第一章 行列式
来源：线性代数精品课程组 作者：线性代数精品课程组
1．教学目的和要求：
(1) 使学生了解行列式概念，掌握行列式的性质.
(2) 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 2．教学重点： (1) 行列式的定义.
(2) 行列式的性质及行列式按行（列）展开定理. (3) 克拉默法则. (4) 行列式的计算.
3．教学难点： 四阶及n 阶行列式的计算. 4．教学内容：
§1 二阶与三阶行列式
一、 一、 二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
??
?=+=+22221211212111b x a x a b x a x a (1)
为消去未知数2x ,以22a 与12a 分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得
()212221*********b a a b x a a a a -=-,
类似地消去1x ,得
()211211*********a b b a x a a a a -=-
当021122211≠-a a a a 时,求得方程组（1）的解为
2112221121
1211221
1222112
122211,
a a a a a
b b a x a a a a b a a b x --=
--=
(2)
(2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母21122211a a a a -是由
方程组（1）的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组（1）中的位置,排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表
222112
11a a a a (3) 表达示21122211a a a a -称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作
2221
12
11a a a a (4)
数ij a 称为行列式(4)的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标,表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式(4)的),(j i 元.
利用二阶行列式的概念，(2)式中21,x x 的分子也可写成二阶行列式，即
222
12
1212221a b a b b a a b =
-，
221
111211211b a b a a b b a =
-
若记
22211211a a a a D =， 22212
11a b a b D = 2
211112
b a b a D =,
那末(2)式可写成
D D x D D x 2
211,==. 例1求解二元线性方程组??
?=+=-1
212232121x x x x
二、 二、 三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表 3332
31
23
2221
131211
a a a a a a a a a （5）
记
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a
=31221333211232231132211331231233
2211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ (6)
称(6)式为数表(5)所确定的三阶行列式。
例2 计算三阶行列式
2
431
224
21
----=D
例3 求解方程
094321
112
=x x
§2 全排列及其逆序数
1. 排列： 把n 个不同的元素排成一列．
例如, 自然数1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3！=6） 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种． 例1 互异元素n p p p ,,,21 构成的不同排列有!n 种． 解 在n 个元素中选取1个 n 种取法 在剩余1-n 个元素中选取1个 1-n 种取法 在剩余2-n 个元素中选取1个 2-n 种取法 ……………… ………… 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 ------------------ 总共!n 种取法
2．标准排列：n 个不同的自然数从小到大构成的排列．
n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．
3．逆序数：
(1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序．
(2) 排列n p p p 21中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作)(21n p p p τ． 算法：固定),,2(n i =, 当i j <时,
满足i j p p >的“j p ”的个数记作i τ（称为i p 的逆序数）, 那么)(21n p p p τn ττ++= 2． 例2 排列8372451中,
51=6+2+2+3+1+1=++=72τττ ．
例3 排列42)22)(2)(12(13 --n n n , 求逆序数． 解 记作n n n n n p p p p p p p 2122121-++
02=τ, 0,1=+n τ
1222?==+n τ, 2243?==+n τ, …, )1(22-?=n n τ
)1()]1(21[2-=-+++=n n n τ 4．奇偶性：排列n p p p 21
=)(21n p p p τ奇数时, 称为奇排列； =)(21n p p p τ偶数时, 称为偶排列． 5．对换：
相邻对换：n i i n i i p p p p p p p p 1111++→
一般对换：n i j n j i p p p p p p p p 11→)(j i <
定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．
推论 奇排列→标准排列, 对换次数为奇数． 偶排列→标准排列, 对换次数为偶数．
§3 n 阶行列式的定义
1．二阶： 21
12221122
2112
11a a a a a a a a -=
2．三阶： 32211331231233221133
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=
312213332112322311a a a a a a a a a --- 分析上式右端每一项的乘积可知：
(1) 乘积中三个数位于不同行、不同列，记作：321321p p p a a a ± 行标(第1个下标)：标准排列 123
列标(第2个下标)：321p p p 是1,2,3的某个排列(共6种)
(2) 正项：123, 231, 312为偶排列 负项：132, 213, 321为奇排列
于是
3
21321321)
(33
32
31
23222113
1211)1(p p p p p p a a a a a a a a a a a a ∑-=τ, )(321p p p ττ=．
3．n 阶：2
n 个数),,2,1,(n j i a ij =排成n 行n 列的数表， 称
nn n n n
n a a a a a a a a a D
21
22221
11211
=
为n 阶行列式, 它表示数值
n
n np p p p p p a a a
21
2121)
()1(∑-τ,
)(21n p p p ττ=
其中, 求和式中共有!n 项．
例4 计算
nn n n a a a a a a D
222
11211
1=
,
1
1,22111
,1112n n n
n a a a a a a D --=
.
