振动的数学分析

《振动的数学分析》

简谐振动的运动学

本节主要讲解 ：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程

由牛顿第二定律知：x m k m F a -== 即：022=+x m k dt x d 再令m k =2

0ω得：020

22=+x dt x d ω

方程02

022=+x dt

x d ω的通解为 ：

⑴

⑴ 式就是简谐振动的运动学方程， 该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（ T ）

完成一次全振动所用的时间：

对弹簧振子：k

m T π

ω

π

22==

2. 频率（ ）

单位时间内完成的全振动的次数：

的含义：

个单位时间内完成的全振动的次数，即： 圆频率 。

3. 振幅

物体离开平衡位置的最大位移。

振幅可以由初始条件决定。如： t=0 时刻， ，

由⑴式可得：αcos 0A x =, αωsin 00

0A dt

dx v t x -==

=

∴ ⑵

4. 位相和初位相

振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道φ才能完全决定系统的运动状态。

叫简谐振动的相位 。

当

时，

叫 初相位 。

由：

⑶

若：已知初始条件：

，则 ⑶式有：

⑷

⑸

⑷，⑸式中的任意一个即可确定初位相。

相位差 ：两振动相位之差 。

讨论 ：

⑴若 是 的整数倍，则振动同相位；

⑵若 是

奇数倍，则振动相位相反；

⑶若 ，则称 超前 ；

⑷若

，则称

落后

。

相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。

例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。

解 ：

∴ 在第一象限，

例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。

解 ：

设：αωφ+=t x 0，

2

0π

αωφ+

+=t v παωφ++=t a 0

则：

所以：速度的位相比位移的位相超前 2

π 加速度的位相比速度的位相超前

2

π； 加速度的位相比位移的位相超前

。

理解 ： 加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。 总结 ：

⑴ 简谐振动是周期性运动；

⑵ 简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 圆频率

及初相位

决定，或者说，由振幅和相位决定。

⑶ 简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，

而且取决于初始条件。

三 . 简谐振动的图象 ：

图线

描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。

中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。 四 . 简谐振动的矢量表示法 ： 用旋转矢量的投影表示简谐振动。 如图示：

为一长度不变的矢量，

的始点在坐标轴的原点处，记时起点 t=0 时，矢量

与坐标轴的夹角

为

，矢量

以角速度

逆时针匀速转动。

由此可见：⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。

⑵矢端的速度大小为

，在 x 轴上的投影为：

⑶矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：

，在 x 轴上的投影：

总结 ： 旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。

一 . 同方向同频率简谐振动的合成

设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：

A v 00ω=0

a

合位移：

令：

∴上式= ⑴

⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同。

或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频率旋转，、之间的夹角不变，

也以旋转，平行四边形的形状不变。

讨论：

⑴若相位差，即同相位，则：，振幅最大；

⑵若相位差，即反相位，则：，振幅最小；

⑶一般情况下，振幅A 介于与之间。

同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。

二. 同方向不同频率简谐振动的合成

若：两振动的周期之比：，n ，m 有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动, 由旋转矢量图可知。

若：周期之比, 不是整数比（如：无理数之比) ，则合振动没有周期性。

为了简单方便，设：

⑵

假如：，则：的周期远大于的周期。

令：

则⑵式就成为：

⑶

⑶式可以看作：振幅按照缓慢变化的，而圆频率等于的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。

令：叫平均圆频率，

叫调制圆频率。

⑶式就成为：

式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化。

拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。

合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。

不论达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为调制圆频率的两倍：

∴

∴拍频为：

问题：若二分振动的振幅不同，但初位相仍都为零，则合振动仍会形成拍吗?

三. 互相垂直相同频率简谐振动的合成

二分振动方程如下：

⑷

合成的振动表示：质点既沿轴运动，又沿轴运动，实际上在平面上运动。⑷式中消去时间t ，得质点运动的轨迹：

⑸

此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅和以及初位相差所决定。

讨论：

（１）分振动相位相同或相反时

①. 相位相同，即：或

则⑸式成为：

⑹

则⑹式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任

意一点的位移r 为：

上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为

。

②. 相位相反，即：，k 为奇数

则⑸式成为：

⑺

则⑺式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振动任一点的位移为：

上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。 （２） 相位差为

2

π

时，⑸式成为：

⑻

则⑻式表明：合振动的轨迹为以 和

轴为轴的椭圆。

若2

21π

αα=

-，即 方向的振动比

方向的振动超前

2

π

，即：

??? ?

?

++=2cos 201παωt A x (

)202c o s αω+=t A y

如某一瞬间， ，则：

。经过很短的时

间后，

略大于 0 ， y 将略小于

为正，而

大于 ， 为负，故质点运动到第二象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。反之，若

2

12π

αα=

- 质点沿椭圆顺时针方向运动。

（３）振幅相等，频率相同，相位差为2

π

时

合振动的轨迹为一圆周运动：

总之 ：两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。

四 . 互相垂直、不同频率简谐振动的合成 利萨如图形

一般来说，互相垂直的分振动频率不同的条件下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案。但如果分振动的频率成整数比，则合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初位相有关，得出的图形叫利萨如图形。

利萨如图形的应用：利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。

例题 ： 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。

解：以弹簧和物块静止时的位置为原点 ，此时弹簧的伸长长

度为 ，设物块处于任一位置 时：

此为简谐振动的动力学微分方程。

阻尼振动

振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫 阻尼振动 。 一 . 阻尼振动的动力学方程

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

对物块应用牛顿第二定律：

令

⑴

为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程。 二 . 阻尼振动方程的解 上述⑴式方程的特征根：

