第二十六章 二次函数
本章小结
小结1 本章概述
本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．
二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． 小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题． 【学习本章应注意的问题】
1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草
图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)开始，总
结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2
＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．
2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．
3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验
小结3 中考透视
近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.
知识网络结构图
二次函数的概念
二次函数的图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
专题总结及应用
二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用
一、知识性专题
专题1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象和性质
【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．
例1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；
③b 2
－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴
有两个交点，∴b 2
－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．
【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．
例2 若y ＝ax 2
＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )
x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c
8
3
A ．y ＝x 2－4x ＋3
B ．y ＝x 2
－3x ＋4
C ．y ＝x 2－3x ＋3
D ．y ＝x 2
－4x ＋8
分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2
＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以13(－1)2＋b 3(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．
【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2
＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2
＋bx ＋c ＝8．
例3 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 分析 由图象可知a ＜0，2b
a
-
＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．
【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．
例4 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2b
a
-
＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.
【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．
例5 若A 113,4y ??- ???，B 25,4y ??- ???，C 31,4y ?? ???
为二次函数y ＝x 2
＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大
小关系是 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=
13
4
-与x＝－
3
4
的函数值相同，因为抛物
线开口向上，所以当
5
4
-＜
3
4
-＜
1
4
时，y2＜y1＜y3．故选B．
【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将
x=
13
4
-的函数值转化为x＝－
3
4
的函数值．
例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－
3
2
(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )
分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－
3
2
(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．专题2 抛物线的平移规律
【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不
同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．
例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2
C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1
分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．
【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．
例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
分析y＝x2－3x＋5变形为y＝
2
3
2
x
??
-
?
??
＋5－
9
4
，即y＝
2
3
2
x
??
-
?
??
＋
11
4
，将其向左平移3个单位，再向上平
移2个单位，可得抛物线y＝
2
3
3
2
x
??
-+
?
??
＋
11
4
＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．
【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得
到抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c ．
专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用
【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2b
a -和244ac
b a
-的值也被确定等
等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．
例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2
－1的图象，则a 的值
是 .
分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2
－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:
专题4 求二次函数的最值
【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ??
-- ???
处取得最值．当a ＞
0时，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2b
a -时，y 有最小值为244ac
b a
-；当a ＜0时，抛物线
y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2b
a -时，y 有最大值为244ac
b a
-．
例10 已知实数x ，y 满足x 2
＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .
分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2
－2x ，2y ＝
12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12
(5－x 2
－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填5
2
． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．
例11 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；
(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．
分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．
解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，
则420,6,a b a b +=??-=?解得2,4.
a b =??=-? ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2
－4x ．
(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．
【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．
二、规律方法专题
专题6 二次函数解析式的求法
【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．
(1)设一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．
若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．
(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．
若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．
例12 根据下列条件求函数解析式．
(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；
(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；
(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；
(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．
分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c
将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，
得
6,
2,
423,
a b c
a b c
a b c
-+=-
?
?
++=-
?
?++=
?
解得
1,
2,
5.
a
b
c
=
?
?
=
?
?=-
?
∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．
(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，
∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，
将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，
∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．
即y＝－2x2－4x－5．
(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，
将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y=－x2＋1
(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，
将点(0，7)代入，得7＝a232(－1)＋4，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，
即y＝－x2－2x＋7．
【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．
(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．
三、思想方法专题 专题7 数形结合思想
【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．
例13 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2b
a
-
＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．
【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置． 专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．
例14 已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.
解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=??++=?解得3,5
18.5a b ?=????=-??
所以抛物线的解析式为y ＝35
x 2－18
5x ＋3．
(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，
当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－1
5
x ＋1，
当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－
2
5
x ＋2． (3)由题意可知M 30,2??
???
，如甲26－91所示，
点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2?
?- ??
?，
点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，
连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．
所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点． 可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝
34x －32． 所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4??
???
，
由勾股定理可求出A ′M ′＝
152
． 所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为
152
． 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．
专题9 方程思想
【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．
例15 抛物线y ＝x 2
－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
分析 可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－43131＝0，可得抛物线y ＝x 2
－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．
【解题策略】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．
专题10 建模思想
【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题． 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值． 解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．
(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2
＋360x －9600，
(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2b
a
-
＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，
即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解． 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，
可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；
(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每
年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．
(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，
则
421 1.36,
1641 1.64,
a b
a b
++=
?