解 1D 中只有一项nn a a a 2211不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 0)12(=n τ, 故nn nn a a a a a a D 221122111)1(=-=τ
． 2D 中只有一项11,21n n n a a a -不显含0, 且列标构成排列的逆序数为
2)1()1(21)21(-=
-+++=n n n n τ
故11,212
)1(11,212)
1()1(n n n n n n n n a a a a a a D ----=-=τ
．
结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素
的乘积．
以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号2
)1()1(--n n ．
特例：
n
n λλλλλλ
212
1
=，
n
n n n
λλλλλλ
212
)1(2
1
)
1(--=
定理2
n q q q q q q q q q nn
n n n
n
n n n a a a a a a a a a a a a D
21)
()(21
22221
11211
212121)1(∑-==
τ (2)
证 由定义知
n
n n np p p p p p p p p a a a D 21212121)
()
()1(∑-=
τ
(1)
先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得
n n n n np p p q q q n q q q q q q a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ-=- (3) ① =)(21n q q q τ偶数
n q q q n 1221→ 偶数次对换 n p p p n 2112→ 偶数次对换 所以=)(21n p p p τ偶数 ② =)(21n q q q τ奇数
n q q q n 1221→ 奇数次对换 n p p p n 2112→ 奇数次对换 所以=)(21n p p p τ奇数
因此)()(2121)1()1(n n p p p q q q ττ-=-, 由(3)可得
n n n n np p p p p p n q q q q q q a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ-=- 同理可证(1)中的项都是(2)中的项．
课后作业：习题一 1，2，3
§5 行列式的性质
性质1 设
nn n n a a a a D 1111=, nn n n a a a a D
11
11Τ=, 则D D =Τ．
证 令),,2,1,(n j i a b ji ij ==, 则
nn
n b b b b D
1n
111Τ=n
n np p p p p p b b
b
2
12121)
()1(∑-=
τ
)(21n p p p ττ=
D
a a a
n p p p p p p n n =-=
∑ 21
)
(2121)1(τ (根据定理2)
性质2 设
jn j in
i a a a a D j i 11,=<,
in
i jn
j a a a a D 111=, 则D D -=1．
推论1 D 对调两列得2D D D -=?2．
证 因为D 对调两列得2D , 相当于T
D 对调两行得T
2D
所以D D D D -=-==T
T 22
推论2 D 中某两行(列)元素对应相等0=?D ． 证 因为对调此两行(列)后,D 的形式不变 所以0=?-=D D D
例如 对于任意的c b a ,,, 都有03213
21=c b a ．
性质3
kD a a ka ka a a nn
n in i n
=
1
1111,
kD a ka a a ka a nn
nj
n n
j =
11111
证(1) 左端])([)1(11n i np ip p a ka a ∑
-= τ
)(1n i p p p τ
kD a a a k n i np ip p =-=∑)()1(11 τ 推论1 D 中某行(列)元素全为00=?D ． 推论2 D 中某两行(列)元素成比例0=?D ．
性质4 若对某个i , 有),,2,1(n j c b a ij ij ij =+=, 则
nn n in i n a a a a a a 1
1111nn n in i n a a b b a a 11111=nn n in i n
a a c c a a 11111+
证 左端)()1(11n i np ip p a a a ∑
-= τ
)(1n i p p p τ
)()1(11n i np ip p a b a ∑-= τ)()1(11n i np ip p a c a ∑-+ τ
=右端(1)+ 右端(2)
[注] 性质4对于列的情形也成立．
性质5
jn
j in i a a a a 11)
(1
11j i a a a a a a jn j jn
in j i kr r j
i ≠++=+
[注] 性质5对于列的情形也成立.
