概率论课程设计
随机数的产生
摘要：
随机数是概率论与数理统计中一个重要的概念。本文研究了随机数的产生，先给出了均匀分布的随机数的产生算法，再通过均匀分布的随机数变换得到其他连续型随机数的产生算法.利用编程给出了产生均匀分布随机数的算法，探讨了同余法的理论原理.通过均匀随机数产生其他分布的随机数，我们
列举了几种通用算法，并讨论各个算法的优缺点，最后以正态分布为例验证高效舍选法的优势.
关键词：随机数；概率论；均匀分布；算法；
目录：
一 随机数与伪随机数
二 均匀分布随机数的产生
三 非均匀分布随机数的产生
正文
一、 随机数与伪随机数
随机变量η的抽样序列12,,
n ηηη，…称为随机数列．如果随机变量η是均匀分布的，则η的抽样序列12,,n ηηη，…称为均匀随机数列；如果随机变量η是正态分布的随机变量则称其抽样序列为正态随机数列．
比如在掷一枚骰子的随机试验中出现的点数x 是一个随机变量，该随机变量就服从离散型均匀分布，x 取值为1，2，3，4，5，6，取每个数的概率相等均为1／6．如何得到x 的随机数?通过重复进行掷骰子的试验得到的一组观测结果12,,,n x x x 就是x 的随机数．要产生取值为0，1，2，…，9的离散型均匀分布的随机数，通常的操作方法是把10个完全相同的乒乓球分别标上0，1，2，…，9，然后放在一个不透明的袋中，搅拦均匀后从中摸出一球记号码1x 后放回袋中，接着仍将袋中的球搅拌均匀后从袋中再摸出一球记下号码2x 后再放回袋中，依次下去，就得到随机序列12,,,n x x x ．通常称类似这种摸球的方法产生的随机数为真正的随机数．但是，当我们需要大量的随机数时，这种实际操作方法需要花费大量的时间，通常不能满足模拟试验的需要，比如教师不可能在课堂上做10000次掷硬币的试验，来观察出现正面的频率．计算机可以帮助人们在很短时间产生大量的随机数以满足模拟的需要，那么计算机产生的随机数是用类似摸球方
法产生的吗?不是．计算机是用某种数学方法产生的随机数，实际上是按照一定的计算方法得到的一串数，它们具有类似随机数的性质，但是它们是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，所以称计算机产生的随机数为伪随机数．在模拟计算中通常使用伪随机数．对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性等，就可以作为真正的随机数来使用，我们将称这样产生的伪随机数为随机数．在计算机上用数学方法产生随机数的一般要求如下：
1)产生的随机数列要有均匀性、抽样的随机性、试验的独立性和前后的一致性．
2)产生的随机数列要有足够长的周期，以满足模拟实际问题的要求．
3)产生随机数的速度要快，占用的内存少．
计算机产生随机数的方法内容是丰富的，在这里我们介绍几种方法，计算机通常是先产生[0，1]区间上均匀分布的随机数，然后再产生其他分布的随机数．
二、均匀分布随机数的产生
2.1 算法1
在vc的环境下，为我们提供了库函数rand()来产生一个随机的整数.该随机数是平均在0~RAND_MAX之间平均分布的，RAND_MAX是一个常量，在VC6.0环境下是这样定义的：
#define RAND_MAX 0x7fff
它是一个short 型数据的最大值，如果要产生一个浮点型的随机数，可以将rand()/1000.0这样就得到一个0~32.767之间平均分布的随机浮点数.如果要使得范围大一点，那么可以通过产生几个随机数的线性组合来实现任意范围内的平均分布的随机数.例如要产生-1000~1000之间的精度为四位小数的平均分布的随机数可以这样来实现.先产生一个0到10000之间的随机整数.方法如下：
int a = rand()%10000;
然后保留四位小数产生0~1之间的随机小数：
double b = (double)a/10000.0;
然后通过线性组合就可以实现任意范围内的随机数的产生，要实现
-1000~1000内的平均分布的随机数可以这样做：
double dValue =
(rand()%10000)/10000.0*1000-(rand()%10000)/10000.0*1000;
则dValue就是所要的值.
但是，上面的式子化简后就变为：
double dValue = (rand()%10000)/10.0-(rand()%10000)/10.0;
这样一来，产生的随机数范围是正确的，但是精度不正确了，变成了只有一位正确的小数的随机数了，后面三位的小数都是零，显然不是我们要求的，什么原因呢，又怎么办呢.
先找原因，rand()产生的随机数分辨率为32767，两个就是65534，而经过求余后分辨度还要减小为10000，两个就是20000而要求的分辨率为1000*10000*2=20000000，显然远远不够.下面提供的方法可以实现正确的结果：
double a = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0;
double b = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0;
double dValue = a-b;
则dValue就是所要求的结果.在下面的函数中可以实现产生一个在一个区间
之内的平均分布的随机数，精度是4位小数.
double AverageRandom(double min,double max)
{
int minInteger = (int)(min*10000);
int maxInteger = (int)(max*10000);
int randInteger = rand()*rand();
int diffInteger = maxInteger - minInteger;
int resultInteger = randInteger % diffInteger + minInteger;
return resultInteger/10000.0;
}
但是有一个值得注意的问题，随机数的产生需要有一个随机的种子，因为用计算机产生的随机数是通过递推的方法得来的，必须有一个初始值，也就是通常所说的随机种子，如果不对随机种子进行初始化，那么计算机有一个缺省的随机种子，这样每次递推的结果就完全相同了，因此需要在每次程序运行时对随机种子进行初始化，在vc 中的方法是调用srand （int ）这个函数，其参数就是随机种子，但是如果给一个常量，则得到的随机序列就完全相同了，因此可以使用系统的时间来作为随机种子，因为系统时间可以保证它的随机性.
