名师论教关于数学史和数学文化
*张奠宙
(华东师范大学数学系 上海 200062)摘要 在数学教学中运用数学史知识时,不能简单地、就事论事地介绍史实,而应该着重揭示含于历史进程中的数学文化价值,营造数学的文化意境,提高数学的文化品位.通过对12个案例的详细剖析,具体给出了关于如何实施的建议.
关键词 数学史;数学教育;数学文化 中图分类号 O1-0;G42;N91进入21世纪以来,运用数学史进行数学教育的理论和实践都获得了长足的进步.数学史界,从/为数学而历史0、/为历史而历史0,进一步/为教育而历史0(李文林先生语).数学史研究既在学术上不断取得进展,更在为社会服务、承担社会责任方面迈出了重要的步伐.数学史知识,在5国家数学课程标准6和各种教材中系统地出现,数学课堂上常常见到运用数学史料进行爱国主义教育的情景.这些进步,是有目共睹,令人鼓舞的.
但是,不可否认的是,运用数学史进行数学教学还有许多不足之处.我们看到的状况,往往是在教材的边框上出现一个数学家的头像,介绍一下数学贡献,就过去了.有的只有直接介绍数学史料,例如列举/函数0定义的发展历程,却没有展开.在进行爱国主义教育时也有某种简单化的倾向.有些界说,往往不大确切,造成误解.一般地说,数学教育中运用数学史知识,还停留在史料本身,只讲是什么,少讲为什么.因此,笔者认为,在数学教育中运用数学史知识,需要有更高的社会文化意识,努力挖掘数学史料的文化内涵,以提高数学教育的文化品位.
1 揭示数学史知识的社会文化内涵
数学的进步是人类社会文明的火车头.在人类文明的几个高峰中,数学的进步是突出的标志.古希腊文明,5几何原本6是其标志性贡献.文艺复兴以后的科学黄金时代,以牛顿建立微积分方法和力学体系为最重要的代表.19-20世纪之交的现代文明,是以数学方法推动相对论的建立而显现的.至于今天正在经历的信息时代的文明,冯#诺依曼创立的计算机方案,是信息技术的基础和发展的源泉.这些史实,都表明数学文化是和人类文明密切相关的.在中等教育结束的时候,学生应该有这样的历史认识.
要做到这一点,在数学教材和数学课堂上,就需要揭示数学史上人和事的社会背景,从社会文化的高度加以阐述和展开.
例1 关于5几何原本6.
在平面几何课上,我们不能简单地介绍欧几里得生平和5几何原本6写作年代,就算完事.我们应该联系当时的社会文化现象,解释为什么古希腊会产生公理化思想方法.另一方面,中国古代数学又是为什么会注重算法体系的建立,较少关注演绎推理的运用.答案要丛社会文化、政治制度上找原因.
首先,由于古希腊实行的是少数/奴隶主0的/民主制度0,执政官通过选举产生,预算决算、战争和平等大事需要投票解决.这就为奴隶主之间进行平等讨论提供了制度保证.进一步,平等讨论必然要以证据说理,崇尚逻辑演绎,体现客观的理性精神.反映到数学上,就是公理体系的建立,演绎证明的运用.另一方面,中国古代实行的是/君主皇权制度0,数学创造以是否能为皇权服务为依归,因此5九18
高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol 111,N o 11Jan.,2008*本文是作者在/第二届全国数学史与数学教育研讨会暨第七届全国数学史会议0(河北师范大学,2007年4月26-30日)上的发言.
章算术6几乎等同于古代中国的/国家管理数学0(李迪先生语),丈量田亩、合理征税、安排劳役等为君王统治效力的数学方法成为主题,实用性的算法思想受到关注.如果我们这样讲解古希腊和古代中国的数学,就会有强烈的人文主义的色彩,使大家受到人文精神的感染.我们的结论是,既要尊重理性精神,也要遵循实用目的,但是中国长期在封建统治之下历来缺乏的是民主理性精神.
类似地,我们在进行/数学期望0教学时,多半会提到费马和巴斯卡研究/赌金分配0的问题.但是为什么中国/打麻将0不会产生概率论?这也要从社会文化的角度进行阐述.
例2 关于考据文化.
数学讲究逻辑推理的严谨性,这时我们不妨提到中国的考据文化.以清代中期戴震为代表的考
据学派,曾对中国科学的发展有过重要的作用.梁启超在5清代学术概论6中这样说[1]:
自清代考据学派200年之训练,成为一种遗传.我国学子之头脑渐趋于冷静慎密.此种性质实为科
学成立之基本要素.我国对于形的科学(数理),渊源本远.用其遗传上极优粹之科学头脑,将来必可成为全世界第一等之科学国民.
考据文化的本质是不能把想象当作事实,不可把观感当作结论,必须凭证据说话,进行符合逻辑的分析.训诂、考证中讲究/治学严谨0,其实是逻辑严谨.中国数学教育能够很顺利地接受西方的公理化的逻辑演绎思想,今日中国数学教育能以逻辑推断见长.是和考据文化的支撑分不开的.
当然,数学的逻辑要求,较之考据的要求还要高.例如作出考据的结论不能依靠一个证据,即孤证不足为凭,至少要有两个例证.但是,数学则有更进一步的要求,个别的例子再多也无用,必须进行完全覆盖,给出无遗漏的证明.我们在课堂上进行这样的对比,联系中国的考据文化进行逻辑证明教学,应该会更加有效.
例3 关于爱国主义的问题.
中华文明是世界上唯一得以完全延续的文明.运用数学史进行爱国主义教育,是理所当然的事.不过,我们不能回避以下的历史事实:中国古代数学,整体上落后于古埃及、古巴比仑和古希腊数学.我曾经对一个骨干教师进修班作过调查,60%以上的老师误以为中国是世界上出现数学成果最早的国家.这样的误解来源于某些数学史研究成果,老是说/中国古代某某数学成果比西方早多少年0,却很少说我们整体上比西方数学晚,因而要向其他文明学习数学.
