实验探究，让数学概念自然生长
——《导数的概念》说课
江苏省常州市第五中学张志勇
一. 教学内容与内容解析
1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”，导数的概念包括三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习．
2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用．对于中学阶段而言，导数是研究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用．从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵．事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同．囿于学生的认知水平和可接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，直至建立起导数的数学模型．
3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程．因此教学处理时，试图还
原知识建构的完整过
程，实现导数概念的“再
创造”，其中数学探究
环节采用数学实验的方
式，用数值逼近法感知导数作为逼近值的存在性，用解析式抽象法从数学角度加以确认；模型解释环节则是教材中“曲线上一点处的切线”的流程再造（原来是作为导数知识的引入环节）．
二．目标设定及目标解析
1、知识与技能目标：
会从数值逼近、几何直观感知、解析式抽象三个角度认识导数的涵义，应用导数定义求简单函数在在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程．
2、过程与方法目标：
经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，感知“无限逼近”与“量变到质变”、“近似与精确”的哲学思想，在实验观察、归纳抽象的过程中建构导数概念，在解释应用与拓展的过程中领悟数学发现的完整过程．
3、情感、态度、价值观目标：
经历数学发现过程、感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念；应用手持技术进行数学实验中改善数学学习方法，从向书本学习数学转向用技术研究数学．
教学重点
导数概念的建构及导数的解释应用．
教学难点
导数的几何解释及切线概念的形成．
三．教学问题诊断分析
本节课需要用到的知识储备包括平均变化率、直线的斜率、物理中物体运动的瞬时速度、解析几何中的切线等，而所要用到的归纳、概括、类比、抽象思维能力等也已具备，特别地实验班的学生均能熟练操作图形计算器，也多次经历过数学再创造的过程，对“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”这样的学习程序并不陌生，这些都是开展本节课学习的基础．可能存在的问题：一是对学生而言，“无限逼近”的思想闻所未闻，需要精心设计活动帮助学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程；二是数值逼近的运算繁琐，不能采取简单告诉的方式而需应用技术来实现计算；三是概念建构很难一蹴而就，需要有丰富的实例作支持，于是在数学探究环节中就需要从数值计算走向解析式抽象，从而实现概念形成的“水到渠成”；四是导数概念的几何解释是从数走向形的基本保证，需要有几何直观作支持，需要创设资源支持“以直代曲”；五是尽管学生的图形计算器操作较熟练，但CAS系统还很陌生，在教学中需要有示范性讲解并提供即时帮助．
四．教学支持条件分析
导数知识再创造教学设想的达成，离不开教育技术的支持，本教学案例中利用HP Prime 的表征优势，为学生提供如下支持平台：
一是数值逼近计算平台，在电子表格中设置图2所示的情境，其中0.1^
?=，
x Row
g x则在CAS中设置（如图1）；
=?，而()
JIEGUO g x
()
二是几何直观解释平台，在几何学模块中，设置好图4所示的APP，学生在操作时可以改变Q点位置，观察割线斜率的变化，然后再与相应的瞬时变化率作比较；
三是导数求值验证平台：如图5，导数运算对学生而言是含有字母的运算，过程中涉及因式分解问题，操作中可以让学生先进行纸笔运算，然后再作计算器验证．教学过程中前两个平台通过Connkit课堂管理系统发送给学生，让他们进行自主操作、探索发现．后面一个平台用于教师演示，必要时还可开发GeoGebra用于几何解释演示．五．教学流程设计
1、问题情境
问题一、气球膨胀率 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢，能否从数学角度来描述这种现象呢？
气球的体积为V ，半径为r ，则1
1
3
33
4334V r r r ππ??=?= ???
问题二、高台跳水
在高台跳水运动中，运动员的助跑、起跳、空中和入水动作都是评判的依据，科学训练时需要测量每一瞬间的运算速度．如
果假设某次跳水中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 存 在 函 数 关 系2()4,9 6.510h t t t =-++，那么你是否能描述该运动员每一瞬间的运动状态？
设计意图：通过实例来体会平均变化率的应用局限性，使学生有机会经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2、数学探究 教师讲授：
问题1、如何对瞬时变化率进行数学刻画？当0x ?→时，平均变化率21112121()()()()
(=f x f x f x x f x x x x x x x -+?-=?--?其中）
就趋近于瞬时变化率． 问题2、如何体现0x ?→？让平均变化率的取值间隔x ?逐渐缩小，如0.10.010.0010.00010.00001→→→→…
问题3、这么繁琐的运算怎么实现？借助图形计算器进行数值计算．
数值逼近：以计算2t =时高台跳水的跳水速度为例，进入“电子表格”模块，在CAS 系统中先定义两个函数2() 4.9 6.510h t t t =-++、(2)(2)
()h x h g x x
+-=
，然后计算
(0.1),(0.01),(0.001),(0.0001)g g g g ，可以发现当0x →时，运动速度稳定在13.1-（如图1）；
也可以“电子表格”模块中进行即时运算（如图2）．
解析式抽象： ∵
22
22
(2)(2) 4.9(2) 6.5(2)10 4.92 6.52104.9(4) 6.513.1h h t h t t t t t t t
?????=+?-=-?+?+?+?+--?+?+????
=-??+?+??=-?+?
图1
图2
∴
2 (2)
(2)13.1
13.1
h h t h t t
t
t t t
?+?--?+?
===-+?
???
∴当0
t?→时，13.1
h
t
?
→-
?
