高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数教案文含解析新人教A版
§2.6对数与对数函数
最新考纲考情考向分析
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化
成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊
点，会画底数为2,10，
1
2
的对数函数的图象．
3.体会对数函数是一类重要的函数模型．
4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且
a≠1)互为反函数.
以比较对数函数值大
小的形式考查函数的
单调性；以复合函数
的形式考查对数函数
的图象与性质，题型
一般为选择、填空题，
中低档难度.
1.对数的概念
一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即
b＝log a N(a>0，且a≠1).
2.对数log a N(a>0，a≠1)具有下列性质
(1)N>0；(2)log a1＝0；(3)log a a＝1.
3.对数运算法则
(1)log a(MN)＝log a M＋log a N.
(2)log a
M
N
＝log a M－log a N.
(3)log a Mα＝αlog a M.
4.对数的重要公式
(1)对数恒等式：log a N
a＝N.
(2)换底公式：log
b N ＝log a N
log a b .
5.对数函数的图象与性质
y ＝log a x a >1 0 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 6.反函数 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 概念方法微思考 1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m n a b . 提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m n a b ＝n m log a b . 2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系． 提示 0 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，? ?? ??1a ，－1，函数图象 只在第一、四象限．( √ ) 题组二 教材改编 2．log 29·log 34·log 45·log 52＝. 答案 2 3．已知a ＝2 1 3 －，b ＝log 213，c ＝12 log 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为． 答案 c >a >b 解析 ∵0 log 1 3 ＝log 23>1. ∴c >a >b . 4．函数y ＝ 23 log (2x －1)的定义域是． 答案 ? ?? ??12，1 解析 由23 log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1. ∴1 2 23 log (2x －1)的定义域是? ???? 12，1. 题组三 易错自纠 5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B 6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a >1，c >1 B ．a >1,0 C ．01 D ．0 答案 D 解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0 7．若log a 3 4 <1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案 ? ?? ??0，34∪(1，＋∞) 解析 当0 4； 当a >1时，log a 3 4 ∴实数a 的取值范围是? ?? ??0，34∪(1，＋∞). 题型一 对数的运算 1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10B ．10C ．20D ．100 答案 A 解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10. 2．计算：? ?? ??lg 14－lg25÷1001 2－＝. 答案 －20 解析 原式＝(lg2－2 －lg52 )×10012 ＝lg ? ?? ??122×52×10 ＝lg10－2 ×10＝－2×10＝－20. 3．计算：(1－log 63)2 ＋log 62·log 618 log 64＝. 答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2 ＋log 663 ·log 6(6×3) log 64 ＝1－2log 63＋(log 63)2 ＋1－(log 63)2 log 64 ＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1. 4．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝. 答案 6 解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x ， ∴f (log 32)＝339log 2 log 2log 43 929＋＝＋＝2＋4＝6. 思维升华对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图象及应用 例1(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( ) 答案 C 解析 先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于 y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示． (2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数即方程|log 0.5x |＝? ????12x 的解的个数，即函数y ＝|log 0.5x |与函数y ＝? ?? ??12x 图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点． (3)当0 A.? ????0， 22 B.? ?? ?? 22，1C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B 解析 由题意得，当0 ????0 即当0 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，1 24＝2，即 函数y ＝4x 的图象过点? ????12，2.把点? ????12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在 函数y ＝log a x 图象的下方，则需 2 2 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是? ?? ?? 22，1. 引申探究 若本例(3)变为方程4x ＝log a x 在? ?? ??0，12上有解，则实数a 的取值范围为． 答案 ? ?? ??0， 22 解析 若方程4x ＝log a x 在? ????0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在? ?? ??0，12上有交点， 由图象知? ??? ? 0 2≤2，解得0 2 2 . 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C. (2)已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0， 3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根， 则实数a 的取值范围是． 答案 (1，＋∞) 解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距． 由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点． 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小 例2设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．a >c >b D ．c >b >a 答案 A 解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c . 命题点2 解对数方程、不等式 例3(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为． 解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2 －1)＝2，即x 2 －1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5. (2)已知不等式log x (2x 2 ＋1) 答案 ? ?? ??13，12 解析 原不等式?①????? 0 2x 2 ＋1>3x >1， 或②? ???? x >1， 2x 2 ＋1<3x <1， 解不等式组①得13 2 ，不等式组②无解． 所以实数x 的取值范围为? ?? ??13，12. 命题点3 对数函数性质的综合应用 例4(1)若函数f (x )＝log 2(x 2 －ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－4,4] C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D ．[－4,4) 答案 D 解析 由题意得x 2 －ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2 －ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a 2≥－2且(－2)2 －(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)， 故选D. (2)函数f (x )＝log 2x · x )的最小值为． 答案 －1 4 解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2 ＋log 2x ＝? ????log 2x ＋122－14≥－14，当 log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－1 4 . (3)已知函数f (x )＝??? ?? (a －1)x ＋4－2a ，x <1， 1＋log 2x ，x ≥1， 若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是． 