例5 计算
13
1
421131-1023-35-1=
D .
分析 利用行列式的性质把该行列式转化为三角行列式, 可以简便计算．
解
1192101110160551003351-----=D 11103200112033515----=1120320011103351)
5(-----=
1300320011103
351)
5(------=211
00032001
1103
351)
5(-
----=55-= 例6 计算
x a a a x a a a x D n =
． 分析 该行列式具有行和（列和）相等的特点, 可把所有的元素加到第一列（或全加到第
一行）, 使第一列（或第一行）的元素全相等, 然后将对角线上方或对角线下方的元素全化为零．
解
x a a a x a a n x D n r r r n 1
11]
)1([)(21-+=+++
a x a x a n x ---+= 000
0111]
)1([ 1
)]()1([---+=n a x a n x
例7 计算
1000
1030012321 n n D n =． 解
)++2(1=1000
01000
01032=
22,,2=1n n t D j jc c n
j n
例8 证明
nn
n n mm
m m
b b b b a a a a D
111111110000*
*
*
*=
mm m m a a a a 1111
=nn n n
b b b b 1111
证
m m
mm
m m
p p p p a a a a D
111111
1=*
=
=行倍加
n n
nn
n n
q q q q b b b b D
1111112=*
=
=列倍加
2
11111"""
"))((0
000
D D q q p p q
q p p D
n m n m m n ==*
*
*
*
**=
行倍加行前列倍加列后
课后作业：习题一 4，5 （1）（2）（3），7（1）（2）
§6 行列式按行（列）展开
余子式：在n 阶行列式中, 将元素ij a 所在的行与列上的元素划去, 其余 元素按照原来的相对位置构成的1-n 阶行列式, 称为元素ij a 的
余子式, 记作ij M ．
代数余子式：元素ij a 的代数余子式ij j
i ij
M A +-=)1(． 定理3
nn n n n
n a a a a a a a a a D
21
222
2111211
=
in in i i i i A a A a A a +++= 2211 ),,2,1(n i = nj nj j j j j A a A a A a +++= 2211 ),,2,1(n j =
例9 计算131421131
1023
351-----=
D ．
分析 由于D 中第二列元素比较简单, 且有零元素存在, 故利用行列式的性质5,将其化
简为只余一个非零元素,再利用行列式的展开定理计算.
解
3
40121131
1027
2016----=
D 3411127216)
1(2
3----=+ 551
7520)1)(1(1071125
020)1(22-=---=---=+
例10 计算←=
d c d c d c b
a b a b a D n
2．
分析 行列式第一列的元素只有两个, 因此直接按第一列展开后可得到行列式的递推式.
解
)
12()1(211200
00
)1(--+-=n n n d
D a
D
)
12()1(22100
00
)1(--+-+n n n c D b
)1(21
)12()1(2)12()12()1)(1()1(-+---+-?--+?-=n n n n n D bc D ad
21
)1(2)()(D bc ad D bc ad n n ---==-=
bc ad d c b
a D -==
2
n
n bc ad D )(2-=
例11 证明范德蒙行列式
11
1
121
122
1
222
11
21
1111-------=n n
n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x D
∏≤<≤-=
n
i j j i
x x
1)
(.
证
0)
()()(0)
()
()
(0)()()(1111
12
1222121112211121)1()(2
,,n n n n n n n n n n n n n n n n n i x i n i n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n ---------=
----------=
11211)())(()1(--+----=n n n n n n
D x x x x x x
1121)())((------=n n n n n n D x x x x x x
1121)())((------=k k k k k k k D x x x x x x D )3,,1,( -=n n k
1
22
1
211x x x x D -==
?----=--))(())((1221x x x x x x x x D n n n n n n n
?-------))(()(112121
x x x x x x n n n n
………………
?--))((1323x x x x
)(12x x -
定理4 设j i ≠, 则 ????