1. 欠阻尼时 即：

，则：

，

通解为： )cos()(αωβ+'=-t Ae t x t

(2)

22ωπωπ=>'=

'T T 说明由于阻力作用振动变慢（与无阻力时相比） 振幅为

随时间的推移，呈指数递减，

越大，振动衰减越快；

越小，振幅衰减越慢。

定义：T Ae

Ae D T t t

'=='+--βββ)

(ln 表示阻尼大小的标志，称对数减缩，即经过一个周期后，振幅的衰减系数。

2. 过阻尼状态 即：

，则方程的通解为：

t

t

e

C e C t x )(2)(12

022

02)(ωββωββ-+----+= ⑶

其中：

、

由初始条件决定。

随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位

置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。 3. 临界阻尼状态

即： ，则方程的通解为：

t e t C C t x β-+=)()(21 ⑷ 其中：

、

由初始条件决定。

此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。 如图示。

应用 ：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）

电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。 练习题 ：某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的3

1

，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）

受迫振动

振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫 受迫振动 。 一 . 受迫振动的动力学方程 设质点受到：弹性力kx -，阻尼力dt

dx

γ

-，周期性外力（驱动力）t F t F ωcos )(0=。 由牛二定律得：t F dt dx kx dt x d m ωγcos 022+--= 令： m k =2

0ω m γβ=2 m F f 00= 上式变为：t f x dt dx dt

x d ωωβcos 202

022=++ ⑴ ⑴式就是受迫振动的动力学方程形式 ，是一个二阶常系数线性非齐次微分方程 。

二 . 受迫振动动力学方程的解 1. 方程的通解（齐次方程的通解）

设：0ωβ<，欠阻尼状态，则与受迫振动动力学方程对应的齐次微分方程的通解为：

其中：220βωω-=

'，

和 由初始条件（初位置与初速度）决定。

2. 特解（非齐次方程）

其中：

、

待定，方法是将)(1t x 代入方程来确定；而

、

是由初始条件来确定的参数。

3. 非齐次方程的通解：

⑵

下面来确定

和

：

代入非齐次方程中得：

利用两角和的正、余弦公式展开得：

()()()t

f t t A t t A t t A ωφωφωωφωφωβωφωφωωcos sin sin cos cos sin cos cos sin 2sin sin cos cos 0120

112=-++---

?????=--=+--?0

sin cos 2sin cos sin 2cos 2

0111202

01112φωφβωφωφωφβωφωA A A f A A A

∴?????+-=--=2

2222001

2204)(2tan ωβωωωωβωφf A ； (3) 讨论 ：受迫振动方程⑴式的解：⑵式由二项之和组成。第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；第二项是简谐振动，振幅为1A ，频率为ω。随着时间的增加，第一项的阻尼振动可忽略不计，质点进行由第二项所决定的与驱动力同频率的振动（称为受迫振动），不是固有的简谐振动。【因为

不是系统固有的频率0ω，而是策动力(即：驱动力)的频率】 ，（3）式中的1A 是受迫振动的振幅，φ是受迫振动的位移相位与驱动力相位之差（因驱动力的初位相为0，这里表示为受迫振动位移初相） 另外，用矢量图法也可求得1A 和φ：由图可知相位矢量落后于 ，而F x φφφ-=，故

0<<-φπ，且有：

????

?????

+-=∴=+---=222220012021222122202204)(4)(2tan ωβωωωβωωωωβωφf A f A A 4. 稳态解的位相

由上图可知：

（

左右等号分别为∞→ω和0→ω时的极限情况）

讨论 ： ① 策动力频率

时：

即：稳定状态振动的位移与驱动力的相位差为零，二者同步。 ②0ωω<时，0cos ,0sin ><φφ ，2

0π

φ->>在第四象限，即：位移的相位落后于驱动力的相位

③0ωω=时，0cos ,1sin =-=φφ ，2

π

φ-

=，即：位移的相位落后于驱动力的相位

2

π。 ④ 0ωω>时，0cos ,0sin <<φφ，2

π

φπ-<<-在第三象限。位移的相位落后于驱动力的相位

⑤

时，1cos ,0sin -→→φφ，πφ-→，即：位移的相位落后于驱动力的相位π，即二

者相位相反。

关于受迫振动位移与驱动力的相位差和驱动力频率的关系如图所示。

三 . 位移共振

利用微分法关于极大值的判据： 对于可导函数在某处，若一阶导数等于 0 ，二阶导数小于 0 ，则该点为函数的极大值点。若一阶导数等于 0 ，二阶导数大于0 ，则该点为函数的极小值点。 由（3）式中的2222200

14)(ωβωω+-=f A ，考虑1A 随ω的变化规律，两边对ω求导得：

ωβωωωβωωω

)2(]4)[(2222

023

22222001--+-=-f d dA 两边对ω再求导得： )

23(]4)[(2)2(]4)[(1222202

3

22222002222202

5

22222002

12βωωωβωωωβωωωβωωω--+-++--+-=--f f d A d 令

01=ω

d dA 可得驻点0=ω或22

2βωω-= 讨论： ①若2

00

ωβ<

<的欠阻尼情况，驻点0=ω对应的02

1

2>ωd A d ，1A 为极小值200ωf ；而驻点

-

2

20

2βωω-=对应的02

12<ω

d A d ，1A 为极大值22

00max 12/βωβ-=f A 这种振动系统受迫振动时，振幅达极大值的现象叫位移共振。综上所述： 位移共振条件：驱动力的圆频率为：2202βωω-=r ⑷

共振的振幅：220012/βωβ

-=f A r

由此可知：位移共振频率小于（并不等于）系统的固有频率0ω，β越大则r ω越小（r A 1也越小），仅当阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率。当0→β时，∞→r A 1产生极激烈的位移共振。 共振时，位移与驱动力的相位差（F x r φφφ-=）：