?
++=
?
，解得
0.01,
0.2,
a
b
=-
?
?
=
?
∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．
②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)3103250－103200－x,
即S＝－25x2＋499x＋500，
整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．
∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．
例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)
(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；
(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；
(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．
分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．
解：(1)18000
(2)y=
1
2
-x2＋10x＋18000
(3)当y＝17600时，
－1
2
x2＋10x＋400=0，
即x2－20x－800＝0．
解得x＝－20(舍去)或x＝40．
180＋40＝220，
所以这天每间客房的价格是220元．
例19 （092泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝＋m
与x轴交于点E．
(1)求点E的坐标；
(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．
解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，
则OF =OA cos 60°=1，AF =OF tan 60°
∴点A (1
．
代入直线解析式，得1＋m
m
， ∴y
=x
. 当y =0
时，
=0， 解得x ＝4，∴点E (4，0)．
(2)设过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ， ∵抛物线过原点，∴c ＝0，
∴1640,a b a b ?+=??+=??
解得a b ?=????
=??
∴抛物线的解析式为y
＝x 2
x . 例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．
(1)求点B 的坐标；
(2)求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式．
解：(1)如图26－95所示，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，
OF ＝1． ∵OA ⊥OB ，
∴∠AOF ＋∠BOE ＝90°． 又∵∠BOE ＋∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴
BE OE OB
OF AF OA
==
＝2 ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B (4，2)．
(2)设过点A (－1，2)，B (4，2)，O (0，0)的抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ．
则2,1642,0.a b c a b c c -+=??++=??=?解得1,23,20.
a b c ?=??
?
=-??
=???
∴所求抛物线的表达式为y ＝
12x 2－32
x . 例21如图26－96所示，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为
D ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式．
解：(1)已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点， ∴01,200,b c c =++??=++?解得3,
2,b c =-??=?
∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2
－3x ＋2．
(2)∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2， 可得旋转后C 点的坐标为(3，1)．
当x ＝3时，由y =x 2
－3x ＋2得y ＝2，
可知抛物线y ＝x 2
－3x ＋2过点(3，2)．
∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C
∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x 2
－3x ＋1．
例22 如图26－97所示，抛物线y ＝ax 2
＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标．
解：(1)∵抛物线y =ax 2
＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，
∴40,
4 4.a b a a --=??-=?
解得1,
3.a b =-??=?
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋3x ＋4．
(2)如图26－98所示，点D (m ，m ＋1)在抛物线上，
∴m ＋1＝－m 2
＋3m ＋4，
即m 2
－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝3．
∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)． 由(1)得B 点的坐标为(4，0)， ∴OC =OB ，∴∠CBA ＝45°．
设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．
∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，
∴∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．
∴OE＝1，∴E(0，1)．
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．
2011中考真题精选
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）
A、﹣2
B、2
C、15
D、﹣15
考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。
分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案．
解答：解：∵y=ax2+bx﹣3过点（2，4），
∴4=4a+2b﹣3，
∴4a+2b=7，
∴8a+4b+1=237+1=15，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+2b=7是解决问题的关键．
二、解答题
1.（2011?泰州，27，12分）已知二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
解答：（1）解：把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3得：5=4﹣2b﹣3，
∴b=﹣2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=﹣4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0，