?=+++=+++0022112211nj ni j i j i jn in j i j i A a A a A a A a A a A a ．
证 只证第一式. j i ≠时, 有
←
=
jn j in
i a a a a D 11jn jn j j j j A a A a A a +++= 2211
←
=
in i in
i a a a a 110jn in j i j i A a A a A a +++= 2211
[注]结合定理3与定理4可得.
??
?≠==+++??
?≠==+++)(0)
()
(0)
(22112211j i j i D A a A a A a j i j i D A a A a A a nj ni j i j i jn in j i j i 例12
23412
31413424
321=
D , 求41312111A A A A +++． 解法1 因为0
23412311134143211==D
D 与D 的第1列元素的代数余子式相同
所以将1D 按第1列展开可得041312111=+++A A A A ．
解法2 因为D 的第3列元素与D 的第1列元素的代数余子式相乘求和为0 所以 041312111=+++A A A A 例13 设四阶行列式4D =
ij
a ， m a a a a 432=+++11111，0m ≠，ij A 表示元素ij a
的代数余子式，求43212222A A A A +++
解 由题设m a a a a 432=+++11111，0m ≠，由行列式展开定理 0A A A A m A a A a A a A a 24232221214213212211=+++=+++)(4321 所以 0A A A A 2222=+++4321 课后作业：习题一 5（4）（5），7（3）（4）（5）（6）
§7 Cramer 法则
考虑线性方程组
??
????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********
nn n n n
n a a a a a a a a a D
21
2222111211=
nn n n
n
n 1a a b a a b a a b D
222221121
=
, nn n n
n n
n 2a a b a a a b a a a b a D
31
223
221113111=
, ……
定理5 若0≠D , 则方程组存在唯一解)
,,2,1(n j D
D x j j ==
.
证 存在性.
1
111
111111~+←←=
i nn nj
n n
in ij
i i n
j in ij
i i
r r a a a b a a a b a a a b a a a b D
)(011+==i r r
第1行中元素
ij
a 的代数余子式为
nn
j n j n n n n
j j j ij a a a a b a a a a b A
1,1,111,11,1111)1(1)1(~
+-+-++-=
j
nn
j n n
j n n n
j j j j D a a b a a a a b a a -=--=+-+--+
1,1,111,111
,11112)1()1(
将D ~
按第1行展开可得
)()()(1=-++-++-+n in j ij 1i i D a D a D a D b
因为0≠D , 所以
),,2,1(1n i b D D a D D a D D a i n in j ij 1
i ==++++
故方程组有解 )
,,2,1(n j D D x j
j ==
唯一性. 设方程组还有解**2*1,,,n x x x , 则
=
D x j *nn
j n j
nj j n n n
j j
j j a a x a a a a a x a a a
1,*1,111,1*11,111+-+-
nn j n n nn j nj n j n n n
j n n j j j a a x a x a x a a a a a x a x a x a a a
1,***111,111,1*1*1*1111,111)
()
(+-+-++++++++=
j
nn
j n n
j n n n
j j D a a b a a a a b a a ==+-+-
1,1
,111,111,111
同理可得 j
j D D x =
于是
j
j j j x x D x D x =?=*
* ),,2,1(n j =
例14 解线性方程组??????
?-=++--=+++=+-+=++-1
552302024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
解 9=D , 9=1D , 18=2D
27=3D , 9-=4D
11=x , 22=x , 33=x , 14-=x
设齐次方程组 ??
????
?=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a
定理6 若0≠D , 则齐次方程组只有零解. 推论 齐次方程组有非零解0=?D . [注] ?=0D 齐次方程组有非零解.
例15 已知
???
??=++=++=++0
00
321
321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解, 求λ.
分析 齐次线性方程组有非零解，则0=D
解
)1)(2(11111
12=-+==λλλ
λλD , 故1=λ或2-=λ.
例16 计算
n
n n n n b a a a a b a a a a b a D +++=
2
1
22121
1
)0(≠i b .