但是,晚一点又如何?这是一个心态问题.日本古代文化主要是向中国学习的,他们承认中国是日本的老师,但是学生后来超过了老师.他们把赶超作为爱国主义的核心.美国建国才200年,在初等数学范围内,美国没有领先于世界的数学,难道美国中小学数学课就没有爱国主义教育了吗?他们进行爱国主义教育的宗旨是,学习一切优秀的文化,后来居上,成为世界最强大的国家.中国现在是世界大国,也应该有这样的气魄.我们今天的爱国主义,应该实行/拿来主义0,学习一切优秀的数学文化,最后落脚在/赶超0世界先进水平之上.总之,不能停留在比西方/早多少年0上.
向一切优秀的文化学习,日本的同行做得很好.日本小学6年级教材在/测量0一节的引言中,赫然写着中国曹冲称象的故事.由此也就知道我们应该努力之所在了.
例4 关于介绍更多的中国近现代数学家.
中国数学家不能仅限于祖冲之、刘徽等少数古代数学家,也要介绍在落后情况下努力赶超的近现代数学家.举例来说,高中排列组合单元的教学,应该提到李善兰组合恒等式,那是在清末中国科学极端落后的年代里,非常罕见的创新成果,值得我们珍视.
同样,陆家羲解决/寇克满女生问题0、/斯坦纳系列0等组合学世界难题,并获得国家科学一等奖也应该进入教材.尤其是作为普通的包头五中的物理教师作出这样的成果,更为难能可贵.在教学中,不能只是简单地介绍他们的成果,更重要介绍他们所处的社会背景,弘扬他们的坚忍不拔创新精神.
总之,介绍数学史不能就事论事.应当努力揭示含于历史进程中的社会文化价值,提高数学文化的品位.19第11卷第1期 张奠宙:关于数学史和数学文化
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2阐发数学历史的文化价值
陈省身先生在为李文林先生的5数学史概论6题词时写道:/了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤0.数学史正是为数学学习者提供了领会数学思想的台阶.
例5关于/对顶角相等0的例题.
/对顶角相等0要不要证明?这种一眼就能判断的问题为什么要证明?5几何原本6怎样证明?中国古代数学为什么没有这样的定理?这是学习对顶角相等定理时的文化价值所在.实际上,揭示/对顶角相等0的文化底蕴,学习古希腊文明的理性精神,比单纯掌握这个十分显然的结论要重要得多.可惜,我们都往往轻易地放过了.我想,在课堂上,组织学生讨论,体会这一证明的重要性,是数学教学必不可少的一部分.
例6关于/勾股定理0的教学设计.
近来发表的一些勾股定理的教案,都喜欢用发现法,即用一连串的实验单,从边长为3,4,5的直角三角形开始,逐步地发现勾股定理.这当然也未尝不可.但是,笔者认为,勾股定理最好的教学设计,是运用数学史实加以展开.首先是建造金字塔的古埃及,没有勾股定理的记载,然后是古巴比仑泥版上发现了勾股数,中国的陈子、商高的勾三股四弦五,古希腊的毕达哥拉斯的结论及证明的记载,中国赵爽的代数方法巧证.这些史实,展现人类文明的特征.然后联系到今天的寻找外星人是使用勾股定理的图案,2002年北京数学家大会采用赵爽证明作为会标,以及作为勾股定理不能推广到高次的费马大定理的解决,一幅幅绚丽的历史画卷,将会使得学习者赏心悦目,受到深刻的文化感染.由此对数学文明产生一种敬畏和感恩之心,并从而了解数学,热爱数学.
例7关于笛卡儿.
这里,我们愿意用较多的篇幅研究怎样在课堂上介绍解析几何的历史.现在设计直角坐标系的教学,或者解析几何的教学,总会提到笛卡儿的名字.最简单的处理,是展示笛卡儿的画像,说明他建立了坐标系,创立了解析几何,使得数与形结合起来.陈述完了,也就结束了.有的著作则将做三个梦的传说,确定天花板上蜘蛛位置的想象,演染一番,却没有揭示笛卡儿创立坐标方法的文化底蕴.我们不妨再看看5中国数学教育62006年第12期上发表的一个教学实录.
师:你们可知道,画两条数轴来表示不在同一直线上的点的位置的方法,直到1637年,才被法国数学家笛卡儿发现.这里有一个资料,我们一起来了解一下.请一位同学朗读阅读资料,了解历史.
生:早在1637年以前,法国数学家、解析几何的创始人笛卡儿受到了经纬度的启发,地理上的经纬度是以赤道和本初子午线为标准的,这两条线从局部上可以看成是平面内互相垂直的两条直线,所以笛卡儿的方法就是在平面内画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴建立平面直角坐标系,
从而解决了用一对实数表示平面内的点的位置的问题.
[评析]重走科学家探索之路可让学生体验数学是从生活中产生,从而培养学生的探索精神,激发学生的学习兴趣.
这段/阅读资料0不知从何而来.所谓笛卡儿受经纬度启发创立直角坐标系,估计是用想象代替事实.评析者说/重走科学家探索之路,体验数学是从生活中产生0未免牵强,恐怕是一种溢美之词.
我们需要探讨的是,怎样帮助学生从笛卡儿创立坐标方法的历史中,获得文化教益?根据可靠的数学史实[2],首先要介绍笛卡儿是一位哲学家.他有一个大胆设想是:
科学问题y数学问题y代数问题y方程问题.
为了将度量化为方程问题,即建立算术运算和几何图形之间的对应,于是建立了斜坐标系和直角坐标系.这是一个大胆的设想,一次伟大的哲学思考,一种气势磅礴的科学想象.坐标系是在将几何与代数相互连接起来的深刻的科学思考中产生出来的.正如上述陈省身先生的题字那样:了解这段历史的变化是了解析几何的一个步骤.仅仅说坐标系起源于经纬线是不够的,是缺乏文化品位的.