将⑷反代入（3）式可得：β

βωφ2202tan --=r （5）

由（5）式知：当0→β时的共振 ，-∞→r φtan 2

π

φ-→r 即位移比驱动力落后

2

π

，而位移比速度也落后

2π

，则驱动力与速度同相位，驱动力做功的功率恒为正。对于2

00ωβ<<的一般情况下的共振，0tan

0π

φ-

>>r 即2

0π

φφ-

>->F x ，又因为2

π

φφ-

=-v x 联立可得：

02

>->F v φφπ

即共振时速度相位比驱动力相位超前一个锐角（并非想象中的始终同相位）

。 若定要保证驱动力与速度始终同相位，即令（3）式中2

πφ-

→可得0ωω→反代入（3）

式可得0

012βωf A =

，显然r A A 11<，此时反倒算不上共振了。事实上能量补充的多少不能只考虑驱

动力与速度相位关系，还应考虑振幅大小（关系到力程长短）、周期的长短、还有耗散阻力做功的情况，共振时虽然驱动力与速度不总是同方向（功率时正时负）但11A A r >且02202ωβωω<-=r ，

周期长，总的看做功多（由数学分析知），这没有实质性的矛盾！

②若2

ωβ=

（仍属于欠阻尼）情况，则只有一个驻点022

2

=-=βωω且对应的02

1

2=ωd A d 考察0>ω时

01

<ω

d dA 故1A 为减函数。在0=ω时，函数取最大值200ωf ③若2

0ωβω>

>（仍属于欠阻尼）情况，也只有一个驻点0=ω（因2202βωω-=

根号下

为负数不能开方），对应的02

1

2<ω

d A d ，1A 为极大值200ωf ④若0ωβ=的临界阻尼情况，仍然也只有一个驻点0=ω（因2202βωω-=

根号下为负数不

能开方），对应的02

1

2<ωd A d ，1

A 为极大值200ωf ⑤若0ωβ>的过阻尼情况，仍然还是只有一个驻点0=ω（因2202βωω-=

根号下为负数不

能开方），对应的02

1

2<ωd A d ，1

A 为极大值200ωf ；以上③④⑤的情况函数的单调性类似， 1A 都为减函数，只不过对于同样的0f 、0ω、ω而言，β越大，1A 应该越小。

综上所作①→

四 . 受迫振动的能量转换

由于弹簧弹性力是保守力，动能和势能互相转化，不影响总机械能。如果阻力做负功，使机械能损失。 那么驱动力做功如何呢？下面我们来分析： t F F ωcos 0=所以，稳定态振动时位移为：

()φω+=t A x cos 0

)2

cos()sin(00π

φωωφωω++=+-==

?

t A t A dt dx x 当

与

同相位时，

做功恒为正，不同相位时，做功时正时负。

讨论：

0→β时，若与 同相位2

02

π

φπ

φ-

=?=+

，则机械能增加，振幅增大，直到无穷。

若不同相位，则开始时振幅增大，后来稳定在某一值（此时驱动力正负功相抵消）。

0>β时，若（4）、（5）满足，则发生共振，否则是一般的受迫振动，但无论怎样最后都是振

幅稳定的机械振动。当稳定时，包括驱动力做功时正时负（其总功为正）的情况，驱动力做功与耗散阻力做功相抵消，稳定时机械能也不变。

数学分析课本(华师大三)习题及答案第二十章

第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分.

(1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 .

振动诊断标准

第十章参考标准 为了方便现场诊断查找使用，我们把收集到的各类有代表性的诊断标准，按照国际标准化组织、国际电工委员会、相关国家标准和诊断对象分类列出，同时把属于同类设备的有关标准排列在一起，它们在数值上可能有些差异，我们可以根据诊断对象的具体情况参照选用。在每个标准后面，以“注”的形式简要说明了该标准的主要特点、约束条件及应用范围。 第一节国际标准化组织（ISO）的相关标准文件 一、可予采用的国际标准 ISO 1925机械振动——平衡——名词术语 ISO 1940（全部）机械振动——刚性转子的平衡品质要求 ISO 2017-1机械振动与冲击——弹性安装系统——第一部分：主动与被动隔离的应用 ISO 2041振动与冲击——名词术语 ISO 2954旋转与往复机器的机械振动——对振动烈度测量仪的要求 ISO 5348 机械振动与冲击——加速度计的机械安装 ISO 7919（全部），非往复机械的振动——在转轴上的测量及评价准则 ISO 8528-9由往复式内内燃机驱动的交流发电机组——第九部分：机械振动的测量与评定 ISO 8569机械振动与冲击——振动与冲击对室内敏感设备影响的测量与评价 ISO 10816（全部），机械振动——在非旋转部件上测量和评价机器的机械振动 ISO 11342：1998，机械振动——挠性转子机械平衡的方法与准则 ISO 13372，机器的状态监测及诊断——名词术语 ISO 13373-1，机器的状态监测及诊断——振动状态监测与诊断——第一部分：总则 ISO 13379，机器的状态监测及诊断——数据解释及诊断技术的一般指南ISO 14694，工业风机——平衡品质与振动水平技术要求