2.2 算法2：用同余法产生随机数
同余法简称为LCG(Linear Congruence Gener-ator)，它是Lehmer 于1951年提出来的．同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数．同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一．
同余法(LCG)递推公式为
1()(mod )n n x ax c m -=+ （n=1，2，…)， (1) 其中n x ，a ，c 均为正整数．只需给定初值x.，就可以由式(1)得到整数序列{n x }，对每一n x ，作变换n u =n x ／m ，则{n u }(n=1，2，…)就是[0，1)上的一个序列．如果{n u }通过了统计检验，那么就可以将n u 作为[0，1)上的均匀分布随机数．
在式(1)中，若c=0，则称相应的算法为乘同余法，并称口为乘子；若c ≠0，则称相应的算法为混合同余法．同余法也称为同余发生器，其中0x 称为种子．
由式(1)可以看出，对于十进制数，当取模m=10k
(k 为正整数)时，求其同余式运算较简便．例如36=31236(mod102)，只要对21236从右截取k=2位数，即得余数36．同理，
对于二进制数，取模m=2k
时，求其同余式运算更简便了．
电子计算机通常是以二进制形式表示数的．在整数尾部字长为L 位的二进制计算机上，按式(1)求以m 为模的同余式时，可以利用计算机具有的整数溢出功能．设L 为计算机的整数尾部字长，取模m=2L ，若按式(1)求同余式时，显然有 11111;
[()/].n n n n n n n ax c m x ax c ax c m x ax c m ax c m -----+<=++≥=+-+当时，则当时，则
这里[x]是取x 的整数部分．在电子计算机上由1n x -求n x 时，可利用整数溢出原理．不进行上面的除法运算．实际上，由于计算机的整数尾部字长为L ，机器中可存放的最大整数为2L -1，而此时a 1n x -+c ≥m ≥2L
-1，因此a 1n x -+c 在机器里存放时占的位数多于L 位，于是发生溢出，只能存放n x 的右后L 位．这个数值恰是模m=2L 的剩余，即n x ．这就减少了除法运算，而实现了求同余式．经常取模m=2L (L 为计算机尾部字长)，正是利用了溢出原理来减少除法运算.
由式(1)产生的n x (n=1,2,……)，到一定长度后，会出现周而复始的周期现象，即{n x }可以由其某一子列的重复出现而构成，这种重复出现的子列的最短长度称为序列n x 的周期．由式(1)不难看出，{n x }中两个重复数之间的最短距离长度就是它的周期，用T 代表周期．周期性表示一种规律性，它与随机性是矛盾的．因此，通常只能取{n x }的一个周期作为可用的随机序列．这样一来，为了产生足够多的随机数，就必须{n x }的周期尽可能地大．由前所述，一般取m=2L ，这就是说模m 已取到计算机能表示的数的最大数值，意即使产生的随机数列{n x }的周期达到可能的最大数值，如适当地选取参数0x ，a ，c 等，还可能使随机数列{n x }达到满周期. 三、非均匀分布随机数的产生
3.1 一般通用方法
3.1.1组合法
组合法的基本思想是把预定概率密度函数f ( x ) 表为其它一些概率密度的线性组合.而这些概率密度的随机抽样容易产生.通过这种避难就易的手段我们也许可以达到较高的输出速度和较好的性能.
若分布密度函数f ( x ) 能表为如下式(2)所示的函数项级数的和，
1()()i i i f x p f x ∞
==∑ (2) 其 中1
i
i p ∞=∑，诸f( x )皆为概率密度函数.则依如下步骤可产生分布为f ( x )一次抽样. ( 1 ) 产生一个随机自然数I ， 使I 服从如下分布律:P ( I = i ) = p i i = 1 , 2 , 3……
( 2 ) 产生服从f I ( x )的随机数0X
证明利用全概率公式，有:
11()()()
()()i i i i P x X x dx P I i P x X x dx I i p f x dx
f x dx
∞
=∞=<≤+==<≤+|===∑∑
故X 服从f ( x ) 分布.
我们以产生双指数(或拉普拉斯)分布的随机数为例来简单说明这种方法.双指数分布具有 概率密度函数f ( x ) = 0 . 5x e
- f ( x ) 可表为:
()0.5()0.5()l r f x f x f x =+ (3)
其中()r f x 是指数分布，()l f x 是指数分布的对称分布.故产生双指数分布的抽样可按如下方法: 产生U 1 , U 2~U ( 0 , 1 ) ;若U 1 > 0 . 5 ， 则令X = I n U 2，否则X = - I n U 2. 在式(2) 中， 若i →∞， 有p i → 0 ，则可用函数列{()}i i p f x 的前有限项和逼近f ( x ).这是一种近似的方法，与通常的函数逼近原理相同.只要近似的精度 ( 在某种“精度”的
意义之下) 达到要求，我们就可以采用近似的方法.使用组合法时，各f
( x ) 的抽样应该
i
( x )}把任意连续分布表为式(2) ，乃是使用组容易产生，故选用合适的概率密度函数族{ f
i
合法的关键.
3.3.2 概率密度变换法
这是一种比较新的通用随机数产生方法.其主要的目的是对一般的f(x)找出较好的覆盖函数以达到较高的效率.我们知道，对某一特定的概率密度f(x)，我们可以使用最优化技术找到好的覆盖函数.但对于一般情况，我们只能期望产生效率尚可的覆盖函数. H O R M A N N用概率密度变换的方法生成一曲边梯形作为覆盖函数.其原理如下:
使用一个变换函数T (x)把预定密度函数f ( x ) 变换为h ( x ) = T ( f ( x ) ) ，用一个分段线性函数l ( x )覆盖h ( x )，如图2 - 4 左图; h ( x ) 若是上凸的，则T1 ( l ( x ) )将是f ( x ) 的一个较好的覆盖函数
这个方法在选择合适的T ( x ) ( l o g ( x ) 或1 / x a等) 后，能产生随机数包括了较多的分布类型.这个方法有较短的预处理时间，但需要较多的函数计算，不太适合硬件实现.
此外，A h r e n s l用每段为常数的分段函数作为覆盖函数.L e y d o l d基于r a t i o - o f - u n i f o r m s 的方法也是一个通用算法.还有一种近似的方法，其产生的随机数与指定分布的随机数具有相同的前四阶矩，但概率分布不一定相同.这里就不详细介绍了.
3.2 我们的方法
当前的通用算法的问题是效率不能任意提高，不够灵活. 通常产生每个所需随机数X需以较大的概率计算f ( x )等函数.我们认为在速度要求非常高的场合，计算f ( x )是不利的，尤其以硬件进行函数计算是十分不利的.针对己有通用算法的不足，我们提出了基于组合法的通用算法.主要目的是尽可能地减少三角、指数、对数等超越函数的计算，以便硬件实现.
产生任意连续分布随机数的高效舍选算法
本文提出一种通用算法，可视需要使效率接近1 , 而且f ( x ) 的计算概率可任意小. 这些优点的取得是以长的预处理时间为代价的.在需要产生大量随机样本的场合( 例如通信系统的误码率测试，可能需要数小时乃至数天的仿真时间) ，本算法将有很大的优势，尽管有看法认为只有能用简单代码实现的算法才会被经常使用.