学生活动：借助于教师发送的APP，分组计算（共同完成下表的填写）．如V=1，2时气球的变化率，t=1，3时高台跳水运动员的跳水速度等．
t值跳水瞬时速度V值气球膨胀率
0.5 1.6 0.5 0.32825
1 -3.3 1 0.20678
1.5 -8.2 1.5 0.157805
2 -13.1 2 0.13026
设计意图：导数概率中涉及的极限思想不能采取简单的“告诉”方式，而是在图形计算器的支持下，让学生有一个亲身操作的过程，通过学生的亲身操作，在x
?的取值逐渐变小（0.10.010.0010.00010.00001
→→→→…）中观察相应的变化率的变化，从而经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，切实感知极限的涵义，以保证导数概念的建构“水到渠成”．操作说明：在学生操作时，需要将教师提供的APP进行适当修改，先在CAS系统中拖曳改动（如图1-1），然后再在电子表格模块中重新运算（如图2-1，按JIEGUO列名后编辑完成）．
3、模型建构
教师带领学生就操作过程中得到的表格（图2、图2-1或通过Connkit课堂管理系统截取的任何学生操作界面），进行归纳总结并进行形式化表述（可逐步递进），形成导数模型：（1）x
?无限趋近于0时，
(2)(2)
h x h
x
+?-
?
无限趋近常数-13.1，
(2)(2)
r x r
x
+?-
?
无限趋近常数0.13026，…
（2）这个常数可称为导数，记作
()
f x
'，即(2)13.1
h'=-、(2)0.13026
r'=、…
（3）设函数()
y f x
=在区间(),a b上有定义，()
,
x a b
∈，若0
x?→时，00
()()
f x x f x
A
x
+?-
→
?
常数，则称()
f x在
x x
=处可导，并称该常数A为函数()
f x在
x x
=
处的导数，记作
()
f x
'．
设计意图：导数的概念比较抽象，从具体案例的归纳提炼出发，层层递进逐步抽象，可图1-1 图2-1
以帮助学生实现导数概念的生成和建构；教学中一方面需要需要关注形式化抽象的进阶性，另一方面要关注学生的参与度，尤其是归纳的过程让学生多参与，随机截图分析概括是一个比较理想的组织形式．
4、模型解释
提问：我们已经知道“0
x
?→时，00
()()
f x x f x
A
x
+?-
→
?
常数”，这是从代数的角度刻画的，那么是不是可以从几何角度加以描述呢？
（1）教师解释几何构造：如图3，设点()()
1111
,(),,()
P x f x Q x x f x x
+?+?，
则2111
21
()()()()
f x f x f x x f x
x x x
-+?-
=
-?
可表示曲线的割线PQ的斜率；
（2）学生活动：在几何学的APP（如图4）中进行操作，探索x
?无限趋近于0（即Q 向P无限靠近），那么11
()()
f x x f x
x
+?-
?
的无限逼近值的何几何意义；
（3）总结概括：Q向P无限靠近，割线PQ逼近曲线在点P处的切线，如图5所示；
（4）学生验证：在几何学中，将图形放大可以发现，曲线接近于一条直线，而此直线与相应的切线非常接近，经计算可以发现切线的斜率即是相应的导数值．
完善结论如下：
设曲线C上一点(,())
P x f x，过点P的一条割线交曲线C于另一点(,())
Q x x f x x
+?+?，则割线PQ的斜率为
()()()()
()
PQ
f x x f x f x x f x
k
x x x x
+?-+?-
==
+?-?
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l的斜率，即当x
?无限趋近于0时，
()()
f x x f x
x
+?-
?
无限趋近于点(,())
P x f x处的切线的斜率．设计意图：“割线斜率→切线斜率”是“平均变化率→瞬时变化率”的“视觉化”，让学生动手实验感知“切线的存在性”以及“局部以直代曲”的思想．
5、应用拓展
1、求函数2
()2
f x x
=+在1
x=处的导数．
简解：
(1)(1)
2
f x f
x
x
+?-
=?+
?
图3 图4
0x ?→时，22
x ?+→ ∴(1)2
f '=
说明：1、求导的基本步骤：求函数的增量→求平均变化率→无限趋近于0得瞬时变化率→得到导数值．
2、在学生纸笔运算后可用图形计算器CAS 命令进行检验（如图5），在运算时可借助于“simplify ”命令将解析式化简．
2、求函数1
()f x x =
在2x =处的导数． 3、求曲线1y x =在点12,2??
???处的切线方
程．
4（思考题）、已知酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以220cm /s 的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，求水深的瞬时变化率．
设计意图：
1、采用多层次、多角度的变式训练方式，由易到难，梯度明显，实现了从知觉水平的应用到思维水平应用的自然过渡；
2、考虑到学生在运算中可能有的问题，于是图形计算器成了学生学习导数中的必要工作．
3、“函数在某一点的导数”、“导函数”以及“导数”三个不同的概念：（1）“函数在某一点的导数”是一个值，而“导函数”或“导数”是一个函数；（2）“函数在某一点的导数”就是导函数在这点的函数值()0f x '与()f x '的关系()()0
0x x f x f x =''=
知识链接：导数产生的背景
十七世纪，有许多科学问题需要解决，归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动运动物体的瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大、小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．
这些问题成了促使微积分产生的因素．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家为解决上述几类问题作了大量的研究工作，十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，牛顿着重从运动学考虑—研究运动物体的瞬时速度，莱布尼茨侧重于几何学来考虑的—研究了曲线切线斜率的求法．他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起．正所谓“求积问切难题多，瞬速极值奈若何．群贤同趋坎坷路，双雄竞渡智慧河．百年寻谜无穷小，万代受益财富多．撑起数学参天树，人类精神奏凯歌．”（引自湘教版教材）．
图5