4第四章 机械振动

- 81 - 第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章 机械振动 教学时数：6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法：讲授法、讨论法等 教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程 机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间

- 82 - 作周期性的变化，因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其 2=-x d m kx

振动常用术语

振动常用术语 1. 机械振动 物体相对于平衡位置所作的往复运动称为机械振动。简称振动。 例如，机器箱体的颤动、管线的抖动、叶片的摆动等都属于机械振动。 振动用基本参数、即所谓“振动三要素” —振幅、频率、相位加以描述。 3. 振幅 3.1 振幅 振幅是物体动态运动或振动的幅度。 振幅是振动强度和能量水平的标志，是评判机器运转状态优劣的主要指标。 3.2 峰峰值、单峰值、有效值 振幅的量值可以表示为峰峰值（pp）、单峰值（p）、有效值（rms）或平均值（ap）。峰峰值是整个振动历程的最大值，即正峰与负峰之间的差值；单峰值是正峰或负峰的最大值；有效值即均方根值。 只有在纯正弦波(如简谐振动)的情况下，单峰值等于峰峰值的1/2，有效值等于单峰值的0.707倍，平均值等于单峰值的0.637倍；平均值在振动测量中很少使用。它们之间的换算关系是：峰峰值＝2×单峰值＝2×21/2×有效值。此换算关系并无多大的实用价值，只是说明振幅在表示为峰峰值、峰值、有效值时，数值不同、相差很大。 3.3 振动位移、振动速度、振动加速度 振幅分别用振动位移、振动速度、振动加速度值加以描述、度量，三者相互之间可以通过微分或积分进行换算。在振动测量中，除特别注明外，习惯上，振动位移的量值为峰峰值，单位是微米[μm]或密耳[mil]；振动速度的量值为有效值，单位是毫米/秒[mm/s]或英寸/秒[ips]；振动加速度的量值是单峰值，单位是重力加速度[g]或米/秒平方[m/s2]，1[g] = 9.81[m/s2]。 可以认为，在低频范围内，振动强度与位移成正比；在中频范围内，振动强度与速度成正比；在高频范围内，振动强度与加速度成正比。因为频率低意味着振动体在单位时间内振动的次数少、过程时间长，速度、加速度的数值相对较小且变化量更小，因此振动位移能够更清晰地反映出振动强度的大小；而频率高，意味着振动次数多、过程短，速度、尤其是加速度的数值及变化量大，因此振动强度与振动加速度成正比。 也可以认为，振动位移具体地反映了间隙的大小，振动速度反映了能量的大小，振动加速度反映了冲击力的大小。 在实际应用中，大型旋转机械的振动用振动位移的峰峰值[μm]表示，用装在轴承上的非接触式电涡流位移传感器来测量转子轴颈的振动；一般转动设备的振动用振动速度的有效值[mm/s]表示，用手持式或装在设备壳体上靠近轴承处的磁电式速度传感器或压电式加速度传感器（如今主要是加速度传感器）来测量；齿轮和滚动轴承的振动用振动加速度的单峰值[g]表示，用加速度传感器来测量。

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

数学分析第三版答案下册

数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2

因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42

振动检测仪表原理、结构和应用

3振动检测仪表原理、结构和应用 3.1振动检测仪表原理、结构 3.1.1振动检测概述 振动传感器是将机械振动量转换为成比例的模拟电气量的机电转换装置。传感器至少有机械量的接收和机电量的转换二个单元构成。机械接收单元感受机械振动，但只接收位移、速度、加速度中的一个量；机电转换单元将接收到的机械量转换成模拟电气量，如电荷、电动势、电阻、电感、电容等；另外，还配有检测放大电路或放大器，将模拟电气量转换、放大为后续分析仪器所需要的电压信号，振动监测中的所有振动信息均来自于此电压信号。 （1）振动传感器种类 振动传感器的种类很多，且有不同的分类方法。按工作原理的不同，可分为电涡流式、磁电式（电动式）、压电式；按参考坐标的不同，可分为相对式与绝对式（惯性式）；按是否与被测物体接触，可分为接触式与非接触式；按测量的振动参数的不同，可分为位移、速度、加速度传感器；以及由电涡流式传感器和惯性式传感器组合而成的复合式传感器，等等。 在现场实际振动检测中，常用的传感器有磁电式速度传感器（其中又以绝对式应用较多）、压电式加速度传感器和电涡流式位移传感器。其中，加速度传感器应用最广，而大型旋转机械转子振动的测量几乎都是涡流式传感器。 振动传感器设计时采用的机电变换原理不同，在输出电量时也就会有所区别。振动传感器接收机械量变化信息，转化为电动势变化、电荷变化、电阻变化等电参量变化。振动传感器的测量线路会接收这些电信号，并放大和转换为分析、显示仪表所能接受的电压信号。振动传感器在工作原理和工作过程上的这些差别，如振动传感器的不同机械接收原理、不同测量机械量、不同机电变换原理，为振动传感器的种类划分提供了基本依据，是目前振动传感器最主要的三种分类方式。 ①振动传感器的机械接收原理有两种，分别是相对式机械接收原理和惯性式机械接收原理，振动传感器按此分类也就是相对式振动传感器和惯性式振动传感器。 相对式机械接收原理：由于机械运动是物质运动的最简单的形式，因此人们最先想到的是用机械方法测量振动，从而制造出了机械式测振仪（如盖格尔测振仪等）。传感器的机械接收原理就是建立在此基础上的。相对式测振仪的工作接收原理是在测量时，把仪器固定在不动的支架上，使触杆与被测物体的振动方向一致，并借弹簧的弹性力与被测物体表面相接触，当物体振动时，触杆就跟随它一起运动，并推动记录笔杆在移动的纸带上描绘出振动物体的位移随时间的变化曲线，根据这个记录曲线可以计算出位移的大小及频率等参数。相对式机械接收