解 采用加边法.
n
n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++=
2
1
221
21
12
10
001
n
n b b b a a a
1
00
10011
2121---=n
n b b b a a a t
0000002121=
n n b b b b b b t 2121==???? ??++++n n b a b a b a 22111
课后作业：习题一 8，9，10
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
内容提要： 一、行列式的定义 1、2阶和3阶行列式 2112221122 21 1211a a a a a a a a D -== 31231232211333221133 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a --- 2、排列与逆序 定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义 定义 称∑ -== n n n p p p np p p p p p nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (2 1 22221 11211 )1(τ )det(ij a = 为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ． 4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。 二、行列式的性质 性质1 D D ='． 性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零． 性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式． 推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．
性质4 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21 21 1121121 21112112 1 2211112 11βββαααβαβαβα+=+++ 性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变． 三、行列式的展开定理 定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ． ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式 定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则 ?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解 D D x 11= ，D D x 22=，……，D D x n n =．
摘要 行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。 关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何
The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 、填空 1 ?已知三阶方阵A 的行列式为3,贝U 2A = -24 1 2 ,g(x) 0 1 3 .设， ,为3维列向量， 记矩阵 A ( , , ),B ( A 3, 则B 3 = ,,丨 6 1 1 1 4?行列式 1 1 x 的展开式中，X 的系数是 2 . 1 1 1 1 0 1 0 5.设A 则A k 。（k 为正整数）. 2 1 2k 1 7.已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1 , 3 , 别为3, 2, 1 , 1，则行列式D =二3 24 4 (1) 1 , 2, 3, 2 16m n 2.设A 则 g(A )= n ，则 1 , 2, 3,2 1 2 16m n 2, 2，它们对应的余子式分
(X ) 解：D = 1 X 3+ 3X(— 2) + (— 2)X 1 + 2X 1 = — 3 二、判断题 1. 设A 、B 均为n 阶方阵, |AB | [AB AB A|B. (V ) 二、行列式计算 3 3 3 3 4 3 3 4 (1) D n 3 3 4 3 3 3 3 4 3n 1 3 Cl C 2 3n 1 4 解: Ci C 3 D n 3n 1 3 G C n 3n 1 3 1 1 1 1 1 2 3 1 (2 D 1 4 9 1 1 8 27 1 2. 设A 、B 均为n 阶方阵, 解：（范得蒙行列式）=（— 3 3 3 1 =3n 1 1 0 0 0 1 3 3 3n 1 3 3 D n 0 「3 A 4 3 ——0 3 4 r n r 1 ax 1 X 2 X 3 2 五、 a 为何值时， 线性方程组： X 1 ax 2 X 3 2 有唯一解？ X 1 X 2 ax 3 3 a a 1 1 解: det A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 a 2且a 1时，有唯一解 1 1 a 1)=— 240 1 — 3) (— 1 + 2) (— 1— 1) (3+ 2) ( 3— 1) ( — 2—
第一部分 行列式作业 （一）选择题(15分) １．在5阶行列式展开式中，12335544i j a a a a a 是其中带有正号的一项，则,i j 之值为（ ） (A) 1,2i j == (B) 2,3i j == (C) 1,3i j == (D) 2,1i j == ２．在5阶行列式展开式中，包含1325,a a 并带有负号的项是（ ） (A) 1325344251a a a a a - (B) 1325314254a a a a a - (C) 1325324154a a a a a - (D) 1325314452a a a a a - ３．已知行列式11 121321 222331 3233a a a a a a m a a a =，则行列式2122 1331113212331 311211222 1323 222222a a a a a a a a a a a a a a a ---=+++（ ） (A)－４m (B)－２m (C)２m (D)４m ４．已知4101 1111 11111111 x D ---=----，则4D 中x 的系数是（ ） (A)4 (B)-4 (C)-1 (D)1 ５． 设方程组12312312 3112 x x x x x x x x x λλλ--=?? ++=??-++=? ，若方程组有惟一解，则λ的值应为（ ） (A)0 (B)1 (C)-1 (D)异于0与1±的数 （二）填空题(15分) １．排列(1)(2)321n n n -?-??? 的逆序数为 。 ２．排列12n a a a 与排列121n n a a a a - 的逆序数之和等于 。 ３．行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中 1111 1111 11111111 D -= --。
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 一、填空 1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则 2A -= -24 2. 设12,01A -?? = ???1()32x g x x -= -+，则()g A =0800-?? ??? 3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若 3,A B =则=,,,,6αβγ βγα+= 4.行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=k A 1021k ?? ??? 。（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=， 1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n + 解：11231232,,,2,,,D αααβαααβ=+- 14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+ 7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 .