3.2.1 算法原理
假定预定的连续概率密度函数f ( x ) 为单峰的( 这是实际的大多数情况) ，已知其峰值点为m .一般f ( x ) 不关于x =m 对称，如图2 -5 .我们假定f ( x ) 定义在有界的区间[ a , b ] 上( 上文说过，对正态分布这类定义区间无限的情况，我们把这个区间取得足够大就可以了) . 直线X=m把f ( x ) 曲线与X轴所围面积分为左右两部分，我们把左右两部分各等分为K份，一共得到2 K个曲边梯形.并用2 K个矩形各自覆盖相应
的曲边梯形.
我们的想法是利用舍选法的几何意义，分别在上述 2 K 个曲边梯形内均匀投点，从而使随机点在f ( x ) 曲线与x 轴所围的整个区域中均匀分布，这样即可产生f ( x ) 的抽样X . 而在曲边梯形内均匀投点可使用简单舍选法:先在各个矩形内均匀投点，再选出落于相应曲 边梯形内的点. 这种投点法浪费的点只位于各个矩形的一角， 显然效率大大高于简单舍选法.最为重要的是:随着K 的增大，效率会不断提高.另外，只有当投点位于曲边梯形的曲边之下时， 才需计算f ( x ) ，而且计算f ( x ) 概率是随着K 的增加而减小的.
我们每次“ 按概率”随机选中一个曲 边梯形进行投点. 这需要两步完成:先选择左边还是右边，再于此边的K 个曲边梯形中选择一个.这里的概率显然就是面积，这可以从以下的推导中看出来.为清晰起见，我们先阐述随机数的产生法，而把面积的均分这个预处理过程置于随后.
3.2.2 算法推导
令()m
P f x dx -∞=
⎰为左边面积.则左边各曲边梯形面积皆为 P / K ，右边各曲边梯形
面积皆为( ( I -P ) / K . f ( x ) 可表为: 1211
1()()()K K
i i i i P P f x f x f x K K ==-=+∑∑ (4) 诸ji f ( x ) ( j = 1 , 2 ; i = 1 , 2 . . . k ) 皆为一腰为曲边的梯形形状的概率密度函数.
依如下步骤可产生分布为f ( x ) 的一次抽样:
S t e p l :产生一个随机自然数J ，使J 服从如下两点分布: P ( J = 1 ) = P , P ( J = 2 ) = 1 - P : S t e p 2 :产生一个随机自然数I ， 使I 服从如下均匀分布律:
P ( I = i ) = 1 / K , i = 1 , 2 . . . . K ;
S t e p 3 : 用基本舍选法产生概率密度为f ( x ) 的随机数X .
证明利用全概率公式，有: 2111211
()()()(,)
1(()())()K
j i K K
i i i i P x X x dx P J j P I i P x X x dx J j I i P P f x f x dx K K f x dx ====<≤+===<≤+∣==-=+=∑∑∑∑
故x 服从 f ( x ) 分布.下面完整地描述这个方法:
S t e p l( 产生J ) :
S t e p l . l 产生[ 0 , 1 ] 上的均匀随机数U 1 ;
S t e p 1 . 2若U 1 < P ，则返回J = 1 ， 否则返回J = 2 ;
S t e p 2( 产生I ) :
S t e p 2 . l 产生 [ 0 , I ] 上的均匀随机数U 2 ;
S t e p 2 . 2 21;I kU x =+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦表示不大于x 的最大整数.
产生 ji f ( x ) 的样本需区别j = 1 与j = 2 两种情况. 图2 - 6 示出j = 2 时一 典型的ji f ( x ) ， 用简单舍选法产生其抽样，覆盖函数为矩形. 首先产生一个[ 0 , R i ] 的均匀数， 如它属于[ 0 , R 1i -] 小无需再产生y 轴方向的均匀随机数，接受此均匀数即可;否则还需产生一个Y 轴方向的均匀随机数进行投点，那些落在曲边下方的点被接受，投在矩形右上角的点被舍弃.同理易得j = 1 时的产生法.
整个S t e p 3 如下:
S t e p 3( 产生X ) :
i f J = =1
{ l o o p :产生[ 0 , 1 ] 上的均匀随机数U 3 , W = ( L 0 - L 1 ) U 3 + L 1 : i f W> L 1i -，返回 X = W;
e l s e { 产生[ O ， l ] 上的均匀随机数V ;
i f f ( W) - f ( L 1) < ( f ( L 1j - ) - f ( L 1 ) ) V 返回X = W; e l s e 舍弃W ，重复l o o p ;} }
e l s e
{ l o o p : 产生[ 0 , 1 ] 上的 均匀随机数U 3 , W = ( R 1 - R o ) U 3 + R o ; i f W< R 1i -，返回 X = W;
e l s e {产生[ 0 , 1 ] 上的均匀随机数V ;
i f f ( W) - f ( R 1) C ( f ( R 1I - ) - f ( R 1) ) V , 返回X = W; e l s e 舍弃W ，重复l o o p ;} }
均匀随机数U 2 实际上可由U 1 变换得到， U 3 可由均匀数U2变换得到. 例如从U1 产生U 2 的方法是:当J = l 时， U 1 在[ 0 , P ] 上均匀分布， 故可令U 2 = U l / P ;当J = 2 时， U 1在[ P , 1] 上均匀分布， 故可令U 2 = ( U 1 - P ) / ( 1 - P ) . 从U 2 产生U 3 的方法是:当I = i 时， U 2 在 [ i / K , ( i + l ) / K ]上均匀分布， 故可令U 3 = K ( U 2 - i / K ) . 这样的做法节省了均匀随机数，增加了一些乘法和除法运算.对F P G A 等并行处理的硬件来
说，产生均匀随机数是便宜的，除法运算是耗费的，所以我们不提倡减少均匀数的做法. 而对有C P U 的硬件来说， 减少均匀随机数意味着减少了过程调用，也许是值得的. 再介绍预处理过程.各分点需解下列递推方程求得
:
从i=1开始求解，直至i = K - 1 .这些方程可事先利用软件求解.
3.2.3 算法性能分析
影响随机数产生速度的主要因素之一是f ( x ) 的计算，故把产生每个抽样平均计算f ( x )的次数 ( 计算概率)做为一个性能指标.另外舍选法的平均效率也作为一个性能指标，这个指标反映了每产生一个随机数所需的均匀数个数.
产生每个样点X 需计算f ( x ) 的平均概率P f 可利用全概率公式计算
:
其中10i i i
L L L L ---的分母是左边第i 个曲边梯形的下底长，分子是下底与上底的差，这个比值就是在此曲边梯形内投点时计算f ( x ) 的概率.
10i i i R R R R ---的意义相仿. 舍选法的平均效率” 可利用全概率公式计算: 11()()11(1)()()L R K
K i i L R A i A i P P K B i K B i η===+-∑∑ 诸(),(),(),()L L R R A i B i A i B i 分别表示左边各曲边梯形面积、左边各矩形面积、右边各曲边梯形面积和右边各矩形面积.