机床常见振动形式及对加工影响

机床常见振动形式及对加工影响 机床工作时产生的振动，不仅会影响机床的动态精度和被加工零件的质量，而且还要降低生产效率和刀具的耐用度，振动剧烈时甚至会降低机床的使用性能，伴随振动所发出的噪音会影响机床工人的健康。随着我国机床工业的飞速发展，机床的振动问题也就更加引起人们的重视。 一般的说，机床工作时所产生的振动基本上有两大类： 1）受迫振动； 2）自激振动。例如在车床、铣床和磨床上，经常见到回转主轴系统的受迫振动，其频率取决于回转主轴系统的转速（在铣削时还与铣刀的齿数有关）。在机床上发生的自激振动类型较多，例如有回转主轴（或与工件、或与刀具联系）系统的扭转或弯曲自激振动；机床床身、立柱、横梁等支撑件的弯曲或扭摆自激振动；还有工作台等移动部件在低速运行时所发生的张弛摩擦自激振动（通称爬行）等等。通常把金属切削过程中表现为刀具与工件之间强烈的相对振动的这种自激振动称为“颤振”。 机床工作时发生振动是常见的。机床振动不仅歪曲了工件的几何形状和尺寸，而且还将在已加工表面上留下振纹，降低了精度和表面光洁度，加剧了金属表面层的冷硬情况，振动时刀具的耐用度也将急剧下降，甚至导致刀刃的崩坏，这个问题对于性质较脆的硬质合金刀具和陶瓷刀具来说尤为严重。机床发生振动后，往往迫使操作工人降低切削用量，因而限制了机床的生产率。此外，在机床自动线中，只

要有一台机床发生振动而被迫暂停运转，就会破坏生产的节律，引起生产过程的混乱。可见机床振动是必须引起注意的一个重要问题。随着科学技术的飞跃发展，对机床零件的制造精度和表面质量提出了更高的要求，从而使机床振动问题的研究成为研制、生产和使用机床等部门必须面对的重大课题，研究机床振动的目的在于探究机床振动的原因，谋求防止和消除机床振动的方法，以研制抗振性更佳的机床。

振动筛的几种运动轨迹

振动筛的几种运动轨迹 振动筛分设备的动力源振动电机可产生圆形、椭圆形、直线形、复合形运动方式。 振动筛分设备一向利用振动电机作为简单可靠而有效的动力。振动电机在振动机体上不同的安装组合形式，可产生不同的振动轨迹，从而有效完成各种作业。 直线型振动：振动体(振动箱体和物料)的振动轨迹在水平面及垂直面上的投影都是直线者，其振动形式称为直线型振动。此类型的振动筛即被称为直线振动筛或直线筛。将两台相同型号的振动电机安装在振动设备机体上，使两个振动电机转轴处于互相平行的位置，运行时两台振动电机转向相反，则两台振动电机运转必然同步，机体产生直线型振动。 圆或椭圆振动：振动体的振动轨迹在水平面上的投影是一条直线，而在垂直面上的投影为一圆或椭圆者，其振动形式称为圆或椭圆型振动。此类振动筛即被称为圆振动筛或圆振筛。通常将一台振动电机安装在振动机械的机体上，即可产生这种运动。圆形或椭圆形振动发生在与振动电机转轴相垂直的平面上，其形式则看振动电机与整机重心的相对位置而定。 复合振动：振动体的振动是由两组激振系统产生的，其振动形式称为复合振动。一般有双频复合型及双幅复合型两种形式。某些特殊性能的振动筛分设备，使用两台不同型号不同转速的振动电机，分装于筛分设备的受料端和出料端，使受料端呈现大振幅低频率的振动，同时出料端呈现小振幅高频率的振动，筛分设备的中部重叠两种振动，使筛分设备起到更有效的筛分作用。 旋振动又称三维振动：振动体的振动轨迹在水平面上的投影是一圆或椭圆，其振动形式称为旋振动。此类振动筛即被称为旋振筛。旋振动又可分为平旋型振动、涡旋型振动和复旋型振动三种形式。当振动体的振动轨迹在垂直面上的投影为一水平直线者，其振动形式称为平旋型振动；当振动体的轨迹在垂直面上的投影为一斜直线者，其振动形式称为涡旋型振动；当振动体的振动轨迹在垂直面上的投影为一圆或椭圆者，其振动形式称为复旋型振动。通常由立式振动电机激振的振动设备产生旋

数学分析简明教程第二版第二章课后答案

第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当 1+=k n 时，有 1 211211 21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++111111．