再进一步,在李文林的5数学史概论6中还有一段话非常精彩[2]:
我们看到,笛卡儿5几何学6的整个思路与传统的方法大相径庭,在这里表现出笛卡儿向传统和权威
挑战的巨大勇气.笛卡儿在5方法论6中尖锐地批判了经院哲学,特别是被奉为教条的亚里士多德/三段论0法则,认为三段论法则/只是在交流已经知道的事情时才有用,却不能帮助我们发现未知的事情.0
他认为/古人的几何学0所思考的只限于形相,而近代的代数学则/太受法则和公式的束缚0,因此他主张/采取几何学和代数学中一切最好的东西,互相取长补短.0这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神,反映了文艺复兴时期的时代特征.笛卡儿的哲学名言是:/我思故我在.0他解释说:/要想追求真理,我们必须在一生中尽可能地把所有的事物都来怀疑一次0,,,用怀疑的态度代替盲从和迷信,依靠理性才能获得真理.
可以设想,我们如果用这样的观点来介绍笛卡儿(尽管对中学生还要更加通俗),那么一定能够增加数学史的文化感染力.至于那些做梦的传说,还是不传为好.关于与天花板上蜘蛛,以及子午线的故事,虽不妨介绍,却不可当作信史传播.
3 营造/数学史0知识的文化意境
营造适当的文化意境,可以扩大在数学教育中运用数学史知识的范围.数学和文学都是人创立的,其间必然存在着人文的联系,特别是意境的契合.许多古代的文论作品,虽然并不是专门的数学创作,却具有数学意蕴,可以帮助我们理解数学.
例8 关于/一尺之棰0.
我们常常引用庄子5天下篇6的名句:/一尺之棰,日取其半,万世不竭0作为中国古代有无穷小思考的例证.其实庄子的这句话,本意在于:/万世不竭0,并非是说/这是趋向于0的极限过程.0那么为什么大家都认为它能帮助理解极限呢?主要在于意境.人们通过日取其半的动态过程,感受到/木棰虽越来越短,接近于零却不为零0的状态.庄子并非数学家,5庄子6也不算数学著作,但是能够用于数学教学,所以我们把它当作数学史料来处理.同样徐利治先生用李白的诗句:/孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流0来描写极限过程,和/一尺之棰0的故事一样,都是利用了文学和数学在极限意境上的契合.前面提到日本数学教材运用/曹冲称象0的故事说明测量的意义,虽然这一历史故事并非来自数学著作,我们也可以看作是数学史的作用.
例9 关于5登幽州台歌6的数学意境.
近日与友人谈几何,不禁联想到初唐诗人陈子昂的名句(登幽州台歌):/前不见古人,后不见来者;念天地之悠悠,独怆然而涕下0.
一般的语文解释说:上两句俯仰古今,写出时间绵长;第三句登楼眺望,写出空间辽阔.在广阔无垠的背景中,第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪,两相映照,分外动人.然而,从数学上看来,这是一首阐发时间和空间感知的佳句.前两句表示时间可以看成是一条直线(一维空间).诗人以自己为原点,前不见古人指时间可以延伸到负无穷大,后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大.后两句则描写三维的现实空间:天是平面,地是平面,悠悠地张成三维的立体几何环境.全诗将时间和空间放在一起思考,感到自然之伟大,产生了敬畏之心,以至怆然涕下.这样的意境,是数学家和文学家可以彼此相通的.进一步说,爱因斯坦的四维时空学说,也能和此诗的意境相衔接.
4 提供数学史料,加深对数学知识的文化理解
在当前的数学教学中,往往局限于一个概念、一个定理、一种思想的局部历史的介绍,缺乏宏观的历史进程的综合性描述.实际上,用宏观的数学史进程,可以更深刻地揭示数学的含义.
例10 关于无限.
无限是一个普通名词,也是一个数学名词.小学生学习数学,就要接触无限.例如,自然数是无限的.两条直线段无限延长不相交称为平行,无限循环小数等等,都是直接使用无限的用语,并没有特别的定义.这时,我们必须运用无限的自然语境)))人们关于无限的直觉了.进一步,/无边落木萧萧下0,/夕阳无限好0等等词句的内涵,也支撑着学生对数学无限的理解.自然语言和数学语言21
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的交互作用,可以帮助学生理解数学概念.
但是数学,只有数学,才真正对无限进行了实质性的探究.数学哲学研究中,潜无限与实无限的差别,是关键的一步.单调函数概念的学习困难,其实源于要将/无限多对(x,y)的排序0.牛顿运用无限小量,形成了微积分;康托的集合论,对无限大进行了分析.这样的历史性的宏观考察,是数学史为数学教育服务的重要方面.
类似地,我们可以考察/面积、体积、测度0概念的发展历史,考察/方程、函数、变换、曲线0概念之间联系的历史进程,还可以叙述数学不变量的发展历程)))从三角形内角和,四边形内角和,对称变换的不变量,几何问题的定值,拓扑不变量,乃至陈省身类等.这样的宏观思考,值得进一步去做.比如,介绍函数概念的发展历程,应该多作一些分析,并非一个比一个/高级0,初中函数的变量说定义未必就过时了.对大多数人来说,函数的变量说也许比对应说更重要.
最后,我们还应该运用数学史知识诠释一些好的数学教育工作,用历史鉴别现实.
例12三根导线的故事)))在看不见的地方发现数学.
1990年代的一天,上海51中学(今位育中学)的陈振宣老师对我讲了一个数学教育的故事.我以为,那是中国数学教育的一个亮点,堪称经典.
陈老师的一个学生毕业后在和平饭店做电工.工作中发现在地下室控制10层以上房间空调的温度不准.分析之后,原来是使用三相电时,连接地下室和空调器的三根导线的长度不同,因而电阻也不同.剩下的问题是:如何测量这三根电线的电阻呢?用电工万用表无法量这样长的电线的电阻.于是这位电工想到了数学.他想:一根一根测很难,但是把三根导线在高楼上两两相连接,然后在地下室测量/两根电线0的电阻是很容易的.设三根导线的电阻分别是x,y,z.于是,他列出三个一次方程:x+y=a,y+z=b,z+x= c.解由此形成的三元一次方程组,即得三根导线的电阻.
这样的方程谁都会解.但是,能够想到在这里用方程,才是真正的创造啊!我为这位电工的数学意识所折服.请代学者袁枚曾说:/学如箭镞,才如弓弩,识以领之,方能中鹄0.有知识,没有能力,就象只有箭,没有弓,射不出去.但是有了箭和弓,还要有见识,找到目标,才能打中.上面的例子说明,解这样的联立方程,知识和能力都不成问题,难的是要具有应用联立方程的意识和眼光.