解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3 二、判断题 1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =. （ × ） 2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ） 三、行列式计算 （1）4 3 3 3 34333 343 3334 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛ=n D 解： n D n c c c c c c +++13121M 4 3 3 1 334313334133331 3Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 1 1312r r r r r r n ---M 1 01000 0103 3313Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231 149118271 D --=-- 解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－ 1）＝－240 五、a 为何值时，线性方程组：??? ??-=++=++=++a ax x x x ax x x x x a 322321 321321有唯一解？ 解：2 )1)(2(11111 1det -+==a a a a a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.
第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1) n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλ 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 222c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2 =b 2 , c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 112 2 1 032101132 2 2 1 13 1 3211----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 2222 2222 2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n =(a ≠ b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
第一章行列式测试题 一、填空题 1.设31 01121a b c =，则333 524_______11 1 a b c ---=. 2. 设,03332 31 2322 21 13 1211 ≠==M a a a a a a a a a D 33 32 3131 2322212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ------=，则=1D . 3. 排列n n ??????-123)1(的逆序数为 . 4. 线性方程组 12120 40 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ . 5.行列式0 154 2 3 f d a D ---=，则=T D . 二、选择题 1. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 () A ． a - B ． 10a - C ． 10a - D ．2a -或a +2 2.已知 11 121311111212132122232121222223313233 31 313232334142434141 42 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 1112 1311122122232122313233313241 42 43 4142 a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++ () A ． m n + B ． n m - C ． m n - D ． ()m n -+ 3. 四阶行列式 4 4 33221 1 00 000a b a b b a b a 的值为（ ） A.43214321b b b b a a a a - B.43214321b b b b a a a a + C.))((43432121b b a a b b a a -- D.))((41413232b b a a b b a a --
第一章 行列式习题 1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。 （1(1)n c --） 2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。 （(1)n c -） 3. 2 (1) (2,1,21,2,,1,)(21)0(23)012 2 k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+ ?。 4. 由行列式的定义计算行列式 41333123362 6 x x x x x x 展开式中4x 和3 x 的系数。 （3412, 12x x -） （分析：4 x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四 行只能取22a 和44a ，则此项为(1234) 4 11223344(1) 4312N a a a a x x x x x -=???=。 3 x 的系数：(2134) (4231) 333 1221334441223314(1) (1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。） 5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式 17033159097510 959 的值，证明他是13的倍数。 证明： 1234 1701703170170341000131531593153159410021309709750979754103 10 9 5 10 9 5 9 10 9 5 10959 l c c l c c l c c l +?+?=? +?，能被13整除。 注意，以下两个行列式： 1703170370331593159159097597597510 9 5 910959 9 5 9 ≠ ，所以一定要加到最后一列上。 6. 设行列式3112523420111 3 3--= --D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。 （0和-5） 解：112131412 1124234243010113 3 3 A A A A -+--= =----。
《线性代数》第一章行列式测试卷 班级 学号 姓名 一、单项选择题（本大题共10 题，每小题2分，共20分） 1、下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2、如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3、 n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4、=0 0010 010********( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5、=0 0011 00000100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6、在函数10003232 111 12)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7、若21 3332 31232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 22212321 12 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8、若 a a a a a =22211211，则=21 1122 12ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9、已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10、若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题（本大题共4 题，每小题3分，共12分） 1、n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是 2、若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 . 3、如果M a a a a a a a a a D ==3332 31232221 13 1211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311 133333 3a a a a a a a a a a a a D 4、已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的 新行列式的值为 三、计算题（本大题共9题，1-7题每小题6 分，8-9题 每小题8 分，共58 分） 1、解方程00 110 11101110=x x x x