振动量的常用测量方法三种

振动量的常用测量方法三种： 1． 机械式测量方法：主要用杠杆放大原理或惯性原理加上杠杆放大原理。 2． 电测法：将振动参量（位移、速度、加速度）转换成电信号，经电子系统放大后进行测 量记录的方法。 3． 光测法：把振动参量转换成光信号，经光学系统放大后，加以测量和记录。 直接为震动试验提供振动源的设备是激振设备，包括：振动台和激振器两类；有机械式、电动式、电动液压式、压电式。 1． 机械式振动台的工作原理： （1） 离心式：利用偏心块绕定轴转动，产生离心力。质量为m,偏心距r 的质量块，以角 速度ω绕O 转动，产生离心力 t mr t F F t mr t F F y x ωωωωωωsin sin cos cos 22==== 为了产生单一方向激振力，将其设计成双轴式结构，即把两偏心块对称地安装在两轴上，并使偏心块作反向同角速度的旋转。水平分力相互抵消，只剩下按正弦规律变化的垂直激振力。 通常偏心质量块由活动扇形块与固定扇形块构成。若改变活动扇形块的角度α，则可以改变激振力值，也就是台面的振幅值。当ο 180=α时，离心力为最大，此时激振力为： t mr F ωωsin 22= 振动台的运动方程： F ky y M -=+&& 台面的振幅： ) (22022 ωωω-=M mr A M k =0ω为振台的固有频率；m 每组偏心块的质量；r 偏心距；M 运动部分的总质量 当0ωω>>，台面的振幅不随激振频率改变，同偏心质量、偏心距成正比M mr A 2= 。

（2．）凸轮式振动台： 台面振幅由偏心距r 决定：t r y ωsin =，频率由直流电机的转速决定。为了调节振幅，常用同轴的双凸轮装置。通过调节内外两凸轮的相对位置调节凸轮的偏心距，即调节了振幅。 机械式振动台的特点： 简单、可靠，承载力较大。由于旋转机构的惯性大，所以工作的频率不高，低于50~60Hz 。另外，机件之间存在加工间隙，工作时会引起碰撞，影响台面波形。用于中小型模型试验，也用于对产品作环境实验。 2． 电磁式振动台： 电磁式振动台是把交变的电量变为交变的机械量的装置。利用带电导线在磁场里受到安培力的作用，使得导线产生运动的原理制成的。 4 10102.0-?=BLI F B ——磁场强度 L ——导线有效长度 I ——导线内电流强度 改变磁力线圈中电流的频率及强度，就能改变振动台振动的频率及幅值。 3． 电气液压式振动台 工作过程：电信号转化为大功率液压信号，液压油进入激振器，激振器带动台面按照输入电信号的规律振动。 4． 大型模拟地震振动台 地震荷载是因地面运动而引起的一种惯性力，仅用激振器所产生的集中力来模拟地震力是不确切的。大型模拟地震振动台可以模拟地震运动，具有大振幅、大出力、多方向震动及频率低的特点。

机械振动的概念

第一章绪论 1-1 机械振动的概念 振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。 振动在大多数情况下是有害的。由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。 任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。严格的说,实际系统都是连续系统，所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型。例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件，简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体。这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统。 例如图1-1（a）所示的安装在混凝土 基础上的机器，为了隔振的目的，在基础下 面一般还有弹性衬垫，如果仅研究这一系统 在铅垂方向的振动，在振动过程中弹性衬垫 起着弹簧作用，机器与基础可看作一个刚体， 起着质量的作用，衬垫本身的内摩擦以及基 础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用 （阻尼用阻尼器表示，阻尼器由一个油缸和 活塞、油液组成。活塞上下运动时，油液从 间隙中挤过，从而造成一定的阻尼）。这样图1-1（a）所示的系统可简化为1-1（b）所示的

振动基础理论-状态监测

1.结合实际工作，综合论述开展设备监测诊断工作的八个固定工作程序。 开展设备监测诊断工作的八个固定工作程序为： （1）定监测对象 （2）定监测参数 （3）定监测仪器和设备 （4）定监测点 （5）定监测周期 （6）定监测标准 根据不同的设备，参照国内外已发布的通用标准，或结合实际工作经验制定适合本单位特点的判别标准。 通常情况下，判别标准有三类：一是绝对标准、二是相对标准、三是类比判断标准。 （7）定监测规程 （8）定监测人员 2.在振动监测中，振动传感器的选择十分重要。阐述选择振动传感器应注意的问题。 （1） 测量范围 测量范围又称量程，是保证传感器有用的首要指标，因为超量程测量不仅意味着测量结果的不可靠，而且还可能造成传感器的损坏。 （2） 频响范围 所选传感器的工作频响范围应覆盖整个需要测试的信号频段并略有超出，也就是说应使传感器工作在线性区：其下限频率低于所测信号的低频段，上限频率高于所测信号的高频段。 （3） 信噪比 一般而言，总是希望传感器的灵敏度尽量高，以便检测微小信号，但外界噪声的混入也相应地影响增大，因此要求传感器的信噪比要高，以便在充分放大被测信号的同时，能最有效地抑制噪声信号。 （4） 稳定性 对于长期工况监测，尤其是在线式测量的传感器，要求时间稳定性好，信号漂移越小越好。对于水下、高温等特殊工作环境，还应考虑传感器的环境稳定性。 此外，传感器的工作方式、外形尺寸、重量等也是需要考虑的因素。 3.分析旋转机械转子不平衡故障原因，如何综合分析诊断转子不平衡故障？ 转子质量偏心及转子部件缺损是导致转子不平衡的两种因素。转子质量偏心是由于转子的制造误差、装备误差、材质不均匀等原因造成。转子部件缺损是指转子在运行中由于腐蚀、磨损或受疲劳应力作用，使转子叶轮、叶片局部损坏、脱落等原因造成。转子轴系允许最大不平衡量的计算方法： G —平衡等级 m —允许不平衡量 U-不平衡量 M-转子质量 r-平衡半径 计算: e=G/ω 不平衡量：U=M.e 允许的最大不平衡质量：m=U/r M r m M U e == =G/ω U=M.e m=U/r 对转子不平衡故障进行综合分析应把握以下特征： （1）振动的时域波形为正弦波；

