初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第22章[x]与{x}试题新人教版

第22章[]x与{}x

求1-的值．

解析因为

1200712006

+，

又

=<，

所以200612007

<．

故12006

=．

若n是正整数，求的值．

解析因为3321

n n n n

<+++

()3

32

3311

n n n n

<+++=+，

所以1

n n

<=+，

所以n

=．

数1232008

A=????的末尾有多少个连续的零?

解析A的质因数分解式中，5的最高次方幂为

40080163499

=+++=，

所以1232008

A=????的末尾有499个零．

评注在()

!12

n n

=???中，质数p的最高次幂是

()

2

!

m

n n n

p n

p p p

??????

=+++

??????

??????

，

其中m p n

≤，且1m p n

+>．

设

222

111

1

232007

S=++++，求[]S．

解析要求[]S，只需证明S介于两个连续的整数之间．所以需要对S进行适当的变形，通过放大、缩小

的手段求出S的范围，从而确定[]S的取值．

由题设知，1

S>．考虑到

()

2

1111

11

k k k k k

<=-

--

，k=2，3，4，…，2007，可以得到

1222007

=-<， 所以[]1S =．

评注 上述解题过程中，首先对S 进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了S 的范围．

在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一 些和式的性质以及变形技巧．

计算和式

的值．

解析 因为（23，101）=1，所以，当1,2,,100n =时，23101n 都不是整数，即23101n ??????

都不为零．又因为

()2310123101101

n n -+ =23， 而()231012302101101n n -????<+

是整数，所以 ()23101231101101n n -????+=????????

， 则()231012323122101101n n -????+=-=????????

． 从而，可以把231101???????，232101???????，…，23100101???????

首尾配对，共配成50对，每一对的和为22，所以 23123223100101101101?????????+++????????????

2251100=?=． 已知01a <<，且满足122918303030a a a ??????++++++=????????????，求[]10a 的值． 解析 因为122902303030a a a <+<+<<+<，所以130a ??+????，230a ??+????，…，2930a ??+???

?等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以

12110303030a a a ??????+=+==+=???????????

?， 1213291303030a a a ??????+=+==+=???????????

?， 所以110130

a <+<， 121230

a +<≤． 故183019a <≤，于是196103a <

≤，所以[]106a =． 求满足{}[]25125x x +=的所有实数x 的和．

解析 原方程可化为{}[]12525x x -=，所以[]1250125

x -<≤，可得[]100125x <≤，于是[]x =101，102，…，125，从而，满足条件的实数x 为

24101525?=+，24102525?+，…，24125525

?+， 它们的和为 ()24255101102125283725?++++=．

已知20032004T <<，如果要求[]{}x x ?是正整数，求满足条件所有实数x 的和．

解析 显然，[]2003x =，2003是质数，{}01x <<，

设{}2003x p =，由题设，p 是整数，12003p <≤．

20032003

p x =+，p =1，2，3，…，2002． 和1232002200320022003S ++++=?+

4011007=．

解方程[]722

x x -=

． 解析 原方程可改写为 []722

x x =+， 将其代人[][]l x x x <+≤，可得

[][][]72l 2

x x x +<+≤

． 解此不等式组，有 []7522

x -<-≤， 即[]3.5 2.5x -<-≤，

所以[]3x =-．

将[]3x =-代入原方程，得

52

x =-． 所以，原方程的解是52

x =-． 评注 若一次方程中同时出现x 和[]x 的一次项，可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出[]x 或x ，分别代入不等式组

[]1x x x -<≤或[][]1x x x <-≤，

求解后得到[]x 或x 的范围，从而求得[]x 的“可能取值”（注意不一定是解!）．

（2）将这些“可能值”代人原方程进行求解．

（3）检验．因为在（1）中将[]x 或x 代人不等式组，实际上是“放大”了x 的范围，所以必须验根！ 解方程：[]13122

x x +=-． 解析 设[]31x n +=，则n 为整数，且

()0311x n +-<≤， ① 由原方程知122

x n -=，即 1124

x n =+． ② 3301124

n n ++-<≤， 即7322

n -<-≤． 所以，3n =-或2n =-． 代入②，得134x =-,254

x =-． 解方程：[]33x x -=．

解析 由原方程可化为[]33x x =-，代入不等式组

[]1x x x -<≤，有

[]313x x x x -<-=≤．

整理后得到()2213x x <-≤．

当0x <时，因为()210x x ->，所以210x -<，即10x -<<，所以()211x x -<，与()221x x <-矛盾． 当0x >时，因为()212x x ->，所以210x ->，即1x >．

又因为()

213x x -≤，所以2x <．

所以12x <<，故[]1x =．代入原方程，得x =

解方程[]2440510x x -+=．

解析 这是一个关于x 的二次方程，如果从方程中解出[]x 或x ，并代入不等式组将会使问题复杂化．可 以利用[]x 的性质，通过建立不等关系缩小[]x 的取值范围，从而得到[]x 的可能取值．

由原方程知，0x >．因为[][]1x x x <+≤，所以将[]x x =和[]1x x =+分别代入[]244051x x -+中，得到不等式组 即[][][]317,22115,22

x x x ?????>

x <≤，[]x =2，6，7，8．

代入原方程得，得x =

．

经检验知，x =

已知x 、y 、z 满足：

对于数a ，[]a 表示不大于a 的最大整数，{}[]a a a =-．求x 、y 、z 的值．

解析 首先注意到，对于任意有理数a ，[]a a ≤，所以{}0a ≥．①+②+③得

2220.6z y z ++=，

即0.3z y z ++=． ④

④－①得到{}[] 1.2y z +=，从而{}0.2y =，[]1z =；

④－②得到{}[]0.1x y +=，从而{}0.1x =，[]0y =；

④－③得到{}[]1x z +=-，因此{}1x =-，[]0z =．

故0.9x =-，0.2y =，1z =．

解方程[][]