这使我想起第二次世界大战以后,1948年时在美国出现的数学.这一年,维纳发表5控制论6,仙农发表5信息论6,冯#诺依曼则提出了使用至今的计算机方案.
这三项数学成就,不是通常我们所解决的那种数学问题.他们看见了我们没有看见的数学问题.试问:打电报传送的信息,可以是数学研究的对象吗?用大脑控制手去拾地下的铅笔,可以构成/数学控制论0吗?研究数字电子计算机会改变时代吗?他们看见了新的数学,在1948年不约而同地做出了创造性的杰出贡献,影响之大,使人类在20世纪下半叶进入信息时代.
在别人看不见数学的地方,发现数学问题,解决数学问题,这是最高的数学创新.这比做别人给出的问题,更胜一筹.
运用数学史料,对正在进行的数学教学以历史经验的衬托,将会对学生起到历史的激励作用.
总之,努力揭示数学史知识的文化内涵,将会使得数学史进一步溶入数学教育,增强数学文化的教育作用.青年学子将会建构数学常识,感知数学文化,享受智慧人生.
参考文献
[1]梁启超.清代学术概论[M].上海:上海古籍出版社,1998:106.
[2]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2002(第二版):140-141.
[3]张奠宙.中国皇权与数学文化[J].科学文化评论,2005(1).
[4]张奠宙.数学与诗词意境.文汇报,2006/12/30.
[5]张奠宙.中华文化对今日数学教育之影响[J].基础教育学报(香港),2007(16).
浅谈数学文化 数学文化，是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品，是在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学与人文的结合。数学文化主要以数学史、数学问题、数学知识等为载体，介绍数学思想、数学方法、数学精神。 一、数学方法——数学文化的辩证法 数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致，这些凝聚了数学家们智慧的知识不是几句话就能说明白。 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。数学的方法是贯穿了整个数学，也是学习数学的基础。数学文化中数学文化的辩证性法有具体与抽象，演绎与归纳，发现与证明，分析与综合。这些方法之间有联系又有区别。 1.（1）、具体与抽象 具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。 数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。这种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野，从只抽象个别对象扩展到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽象的数学结构。 1.（2）、演绎与归纳 演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般的判断，特殊判断，结论三部分组成。 归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说：“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧上天，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。” 1.（3）、发现与证明 发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。德国数学家曾宣称：当n大于2时，不存在一个整数n次幂是另外两个整数n次幂之和。数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取得一系列重要理论成果。 1.（4）、分析与综合 分析是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。综合是由已知命题开始，通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题，或解
数学文化作业答案(全正确答案) 1数学的研究对象是()a，物质b，物质运动c，自然d，以上不是两个学科。只有成功地应用()我们才能成熟数学 3 学习的主题不是物质或物质运动的科学。数学素养对文科学生来说并不重要。正确答案是:× 5。一般来说，数学素养意味着理性思考、仔细思考、验证、简洁、清晰和准确的表达正确答案:√ 6 一个不识字的人可以活，但不会数数的人也可以活正确答案:×7数学文化中的文化指狭隘的文化正确答案:×8 我国第一次提出数学文化是哪一年？数学文化一词最早出现在:1990年0 10年数学文化这门课程被评为XXXX 国家精品课程正确答案:“数学文化”中的× 11文化是指广义的文化正确答案:ì 12以下不是数学文化课。学生获得的是:b，提高数学能力13 以下不是数学文化的侠义意义: A，数学思想b，数学精神c，数学方法d，数学教育 14 数学是一门与其他自然学科处于同一水平的科学正确答案:×15 不同的自然科学可以用于数学研究正确答案:√ 16数学文化中的文化定义更倾向于广义解释。()正确答案:× 17数学文化的研究对象是人正确答案:√ 18“大学生素质与文化教育”一词是什么时候提出来的d，是什么时候第一次建立32 个“大学生素质与文化教育国家基地”c2 0 世纪90 年代，1 XXXX 1999 年的数学素养不包括() A，从数学的角度看问题b，控制问题的因素c，以及理性思维d。
解 决问题的逻辑能力 2 数学素养不是与生俱来的，而是在学习和实践中培养出来的正确答案:√ 3数学训练可以提高一个人的 A，推理能力b，抽象能力c，分析和创造能力d，所有这些都是正确的4企业招聘员工的问题和数学推理往往与正确答案有关:√ 5以下哪一项不是通过学习数学文化获得的？ A、理解思想b、激发兴趣c、学习方法d、解决问题方法6 一个人的数学素养水平决定了一个人工作的有效性。正确答案:√ 7数学不仅是一些知识，还是一种素质(素养)正确答案√ 8 该专业的“数学素养”是什么？()b，2: 9以下不是数学文化课的指导思想:c，数学能力10能用数学方法解决现实生活中的问题正确答案√ 11数学文化是一门以简单的数学知识为载体，讲述数学思想、精神、方法和观点的课程正确答案:ì 12目前，社会不重视数学素养正确答案:× 13数学素养是指排除数学知识后剩下的东西正确答案√ 14数学专业不含()C，热力学统计 15数学语言特征不含A，清晰B，严谨C，规范D，杂16数学重要性体现在几个层面C，317数学文化课教学方法不含 A，启发式教学B，讨论式教学C，研究式教学D，实验式教学18 数学不仅是一种重要的工具，也是一种思维方式正确答案:√1 9 数学
《数学文化与数学教育》读后感 读了这本书对我的感触很深，使我懂得了好多数学的道理，对我的学习有了更大的帮助，而数学史对于大学数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具。认识到数学史在大学数学教学中的作用，并将数学史与大学数学教学紧密的结合起来，不但能有效的激发学生学习数学的兴趣，而且对于提高其数学方面的素质修养以及逻辑思维能力、启发文科学生的人格成长、发展其认知能力等都有十分重要的作用。 1.数学史是大学数学教学的重要的组成部分 俗言说的好“冰冻三尺非一日之寒”。数学知识的发生和发展过程其实就是数学家与困难、问题的斗争史。数学本身不仅是一门科学，而且还是一种精神，一种探索精神。比如，微积分是由牛顿、莱布尼兹、欧拉、维尔斯特拉斯等多位大数学家前赴后继，历尽艰辛，历时千年才建立和发展完善的。了解数学理论知识建立的历史，不但可以使学生对所学知识有一个全局的完整的认识，而且可以使学生学会由易到难、由已知到未知，逐步的克服障碍，在探索中学习。 2.数学史可以构建数学与人文之间的桥梁，激发学生学好大学数学的兴趣 数学学科的抽象性、严密的逻辑性, 使得很多学生有畏难心理, 大学数学的学习也相应的恶化成枯燥无味的公式记忆和解题演练。荷兰数学家和教育家赖登塔尔就批评那种注重逻辑严密性、而没有丝毫历史感的教育乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”[2]。因此, 如何构建数学与人文之间的桥梁, 激发学生学习的兴趣就成了教师的首要任务。数学是各个时代人类文明的标志之一。数学对整个人类文明产生了不容质疑的影响，无论是物质文明还是精神文明两方面都是这样。数学对人类物质文明的影响，最突出的是反映在它直接或间接参与了从根本上改变人类物质生活方式的三次重大的产业革命。比如，第一次产业革命的主体技术是蒸汽机、纺织机等，它们的设计涉及对运动与变化的计算，而这只有在微积分发明后才有可能。