数学分析简明教程第二版第二篇课后答案

第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当1+=k n 时，有 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a +++≤+++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111． 3．求证 2 2),max (b a b a b a -++=；

2 2),min(b a b a b a --+=． 证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有 22),max (b a b a a b a -++==，2 2),min(b a b a b b a --+==， 若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有 22),max (b a b a b b a -++==，2 2),min(b a b a a b a --+==， 因此两等式均成立． 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域． 解 θθs i n 2 1)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域． 解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为42 2 x r r -='，因而体积 )4(2 2 2x r x x r V -='=ππ， 定义域为开区间)2,0(r ． 6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形． 解 设路程为x ，票价为y ，则 函数图形见右图． 7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形． 解 ? ??≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f 函数图形如右图所示． 8．判别下列函数的奇偶性：

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章 多元函数微分学 一、证明题 1. 证明函数 ?? ???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 ?? ???=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 xy 1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=() 22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ??+y 1y Z ??=2 y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明: x Z ?? sec x + y Z ??secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2 y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2 v g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,

图解振膜振动方式

图解振膜的振动方式 一、摘要 扬声器的振膜振动可以归结成以下几种运动模式：径向振动、圆周振动、活塞运动、环共鸣、环绕共鸣、过渡区振动。 二、基础知识：测量振膜振动、振幅着色图、剖面图 测量振膜振动 1、测量振膜振动 运用激光扫描技术，可以记录振膜上微小的振动。由于激光扫描以“点”为单位，通过测量单元上不同的“点”的振动，可以串联出一个振膜的3D几何形态，可以预见，几何图的形态精度与采样点的数量成正比。 振幅着色图（Amplitude Coloration）

2、振幅着色图（Amplitude Coloration ） 为了更加直观地展示振膜的振动方式，除了运用3D几何图之外，还在其表面进行着色。振幅着色依据振膜振动的方向与幅度着色，对朝前方运动（图解为向上运动）的振膜部分用蓝色上色；对朝后方运动的振膜部分（图解为向下运动）用红色着色；没有变化的区域依然为白色，颜色越浓表示振膜向运动的幅度越大。注意，由于激光扫面精度的限制，一些区域可能无法精确地测量，该区域会用灰色着色。图解为某振膜在2kHz信号的振幅着色图，当振膜部分在朝前方或朝后方的振幅最大时，振膜呈现强烈的蓝色或者红色；当振膜表面出现轻微形变的时候，振膜会出现少许蓝色或红色的痕迹。对于某些简化图会直接用黑白程度来标注振幅程度。 剖面图（Cross- Section View） 3、剖面图（Cross- Section View）剖面图非常容易理解，用于观察振膜直径剖面上的振动。黑色线为振膜的正常形态，红色线为振膜的振动形态。 三、基础振动：径向振动与圆周振动 为了详细的观察振膜的机械振动情况，把振动分为径向振动（Radial）和圆周振动（Circular），这两种运动有助于分析各种振膜运动模式的形成。 径向振动（Radial）-某振膜振幅图@375Hz

用ANSYS软件分析压电陶瓷的振动状态

第30卷第1期2008年3月湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University (Natural Science )Vol.30　No.1　Mar.,2008　收稿日期:2006206202 作者简介:雷辉(19812　 ),男,硕士生文章编号:100022375(2008)0120029205 用ANSYS 软件分析压电陶瓷的振动状态 雷辉,周双娥 (湖北大学数学与计算机学院,湖北武汉430062) 摘　要:近年来,压电陶瓷的应用日趋广泛.但是由于压电陶瓷片的边界条件和应力状况比较复杂,利用 传统实验手段对其研究不仅耗时费力,而且其结果具有很强的局部性,因此利用大型通用仿真软件ANSYS 8.0来进行计算机仿真.通过对压电陶瓷片中的耦合效应进行计算机模拟分析,得出压电陶瓷的振动状态图.实验结果表明ANSYS 8.0在处理压电耦合场这方面有很强的处理能力,大大简化了建模和计算,强大的后处理功能更是让研究者能够很直观地获得数据结果和模拟图像. 关键词:仿真;压电陶瓷;振动状态 中图分类号:TP302 文献标志码:A 1　引言 计算机仿真技术是以多种学科和理论为基础,以计算机及其相应构件为工具,通过虚拟试验的方法来分析和解决问题的一门综合性技术[1].近年来,压电陶瓷的应用日趋广泛,而在实际应用中,特别是将压电陶瓷技术应用于混凝土结构的监测中,由于压电陶瓷片的边界条件和应力状况比较复杂,利用传统实验手段对其研究不仅耗时费力 ,而且其结果具有很强的局部性[2].因此利用计算机仿真技术对压电陶瓷进行研究具有较好的理论与实际意义.本文中利用大型通用有限元分析软件ANS YS 8.0,对压电陶瓷片中的耦合效应进行模拟分析,并得出其模态和谐振态,实验表明ANS YS 8.0能很好地解决压电陶瓷片的压电耦合问题. 图1　处理器模型2　ANSYS 仿真原理 ANS YS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大 型通用有限元分析软件,由世界上最大的有限元分析软件公司之一 的美国ANS YS 开发,它能与多数CAD 软件接口,实现数据的共享 和交换.20世纪90年代该软件开始在我国的机械制造、航空航天、 汽车交通、铁道、石油化工、能源等领域得到应用,为各领域中产品 设计、科学研究作出了很大的贡献[3]. ANS YS 软件使用统一的集中式数据库来存储所有模型数据和求解结果(见图1)[4].模型数据(包括实体模型和有限元模型、材料 等)通过前处理器写入数据库;载荷和求解结果通过求解器写入数据库;后处理结果通过后处理器写入数据库. 3　处理过程 3.1　定义材料参数　材料参数包括定义单元类型,这里选取了solid226,并在它的option 选项里选择压