在不同的K 值下，计算了算法用于产生正态分布、 指数分布、 瑞利分布三种标准分布时的上述两个性能参数.各个概率密度函数如下:
正态分布:
2())2x f x =- 指数分布：
()x f x e -= 瑞利分布: 2
()exp()48
x x f x =- 结果如下图6 :左图反映出概率密度函 数的计算概率P f 随K 的增大而减小， 最终趋于零，例如当K = 1 0 2 4 时， P f 已 非常小;右图反映出 舍选法的平均效率随K 的 增加而提高， 最终趋于 1 ， 也就是三个均匀随机数产生一个预期的随机数.我们可根据实际情况选择合适的K 值.
3.3 正态分布的随机数的产生
下面提出了一种已知概率密度函数的分布的随机数的产生方法，以典型的正态分布为例来说名任意分布的随机数的产生方法.
如果一个随机数序列服从一维正态分布，那么它有有如下的概率密度函数：
2
2()2()x f x μσ--=
参考文献：
[1] 肖云茹．概率统计计算方法[M]．天津：南开大学出版社，1994．
[2]王永德等.随机信号分析基础.北京:电子工业出版社，2 0 0 3.
[3]皇甫堪等. 现代数字信号处理. 国防科技大学电子科学与工程学院内部印刷，2 0 0 2.
哈工大概率论与数理统计第三版 《哈工大概率论与数理统计第三版》是一本深入浅出的数学基础教材，它囊括了概率论和数理统计的相关概念、原理和应用。本书内容丰富，涵盖了多个重要的概念和定理，对于深入理解和掌握概率论和数理统 计的知识具有重要意义。 在接下来的文章中，我将以从简到繁的方式，逐步深入探讨《哈工大 概率论与数理统计第三版》中的一些重要内容和理论，帮助读者更好 地理解这本教材，并对概率论和数理统计有一个全面、深刻的认识。 一、概率论的基本概念和原理 在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，概率论的基本概念和原理 是学习的重点之一。概率论作为一门独立的数学学科，是研究随机现 象的规律性和统计规律的一门学科，其理论和方法对于解决实际问题 具有重要的应用价值。教材中介绍了概率的定义、性质和常见的概率 分布，如离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的 性质和应用。通过对这些基本概念和原理的学习，读者可以建立起对 概率论的基本认识和理解。 二、数理统计的基本概念和方法 除了概率论，数理统计是另一个重要的学习内容。数理统计是利用数
学的方法对统计数据进行分析和推断的一门学科，是概率论的一种应用。在《哈工大概率论与数理统计第三版》中，数理统计的基本概念 和方法也得到了详细的介绍和阐述。教材中介绍了样本和总体的概念，以及常见的统计推断方法，如点估计、区间估计和假设检验等。通过 对这些内容的深入学习，读者可以了解数理统计的基本原理和方法， 有助于他们更好地应用数理统计的知识进行实际问题的分析和解决。 三、概率论与数理统计的应用 除了学习概率论和数理统计的基本概念和原理，教材中还介绍了概率 论和数理统计在实际问题中的应用。在金融、医学、工程等领域，概 率论和数理统计的方法被广泛应用于数据分析、风险评估、质量控制 等方面。通过学习这些应用实例，读者可以更好地理解概率论和数理 统计的实际应用，并将理论知识转化为实际工作中的技能。 总结回顾 通过本文的阐述，我希望读者对《哈工大概率论与数理统计第三版》 有了更深入的了解和认识。概率论和数理统计作为一门重要的数学基 础学科，对于理工科学生和研究人员具有重要的意义。通过深入学习《哈工大概率论与数理统计第三版》，读者可以建立起对概率论和数 理统计的深刻理解，为他们的学习和科研工作奠定坚实的基础。 个人观点和理解 作为一名数学爱好者，我对概率论和数理统计有着浓厚的兴趣。通过
哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院 结课论文 课程名称：概率论与数理统计 课程类型：必修 项目名称：长尾分布、幂律分布的原理与应用概况
目录 目录 (2) 摘要 (3) 1 引言 (3) 2 长尾分布与幂律分布 (4) 2.1 长尾分布 (4) 2.2 幂律分布 (4) 2.3 两种分布的联系 (4) 3 西蒙模型：幂律分布最基本的产生机制 (5) 3.1 西蒙模型简介 (5) 3.2 西蒙模型的主要缺陷 (6) 4 长尾分布与幂律分布的典型应用 (7) 4.1 人类行为时间统计特性研究 (7) 4.2 小世界现象的动力学模型与验证 (8) 4.3 金融资产收益率的研究 (9) 5 小结 (9) 6 参考文献 (9) 7 致谢 (9)
摘要 长尾分布是涉及流行性问题的一种常见分布，与之密切相关的还有幂律分布。这两种分布在物理学、生物学、经济学、计算机科学、统计学、社会学等诸多领域得到了广泛应用。本文试图简要介绍长尾分布的概念，同时介绍与之密切相关的幂律分布，展示目前存在的理论模型及其优缺点，最后介绍这两种分布在各种领域的应用。 1 引言 在概率论与数理统计的课程中，我们先后接触了多种分布；其中正态分布（高斯分布）、Х2分布、t分布和F分布在生产生活中有着较多的应用。然而仔细观察这些分布，不难发现其研究的对象是同质的1；但很多时候，我们更需要的却是针对异质对象的一些特殊指标的分布。 此外，这些分布所涉及的基本事件，彼此也是独立的；但我们看到的世界并非如此。太阳升起又落下，落下又升起，可是人们却已经经历了欢笑和痛苦，会做出不一样的选择；人们的选择改变着自己，但自己同时也是他人的环境的一部分；于是人们改变了自我的同时也改变了环境，不同的环境下自然不会有重复的条件，不可能有同样的分布。最著名的反面案例也许是马太2效应：贫者愈贫，富者愈富，而不会随机地发生逆转，游戏不会回归到初始状态。 体现上述两点的最典型的过程，便是与流行度有关的过程。以网站音乐的排行榜为例，把曲目按照下载量排序，可近似地得到一条递减曲线。在曲线的始端，曲目被大量下载，而随着流行度排名的降低，下载量急剧下降；然而这一曲线的尾部却不会马上坠落到零。这种特殊的分布便是长尾分布。 幂律分布与长尾分布等价，而在理论上更便于探讨，因此对长尾分布的研究也不能脱离幂律分布。对其形成机制最经典的一个解释就是西蒙模型。根据三个基本假设，西蒙模型能够在大量文本的状态下解释大部分幂律分布的形成过程。然而这一模型也并不完美，如有一些多余的假设，解释不了一些特殊情况等。 长尾分布和幂律分布绝非单纯的理论；恰好相反，人们是在反复发现这样的分布后才开始针对性的研究，并得出相关的结论。在互联网信息、社会网络、疾病传播、金融市场等方面，幂律分布都发挥了重要的作用。 1上述分布的概率密度，亦即分布的“本质”，在试验开始前已然确定。但本文主要探讨的长尾分布和幂律分布则不然：尽管有一个确定的结果，但涉及的对象本身是异质的，重复进行相同初始条件的试验也不太可能完全复原此前结果。 2“凡有的，还要加给他叫他多余；没有的，连他所有的也要夺过来。”——马太福音15
概率论与随机过程课程设计 一、题目背景 概率论与随机过程作为现代数学中一个非常重要的分支，被广泛应用于金融、生物、物理等各个领域，并深刻地影响了现代统计学、运筹学、信息论等学科。因此，对于概率论与随机过程的学习和应用有着至关重要的意义。 本次课程设计旨在探究概率论与随机过程的基本概念和应用，为学生提供实践经验和综合理解上述知识的机会。 二、课程设计内容 1. 概率分布曲线的绘制 概率分布曲线是用于描述一个随机变量的分布性质的一种统计图形。在课程设计中，我们将要求学生利用Python语言绘制一组常见的概率分布曲线，如正态分布、均匀分布、指数分布等，并分析分布参数对曲线形态的影响。 2. 随机过程的建模与模拟 随机过程是一类随机变量的集合，它描述了某个随机变量在时间上的演化。在课程设计中，我们将要求学生利用Python语言对一组常见的随机过程进行建模和模拟，如随机游动过程、泊松过程、布朗运动等，并分析各种过程参数对其模拟结果的影响。 3. 概率统计及假设检验 概率统计是处理随机现象的基本工具，通过对一个固定样本进行抽样调查，以此来对总体进行推断。在课程设计中，我们将要求学生应用概率统计的基本原理和方法，对某个具体问题进行分析，包括数据收集、数据处理、参数估计和假设检验等过程。
4. 金融市场分析 概率论和随机过程是金融领域的重要理论基础。在课程设计中，我们将要求学生对某支股票或某个指数进行分析，包括对其价格序列的模拟、分布情况的分析、风险度量和投资组合的优化等内容。通过这一部分的学习，学生将能够更好地理解和应用金融市场上的相关知识。 三、课程设计要求 1.学生需使用Python语言完成以上任务，并提交相应的源代码和实验 报告。 2.学生需结合相应的数学理论知识进行实验，同时注重实验过程中的逻 辑性、合理性和实际性。 3.实验报告需具备可读性，包括实验目的、方法、实验结果和分析等内 容。 4.学生需按时提交实验报告，并参与相关实验课程的课堂讨论和互动交 流。 四、课程设计总结 概率论与随机过程是一门极具挑战性的学科，尤其对于应用型人才而言更是必不可少的重要基础。本次课程设计旨在为学生提供更为灵活和深入的学习方式，并通过实践操作来帮助学生更好地理解和应用这些理论知识。预期通过本次课程设计的完成，学生将能够提高概率统计和随机过程理论方面的知识水平，同时增进实践技能和实际应用能力。