又如，原子能的释放，首先是由于爱因士坦利用数学工具导出的著名公式揭示出质能转化的可能性。而现在的航天事业的发展更离不开数学的参与。“神舟飞船”的历次成功飞行都离不开数学家的参与。数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。比如，日心说的决定性胜利是在牛顿用当时最新的数学工具——微积分和严密的数学推理从动力学定律、万有引力定律出发推演出太阳系的运动之后。哥白尼的学说得到证实恰是通过这样的事实：天文学家加勒根据几位数学家在数学上的推算和预报找到了一颗新的行星——海王星。在大学数学的教学中，在学到相关数学知识的时候，适时的将数学知识与其在促进当时社会的发展联系起来，使学生认识到数学与人们的生活息息相关，其来源于生活、服务于生活。这将有助于树立学生对数学课正确的认识，增强学习兴趣。 3.数学史在大学数学教学中具有重要的德育功能 数学中蕴涵着丰富的辩证唯物主义的思想。在数学史上，数学概念的形成与演变，重要思想方法的确立与发展，重大理论的创立与变革等，无不体现唯物辩证法的核心思想——发展、运动与变化。比如，自从数学中引入了变量，运动就进入了数学。在高等数学中至始至终贯穿着动态的变量的思想，函数就是这一思想的具体体现。通过函数出现历史的介绍，就可以教会学生学会用变化、运动的观点看待事物、看待世界。在大学数学教学中融入数学史，
数学史与数学文化讲座体会 左安门中学孙丽颖通过丰台分院组织的数学史与数学文化系列讲座讲座，我了解到数学是一门伟大的科学，它作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学。它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。 一、数学史的研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。 数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。
《数学文化与数学史》复习 Lecture 0 为什么要开设数学史 1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和19 世纪 英国业余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）证明勾股定理的方法。 达·芬奇 H. Perigal的水车翼轮法 2.谈谈你对数学史教育价值的认识。 一门学科一座桥梁一条进路一种资源一组专题 对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。 对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。 Lecture 2 古代数学（I）：埃及 3.Rhind 纸草书问题79 是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。
124 房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607 ()5749343230116807 717493432301 72801 19607 S =++++=++++=?= () ()() 21 221 1 11n n n n n n n n S a aq aq aq a q a aq aq aq a qS a q S aq a aq S q q ----=++++=++++=+=+--?=≠-L L 4. “埃及几何学中的珍宝”是什么 正四棱台体积公式： Lecture 3 古代数学（II ）：美索不达米亚 3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题 5 古代巴比伦人是如何求平方根近似值的 1211322, 1212a a a a a a a a a ??=+ ????? =+ ???L L 设第一个近似值为则第二个近似值为；第三个近似值为； 2 3 11 2 11;3021121;301;2521;30121;251;24,51,1021;25245110 1 1.4142155 606060?? += ????? += ????? += ??? + ++=设第一个近似值为， 则第二个近似值为； 第三个近似值为；第四个近似值为。 7. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么 泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）：
《数学史与数学文化》 班级：网营14-1班 姓名：毕倩榕 学号： 云南财经大学中华职业学院 数学史和数学文化 数学可能是中国所有上学的人爱恨交加的科目了吧，一方面苦于数学的枯燥和难懂，另一方面又应用于各个方面，可以说对它的感情很复杂了。而数学史和数学文化这门课却讲了不少数学史中有意思数学家和他们的故事以及数学文化，数学俨然给人一种活泼感，就好像是一个印象中“严肃刻板”的人，做出了一系列生动幽默的动作，发生了一连串的故事；而数学文化就像是人类其他形式的文化一样，它活跃在人类历史进程中，推进了人类的进步。 数学是美的，数学美把就是把数学溶入语言之中，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；各种有趣的数字比如说：完全数、水仙花数、亲和数、黑洞数等等；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠?哥德巴赫猜想。 数学美可以分为形式美和内在美。? 数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。? 数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用?滴水不漏?来形容数学。它表现在数学推理的严密，数学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的，数学是一个五彩缤纷的美的世界。 数学是好玩的，在北京举行国际数学家大会期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。玩七巧
《数学史论约》复习题参考及答案本科 一、填空（22分） 1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史），既要研究其历史进程，还要研究其（一般规律）； 2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期； 3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）； 4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线； 5、整数458 用古埃及记数法可以表示为（）。 6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草 书是研究古代（埃及数学）的主要历史资料； 7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期； 8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析 几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛沙格）和帕斯卡创立了射影几何， （帕斯卡）和费马创立了概率论，费马创立了数论； 9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬； 10、整数458 用巴比伦的记数法可以表示为（）。 11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素促使其发展）， 其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）； 12、19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明： （1）分析基础严密化和（复变函数论创立）， （2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善， （3）群论和（非交换代数诞生）； 13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化， 数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的 社会化协作，（新理论）的导向； 14、《九章算术》的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘徽）曾为它作注； 15、整数458 用玛雅记数法可以表示为（）。 16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（一般规律）； 17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（亚里士多德学派）； 18、阿拉伯数学家（阿尔-花拉子模）在他的著作（《代数学》）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法； 19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（分析基础严密化）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（射影几何的完善）；（3）在代数学领域（群论）与非交换代数的诞生。 20、整数458 用古印度记数法可以表示为（）。 二、选择题 1、数学史的研究对象是（C）；
