5 D. 5 3 例2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 5 4 ，则cosB的值等于（） A． 5 3 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 5 （二）小方格中的三角函数 例1、例2、例3、例4见课件 三、特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值
四、知识回顾，典型例题（约7分钟）1.知识点 2.典型例题 例1.在△ABC中，若|sin A－|＋( －cos B)2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C＝________．例2. 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是() A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60 例3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（） A．B． C．D． 例4.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在 BC上的点F处，这样就可以求出 67.5°角的正切值是（） A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D．5 四、解直角三角形 1.知识点
初中数学解直角三角形测试题 . 选择题： （每小题 2 分，共 20 分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则 cotE=（ ） 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） 3. 在△ABC 中，若cos A = 2，tan B = 3， 则这个三角形一定是（ ） 2 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 A. 3 B. C. D. A. B. C. 1 D. A. 锐角三角形 4. 如图 18，在△EFG 中， A. EF A.sin G = EG C. GH C. sin G = FG 5. sin65°与 cos26°之间的关系为（ ） A. sin65 ° ∠EFG=90°，FH⊥EG， B.EH B.sin G = EF D. FH D.sin G = FG B. sin65 °>cos26 ° D. sin65 °+cos26°=1 α <60 ° ，下列 试题宝典 http://www.shitibaodian.com 教学资源，完全免费，天天更新！ A. B. C. D. 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15，它们的夹角为 60 形的面积是（ ）米 2 A. 150 B. C. 9 D. 7 9. 如图 19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i= 2∶3， 顶宽是 3 米，路基高是4 米，则路基的下底宽是（ ） A. 7 米 B. 9 米 C. 12 米 D. 15 米 10. 如图 20，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们 的交角 为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A. 1 B. 1 C. sin D. 1 sin cos 二 . 填空题：（每小题 2 分，共 10 分） 试题宝典 http://www.shitibaodian.com 试题、教案、课件、论文，免费 提供！ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，∠C=90° ，sin A = 2 ，则sinB 的值是（ ） 5 解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 2 1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 A C B D 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （3）弦切关系 tanA= A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) 特殊角的三角函数值 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下 列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．(完整版)解直角三角形知识点总结
初中解直角三角形--教案
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