第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 1
若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B⊃A 或A⊂B。 若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e∉B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 2
3 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A 不发生”为事件A 的逆事件，记为Ā 。A 与Ā满足：A ∪Ā= S,且A Ā=Φ。 运算律： 设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B ∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪AC （4）德摩根律： 小结： 事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； B A B A =B A B A =
————————————————————————————————概率论与数理统计大作业 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2012年12月8日
概率论与数理统计一点小结 1.简介： 概率论（probability theory）：研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。 数理统计：数理统计是数学系各专业的一门重要课程。随着研究随机现象规律性的科学—概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并作出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概型，这些组成了数理统计的内容。 概率论和数理统计的关系：概率论和数理统计这两部分是有着紧密联系的。在概率论中，我们研究的随机变量，都是在假定分布已知的情况下研究它的
《概率论》课程教学大纲 ProbabiIity 一、课程基本信息 学时：48 学分：3 考核方式：考试。期末成绩、平时成绩各占总成绩的70%和30% 课程简介：《概率论》是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科。它以随机现象为研究对象,是数学的分支学科,在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。随着计算机科学的发展，以及功能强大的统计软件和数学软件的开发，这门学科得到了蓬勃的发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。因此，将《概率论》这门课程定为必修基础课。 二、课程性质与教学目的 《概率论》是统计学专业学生一门重要的专业基础必修课，在教学培养计划中列为基础主干课程。通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论的基础知识，而且使学生学到随机数学的基础研究方法，另外训练学生严密的科学思维及分析问题解决问题的能力，为学生学习后继课打下良好的基础。 学习本课程要求学生具备必要的数学分析、高等代数等基础知识。 三、教学方法与手段 以课堂教学为主，并结合案例分析与课程设计等手段使学生较好的掌握概率论中的重点和难点，提高学生的逻辑思维能力和数据分析模型的学以致用能力。
五、推荐教材和教学参考资源 推荐教材： 张超龙、杨建富编《概率论与数理统计教程》，中国农业出版社。 教学参考资源： 1.沈恒范，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，2005 2.盛骤等，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2008 3.华东师范大学数学系，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，1980 4.张玉春、刘玉凤，《概率论与数理统计学习指导》，国防工业出版社，2008
概率论定理 一、内容简介 概率论与数理统计是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广 泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机 变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等 内容。 二、本课程的目的和任务 本课程是工科以及管理各专业的基础课程，课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的 基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在各领域中的具体应用。 课程的任务在于使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决某些相关 实际问题的能力。 三、本课程与其它课程的关系 学生在进入本课程学习之前，应学过下列课程： 高等数学、线性代数 这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可 具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础 学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的 重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。 四、本课程的基本建议 概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富， 结果深刻。通过对本课程的学习，学生应熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析 方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下： (一)随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。 2、认知概率的定义，掌控概率的基本性质，并能够应用领域这些性质展开概率排序。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、认知事件的独立性概念，掌控应用领域事件独立性展开概率排序。 5、掌握伯努利概型及其计算。
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
Probability and Statistical Inference 第九版课程设计 前言 Probability and Statistical Inference 是一门重要的概率论和 统计推断课程。本课程设计旨在帮助学生熟悉这门课程，并通过实践 应用于真实的数据分析和情况推断中。本课程设计包括四个主要部分：课程介绍、教学大纲、课程评估和参考文献。以下是对这些部分的详 细介绍。 课程介绍 Probability and Statistical Inference 是一门旨在介绍概率论 和统计学原理的课程。本课程主要从理论和实践两个方面入手，旨在 向学生介绍如下概念和技能： 1.概率、期望和方差的计算； 2.假设检验、置信区间和最大似然估计的理解和实践； 3.于随机变量分布有关的测试和应用； 4.数据分析和统计推断的实践。 在本课程结束后，学生将了解概率和统计学的主要原理，并能够将 这些原理应用于真实的数据分析和情况推断。 教学大纲 主题内容 第一部分：概率介绍如何计算概率、方差和期望；与随机变量分布
主题内容 和统计学基础有关的测试和应用；最大似然估计。 第二部分：假设检验介绍假设检验的理论和实践；置信区间的理解和实践。 第三部分：回归分析介绍回归分析的理论和实践，包括线性和非线性回归分析，并阐述回归分析与统计推断的关系。 第四部分：统计推断介绍统计推断的理论和实践；包括最大似然估计和贝叶斯估计；辅助的统计工具。 课程评估 本课程设计采用了多种评估方法来评估课程的教学效果，其中包括： 1.作业和测验：作业和测验将检测学生对理论和实践概念的 理解和应用。 2.便签练习：需要学生用几句话描述有关概率和统计的实际 应用。 3.最终考试：包含多个选择题、填空、简述和分析问题等。 参考文献 本课程设计参考了以下书籍： 1.Robert V. Hogg and Elliot A. Tanis. Probability and Statistical Inference (9th Edition). Pearson, 2015.