数学史知识融入课堂教学的意义 数学史作为数学文化的重要历史资源，蕴藏着丰富的哲理和理论内涵，展现了人类追求真理，勇于创新，献身科学的拼搏精神，对人类研究数学、掌握数学、创新数学等方面具有深远的意义和积极的影响。数学新课程标准中提出要“体现数学的文化价值”这一基本理念，深刻揭示了数学史在数学教学过程中的重要作用。如何体现数学的文化价值，我认为将数学史与数学教学适度融合是一个重要的、有效的方法。在课堂教学中融入数学史有助于学生深刻理解数学知识，有助于学生掌握数学思想方法树立正确的数学观，提高数学应用意识。因此，作为课堂教学主导者的数学教师应该选择适当的方式将数学史知识融入课堂教学，使数学史在课堂教学中发挥积极的作用。 一、在教学中引入数学史可以激发学生的数学学习兴趣 传统的数学课堂中往往通过严谨的推理，重复性的练习等巩固数学知识，这种教学方式存在缺乏人性化、与生活脱节等问题，影响了学生学习数学的兴趣。学生在课堂上感受不到学习的愉悦，从而厌倦数学，畏惧数学，对学习数学失去信心，最后导致放弃学习数学。由于学生对新鲜事物所具有的好奇心，数学史知识的引入则可以集中学生的注意力、激发学生的求知欲望、调动学生学习的积极性，有效改善数学课堂教学气氛，收到良好的教学效果。
例如在新课教学中，课题的引入是一个重要的环节，引入的方法灵活多样的。如果课题的引入符合学生的认知发展规律，贴近学生的最近发展区，则有利于学生对新知识新内容的接受，反之对学生有消极的影响。在教学中利用数学史引入课题，可以引起学生的注意力，调动学生的求知欲，起到良好的教学效果。如在学习等比数列前 n 项和的公式时，可以将著名的棋盘问题来引入课题；再如在教学过程中适时介绍一些著名数学家的成长轶事、源自日常生活的数学名题、在自然科学中被精彩运用的数学知识等数学史知识，都可以使学生与数学的“亲近感”，减小学生与数学“距离感”，消除学生对数学的“畏惧感”，进而激发学生学习数学的兴趣，积极参与到课堂活动中去。 二、在教学中引入数学史可以帮助学生更好的理解数学 数学与生活的严重脱节，使多数学生都认为数学远离生活，在生活中并无实用价值，只是数学家们抽象思维的产物，数学的学习仅仅为了应付考试。如果在课堂教学中引入数学史的知识，可以让学生认识到数学与人们生产生活是息息相关的学科，是人类在认识自然、改善自然的过程中慢慢发展起来的学科。经过了各个时期的数学家们的不断钻研，使得现在的数学体系得以完善和发展。通过对数学史有关知识的学习与了解，则可以在教学中把数学概念的演变过程和数学方法的应用实例呈现给学生，不仅有助于加深学生理解概念和方法，更有助于学生全面、系统的掌握数学知识内容。 例如，在学习对数时，教师往往只是介绍对数式与指数式的
数学史的意义 摘要：随着数学知识学习难度的加深，有些学生逐步丧失了对数学的学习兴趣，使数学成为一门枯燥无味的学科，极大地影响了数学的学习。面对这种情况，我们应该加强学生对数学史的学习，帮助学生了解数学知识的来源和背景，引导学生体会真正的数学思维过程，去创造一种探索与研究的数学学习气氛，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的探索精神和审美能力都有非常重要的意义。 关键词：数学教学数学史意义 数学的各个分支是一个有机的整体，大部分数学概念的形成并不是偶然的，现在数学的分支越来越多，到现在已经没有人能够深入研究到数学的各各方面，通过数学史，可以对数学概念的来龙去脉有所了解，也可以对整个数学有个全局的了解。从基础教育课程改革的状况来看，很多数学老师还是在进行数学教学时，经常把有关的数学史知识省略不讲，这就极大的忽视了数学史对中学数学的促进作用。如果我们能在数学课程中对学生进行数学史教育，并通过挖掘数学史的文化价值进行教学，让数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学中，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过历史文化让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。那么什么是数学史呢？我们要理解数学为什么要先了解数学的历史呢？学习数学史对我们学习数学有什么意义呢？下面我从以下几个方面谈谈： 一、数学史的概述 每一门学科都有它的历史，如文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。当然，数学也有它的历史。只是它与其它学科相比，数学有它的独特之处。数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。它最显著的特点是体系的严谨性。它要求每一个概念都要给出明确的定义。但“数学”这个概念本身，却很难给出一个完美的定义。根本的原因是数学这门科学还在不断地发展之中。 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说研究数学的历史就是数学史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索
南昌师范学院 系别： 班级： 姓名： 学号： 指导老师： 数学史与数学文化学习体会 ———数学史中的哲学启示和学习感悟【摘要】 通过实例叙述了中外数学发展进程中凝练出的数学哲学思想的变革和相互联系，概括了数学哲学思想的重要性、实用性以及数学和哲学水乳交融相辅相成的紧密联系。最后分五个方面对数学史和数学文化课程学习的感悟体会和学习意义进行了总结提炼。
【关键词】数学史哲学思想数学文化感悟 【正文】 我认为：数学史与数学文化作为一门课程一门学科，教授给我的绝不仅仅只停留在数学作为一门科学在不断发展演变的历程中不胜枚举的中外数学家以及数学发展史中具体事例和思想运动，更内涵而又丰满地是教授我一种数学的哲学思想、事物的发展规律、唯物理性客观的世界观和方法论，是对我们今后人生的指引和极大丰富。同时也是对身为理工科大学生人文情操和文化素养的磨练及沉淀，这才是我认为学习完数学史数学文化这门课程的精神内核。 数学史的离不开数学哲学，否则，就不能达到应有的深度。法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”在谈到数学史对数学的重要性时，英国数学家格莱舍有一段经典名言：“任何一种企图将一个学科和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大。”无独有偶，德国数学家汉克尔也形象地指出过数学的这一特点：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”数学是历史的科学，是由历史成果积累而成的。 经过数学史课程的学习，我被数学文化中深刻的哲学思想而深深吸引。通过老师课堂上的丰富举例；通过一个个生动、紧张、严肃、活泼的数学家形象和事例；通过数学史上一次次的猜想、命题、假设、证明，一次次地发展变革，更是引发了我对数学的发展规律和其本质哲学思想变革的不断思索。 【一】中国早期的数学哲学思想 【1】《墨经》数学哲学思想的特点 纵观墨家的数学成就，只是一些分散的数学知识积累。既没有形成一个完整的公理体系，也没有使用任何数学符号、几何图形、公式方程来反映其数学思想，仅在文字上进行了高度 抽象的概括，却没有妨碍墨家科学思想在数学上体现。墨家科学思想的突出特点是将技术的应用与发展研究相结合，“巧传则求其故”。巧指工艺技巧，传指世代相传，求就是探索寻找，故就是原因、道理．即在世代相传的手工技巧中找寻出规律并将其总结成科学真理，从而达到“以往知来，以知见隐”．思格斯说：“数学的无限是从现实中借来的??，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明．旧墨家的数学思想正是从社会生产与社会实践中产生的，“摹略万物之然，探究其所以然”的实证主义科学态度使得墨家的科学活动有了明确的指导思想，这种对待自然科学求真唯实的作风不但促进了战国时期科学技术的发展，而且逼近了近代科学发展的基础，为古代中国科学发展开辟出一条有可能走向近代科学的道路。 【2】《九章算术注》的数学哲学思想 刘徽是我国古代伟大的数学家，所著《九章算术注》一书，是他毕生研究数学的结晶，在这本书里集中体现了刘徽对待数学的根本观点，即唯物数学观点唯