答：b的值是﹣2，当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0．
（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]=（m﹣2）2，
∵m≥5，
∴（m﹣2）2＞0，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
一、选择题
1.（2011?江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A、a＞0
B、当x＞1时，y随x的增大而增大
C、c＜0
D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根．
解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故B选项错误；
∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故C选项错误；
∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．
2.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
考点：二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B 、D ，
将点（0，1）代入A 中，得（x ﹣2）2+1=（0﹣2）2
+1=5，错误，
代入C 中，得（x ﹣2）2﹣3=（0﹣2）2
﹣3=1，正确． 故选C ．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除． 3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x 2
+1与双曲线y=
x
k
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式x
k +x 2
+1＜0的解集是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜﹣1
C ．0＜x ＜1
D ．﹣1＜x ＜0
考点：二次函数与不等式（组）。 专题：数形结合。 分析：根据图形双曲线y=x k 与抛物线y=x 2
+1的交点A 的横坐标是1，即可得出关于x 的不等式x
k +x 2+1＜0的解集．
解答：解：∵抛物线y=x 2
+1与双曲线y=x
k
的交点A 的横坐标是1， ∴关于x 的不等式
x
k +x 2
+1＜0的解集是﹣1＜x ＜0． 故选D ．
点评：本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式．
4. （2011江苏镇江常州，8，2分）已知二次函数y ＝－x 2
＋x －
1
5
，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取m ﹣1．m +1时对应的函数值为y 1．y 2，则y 1．y 2必须满足（ ） A ．y 1＞0．y 2＞0 B ．y 1＜0．y 2＜0 C ．y 1＜0．y 2＞0 D ．y 1＞0．y 2＜0
考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 专题：计算题．
分析：根据函数的解析式求得函数与x 轴的交点坐标，利用自变量x 取m 时对应的值大于0，确定m ﹣1．m +1的位置，进而确定函数值为y 1．y 2． 解答：解：令y ＝－x 2
＋x －
1
5
=0，
解得：x ， ∵当自变量x 取m 时对应的值大于0，
∴
510-＜m
＜510
+， ∴m ﹣1
m +1
， ∴y 1＜0．y 2＜0．
故选B ． 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标．
5. （2011山西，12，2分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为直线1x =，则下列结论
正确的是（ ）
A ．0ac >
B ．方程20ax bx c ++=的两根是121,3x x =-=
C ． 20a b -=
D ． 当x > 0时，y 随x 的增大而减小
考点：二次函数的图象及性质 专题：二次函数
分析：由二次函数的图象知0a ＜，，0c > ，所以0ac ＜
．故A 错．由-12b
a
=，知C 错．由二次函数的图象知当x > 1时，y 随x 的增大而减小，所以D 错，故选B ．
解答：B
点评：此题是针对学生的易错点设计的．掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
6.（2011陕西，10，3分）若二次函数c x x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则3
21y y y 、、大小关系正确的是（ ）
A ．321y y y >>
B ．231y y y >>
C ．312y y y >>
D ．213y y y >> 考点：二次函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。
分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-分别代入二次函数的解析式y=x 2
﹣
6x+c 求得y 1，y 2，y 3，然后比较它们的大小并作出选择．
解答：解：根据题意，得y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4﹣12+c=﹣8+c ，即y 2=﹣8+c ； y 3=9+2+62﹣18﹣62+c=
﹣7+c ，即y 3=﹣7+c ；∵8＞﹣7＞﹣8，∴7+c ＞﹣7+c ＞﹣8+c ，即y 1＞y 3＞y 2．
第12题
故选B ．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立．
7. 抛物线y=-（x+2）2
-3的顶点坐标是（ ）
A 、（2，-3）
B 、（-2，3）
C 、（2，3）
D 、（-2，-3） 考点：二次函数的性质． 专题：计算题．
分析：已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标． 解答：解：∵抛物线y=-（x+2）2-3为抛物线解析式的顶点式， ∴抛物线顶点坐标是（-2，-3）． 故选D ．
点评：本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标是（h ，k ）． 8. （2011四川广安，10，3分）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＝l
B ．m >l
C ．m ≥l D．m ≤l 考点：二次函数的性质 专题：二次函数
分析：二次函数2()1y x m =--的开口向上，其对称轴为直线x m =，顶点坐标为(),1m -，在对称轴的左侧，当x m <时，y 随x 的增大而减小．因为当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，所以直线1x =应在对称轴直线x m =的左侧或与对称轴重合，则1m ≥．
解答：C
点评：解决该题的关键是掌握二次函数()2
y a x h k =-+的图象与性质，利用性质判断图象的增减规律来进行判断，要注意直线1x =与抛物线的对称轴之间的位置关系，这是解决问题的突破口．
9.（2011?台湾19，4分）坐标平面上，二次函数y=x 2
﹣6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（ ） A 、x=50 B 、x=﹣50 C 、y=50 D 、y=﹣50 考点：二次函数的性质。 专题：计算题。
分析：用配方法判断函数y 的取值范围，再对x 、y 的取值范围进行判断．
解答：解：∵y=x 2﹣6x+3=（x ﹣3）2
﹣6≥﹣6， 而函数式中，x 可取全体实数，
∴二次函数图象与方程y=﹣50无交点． 故选D ．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是运用配方法求y 的取值范围．
