公倍数和最小公倍数答案
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教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．20和30的公倍数有无数个．√．
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．
分析：20和30的最小公倍数是60，所以它的公倍数有60n（n是非零的自然数）个如：60，120，180…据此解答．
解答：解：20和30的公倍数有无数个．正确．
故答案为：√．
点评：本题主要考查了学生对公倍数知识的掌握情况．
例2．如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积．正确．
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；据此进行判断．
解答：解：如果A和B是互质数，
那么A和B的最小公倍数是它们的乘积；
故答案为：正确．
点评：此题考查了互质的两个自然数的最大公因数和最小公倍数的求法．
例3．一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？
考点：公倍数和最小公倍数；长方形、正方形的面积．
分析：要把它截成边长是最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为长方形长与宽的最大公约数，求出正方形的边长，然后计算长与宽里面分别有几个边长，相乘的积就是要截的正方形的个数．
解答：解：要把它截成边长是最大的正方形，
纸片的边长应是28与40的最大公约数为4厘米，
28÷4=7，
40÷4=10，
7×10=70．
答：一共可以截70块．
点评：此题是把实际问题转化为求最大公约数问题．
例4．五年级A班在分组进行大扫除时，8人一组或6人一组都刚好分完．如果这个班人数在50人以内，那么，五年级A班可能是多少人？
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：要求五年级A班可能是多少人，即求8和6的公倍数是多少，先根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；先求出最小公倍数，然后结合题意，得出结论．
解答：解：8=2×2×2，6=2×3，
8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24；50以内8和6的公倍数有24，24×2=48；所以可能是24人，也可能是48人；
答：五年级A班可能是24人，还可能是48人．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例5．在□里填上合适的数，组成四位数，使它有因数2，且是3和5的公倍数．
162□
5□2□
14□□
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．
分析：既有因数3，又是2和5的公倍数的数，就是同时是2、3、5的公倍数，要想满足是3的倍数，个位上可以是0、3、6、9，而0、3、6、9中只有0能满足同时是2和5的倍数，即个位上是0即可满足同时是2、3、5的公倍数；由此解答即可．
解答：解：1620，是2、3、5的倍数；
5220，是2、3、5的倍数；
1440，是2、3、5倍数．
故答案为：0，2、0，4、0．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位上是0的数同时是2和5的倍数．演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共18小题）
1．（2014?东莞）有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，这两个数的和是（）
A．96 B．48 C．60
考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
专题：数的整除．
分析：先将6和90分解质因数，求得符合条件的两个两位数，再相加即可求解．
解答：解：6=2×3，
90=2×3×3×5，
一个数是：2×3×3=18，
另一个数是：2×3×5=30，
这两个数的和是：18+30=48．
故选：B．
点评：此题考查了合数分解质因数和求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数．
2．（2013?南京）任意两个数的（）的个数是无限的．
A．公倍数B．公因数C．最小公倍数D．最大公因数
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．
分析：一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，由此解决问题即可．
解答：解：由分析可知：任意两个数的公倍数的个数是无限的；
故选：A．
点评：本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数的意义．
3．（2012?白云区）红星小学六年级四个班的学生人数在165到170之间，其中男女人数的比是3：4，那么六年级学生的总人数是（）
A．166 B．167 C．168 D．169
考点：公倍数和最小公倍数；找一个数的倍数的方法．
专题：压轴题；数的整除．
分析：男女人数的比是3：4，六年级学生的总人数一共占7份，所以学生总人数一定是7的倍数，在165到170之间找出7的倍数即可．
解答：解：3+4=7，
168÷7=24，
168是7的倍数，
答：六年级学生的总人数是168人．
故选：C．
点评：此题主要利用找一个数的倍数的方法解决问题．
4．（2012?德江县模拟）32以内3和5的公倍数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出32以内的公倍数，数出即可．
解答：解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，
32以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，共有2个．
故选：B．
点评：本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．
5．（2012?静宁县模拟）两个数的（）的个数是无限的．
A．公因数B．公倍数C．最小公倍数
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：根据公因数，公倍数、最小公倍数的意义解答．
解答：解：公因数是两个数公有的因数，公因数的个数是有限的，
公倍数是两个数公有的倍数，公倍数的个数是无限的，
公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数；
故选：B．
点评：本题主要考查公因数，公倍数、最小公倍数的意义．
6．（2012?儋州模拟）a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是（）A．a b B．2ab C．a+b D．a b÷2
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：首先理解偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．再根据公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．
