确定主应力大小和方向问题分析
基础部秦定龙
一问题的提出
在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题，以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。
图一
（a）
q
(a)
图二
(b)
上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。
二主应力大小及方向的确定方法
图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为
y，它们的大小和方向已经求出。现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。
对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压
应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；
角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。
按照上述的规定，可以判断出，、、及是正值；是正值，是正值，
角是负值。
（a）
主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。下面分别讨论之。1．确定主应力大小和主平面位置的解析法
(b)
图三
根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出计算平面应力状态下单元的主应力公式如下：
tg 2 (1)
由式(1)可以看出， α有两个根。因为
tg
说明
α和
都能满足公式(1)，这就是说，处于平面应力状态下的单元体
上有两个主平面，并且这两个主平面应是互相垂直的。 (单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力即为主应力。) 两个主平面上的主应力大小的计算公式为
……（2） 利用公式(1)和(2)，在已知σ、
y
和
τ的情况下，就可以很容易的求出两个主
应力
σ>的大小和相应主应力的方向，并且
σ与
分别作用在两个互相垂直的
平面上。如图中所示的单元体，只要确定了主平面ef 的位置，另一个主平面gf 的位置也就随之确定了。
现在的问题是：在e f 平面上，究竟作用的是主应力
呢?还是主应力。这就
需要我们认真加以研究对待了。我们已可以根据公式(2)计算出在平面应力状态下的两个主应力的数值和根据公式(1)算得x 轴与某一个主平面外法线之间的夹角(也
就是
与某一个主应力的夹角)，从而确定两个主平面的位置。但是除了这些之外，
我们还必须进一步判断出究竟是
与哪一个主应力的夹角，才能确定每一个主应
力的方向。
由式(1)可以看出，的极值是无穷大(当时的情况)，即总是
小于或等于
，因此
总是小于或等于的锐角，也就是说由确定方向的那
个主应力总是偏向于x 轴的。根据实践经验和理论分析知道，较大的主应力总是偏向
σ和
中的较大者，较小的主应力则总是偏向于
σ和
中的较小者。因此，可
以归纳出确定主应力方向的规则如下： 当>时，α是σ与两个主应力中代数值较大者的夹角； 当σ<时，是
与两个主应力中代数值较小者的夹角；
当
=时，
α，主应力的方向可以从单元体上的应力情况直观判断出
来。为了便于记忆，可把上述的规则通俗的叙述为： “小偏小来大偏大，夹角不比
o 大”。
2．确定主应力大小和主平面位置的应力圆法
关于用应力圆确定主应力大小和主平面位置的方法，现以图四(a)所示的单元体为例介绍如下：首先根据单元体上的已知应力σ、
τ
、
σ、
τy
作出应力圆如图四
(b)昕
示，然后从图上量得
，
。现证明如下： 因为：
合起来就是：
它与由解析法求得的主应力计算公式(2)相同．
此外，主应力的方向也可以由图四(b)求得。因为为与所夹角的二倍
(即)，而由转至是按顺时针转向，所以应该是负值。据此，就可以在单元体上，自的方向，按顺时针转向量一角就得到主应力的方向,的方向则与的方向垂直，如图四(a)中所示。
三 主应力分析实例
例：图五(a)所示的单元体，是从某受力构件K 点处截取出来的。已知σx =25Mpa ，
x τ=，
y σ。试用应力圆法和解析法求出该单元体的主应力
大小和方向。 解：
(一) 用应力圆法求解 1． 作应力圆
建立直角坐标系o ，按选定的比例尺，由
σ和
τ的值定出与x 面相对应的D 点；再由
σ和
τy
的值定出与y 面相对应的
D 点，连接
D 直线并交
σ轴于点，以C
为圆心，
D D
为半径作一圆，即为该单元体的应力圆，见图五(b)所示。
(a)图五
(b)
2．求主应力的大小
应力圆上A和B点分别为单元体上两个主平面所对应的点，主应力的大小按所选用的比例尺直接从图上量取得
该单元体上有一拉一压两个主应力。由于主应力是按代数值顺序排列，为拉应力的是，为零是，为压应力的是。因此，平面应力状态下的两个主应力若为一拉一压，则主拉应力为，主压应力为(因为)。
3．求主应力的方向
从应力圆上量得圆心角。，且是由反时针方向旋转而得，所以为正。的主平面角，即在单元体上，由x轴开始反时针方向旋转就可以得到作用的主平面的外法线n，从而确定的方向及其主平
面的位置；至于σ的方向则必定与σ 的方向垂直。由两个主平面组成的单元体也
画在图五(a)中。
(二)由解析法求解
将
x σ=代入(2)和(1)式便可求出主应力的大小，方向，即
1σ 既
σ=
解得： α。=30? α。+90?=1 2 0? 由于，故
应为
与
之间的夹角，
为
与
轴之间的
夹角，
与
均由x 轴反时针方向旋转即可得出
与
的主应力方向，如图
五(a)所示。
上述介绍的确定主应力大小和方向的方法，读者可以参照例题细心领会，反复练习即可掌握。
(责任编辑：张 健)