Probability Theory and Examples 第四版课程设计 选题背景 概率论是数学中的一个重要分支，旨在研究随机现象的规律性。作为一门学科，概率论在现代科学中有着广泛的应用，从统计学到生物学、物理学、经济学都需要用到概率论知识。因此，学习概率论是非常有意义的。本课程设计旨在通过掌握“Probability Theory and Examples”第四版的相关知识，提高学生对概率论的 理解，并为未来的学习提供基础。 教学目标 本课程设计旨在达到以下教学目标： 1.熟悉概率论的基本概念和方法。 2.了解随机变量和概率分布。 3.掌握概率分布的各种性质和应用。 4.熟悉极限定理和大数定理的原理和应用。 5.熟悉随机过程的基本概念和分类。 6.掌握随机过程的应用问题。 教学内容 第一章概率论 1.1 随机试验和概率论基本概念 1.2 频率学派和贝叶斯学派 第二章随机变量和概率分布 2.1 随机变量和概率分布
2.2 散点图、直方图和箱线图 第三章多维随机变量和相关性 3.1 多维随机变量和相关性 3.2 协方差和相关系数 第四章极限定理和大数定理 4.1 正态分布和中心极限定理 4.2 大数定理和中心极限定理的应用 第五章随机过程 5.1 随机过程和马尔可夫性 5.2 布朗运动和随机游走 第六章马尔可夫链的预备知识 6.1 马尔可夫链和平稳分布 6.2 马尔可夫链的转移概率矩阵 第七章应用问题 7.1 应用问题的分析和解决 7.2 系统可靠性评估 教学方法 本课程使用课堂讲授、案例分析和实践练习相结合的教学方法，根据不同章节的内容特点，采用相应的教学方法，如分组讨论、探究式学习、问题导向。
概率论与数理统计教程课程设计 一、引言 本次课程设计主要围绕概率论和数理统计两个方向进行，旨在通过课程设计的 方式让学生深入了解概率论和数理统计的基础理论和实际应用。课程设计内容包括概率分布、随机变量、概率密度函数、期望值、方差等概率论和数理统计基础知识，以及假设检验、置信区间等实际应用知识。 二、课程设计目的 本课程设计的主要目的如下： 1.让学生深入了解概率论和数理统计的基础理论和实际应用； 2.培养学生计算和解决实际问题的能力； 3.提高学生的数学素养和科学素养。 三、课程内容 本课程设计的主要内容包括以下几个部分： 1.概率论基础知识 1.1 概率的定义和性质 1.2 随机事件、样本空间、事件的运算 1.3 全概率公式和贝叶斯公式 2.概率分布 2.1 离散型随机变量概率分布
2.2 连续型随机变量概率密度函数 2.3 期望值、方差、协方差 3.常用概率分布 3.1 二项分布 3.2 正态分布 3.3 t分布 3.4 $\\chi^2$ 分布 4.假设检验 4.1 假设检验的基本概念 4.2 正态总体均值假设检验 4.3 正态总体方差假设检验 5.置信区间 5.1 正态总体均值置信区间 5.2 正态总体方差置信区间 四、课程设计要求 1.本课程设计为个人任务，每位学生自行完成，并提交报告； 2.报告内容应包括实验目的、实验原理、实验步骤、实验数据和分析、实验结论等部分，格式应规范，文字应清晰准确，计算过程应详尽； 3.本次课程设计将对每位同学的报告进行评分，评分依据包括报告质量、计算准确度、数据分析和处理、实验得出的结论等方面。
五、参考资料 1.张铭善等. 概率论与数理统计[M]. 清华大学出版社, 2011. 2.林宇翔. 概率论与数理统计实验指导书[M]. 清华大学出版社, 2009. 3.冯兴东等. 统计学教程[M]. 高等教育出版社, 2015. 六、结论 本次课程设计旨在让学生深入了解概率论和数理统计的基础理论和实际应用。通过概率分布、假设检验、置信区间等实际应用的案例，让学生更好地掌握概率论和数理统计的知识和方法，并培养其计算和解决实际问题的能力。同时，本次课程设计还将评估学生的报告质量、计算准确度、数据分析和处理、实验得出的结论等方面，以促进学生的全面发展。
概率论与数理统计及其应用第五版课程设计 一、前言 概率论与数理统计是现代统计学的基础课程，对于培养学生的数理思维和分析问题的能力至关重要。本课程设计的主要目的是帮助学生深入理解概率论和数理统计的基本概念和原理，并学会应用数学工具进行数据分析，为之后的学习和研究打下坚实的基础。 二、教学内容和教学方法 2.1 教学内容 本课程设计的教学内容包括以下几个部分： 1.概率论的基本概念和性质 2.随机变量和概率分布 3.多维随机变量和联合分布 4.数理统计的基本概念和方法 5.参数估计和假设检验 6.方差分析和回归分析 2.2 教学方法 本课程采用教师讲授、课堂讨论和案例分析相结合的授课方式，旨在使学生在理论学习的基础上，注重实际应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
三、课程设计 3.1 设计目标 本课程设计的主要目标是让学生通过实践运用所学知识，培养他们的实际操作能力和解决实际问题的能力，并通过独立完成课程设计，提高他们的自主学习和自我管理能力。 3.2 设计要求 1.学生按照要求，完成一份涉及到概率论和数理统计相关知识的数据分 析报告。 2.报告中需要包含数据收集、数据处理、统计分析和结果得出等方面的 内容，注重实际应用。 3.学生需要独立完成报告，并在规定的时间内提交给教师审核。 4.学生需要在规定时间内，参加并完成课程设计答辩。 3.3 设计步骤 本课程设计的步骤如下： 1.学生自主选择感兴趣、实际可行的数据，并收集整理数据。 2.学生对收集到的数据进行数据预处理和描述性统计分析。 3.学生根据数据特征，应用所学概率论和数理统计的知识进行推断和分 析，得出结论。 4.学生整理报告，并在规定时间内提交给教师。 5.学生参加课程设计答辩。 3.4 设计要求 1.学生所选的数据必须是真实的，并按照科学方法进行处理和分析。 2.学生需要使用一些常用的数据分析工具（如Excel、SPSS等）进行数 据处理和统计分析。
概率论与数理统计课程设计_一元线性回归分析