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十四章

第十四章 幂级数 一、证明题 1. 证明:设f(x)=∑∞=0n n n x a 在x=R 是否收敛).应用这个结果证明: ∑?∞=--==+1 n 1n n 11)(ln2dx x 1101. 2. 证明 (1) y=∑∞ =0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y (2) y=∑∞ =0n 2n )(n!x 满足方程x y ''+y '-y=0. 3. 证明:设f(x)为幂级数∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次 幂的项,若f(x)为偶函数,则该级数仅出现偶次幂的项. 4. 设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切x ∈(a,b),有|f (n)(x)|≤M(n=1,2,3,…),证明:对(a,b)内任一点x 与x 0有 f(x)=∑∞ =0n n 00(n))x -(x n!)(x f 二、计算题 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域. (1) ∑n nx ; (2) ∑n n 2x 2n 1; (3) ∑n 2 x (2n)!)(n!; (4) ∑n n x r 2 ,(0

振动电机的运动形式

振动电机的运动形式 河南新乡特种电机公司 发布者：admin 发布时间：2009-9-10 阅读：46次 振动电机可产生圆形、椭圆形、直线形、复合形运动方式。 振动机械设备一向利用振动电机作为简单可靠而有效的动力。振动电机在振动机体上不同的安装组合形式，可产生不同的振动轨迹，从而有效完成各种作业。 直线型振动：振动体(振动箱体和物料)的振动轨迹在水平面及垂直面上的投影都是直线者，其振动形式称为直线型振动。此类型的振动筛即被称为直线振动筛或直线筛。将两台相同型号的振动电机安装在振动设备机体上，使两个振动电机转轴处于互相平行的位置，运行时两台振动电机转向相反，则两台振动电机运转必然同步，机体产生直线型振动。 圆或椭圆振动：振动体的振动轨迹在水平面上的投影是一条直线，而在垂直面上的投影为一圆或椭圆者，其振动形式称为圆或椭圆型振动。此类振动筛即被称为圆振动筛或圆振筛。通常将一台振动电机安装在振动机械的机体上，即可产生这种运动。圆形或椭圆形振动发生在与振动电机转轴相垂直的平面上，其形式则看振动电机与整机重心的相对位置而定。 复合振动：振动体的振动是由两组激振系统产生的，其振动形式称为复合振动。一般有双频复合型及双幅复合型两种形式。某些特殊性能的振动筛分设备，使用两台不同型号不同转速的振动电机，分装于筛分设备的受料端和出料端，使受料端呈现大振幅低频率的振动，同时出料端呈现小振幅高频率的振动，筛分设备的中部重叠两种振动，使筛分设备起到更有效的筛分作用。 旋振动：振动体的振动轨迹在水平面上的投影是一圆或椭圆，其振动形式称为

旋振动。此类振动筛即被称为旋振筛。旋振动又可分为平旋型振动、涡旋型振动和复旋型振动三种形式。当振动体的振动轨迹在垂直面上的投影为一水平直线者，其振动形式称为平旋型振动；当振动体的轨迹在垂直面上的投影为一斜直线者，其振动形式称为涡旋型振动；当振动体的振动轨迹在垂直面上的投影为一圆或椭圆者，其振动形式称为复旋型振动。通常由立式振动电机激振的振动设备产生旋振动，其振动形式则看立式振动电机两端激振块的夹角而定。也可将两台底脚安装型振动电机分装于振动设备两侧，使其转轴呈一设定的角度，则振动设备也将产生旋振动。 振动电机产品应用之振动速度 (双击自动滚屏) 发布者：xxtd 发布时间：2008-1-5 阅读：1071次 振动机械的速度或振频是由振动电机的转速决定的。振动机械的振幅，如：椭圆形运动的长径或直线形运动的直线长度，由下公式计算： S=M/W S=振幅 M=振动电机的工作力矩（用两台电机时，为其总和） W=机体参振部分的总重量（包括振动电机的重量） T系列底脚安装型振动电机的标准制式包括8、6、4、2级，适用于50HZ或用于60HZ 电源，共50多种类型。8级电机用于50HZ时，标速740RPM；用于60HZ时，标速为855RPM 要，适合大振幅低频率振动机械的要求。例如振动输送设备有较长料槽者常用。6级电机用于50HZ时，标速980RPM；用于60HZ时，标速1150RPM。使用6级电机的振动机械比较广泛，如振动料斗，振动筛分设备，给料机，分选机以及双质体近共振型的物料处理机械等。4级电机用于50HZ时，标速1460RPM；用于60HZ时，标速1760RPM，常用以驱动中小型给料机。2级电机，用于50HZ时，标速2860RPM，用于60HZ时，标速3540RPM，普遍应用于振动砂模和其他振动紧压散料的设备，以及料仓振动破拱防闭塞装置。总之，