10. （2011?台湾28，4分）如图为坐标平面上二次函数y=ax 2
+bx+c 的图形，且此图形通（﹣1，1）、（2，﹣1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（ ）
A 、y 的最大值小于0
B 、当x=0时，y 的值大于1
C 、当x=1时，y 的值大于1
D 、当x=3时，y 的值小于0 考点：二次函数图象上点的坐标特征。 专题：数形结合。
分析：根据图象的对称轴的位置[在点（﹣1，1）的左边]、开口方向、直接回答．
解答：解：A 、由图象知，点（﹣1，1）在图象的对称轴的右边，所以y 的最大值大于0；故本选项错误； B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 的交点在（﹣1，1）点的右边，故y ＜1；故本选项错误；
C 、∵二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象经过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，∴该函数图象的对称轴x=﹣
a
b
2＞0，∴a ﹣b+c=1；而当x=1时，y=a+b+c≠1；故本选项错误．
D 、当x=3时，函数图象上的点在点（2，﹣1）的右边，所以y 的值小于0；故本选项正确； 故选D ．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，须熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x 轴的交点等知识点．
11. （2011台湾，6，4分）若下列有一图形为二次函数y ＝2x 2
－8x ＋6的图形，则此图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：二次函数的图象。 专题：函数思想。
分析：根据二次函数的解析式y ＝2x 2
－8x ＋6求得函数图象与y 轴的交点及对称轴，并作出选择． 解答：解：①当x ＝0时，y ＝6，及二次函数的图象经过点（0，6）； ②二次函数的图象的对称轴是：x ＝2
8
?--
x ＝2，即x ＝2； 综合①②，符合条件的图象是A ； 故选A ．
点评：本题考查了二次函数的图象．解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y 轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择．
12. （2010重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ． a >0
B ． b ＜0
C ． c ＜0
D ． a ＋b ＋c >0 考点：二次函数图象与系数的关系
分析：根据抛物线的开口方向判断a 的正负；根据对称轴在y 轴的右侧，得到a ，b 异号，可判断b 的正负；根据抛物线与y 轴的交点为（0，c ），判断c 的正负；由自变量x =1得到对应的函数值为正，判断a +b +c 的正负．
7题图
解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；又∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0；又∵抛
物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，又x =1，对应的函数值在x 轴上方，即x =1，y =ax 2
+bx +c =a +b +c ＞0；所以A ，B ，C 选项都错，D 选项正确．故选D ．
点评：本题考查了抛物线y =ax 2
+bx +c （a ≠0）中各系数的作用：a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下；对称轴为
x =﹣
2b
a
，a ，b 同号，对称轴在y 轴的左侧；a ，b 异号，对称轴在y 轴的右侧；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），c ＞0，与y 轴正半轴相交；c ＜0，与y 轴负半轴相交；c =0，过原点．
13. 已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x -5)2-1(x ＞3)，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 考点：二次函数的图象． 专题：数形结合．
分析：首先在坐标系中画出已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x -5)2-1(x ＞3)的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k 成立的x 值恰好有三个的k 值．
解答：解：函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x -5)2-1(x ＞3)的图象如图：
，
根据图象知道当y=3时，对应成立的x 有恰好有三个， ∴k=3． 故选D ． 点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
14. （2011?河池）把二次函数y=x 2
的图象沿着x 轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（ ）
A 、y=（x+2）2+3
B 、y=（x ﹣2）2
+3
C 、y=（x+2）2﹣3
D 、y=（x ﹣2）2
﹣3 考点：二次函数图象与几何变换。 专题：动点型。
分析：易得新抛物线的顶点，根据二次函数的平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新抛物线的解析式． 解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0）， ∴新抛物线的顶点为（2，3），
∴新抛物线的解析式为y=（x ﹣2）2
+3， 故选B ．
点评：考查二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．
15. （2011?青海）将y=2x 2
的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A 、y=2x 2+2
B 、y=2（x+2）2
C 、y=（x ﹣2）2
D 、y=2x 2
﹣2
考点：二次函数图象与几何变换。
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x 2
的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：
y=2（x+2）2
． 故选：B ．
点评：此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 16.（2011，台湾省，8,5分）如图，坐标平面上二次函数y=x 2
+1的图形通过A 、B 两点，且坐标分别为（a ，
）、
（b ，），则AB 的长度为何？（ ）
A 、5
B 、
C 、
D 、
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：将纵坐标的值代入函数式求横坐标a 、b 的值，根据AB=|a ﹣b|求解． 解答：解：把y=
代入y=x 2
+1中，得
=x 2
+1，
即x 2
=
，解得x=±，∴a=，b=﹣，∴AB=﹣（﹣）=5．
故选A ．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称．
17. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()2
23y x =+-可以由抛物线2
y x =平移得到,则下列平移过程正确的