解答：解：相邻的偶数相差2，根据求两个数的最小公倍数的方法，先把这两个数分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
例如：4和6的最小公倍数，
4=2×2，
6=2×3，
4和6的最小公倍数是：2×2×3=12.12是4和6的乘积的一半．
所以，a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是ab÷2．
故选：D．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．
7．（2011?来安县）323至少要加上（）才是2和3的公倍数．
A．1B．2C．3D．4
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．
分析：根据“个位上的数字是0、2、4、6、8的数字能被2整除”，所以323加1、3、5、7、9…才是2的倍数，能被3整除的数的特征是：“各个数位上的数字之和是3的倍数的数”，由此即可解答．
解答：解：323+1=324，
3+2+4=9，
所以324也是3的倍数，
答：323至少加上1才是2和3的公倍数．
故选：A．
点评：解答此题的关键：（1）能被2整除的数的特征；（2）能被3整除的数的特征．
8．（2010?大安区）a、b、c是非零自然数，a×b=c，下面的说法正确的是（）
A．a是b的最大公因数B．b是a和c的公因数
C．c是a和b的公倍数D．c是a和b的最小公倍数
考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：根据公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，进行解答即可．解答：解：a、b、c是非零自然数，a×b=c，即a和b是c的约数，c是a和b的公倍数；
故选：C．
点评：此题考查公倍数的意义，应明确其意义，并能灵活运用．
9．（2008?扬州）同学们去社区做好事，每组6人或9人，都正好不多也不少．去社区做好事的同学至少有（）人．
A．3B．9C．18 D．54
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：根据每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数既是3的倍数也是9的倍数，即是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数，据此解答．
解答：解：6的倍数有6，12，18，24，30，36，42…，
9的倍数有：9，18，27，36，45…，
6和9的最小公倍数是18；
故选：C．
点评：解答本题关键是由每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数．
10．（2008?金坛市）下面四句话中，表述正确的语句共有（）
（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大．
（2）两个数的公倍数一定比这两个数都大．
（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一
（4）若干个相同的梯形一定能够进行图形密铺．
A．1句B．2句C．3句D．4句
考点：公倍数和最小公倍数；图形的密铺；正方形的周长；圆、圆环的周长；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
专题：压轴题．
分析：根据题意，对各题进行依次分析，进而得出结论．
解答：解：（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大，说法正确；
（2）因为当两数是倍数关系时，较小的数是他们的最大公约数，较大的数是他们的最小公倍数；所两个数的公倍数一定比这两个数都大，说法错误；
（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，属于理解和掌握的知识，应牢记；说法正确；
（4）当拼接点处几个角的和为360度时，若干个相同的梯形可以进行图形密铺，但不是一定，故说法错误；
故选：B．
点评：此题涉及的面较广，解答此题的关键是对各题进行依次分析，通过分析，得出结论．
11．m与n都是非零的自然数，m=12n，m和n的最小公倍数是（）
A．12 B．m C．n
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．
分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
解答：解：m与n都是非零的自然数，m=12n，则：m÷n=12，数m是数n的12倍，属于倍数关系，m＞n，
所以，m和n的最小公倍数是m；
故选：B．
点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．
12．71以内3和5的公倍数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．
分析：互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出71以内的3和5的公倍数，数出即可．
解答：解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，
71以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，共有4个．
故选：D．
点评：本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．
13．有任何两个自然数的（）的个数是无限的．
A．公倍数B．公因数C．倍数
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：根据公约数和公倍数的意义可知；公约数是两个数的公有的质因数，有最大公因数个数是有限的，公倍数是两个数共有的质因数和各自独有的质因数的乘积，有最小公倍数，个数是无限的，据此解答．
解答：解：如4，8
4，8的公因数有1，2，4
4，8的公倍数有8，16，24，32…有无数个，
所以任何两个自然数的公倍数的个数是无限的
故选：A
点评：主要考查公倍数的意义，有最小而没有最大的．
14．48是6和8的（）
A．最大公约数B．公倍数C．最小公倍数
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，因为48既是6的倍数，又是8的倍数，而6和8不是互质数，所以48是6和8的公倍数，但不是最小公倍数．
解答：解：因为48既是6的倍数，又是8的倍数，且6和8不互质，
所以48是6和8的公倍数．
故选B．
点评：此题主要考查公倍数和最小公倍数的意义．
15．下面各组数中公倍数有36的是（）
A．12和8 B．21和14 C．6和18 D．8和9
考点：公倍数和最小公倍数．
分析：根据几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，以此即可推出答案．
解答：解：A、36是12的倍数，但不是8的倍数．
B、36既不是21的倍数也不是14的倍数．
C、36既是6的倍数又是18的倍数．
D、36是9的倍数，但不是8的倍数．
故选C．
点评：此题主要考查倍数与公倍数的意义．
16．同时是2、3、5的倍数的两位数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：公倍数和最小公倍数．
专题：数的整除．