第一章集合与函数
【学习目标】
1.集合
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.函数
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；
（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
【知识网络】
【要点梳理】
一、集合
1．集合含义与表示
（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．
2．集合间的关系
（1）若集合中A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记为“A ?B ”或“B ?A ”．
（2）若A ?B ，且B 中至少存在一个元素不是A 的元素，则A 是B 的真子集，记为“A B ”或“B A ”．
（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B ”．判断集合相等还可以用下面两种方法：A B ?且A B ??A=B ；A
B A B A B =?=． 要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
3．集合的基本运算
（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的并集，记作“A ∪B ”．用数学语言表示为A ∪B={x|x ∈A ，且x ∈B}．
（2）由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的交集，记作“A ∩B ”．用数学语言表示为A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．
（3）若已知全集U ，A 是U 的子集，则由所有U 中不属于A 的元素构成的集合称为集合A 在U 中的补集．记作“
U A ”．用数学语言表示为{,}U A x U x A =∈?且．
要点诠释： A B A A B =??；A B A A B =??．
二、函数及其表示
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x （原象），在集合B 中都有唯一确定的元素()f x （象）与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函
数是两个非空的数集间的映射．
三、函数的性质
1．函数的单调性
（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．
（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．
（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
2．函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
【典型例题】
类型一：集合的关系及运算
例1．已知全集U=R ，集合M={x|－2≤x －1≤2}和N={x|x=2k －1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M ∩N={x|－2≤x －1≤2}∩{x|x=2k ―1，k=1，2，…}={x|―1≤x ≤3}∩{x|x=2k －1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B 项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【变式1】设全集为R ，{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，
求()A B R 及()
A B R ． 【答案】()A B R ={}|210x x x ≤≥或；()
A B R ={}|2310x x x <<≤<或7. 例2．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题： ①若m =1，则S ={1}；②若12m =-
，则14≤l ≤1；③12
l =，则202m -≤≤． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【思路点拨】根据题中条件：“当x ∈S 时，有x 2
∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得2
,1,l l l ?≤?≥?，对于②12m =-，则214l l l ?≤??≤??，对于③若12l =，则21,212m m ?≥????≥??，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【答案】D
【解析】 若m=1，则x=x 2，可得x=1或x=0（舍去），则S={1}，因此命题①正确；若12m =-，当12x =-时，214x S =∈，故min 14
l =，当x l =时，22x l S =∈，则2l l =，
可得1l =或0l =（舍去），故max 1l =，∴114l ≤≤，因此命题②正确；若12
l =，则21212
m m m ?≤????≤≤??
，得02m -≤≤，因此命题③正确． 类型二：映射
例3．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足
:(,)(,)f x y xy x y →--．
（1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象；
（2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；
（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【解析】
（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，
于是34xy x y -=??-=-?，解得13x y =-??=?或31
x y =-??=?，
∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ），
应满足 xy a x y b -=??-=?①
②
由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．
∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2
{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N ，故222242*********a a a a b b b b ??-=--+=?????-+=--+=???
?，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型三：函数的概念及性质
例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )
A ．12(||)(||)f x f x <
B ．21()()f x f x ->-
C ．12()()f x f x <-
D ．12()()f x f x ->
【答案】D
【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121
()()0f x f x x x -<-，则（ ） A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
【答案】A
【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为
减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．
例5．设偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ）
A ．{x|x ＜－2或x ＞4}
B ．{x|x ＜0或x ＞4}
C ．{x|x ＜0或x ＞6}
D ．{x|x ＜－2或x ＞2}
【答案】 B
【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，
∴33()()88f x x x -=--=--，
又()f x 是偶函数，
∴3()()8f x f x x =-=--， ∴338, 0()8, 0
x x f x x x ?-≥?=?--
x x f x x x ?--≥?-=?---?或30(2)80
x x ?． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．
例6．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）
A ．－2
B ．－4
C ．－8
D ．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），
且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac -=->，()f x 的最大值
=依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍????中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有
224404b ac b ac a a
--=>--，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项． 举一反三：
【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1
f x
g x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤??
-≠?，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．
例7．已知函数13y x x =-+
+的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为（ ）
A ．14
B ．12
C ．22
D ．3 【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+．
而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．
又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．
∴22
m M =．故选C 项． 举一反三：
【变式1】（1）函数2
21
x y x =+（x ∈R ）的值域是________． 【答案】[0，1）
【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221
x y x =+，得21y x y =-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）． 例8．设函数()|24|1f x x =-+．
（1）画出函数()y f x =的图象；
（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．
【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+
，则函数()y f x =的图象如图所示． （2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥
或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为
1(,2)[,)2
-∞-+∞． 举一反三：
【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________．
【答案】 514
a << 【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514
a <<．
例9. 已知函数2()a f x x x
=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．
【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围。
【解析】 （1）当a=0时，2
()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．
当a ≠0时，2()a f x x x
=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠，
∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，
∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x 1＜x 2，
2212121212121212
()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=?+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．
∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．
又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16．
∴a 的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a ＜0时，反比例函数
a x 在[2，+∞）上为增函数， ∴2()a f x x x
=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】已知函数1()f x kx x
=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x
∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．
（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则
12121211()()22f x f x x x x x -=-
-+ =12121()(2)x x x x -+
1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴< 所以函数1(2)2f x x
=-在()0,+∞上单调递增．