是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】探究型．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
18.（2011?德州6，3分）已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b
的图象可能正确的是（）
A、B、
C、D、
考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据图象可得出方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．
解答：解：根据图象可得a，b异号，
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握，
19.（2011山东菏泽，8，4分）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A．B．C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）
A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜0
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据OA=OC=1和图象得到C（0，1），A（﹣1，0），把C（0，1）代入求出c=1，把A（﹣1，0）代入即可求出答案．
解答：解：∵OA =OC =1，∴由图象知：C （0，1），A （﹣1，0），把C （0，1）代入得：c =1，把A （﹣1，0）代入得：a ﹣b =﹣1，故选B ．
点评：本题主要考查对抛物线与X 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出A ．C 的坐标是解此题的关键．
20. （2011?莱芜）已知二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c ）x 的图象与反比例函数y=
x
a
的图象在同一坐标系中大致是（ ）
B x
x
x
x
x
考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象。
分析：由已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，再利用f （0）和f （1）的值即可确定c 的取值，然后就可以确定反比例函数y=x
a
与正比例函数y=（b+c ）x 在同一坐标系内的大致图象．
解答：解：∵二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象开口方向向下， ∴a ＜0，
对称轴在y 轴的右边， ∴x=﹣
a
b
2＞0， ∴b ＞0，
当x=0时，y=c ＜0，
当x=1时，a+b+c=0，故知a+b ＞0， ∴反比例函数y=
x
a
的图象在第二四象限， 正比例函数y=（b+c ）x 的图象在第一三象限． 故选A ．
点评：本题主要考查函数图象的知识点，此题从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值及f （0）和f （1）的值确定c 的取值范围．
21. （2011年山东省威海市，7，3分）二次函数y=x 2
–2x –3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范
围是（ ）
第1-3讲 二次函数全章综合提高 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2、二次函数的三种解析式（表达式） 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ????
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数性质 二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。这些内容是中考二次函数重点考查内容，关 于这些知识点的考查常以下面的题型出现。 一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标 例1、对于抛物线21(5)33 y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)， B ．开口向上，顶点坐标 (53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-， D ．开口向上，顶点坐标(53)-， 二、求抛物线的对称轴 例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。 三、求二次函数的最值 例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2 y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4 m D.有最小值4m - 四、根据图象判断系数的符号 例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 五、比较函数值的大小 例5、若A （1,413y -），B （2,4 5y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y << D ．132y y y << 六、二次函数的平移
例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. 2(1)3y x =--- B. 2(1)3y x =-+- C. 2(1)3y x =--+ D. 2(1)3y x =-++ 例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ） A.1)1(32---=x y B. 1)1(32-+-=x y C.1)1(32+--=x y D. 1)1(32++-=x y 例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0). (1) 求该二次函数解析式; (2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. （1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？ （3）如果抛物线2339424 y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）． 七、求代数式的值 例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ， ，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 八、求与坐标轴的交点坐标 例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系十分密
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数． 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质 ? 2. 二次函数()2 =-+的图象与性质 y a x h k （1）二次函数基本形式2 =的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 y ax （2）2 =+的图象与性质：上加下减 y ax c
（3）()2 y a x h =-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2 y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质 （1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 2 44ac b a -．