第一章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下关于数学的描述，正确的有（A B）。 A.数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 B.数学是研究模式与秩序的科学 C.数学研究事物的物质属性 D.数学只是研究数的科学 2.以下表述中正确的有（A B C）。 A.数与形是数学科学的两大柱石； B.数与形是万物共性和本质； C.数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系； D.数与形是不同的事物，也没有关系。 3.下列运动或变换中，属于拓扑变换的有（A C）。 A.橡皮筋拉伸； B.电风扇旋转； C.纸张折叠； D.投影。 4.以下各选项属于数学的特点的有（A C D）。 A.概念的抽象性； B.公式的简洁性； C.推理的严密性； D.结论的确定性。 5.以下选项中，属于数学关注的内容的部分有（A B C D）。 A.一种对象的内在性质； B.不同对象的联系； C.多种对象的共性； D.一组对象的变化规律。 6.数学中概念或定义的形成主要是（A B C）的结果。 A.分类； B.抓本质； C.抓共性； D.推理。 7.按照结构数学的观点，以下对象属于代数结构的有（A C）。 A.加法运算； B.比较大小； C.乘方运算； D.数轴。 8.以下关于公理系统的描述中，正确的有（A B D）。 A.公理之间应该相容； B.公理之间应该独立； C.公理需要证明； D.公理是数学理论正确性的前提。 9.以下推理形式中，属于合情推理的有（A B D）。 A.归纳；
B.类比； C.演绎； D.联想。 10.以下关于归纳推理的叙述中，正确的是（A B D）。 A.归纳推理是从个体认识群体的推理； B.归纳推理是从特殊到一般的推理； C.归纳推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.归纳推理不能保证结论的正确性。 11.以下关于类比推理的叙述中，正确的是（A C D ）。 A.类比推理是发散性思维； B.类比推理是从一般到特殊的推理； C.类比推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.类比推理不能保证结论的正确性。 12.以下关于演绎推理的叙述中，正确的是（A B C D）。 A.演绎推理是收敛性思维； B.演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系； C.演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地； D.演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限。 第二章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下选项中属于数学功能的有（A B C D ） A.实用 B.教育 C.语言 D.文化 2.以下哪些现象说明数学具有语言功能？A B A.用方程描述社会现象 B.用符号表示数和运算 C.逻辑推理 D.五线谱 3.数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括（A C） A.数学的对象是万物之本 B.数学概念的抽象性 C.数学方法与结论的可靠性 D.数学结论的确定性 4.与自然语言相比，数学语言具有以下优点（A C D ） A.不会产生歧义 B.表达生动 C.表达简洁、清晰 D.内涵丰富 5.把数学看做一种文化，原因在于（A B C ） A.数学是人类创造并传承下来的智力成就
浅谈数学史与数学 内容提要： 数学的很多方法是有辩证性的，比如具体与抽象；演绎与归纳；发现与证明；分析与综合；这些方法之间有联系又有区别。数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间相互关系的一门学科。他们发展也经历的很多的坎坷，在磨砺中他也得以不断的成长。说到数学美，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……。数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。在数学的发展中，形成许多哲学的观点，有以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派。 关键字： 数学方法数学发展三次数学危机数学美数学与哲学 浅谈数学史与数学文化 经济管理学院经济0901李迎 一、情深意浓——学习数学的心得和感想 从小就对数学有着浓厚的兴趣，数学能给我带来一直奇妙的神奇的感觉，而学习数学更是让我学到很多东西。在思维上，逻辑的严谨，和思考的妙趣，是其他学科不能给我的。在求学的态度上，数学教给我的是脚踏实地。对数学的感觉有时不能用语言来描述，我相信很多和我一样喜欢数学的都对数学有着奇妙的感情。当同学表示学数学的枯燥时我很不能理解，在我看来数学是最实在，有趣味的，他就像是一个老朋友，等着去解读。 汉克尔曾说数学科学的特点是：高度的抽象性，体系的严谨性，应用的广泛性，发展的延续性。我懂得数学的高深，想来我没有足够的能力去深入的解读去体味，因而高考没有选数学专业。现在又有一次机会让我可以接触数学，领悟数学和数学家的神奇，美妙，毫不犹豫的选了数学文化，对数学的很多感受现在可以通过这次机会表达一二。 二、智慧展现——数学方法和数学思想 数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致，这些凝聚了数学家们智慧的知识不是几句话就能说明白。数学的方法是贯穿了整个数学，也是学习数学的基础。在此我将我所学到的和我心中所想的一些数学方法和思想写出略表我对数学的解读。 数学的很多方法是有辩证性的，比如具体与抽象；演绎与归纳；发现与证明；分析与综合；这些方法之间有联系又有区别。 （一）、具体与抽象 具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对
数学史概论期末试题一 一、单项选择题 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是( B ) A.刘徽 B.祖冲之 C.阿基米德 D.卡瓦列利 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C ) A.秦九韶 B.杨辉 C.朱世杰 D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学 B.微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D.不确定4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《周髀算经》 5．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫( D )。 A.笛卡尔公式 B.牛顿公式 C.莱布尼茨公式 D.欧拉公式 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。 A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏晋南北朝时期 D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。 A.莱布尼茨 B.约翰·伯努利 C.雅各布·伯努利 D.欧拉 8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A ）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木板上 D.泥板上 10．大数学家欧拉出生于（A ）A.瑞士B.奥地利C.德国D.法国 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。