解析 当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x <1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数， 且最大值大于或等于1才能满足f (x )的值域为R ，可得??? ?? a －1>0， a －1＋4－2a ≥1， 解得a ∈(1,2]． 思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 跟踪训练2(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D 解析 a ＝log 32 log 25，即a >b ， 所以c >a >b . (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数 a 的取值范围是． 答案 ? ?? ??1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1 . 知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是? ?? ??1，83. 比较指数式、对数式的大小 比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是： (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 例(1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b 答案 B 解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝3 2log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝ log 32 (2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b 解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3 ∵ a ＋ b ab ＝1a ＋1 b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0< a ＋b ab <1，∴ab ，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c 解析 ∵a ＝60.4 >1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)， c ＝log 80.4<0，∴a >b >c . (4)若实数a ，b ，c 满足log a 2 号) ①a 解析 由log a 2 (5)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |， 若a ＝f (－3)，b ＝f ? ?? ??14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 b >a >c 解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ? ?? ??1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1， ＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ? ?? ??14＝f (4)，所以b >a >c . 1．log 29·log 34等于( ) A.14B.1 2C ．2D ．4 答案 D 解析 方法一 原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2 lg2·lg3＝4. 方法二 原式＝2log 23·log 24 log 23 ＝2×2＝4. 2．设a ＝log 37，b ＝21.1 ，c ＝0.83.1 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b 解析 ∵a ＝log 37，∴1 ，∴b >2. ∵c ＝0.83.1 ，∴0 3．已知函数f (x )＝???? ? log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1D.7 2 答案 A 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ????log 312＝331 log log 22 313－＋＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ?? ??log 312 ＝5. 4．函数f (x )＝ x log a |x | |x | (0 答案 C 解析 当x >0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x <0时，f (x )＝－log a (－x )单调递减，排除D.故选C. 5．已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ? ????e 2019＋f ? ????2e 2019＋…＋f ? ????2018e 2019＝1009(a ＋b )，则a 2＋b 2 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2， ∴f ? ????e 2019＋f ? ????2e 2019＋…＋f ? ?? ??2018e 2019＝2018， ∴1009(a ＋b )＝2018，∴a ＋b ＝2. ∴a 2 ＋b 2 ≥(a ＋b )2 2 ＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 6．若函数f (x )＝log a ? ????x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间? ?? ??12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调 递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D.? ?? ??12，＋∞ 答案 A 解析 令M ＝x 2 ＋32x ，当x ∈? ?? ??12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝? ????x ＋342－9 16， 因此M 的单调递增区间为? ?? ??－34，＋∞. 又x 2 ＋32x >0，所以x >0或x <－32 ， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 7．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝，b ＝. 答案 4 2 解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0 2或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝2 a a ，即a ＝a 2 ， 解得a ＝4，∴b ＝2. 8．设函数f (x )＝? ?? ?? 21－x ，x ≤1， 1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是． 答案 [0，＋∞) 解析 当x ≤1时，由2 1－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥1 2，所以x >1. 综上可知x ≥0. 9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a 解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0 10．已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0 答案 ? ?? ??0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ? ?? ??a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1， 化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2 ＋a ＝－? ????a －122＋14 ， 又0 ∴0 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间???? ??0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)， ∴a ＝2.由? ?? ?? 1＋x >0， 3－x >0，得－1 ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2 ＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在???? ??0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝12 log x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2 －1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝12 log (－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以x <0时，f (x )＝12 log (－x )， 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝??? 12log x ，x >0， 0，x ＝0， 12 log (－x )，x <0. (2)因为f (4)＝log 1 24＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2 －1)>－2可化为f (|x 2 －1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2 －1|<4，解得－5 －1＝0时，f (0)＝0>－2，所以x ＝1或x ＝－1. 所以－5 所以不等式的解集为{x |－5 13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 .则下列各数中与M N 最接近的是( ) (参考数据：lg3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 答案 D 解析 由题意，lg M N ＝lg 3361 10 80＝lg3361－lg1080 ＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg1033 ＝33，lg1053 ＝53，lg1073 ＝73，lg1093 ＝93， 故与M N 最接近的是1093 .故选D. 14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间??????12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.? ????13，1B.??????13，1C.? ????23，1D.???? ??23，1 答案 A