4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ② 可以由抛物线2 ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数专题复习 专题一：二次函数的图象与性质 本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现. 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2 44ac b a -）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值； （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第 一、三、四象限 考点3、二次函数的平移 当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0 ）的图 图1
象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习1 1.对于抛物线y=13 -x 2+103 x 163 -，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 专题复习二：二次函数表达式的确定 本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主. 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1、如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与 图2 A B C D 图1 菜园 墙
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
二次函数 考点一：二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的是 2 8 _ Ay =8x +1 B. y = —8x —1 C.y =— D.y =—^ —4 x x 2 【例2】已知函数y =（m 2-2m ）x m 饷?4-3mx ?（m ?1）是二次函数，则m 二 2 【针对训练】若函数y=（m-2）x m ，mx 是二次函数，则该函数的表达式为 y 二 考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】已知点a,8在二次函数y 二ax 2的图象上，贝U a 的值是（） A.2 B. -2 C. 一2 D. _、2 【例2】若二次 函数y = ax 2 bx c 的与的部 分对 应值如下表，则当x 「-1时，y 的值为 A.5 B. -3 C. -13 -27 【针对训练】1、过（-1,0）（3,0）（1,2三点的抛物线的顶点坐标是（ J J ’ 2 ’ 14 A. 1,2 B.（1 自 C. -1,5 D.（2,f ） 2、无论m 为何实数，二次函数y=x 2-2-mx ，m 的图象总是过定点（） A 1,3 B. 1,0 C. -1,3 D -1,0 【例3】如图所 示，在平面直角坐标系中，二次函数 ax 2 bx c 的图象顶点为A -2,-2， 且过点B0,2，则y 与x 的函数关系式为（ ） A. y =x 2 +2 B. y =（x —2 f +2 C. y =（x —2 丫 — 2 D. y =（x + 2）2 — 2 【针对训练】过（-1,0）,（3,0）,（1,2）三点的抛物线的顶点坐标是 ____ 。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 a,b,c 的关系） () 3 x -7 -6 -5 -4 -3 —2 y -27 -13 _ 3 3 5 3
《二次函数》单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中属于二次函数的是（ ） （A ）y ＝12x （B ）y ＝x 2＋1x ＋1 （C ）y ＝2x 2-1 （D ）y ＝x 2＋3 2．下列抛物线中与y ＝-12 x 2+3x -5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（ ） （A ）y ＝x 2+3x -5 （B ）y ＝-12x 2+2x （C ）y ＝12x 2+3x -5 （D ）y ＝12 x 2 3．抛物线y ＝(x -1)2＋5的对称轴是（ ） （A ）直线x ＝1 （B ）直线x ＝5 （C ）直线x ＝-1 （D ）直线x ＝-5 4．抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （A ）y ＝2(x -1)2-2 （B ）y ＝2(x ＋1)2-2 （C ）y ＝2(x ＋1)2＋2 （D ）y ＝2(x -1)2＋2 5．下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( ) 6 2 D ）（0，-7）7c 0 0 8．二次函数y ＝2x 2＋x -1的图象与x 轴的交点的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 9．抛物线y ＝-2x 2-x ＋1的顶点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 10．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ） （A ）y ＝60(1-x )2 （B ）y ＝60(1-x ) （C ）y ＝60-x 2 （D ）y ＝60(1+ x )2 二、填空题（每题3分，共30分） 1．若y ＝(a -1)231a x 是关于x 的二次函数，则a ＝ ． 2．抛物线 y ＝-2(x ＋1)2＋3的顶点坐标是 ． 3．对于函数y ＝x 2-3x ，当x ＝-1时，y ＝ ； 当y ＝-2时，x ＝ ． 4．如果一条抛物线的形状与y ＝-2x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，则它的解析式 是 ． 5．将抛物线y ＝13 x 2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y ＝ ． 6．抛物线y ＝x 2 ＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为 ． 7．抛物线y ＝(m -2)x 2＋2x ＋(m 2-4) 的图象经过原点，则m ＝ ． 8．函数y ＝3x 2与直线y ＝kx ＋3的交点为(2，b )，则k ＝______，b ＝______． 9．直线y ＝2x +2与抛物线y ＝x 2+3x 的交点坐标为________． 10．用配方法把y ＝-x 2＋4x ＋5化为y ＝a (x -h )2＋k 的形式为y ＝ ，其开口方 （A ） （B ） （C ） （D ） （第7题）