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切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系 摘要 数理统计是具有广泛应用的数学分支,而区间估计和假设检验问题在其中占有很重要的地位。对于正态总体期望和方差的区间估计和假设检验问题已有完备的结论；对于非正态总体期望和方差的区间估计和假设检验问题，在大样本的情况下，可利用中心极限定理转化为正态总体来解决。但实际问题中常常碰到非正态总体，而且是小样本的情况，因此对它的区间估计和假设检验是一个值得研究的问题 本文利用概率纶与数理统计中的所学的回归分析知识，对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，利用这些数据做出刀具厚度x关于时间y的线性回归方程,并MATLAB 与EXCEL软件对验数据进行分析处理,得出线性回归系数与拟合系数等数据，并用F检验法检验了方法的可行性,同时用分布参数置信区间和假设检验问题，得出了刀具厚度x关于时间y的线性关系显著，并进行了深入研究，提出了小样本常用分布参数的置信区间与假设检验的解决方法. 关键词：统计量法；置信区间；假设检验；线性关系;回归分析
目录 一．设计目的 (2) 二．设计问题 (2) 三．设计原理 (3) 四．方法实现 (7) 五．设计总结 (17) 参考文献 (17) 致谢 (18)
一．设计目的 了解一元回归方程,回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法.同时更好的了解概率论与数理统计的知识,熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题.本设计是利用一元线性回归理论对用切削机房进行金属品加工时为了适当地调整机床，测量刀具的磨损速度与测量刀具的厚度间的关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算。 二．设计问题 用切削机床进行金属加工时，为了适当地调节机床，需要测定刀具的磨损速度。在一定时间（例如每隔一小时）测量刀具的厚度，得到数据如下: 切削时间()h x i 刀具厚度 ()cm y i 切削时间 ()h x i 刀具厚度 ()cm y i 0 30。0 15 24。8 1 29.1 16 24.0 2 28.4 17 23.7 3 28。1 18 23。1 4 28.0 19 22。9 5 27.7 20 22。6 6 27。5 21 22.3 7 27.2 22 22。1 8 27。0 23 21.7 9 26.8 24 21。5 10 26。5 25 21。3 11 26。3 26 21.0 12 26.1 27 20.6 13 25。7 28 20。3 14 25.3 29 20。1
融合思政教育与人工智能背景的概率论与数理统计课程设计 题目：融合思政教育与人工智能背景的概率论与数理统计课程设计 一、课程背景介绍： 随着人工智能的发展，它已经成为推动社会进步和经济发展的重要力量。人工智能技术的应用已经渗透到各个领域，包括医疗、金融、交通、教育等。然而，随着人工智能的广泛应用，我们也面临着一系列与人工智能相关的伦理、道德和社会问题。因此，在人工智能领域，思政教育具有重要的作用。概率论与数理统计是人工智能领域中重要的数学基础，它们对于人工智能算法的设计和分析具有重要意义。 二、课程目标： 本课程旨在将思政教育与概率论和数理统计相结合，培养学生对于人工智能技术的正确理解和判断力，提高学生的道德、伦理意识和社会责任感。同时，通过学习概率论与数理统计，使学生能够掌握使用数学方法进行数据分析和模型建立的基本能力。 三、课程内容和教学方法： 1. 概率论基础 - 概率的基本概念和性质 - 随机变量和概率分布
- 多维随机变量和联合概率分布 2. 数理统计基础 - 抽样与抽样分布 - 参数估计与假设检验 - 方差分析与回归分析 3. 人工智能与思政教育 - 人工智能的基本原理和应用领域 - 人工智能的伦理、道德和社会问题 - 人工智能的发展趋势和未来挑战 4. 案例分析与讨论 - 使用概率论和数理统计方法分析人工智能相关问题 - 探讨人工智能的伦理、道德和社会影响 教学方法采用理论讲授、案例分析、小组讨论等形式，注重理论与实践的结合。通过引导学生分析和讨论真实的案例，培养学生的分析思维和解决问题的能力，同时深化学生对于人工智能与思政教育的理解。 四、教学评估： 课程综合评估旨在考察学生对于概率论与数理统计知识的理解和掌握程度，以及对于人工智能与思政教育的理解和分析能力。评估方式主要包括平时作业、小组讨论报告和期末考试。平时作业用于考察学生对于概率论与数理统计知识的掌握和运用能
概率论与数理统计理工类简明版第五版教学设计课程背景 概率论与数理统计是理工类学生必修的数学课程之一。本教学设计以《概率论与数理统计理工类简明版》第五版为教材，旨在提高学生的数理统计思维能力，培养学生对实验数据的分析和处理能力，使学生能够将所学知识有效地应用于实际问题中。 教学目标 •了解概率论和数理统计的基本概念和理论，掌握基本的计算方法； •学会使用概率和统计方法分析实验数据，能够进行数据的搜集、整理和处理； •培养学生的数理统计思维能力，使其能够解决实际问题，具备应用概率与统计知识的能力； •提高学生的信息素养，能够采用信息化手段进行搜集、处理和分析数据的能力； •增强学生的创新能力，能够从实际问题中找到解决问题的新思路和方法。 教学内容 第一章引论 • 1.1 随机事件及其概率 • 1.2 随机变量及其分布 • 1.3 二维随机变量及其分布 第二章随机变量及其分布 • 2.1 随机变量及其分布
• 2.2 数学期望 • 2.3 方差、协方差、相关系数 • 2.4 大数定律、中心极限定理 第三章数理统计基础 • 3.1 参数估计 • 3.2 假设检验 • 3.3 置信区间 第四章统计推断 • 4.1 单样本检验 • 4.2 双样本检验 • 4.3 方差分析 第五章多元统计分析 • 5.1 多元正态分布 • 5.2 主成分分析 • 5.3 正交回归分析 教学方法 本课程采用教师讲授、学生自主学习、实验操作和案例分析相结合的教学方法。 教师讲授 通过教师讲授、互动问答的方式，讲解概率论与数理统计的基本概念、理论和 方法，阐述实际问题中的应用。 学生自主学习 学生自主学习和探究是本课程的重要组成部分。借助教材附带的习题和案例， 学生可以自主巩固练习所学的基本概念和方法，加深对知识点的理解和掌握。
Harbin Institute of Technology 概率论与数理统计 期末论文 论文名称：概率论与生活中的随机事件院系： 班级： 作者： 学号：
