2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：
考察证明、长度与面积、动点问题等（三）
1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；
（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN ＝，求AH的长．
2．在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做D PQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”D PQ＝3．
（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则D AO＝，D BO
＝．
②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出D CO的最小值．
（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值．
3．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG?BF；
（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．
4．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）填空：
①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；
②若⊙O的半径为，AC＝3CE，则BC的长为．
5．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH?EA；
（3）若⊙O的半径为，sin A＝，求BH的长．
6．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O 的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，CE＝2，
①求的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．
7．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN?MC＝9，求BM的值．
8．解决问题：
（1）如图①，半径为4的⊙O外有一点P，且PO＝7，点A在⊙O上，则PA的最大值和最小值分别是和．
（2）如图②，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别在OA 边找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出△PEF周长的最小值；
拓展应用
（3）如图③，正方形ABCD的边长为4；E是CD上一点（不与D、C重合），CF ⊥BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M、N分别是AB、AC上动点，求△PMN周长的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．
（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．
（2）连结PB，求tan∠BPC的值．
（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．
（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．
（1）求证：CD2＝AC?EC；
（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若AE＝EC，求tan B的值．
参考答案1．（1）证明：连接OA、OB、OD，
∵∠BAD+2∠ACB＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∴2∠ACB＝∠BCD，即∠ACB＝∠ACD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2ACB，
∴∠AOD＝∠AOB，
∴，
即点A为弧AB的中点；
（2）在HF上截取点Q，使HQ＝AH，连接PQ、AE，∵PH⊥AF，
∴PH是AQ的垂直平分线，
∴PA＝PQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，AH＝HQ，
∴QF＝AF﹣AQ＝AF﹣2AH，
又∵PQ＝AP＝AF﹣2AH，
∴PQ＝QF，
∴∠F＝∠FPQ＝PQA＝PAQ，
∵，
∴∠ABD＝∠ADB＝PAQ，
∴∠F＝∠ABD，
∴EB＝EF，
∵AB＝AF，
∴EA⊥BF，
∵FH⊥BF，
∴∠EAF＝∠PHF＝90°，
∴EA∥PH，
∴＝，
又∵AF＝AB，EF＝BE，
∴＝；
（3）连接MD、MB，
∵，，
∴∠AMB＝∠AMD，∠MBD＝∠MAD，
∴∠MED＝∠AMB+∠MBD，∠MDN＝∠AMD+∠MAD，
∴∠MED＝∠MDN，
∵∠MED＝∠MND，
∴∠MDN＝∠MND，
∴MD＝MN＝，
∵，
∴AB＝AD，
∵AB＝AF，
∴AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
由（1）知∠ABD＝∠BDA，
∴∠BDF＝∠ADF+∠ADB＝（∠ADF+∠AFD+∠ABD+∠BDA）＝×180°＝90°，∴DF＝12?sin∠ACB＝12?sin∠ABD＝12×，
∴BF＝12，
∴AF＝AB＝6，
由（2）知∠MAB＝∠MAF＝90°，
∴MB为直径，
∴∠MDB＝90°，
∴∠MDB+∠BDF＝180°，
∴M、D、F共线，
∵，
∴∠ABD＝∠AMD，
∴sin∠ABD＝sin∠AMD，
∴＝，
即＝，
∴DF1＝，DF2＝﹣10（舍去），
∴BD＝＝，
∵∠BMD+∠BAD＝180°，∠PAH+∠BAD＝180°，
∴∠BMD＝∠PAH，
∴tan∠BMD＝＝＝＝tan∠PAH，tan∠PFH＝tan∠EBA＝＝，
设PH＝24k，则AH＝7k，FH＝32k，
∴32k+7k＝6，
∴k＝，
∴AH＝7k＝．
2．解：（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，
同理D BO＝1，
故答案为：5，1；
②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，
当0≤m≤4时，D CO最小，最小值为4；
（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，
当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，
如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，
设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，
则△MON∽△GEO，
则，即，
则GO＝，
EF1＝MG＝2﹣＝．
3．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，
∵FE＝FG，
∴∠FGE＝∠FEG＝β，
∵H是AB的中点，
∴CH⊥AB，
∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，
∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵CH⊥AB，
∴＝
∴∠CBA＝∠CEB，
∵EF∥BC，
∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，
∴∠FBE＝∠GBE，
∴△FEB∽△EGB，
∴BE2＝BG?BF；
（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，
设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，
则sinγ＝，cosγ＝，
CH ＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；
设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，
即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；
GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，
tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，
连接DE，则∠CED＝90°，
在Rt△CDE中
cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，
解得：FG＝；
∵FH＝FG+GH＝，
∴HM＝FH tan∠F＝×＝；
∵CM＝HM+CH＝，
∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．
4．解：（1）如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC的度数为60°时，四边形ACDO为菱形；∵∠BAC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠CAD＝30°，
连接CD，
∵OD∥AE，
∴，
∴∠OAD＝∠ADC＝30°，
∴∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AOD（ASA），
∴AC＝AO，
∴AC＝AO＝CD＝OD，
∴四边形ACDO为菱形；
故答案为：60°；
②设OD与BC交于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AC，
∴四边形CEDG是矩形，
∴DG＝CE，∠DGC＝90°，
∴CG＝BG，
又∵AO＝BO，
∴OG＝AC，
∵AC＝3CE，
∴OG＝AC＝CE，
∴OD＝CE＝，
∴CE＝1，
∴AC＝3，OD＝
∵AB＝2×OD＝5，
∴BC＝＝＝4，
故答案为：4．
5．（1）证明：如图1中，
∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，
∴CE2＝EH?EA；
（3）解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，
∴AB＝5，BE＝AB?sin∠BAE＝5×＝3，∴EA＝＝4，
∵＝，
∴BE＝CE＝3，
∵CE2＝EH?EA，
∴EH＝，
∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．6．（1）证明：连接OE
∵OA＝OE
∴∠OAE＝∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE＝∠EAF
∴∠OEA＝∠EAF
∴OE∥AD
∵ED⊥AF
∴∠D＝90°
∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：①连接BE
∵AB是⊙O直径
∴∠AEB＝90°
∴∠BEA＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°
∴∠BAE＝∠CBE
∵∠DAE＝∠BAE
∴∠DAE＝∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴
∵DE＝3，CE＝2
∴
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB 于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG＝90°，PQ＝OG
∵
∴设BC＝2x，AE＝3x
∴AC＝AE+CE＝3x+2
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C
∴△BEC∽△ABC
∴
∴BC2＝AC?CE即（2x）2＝2（3x+2）
解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）
∴BC＝4，AE＝6，AC＝8
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°
∴∠EGP＝∠BAC＝30°
∴PE＝EG
∴OG+EG＝PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短∵EH＝AE＝3
∴OG+EG的最小值为3
7．（1）①证明：如图1中，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴．（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴，
∴AM2＝MC?MN，
∵MC?MN＝9，
∴AM＝3，
∴BM＝AM＝3．