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 二次函数 考点一：二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的是（ ） 【例2】已知函数22 34 (2)3(1)m m y m m x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。 【针对训练】若函数 2 2(2)m y m x mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。 考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】已知点()8,a 在二次函数2 ax y =的图象上，则a 的值是（） 【例2】若二次函数c bx ax y ++=2 的 x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（ ） 【针对训练】1、过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ） 2、无论m 为何实数，二次函数2 x y =()m x m +--2的图象总是过定点（ ） 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2 的图象顶点为 ()2,2.--A ，且过点 ()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ） 【针对训练】过()0,1-，()0,3，()2,1三点的抛物线的顶点坐标是_____。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系） 【例1】已知二次函数b x a y -+=2 )1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ） .A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定 【针对训练】 1、二次函数1422 --=x x y 的最小值是 。 2、二次函数3)1(22 +--=x y 的图象的顶点坐标是（ ） 3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ） 【例2】抛物线3)2(2 -+=x y 可以由抛物线2 x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） .A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【针对训练】 1、已知下列函数：（1）2 x y =；（2）2 x y -=；（3）2)1(2 +-=x y 。其中，图象通过平移可以得到函数322 -+=x x y 的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。 2、将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。 3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
二次函数单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列函数中属于二次函数的是（ ） A 、 12y x = B 、21 1y x x =++ C 、221y x =- D 、y =2、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A 、直线1x = B 、直线3x = C 、直线1x =- D 、直线3x =- 3、抛物线21 5 y x =-不具有的性质是（ ） A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点 4、若A （1,413y - ），B （2,45y -），C （3,4 1 y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A 、123y y y << B 、213y y y << C 、312y y y << D 、132y y y << 5、抛物线221y x x =--+的顶点在（ ） A 、 第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6、二次函数221y kx x =--的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是（ ） A 、k>-1 B 、10k k ≥-≠且 C 、1k ≥- D 、10k k >-≠且 7、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ) Ａ、23(1)2y x =-- Ｂ、23(1)2y x =+- C 、23(1)2y x =++ D 、23(1)2y x =-+ 8、已知二次函数22y x mx m =-+-1的图象经过原点，与x 轴的另一个交点A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为（ ） A 、32 B 、2 C 、1 D 、1 2 9、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下列结论：
二次函数 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ????
二次函数测试题 一、选择题：（每题3分，共30分） 1、抛物线()322+-=x y 的顶点坐标是（ ） A （－2，3） B （2，3） C （－2，－3） D （2，－3） 2、抛物线21 323y x x =-+-与2y ax =的形状相同，而开口方向相反， 则a =（ ） A 13- B 3 C 3- D 1 3 3．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 4．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y 6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 7．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ） A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1)
8．18.已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象经过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C(2,y 3),则有( ) (A) y 1
第二十二章 二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数及y ＝ax 2的图象和性质 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( ) ①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．把160元的电器连续两次降价后的价格为y 元，若平均每次降价的百分率是x ，则y 与x 的函数关系式为( ) A ．y ＝320(x －1) B ．y ＝320(1－x ) C ．y ＝160(1－x 2) D ．y ＝160(1－x )2 3．若函数y ＝2 26a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3 4．关于函数y ＝x 2的性质表达正确的一项是( ) A ．无论x 为任何实数，y 值总为正 B ．当x 值增大时，y 的值也增大 C ．它的图象关于y 轴对称 D ．它的图象在第一、三象限内 5．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m __________时，该函数为二次函数； (2)当m __________时，该函数为一次函数． 6．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是______，当a >0时，开口向______；当a <0时，开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______． 7．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