999x x x x +=+（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）． 解析 若x 是整数，则[]x x =，于是非零整数都是原方程的解．

若x 不是整数，则[]x x ≠，由题设得

[]()[]()990x x x x --=，

所以[]99x x =．

设[]x n =，则x n a =+，01a <<．代入上式得

()99n a n +=．

当0n >时，()2991n n n <<+，这样的整数n 不存在．

当0n <时，()2199n n n +<<，只有整数10n =-满足，此时0.1a =．于是

9.9x =-．

综上所述，原方程的解为所有非零整数和－9.9．

证明：对于任意实数x ，有

[][]122x x x ??++=????

． 解析 设{}[x x x =+，其中{}01x <≤，则有[]{}1122x x x +

=++，[]{}222x x =+． 当{}102x <≤时，{}11122x +<≤，{}102212

x

，[][]22x x =， 于是[][][]1222x x x x ??++==???

?． 当{}112x <≤时，{}13122

x +<≤，{}12212x

， [][]{}[]22221x x x x =+=+????，

于是[][][]12122x x x x ??++=+=???

?． 所以，对于任意实数x ，[][]122x x x ??++=???

?恒成立． 说明 本题中的等式有更为一般的形式：对任意实数x ，有

[][]121n x x x x nx n n n -??????+++++++=????????????

， 其中n 为大于l 的一切正整数．

这个等式称为埃尔米特（Hermite ）恒等式．

设x 、y 为正整数，(),1x y =，求证： ()()()11122y x x y x x y y y ---??????+++=????????????

． 解析 设r 为整数，且11r y -≤≤，则有

()y r x yx rx rx x y y

y y -??????=-=+-????????????1rx x y ??=--????， 两边同时叠加，得到

()()()1211x y x x y x y y y ??-??????=---+++ ??????? ?????????． 所以()12y x x x y y y ??-??????+++ ??????? ??????

???

()()112

x y --=． 评注 对任意实数x ，有

（请读者自证）

如果n 是正整数，求证：

解析 任意正整数n ，总存在正整数m ，满足()2

21m n m <+≤，不妨设2n m k =+，其中02k m ≤≤．

（1）当01k m -≤≤时，即221m n m m +-≤≤．则

12

m =+． ① 又因为2211m n m m +++≤≤，所以

12m m <+． ② 由①、②式，得

221m m <<+，所以2m =． 另一方面，

224242442m n m m +++-≤≤，

21m +，

即2m =．

故当01k m -≤≤时，等式成立．

（2）当2m k m ≤≤时，

2222m m n m k m m +=++≤≤，

1m +，

1m =+．

22m +． ③

又

，

+

因为 ()

22m m =+， 所以 ()()

221m m m m +++++()()()

222221441m m m m m m m m >++++++=++．即

()22

21m >+．

21m >+． ④

由③、④式，得

21m =+． 另一方面，

2244242482m m n m m +++++≤≤，

22m =+．

所以21m =+． 故当2m k m ≤≤时，等式亦成立．

综上所述，原等式成立．

设a 、b 、c 是正实数，求a b b c c a u c a b +++??????=++????????????

的最小值． 解析 对于实数x ，有[]1x x >-，所以

22233++-=≥．

由于u 是整数，所以4u ≥．

当6a =，8b =，9c =时，4u =．

故u 的最小值为4．

在1，2，…，2005这2005个正整数中，有多少个可以表示成[]x x ????的形式，其中x 是正实数．（这里[]a 表示不超过a 的最大整数．）

解析 令{}[]x x x =-，则{}[0,1)x ∈，于是

[][]{}()[][]{}[]2

x x x x x x x x ??????=+=+??????，因为{}[][]0x x x <≤，所以{}[][]01x x x ??-??≤≤，令[]x n =，则[]x x ????可以表示数2n ，21n +，…，21n n +-．

由于2444319792005+=<，24520252005=>，所以，欲求的数的个数为 444512449902

?+++==． 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ：2，3，6，7，10，11，…．数列{}n a 的前n 项之和记为n S ，其中n =1，2，3，…．求

2006S S ?=+++?的值．

（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 解析 易知2142n a n -=-，241n a n =-，1n =，2，…，因此

()258322

n n n n +-==+， ()221n n =-+，

所以

()()22

2221n n S n <<+，

()()22

21212n n S n --<<， 故[]22n S n =，[]2121n S n -=-，从而[]n S n =，于是

2013021=．

在212006??????，222006??????，232006??????，…，220062006??????

中，有多少个不同的整数?（其中，[]x 表示不超过x 的最大整数）

解析 设()2

2006

n f n =，则当n =2，3，…，1003时， 有

2112006

n -=<， 而，()10f =，()2

10031003501.52006

f ==，所以，从0到501的整数都能取到． 当n =1004，1005，…，2006时，有

2112006

n -=>， 而()()22100311004100420062006

f +== 1501.515022006

=++>， 所以，210042006??????，210052006??????，…，220062006??????是互不相同的整数． 从而，在212006??????，222006??????，232006??????，…，220062006??????

中，共有50210031505+=个不同的整数．