2020届广东六校高三第二次联考试题
数 学
一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集U 是实数集R ，{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<，则（C U M ）N =I ( )
A ．{}23x x <<
B ．{}3x x <
C ．{}12x x <≤
D ．{}
2x x ≤
2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为 （ ）
A ．2
B ．3-
C ．3
D ．2- 3．在ABC ?
中，AB =1AC =，30B ∠=o ，则A ∠= （ ）
A ．60?
B ．??9030或
C ．60120??或
D ．?90
4．设平面向量()2,1a =-r ，(),2b λ=r ，若a r 与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是（ ）
A ．()(),44,1-∞--U
B ．()1,22,2??-+∞ ???
U C ．()1,+∞ D ．(),1-∞ 5．若0a >，0b >，则“8a b +≤”是“16ab ≤”的 （ ）.
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设3log 0.4a =，2log 3b =，则 （ ）
A ．0ab >且0a b +>
B ．0ab <且0a b +>
C ．0ab >且0a b +<
D ．0ab <且0a b +<
7．已知函数()21010
x x f x x ?+≤=?>?，，，若()()423f x f x ->-，则实数x 的取值范围 是 （ ）
A ．()1，-+∞
B ．()1-∞-，
C ．()14-，
D ．()1-∞，
8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a = （ ）
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．76π
B ．43π
C ．2π
D ．136π 10．函数2()1sin 1x f x x e ??=-
?+??
图象的大致形状是 （ ） A ． B ． C ． D ．
11．己知点A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．21+
B ． 212+
C ．512-
D ．51-
12．若存在唯一的正整数0x ，使得不等式
20x x ax a e -->恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．240,3e ?
? ??? B ．241,3e e ?? ??? C ．10,e ?? ??? D ．241,3e e ?????
? 二、填空题，本题4个小题，每小题5分，共20分。
13．a r 为单位向量，0b ≠r r ，若a b ⊥r r 且32
a b -=r r ，则b =r ________. 14．若tan 24πα??-=- ???
，则tan2α=___________． 15．若()()321111322
f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．
16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ?满足6BA BC ==
，2ABC π∠=，
若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17至21题为必做题，每小题12分；第22、23题为选做题，每小题10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（一）必做部分
17．（本小题12
分）已知函数2()sin )2f x x x x =+-．
（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；
（2）若[]22x ππ∈-
，，求函数()f x 的单调减区间．
18．（本小题12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，19a =，129n n a S +=+，*n ∈N ，11b =，13log n n n b b a +-=．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求证：对*n ∈N ，总有1211112n
b b b ≤+++ 19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，//AD BC ，12 AB BC AP AD ===，30ADP ∠=? 90BAD ∠=?. (1)证明：PD PB ⊥； (2)设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ?的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）在直角坐标系xoy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比是12 ，设动点P 的轨迹为E ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程； （2）设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ，过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ，若//CD AB ，求证：2 ||||CD AB 为定值． 21．（本小题12分）已知函数()ln 1f x x x =++，()2 2g x x x =+． （1）求函数()()y f x g x =-的极值； （2）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值． （二）选做部分（二选一，本小题10分） 22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为3cos sin x y αα =??=?（α为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ??- = ??? ． （1）求曲线c 的普通方程和直线l 的倾斜角； （2）设点(0,2)P ，直线l 和曲线c 交于A B 、 两点，求||+||PA PB ． 23．已知()2 221f x x x a =+-+． （1）当3a =-时，求不等式()2 f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围． 2020届高三第二次六校联考 数学参考答案 一、选择题 CDBAB BCCAD AD 二、填空题 13 14、34 15、3310x y -+= 16、3 32π 三、解答题 17、解：（1）22()3cos sin cos 2f x x x x x x =++- ＝22cos 12x x + ＝cos 222x x + ＝2cos(2)23x π+ + ………………4分 当223x k π ππ+=+，即()3x k k Z π π=+∈时，函数()f x 有最小值为0。 …………6分 （2）由2223k x k ππππ≤+ ≤+，得：,63k x k k Z ππ ππ-+≤≤+∈ ………………8分 因为[]22x ππ∈- ，，所以，0,,63k x ππ??=∈-????， 即[]22x ππ∈- ，，函数()f x 的单调减区间为[]63ππ -，。 ………………12分 18、解：（1）由129(1)n n a S n +=+≥．可得129(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=， 又212927a S =+=，213a a =． 故{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，∴1*3,n n a n +=∈N 。 ………………5分 （2）113log 31n n n b b n ++-==+ 当2n ≥时，112211(1)()()()(21)12 n n n n n n n b b b b b b b b n ---+=-+-++-+=++-+=L L 又1n =符合上式，*(1),2n n n b n +=∈N ． ………………8分 ∴*12,(1) n n b n n =∈+N ． 则121111111112(1)2(1)22311 n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L …………10分 ∵12(1)21n - <+，112(1)2(1)112n --=+ (1211112) b b b ≤ +++ AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥， 在ΔPAD 中，1AP AD 2 =Q ，ADP 30∠=?， ∴由正弦定理可得：APD AD ADP AP ∠=∠sin sin ， APD 90∠∴=?，PA PD ⊥∴，又A AB PA =I ∴ PD ⊥平面PAB ，PD PB ∴⊥. ……………5分 (2)取AD 的中点F ，连结PF CF 、，设a AD 2=，则a AP BC AB ===，a PD 3=,则PB PC 2a ==，∴ΔPBC 为等腰三角形，且底边BC 上的高为 7a ， 1PM PC 3=Q ，ΔMBC 的面积为27. ΔPBC ∴的面积为7， 17a a 72∴?=解得：a 2=， ∴四梭锥P ABCD -的体积为 ()1124232332 ??+??= . ……………12分
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