专项训练三 二次函数 一、选择题 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．s ＝2t 2－2t ＋1 D ．y ＝x 2＋1x 2．二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象的对称轴为( ) A ．x ＝4 B ．x ＝－4 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 3．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－2(x ＋1)2 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2 D ．y ＝－2(x －1)2＋1 4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( ) A ．6cm B ．12cm C ．24cm D ．36cm 5．(兰州中考)点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3＞y 2＞y 1 B ．y 3＞y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＝y 2＞y 3 6．(毕节中考)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 7．(兰州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，有以下结论： ①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a ＋b ＝0；④a －b ＋c ＞2.其中正确的结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、 BC ，则tan ∠CAB 的值为( ) A.12 B.55 C.255 D ．2 二、填空题 9．(河南中考)已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________． 10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________． 11．(大连中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A 、B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________． 第11题图 第14条图 12．(台州中考)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向
九年级数学（人教版）下学期单元试卷（一） 内容： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） =(x －1)(x+2) = 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2 ＋3 B. y ＝x 2 －3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2 ＋的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）
2016中考 二次函数专题复习 教师寄语：二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷的分析，预计今年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大. 学习要求：中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数解析式求法、二次函数的实际应用.考查的题型常以填空题、选择题和解答题的形式出现.在复习二次函数的基础知识时,要注重待定系数法、函数思想、数形结合等等思想方法的应用。 教师应对策略：从学生对基础知识 基本技能的掌握入手，从图象入手，紧紧抓住二次函数的性质设计基础题，中等题与中考综合题，分三层次进行有效训练会比较好。通过具体题目的师生共同分析，引导学生梳理整章知识点，在题目分析中注重让学生自己开动脑筋去发现问题，进而找出解决问题的方法，教会学生如何去应对较复杂的二次函数的综合题。 知识点复习回顾： 一、二次函数概念 二、二次函数的基本形式 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 左加右减，上加下减 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当
二次函数专题训练 (一) 1、已知：抛物线 y=ax 2+6ax+c 与 x 轴的一个交点为 A （ -2,0） ①求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标。 ②点 C 是抛物线与 y 轴的交点， D 是抛物线上一点，且以AB 为一底的梯形 ABCD 的面积 为 32，求此抛物线的解析式。 ③ E 是第二象限内到 x 轴、 y 轴距离之比为 3： 1 的点。若 E 在②中的抛物线上，且a＞0, E 和 A 在对称轴同侧。问在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使△ APE 周长最小。若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由。 2、二次函数y=x 2－ 2（ m－ 1）x－ 1－ m 的图像与x 轴交于两点A（ x1,0）和 B （x2,0）， 11 2 x 1＜ 0＜ x2 ,与 y 轴交于点C，且满足 AO BO CO ①求这个二次函数的解析式 ②是否存在着直线 y=kx+b 与抛物线交于点 P、Q，使 y 轴平分△ CPQ 的面积。若存在，求出 k、 b 应满足的条件，若不存在，请说明理由。
3、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴相交于 A 、 B 两点，与y 轴交于 C 点。△ ABC 为直角 三角形。 ①求代数式ac 的值 ②如果 A O： BO= 1： 3，且 2A O· CO=3 ，求此二次函数的解析式。 y C x A o B 4、已知抛物线y=x 2－ (2k－ 1)x＋4k－ 6 与 x 轴交于原点异侧两点 A （ x1,0）和 B（ x2,0） , x 1 ＜x2,它的对称轴与 x 轴交于点 N （x3,0），若 A 、 B 两点间的距离小于 6。①求 k 的取值范围 ②试判断：是否存在 k 的值 ,使过点 A 和点 N 能作圆与 y 轴切于点（ 0,1）,或过点 B 和点 N 能作圆与y 轴切于点（ 0,1） .若存在 ,找出所有满足条件的值，若不存在，请说明理由。
二次函数单元测 评 、选择题( 每题3分，共30 分) 1.下列关系 式中，属于二次函数的是 A. B. 2. 函数y=x2-2x+3 的图象的顶点坐标是( (x 为自变 量)( C. A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1， 3. 抛物线y=2(x-3) 2的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 ) 2) C. x 轴上 D. D.(0，3) D. y 轴上 、 4. 抛物 线 A. x=-2 5. 已知二次函数 A. ab>0， c>0 D. ab<0， c<0 的对称轴是( B.x=2 C. x=-4 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论 中，正确的是( B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 ) D. x=4 2 6. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则 点___象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B，且m>4 ，那 么AB 的长是( A. 4+m C. 2m-8 B. m D. 8-2m 8. 若一次函数 的图象只可能是( y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx ) 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 系是( )A. y 1
相关主题
文本预览