概率论与生活中的随机事件 哈工大XX学院 XXXX班 XXX 摘要：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。在日常生活中经常碰到概率问题，人们凭经验和直觉也能做出判断，但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会与事实大相径庭。生活中随机事件值得进一步分析。 关键词：概率论统计随机事件日常生活 概率论产生于十七世纪，本来是有保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。 在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。 随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。 在日常生活中经常碰到概率问题，人们凭经验和直觉也能做出判断，但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会与事实大相径庭，错得离谱。在社会和自然界中，人们把事件发生的情况分为三大类：在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。数学上把随机事件产生的可能性称为概率。以下为生活中几个随机事件的概率分析。 1.彩票是否中奖的概率分析 目前我国定期出售福利彩票，虽然各城市的游戏规则不完全相同，有的是35选7、有的是30选、有的是36选6等等，但其基本原理是一样的。人们在购买彩票时总是只看到那些中了大奖的故事，而不愿去考虑中大奖其实是个最典型的小概率事件，其概率低到根本不值得去买。数学家认为，概率低于1/1000就可以忽略不计了。如大英帝国彩票中特等奖的概率只有1/1400万，即使是选号范围小一些的彩票，中到特等奖的概率一般也要1/500万，这样小的概率居然还有这么多人趋之若鹜。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。 一张彩票的中奖机会有多少呢？现以活动彩票的“36选6”“49选6”为
Introduction to Probability Models 第九版课程设计 简介 本课程设计是基于 Sheldon M. Ross 所著的第九版《Introduction to Probability Models》教材而设计的。本文档将介绍课程设计的目标、学习内容、教学方法和评估方式。 目标 本课程设计的主要目标是帮助学生理解概率论的基本概念和理论，并能够应用 这些知识来解决实际问题。具体目标包括： 1.理解概率空间、事件、概率分布、随机变量和随机过程等基本概念。 2.掌握概率论的基本定理和方法，如条件概率、贝叶斯定理、独立性、 期望、方差、协方差等。 3.熟悉各种概率分布，如均匀分布、正态分布、泊松分布、指数分布等， 并能够应用这些分布来解决实际问题。 4.熟悉随机过程的基本概念和分类，并能够应用马尔可夫过程和排队模 型来解决实际问题。 学习内容 本课程的学习内容主要包括以下几个方面： 第一部分：概率论基础 1.概率空间和事件 2.随机变量和概率分布 3.多维随机变量和联合分布 4.条件概率和贝叶斯定理
第二部分：概率论的基本定理和方法 1.独立性和条件独立性 2.期望、方差、协方差和相关性 3.大数定律和中心极限定理 4.随机过程的基本概念 第三部分：概率分布和随机过程 1.均匀分布和正态分布 2.泊松分布和指数分布 3.马尔可夫过程和排队模型 教学方法 本课程将采用多种教学方法来帮助学生理解概率论的基本概念和方法。具体的教学方法包括： 1.讲解教学：介绍概率论的基本概念和方法，解释各种概念和公式的意 义和应用。 2.例题演练：通过讲解和演示例题，帮助学生掌握各种概率分布和随机 过程的基本应用方法。 3.课堂互动：通过课堂问答、讨论和小组活动等互动方式，加深学生对 概率论知识的理解和记忆。 4.实践应用：通过实际问题的案例分析和解决，帮助学生将概率论的理 论知识应用到实际生活和工作中。 评估方式 本课程的评估方式主要包括以下几个方面： 1.作业和小测验：通过课后作业和小测验，检验学生对概率论理论知识 的掌握情况。
《概率论与数理统计》说课稿 各位老师大家好！ 我说课的课程是“概率论与数理统计” 《概率论与数理统计》是研究随机现象的统计规律的性的一门学科，是高等师范专科学校数学教育专业的一门必修课程。本课程分为两大部分：第一部分是概率论，主要包括事件与概率；随机变量及其分布；随机变量的数字特征；大数定律与中心极限定理，它是数理统计的理论基础，第二部分是数理统计，主要包括参数估计；假设检验；方差分析与一元线性回归。通过本课程的学习使学生初步掌握处理随机现象的基础理论和基本方法，使学生具有解决某些实际问题的能力，为从事中、小学数学教学有关内容的教学奠定了扎实的基础。 我说课的内容主要从以下六个方面进行： 1、课程设置 2、课程设计 3、课程的教学实施 4、教学资源 5、课程特色 6、教学效果 一、课程设置 （一）本课程的性质、地位、作用 数学教育专业主要培养适应基础教育发展需要，德、智、体、 美全面发展，具有扎实的数学学科基本知识与基本方法，掌握小学教学的基本规律和基本技能，具有良好的师范素质、较强的实践能力，为从事中、小学数学教学有关内容的教学奠定了扎实的基础。
课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合数学教育专业的特点介绍性地给出在该领域中的具体应用。通过本课程的教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和思想，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。先修课程：《数学分析》、《高等代数》等课程。课程用到了数学分析中的一重积分、二重积分、导数等知识，用到高等代数中的n维向量等知识。后续课可能在数学建模中用到。 （二）教学目标 本课程分为两大部分：第一部分是概率论，主要包括事件与概率；随机变量及其分布；随机变量的数字特征；大数定律与中心极限定理，它是数理统计的理论基础，第二部分是数理统计，主要包括参数估计；假设检验；方差分析与一元线性回归。本课程开设的目的是：帮助学生从深层次理解小学数学知识，提高教师的专业素养，减少教学中的科学性错误，培养学生具有严谨、认真的科学态度，为将来从事小学数学教学奠定扎实的基础。 二、课程设计 （一）课程的设计理念与思路 通过本课程的学习使学生获得对随机现象以及研究随机现象的最基础的数学学科的基本的了解，同时熟悉随机事件与概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征等概率论方面的基本概念，熟悉数理统计的相关基本概念，了解并掌握参数估计、假设检验等基本的统计