A.塔塔利亚 B.卡当 C.费罗 D.费拉利 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D ）。 A.比例术 B.面积术 C.体积术 D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。 A.美索不达米亚 B.埃及 C.阿拉伯 D.印度 二、填空题 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即： 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16三角，而数学史学 17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有（5）条公理、（5）条公设。18．两千年来有关欧几里得几何原本第五公设的争议，导致了非欧几何的诞生。 19.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何___方法对这一解法给出了证明。 20．被称为“现代分析之父”的数学家是（柯西），被称为“数学之王”的数学家是（高斯）。 21．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家帕斯卡于1642 年发明的。22．1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了（23）个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。 答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。数学史课程的功能可以概括成以下四部分: （1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。 （2）复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。 （3）了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。 （4）受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。 2. 简述数学内涵的历史发展。 答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。 A 数学是量的科学：公元前4世纪。 B 数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。 C 数学研究各种量之间的关系与联系：20世纪50年代。 D 数学是作为模式的科学：20世纪80年代。 1. 简述河谷文明及其数学。 答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”，因为这些国家是在河流的入海口建立的。尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。 2. 简述纸草书与泥板文书中的数学。 答：古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。莱茵德纸草书（现存于伦敦大英博物馆）中有84个数学题目；莫斯科纸草书（现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。 纸草书中的数学知识包括：（1）算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2）几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。 美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。出土50万块其中数学文献300块。 泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括??1.414213； (3)数表；(4)x2–px–q=0 ,x3=a,X3+X2=a (5) 几何，测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。代数学。 1.简述几何三大问题及历史发展。 答：用圆规和没有刻度的直尺完成作图（称为尺规作图）； （1）画圆为方：作一个与给定圆面积相等的正方形； （2）倍立方体：求作一个正方体，使其体积等于已知正方体体积的两倍； （3）三等分角：分任意角为三等份角。 历史发展：从古代希腊开始，人们对三大问题做了不断的探索但没有解决；直到19世纪人们才能用代数学等的知识彻底解决了；彻底解决证明是不可能的，有的人不了解历史有时仍然盲目的研究它。 2.简述欧几里得的几何《原本》。 答：欧几里德集古代希腊论证数学之大成，写成第一部典范的数学著作几何《原本》。 前六卷相当于几何内容。第1卷首先用23个定义给出了点、钱、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公社和5个公理，第2卷主要讨论几何代数，第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理，第4卷在引入了圆的内接和外切圆形的概念以后，讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题，第5卷讨论了有关量的比例理论，第6卷主要是将激励理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。第7、8、9卷主要研究初等数论。第10卷讨论无理数。后
数学史与数学文化期末考试（二） 班级：会计 学号： 姓名：王婷
题目：勾股定理证明方法 摘要：勾股定理的历史已有几千年的历史。数学讲究严格论证，任何结论都要 经过逻辑推理一步一步证出来。未加证明的论断只能称为命题，经过证明以后才能叫定理，勾股定理的提出是一回事，对它进行严格证明是更了不起的事。千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有古希腊著名数学家毕达哥拉斯的毕达哥拉斯树、我国商代数学家商高的商高定理、三国赵爽的以盈补虚法、甚至还有美国总统詹姆士·加菲尔德的简易证明法等，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，足可见勾股定理魅力之处。勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称，在法国和比利时称为“驴桥定理”、埃及称为“埃及三角形”，而我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，故称之为“勾股定理”。 关键字：勾股定理直角三角形正方形直角边斜边
目录 一、提出问题 (4) 二、数学建模 (4) 三、得出结论 (4) 四、知识延伸 (5) 1、主要几种证明方法 (5) （1）、算法化证明 (5) （2）、演绎性证明 (5) （3）、代数计算证明 (5) 2、勾股组数 (5) 3、勾股定理逆定理 (6) 五、勾股定理的应用 (7) 1、古代的应用 (7) 2、现代应用 (7) 3、勾股定理的推广 (7) 4、勾股定理的影响 (8)
一、提出问题 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。 他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 二、数学建模 这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b，斜边为c的 直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的。 因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以得 出如下等式： 1 直角梯形面积：(a+b)(b+a) 2 化简得 这种证明方法用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而证明更加简洁。 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员詹姆士·加菲尔德，他是美国第20位总统。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。 三、得出结论 勾股定律是初等集合著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度a和b，斜边长度为c，那么 其来源传统上认为是由古希腊的数学家毕达哥拉斯所证明，他根据勾股定律做出的毕达哥拉斯树图形。据说毕达哥拉斯证明了次定理或，当地人民为了庆祝斩