第九章 马尔科夫分析
1. 试述马尔柯夫分析的数学原理。
（1）概率矩阵的乘积仍是概率矩阵；（2）概率矩阵P ，当n →∞时，n P 中的每一个行向量都相等。
2. 试述一阶马尔柯夫确定可能的未来市场分享率的过程总结。
（1）了解用户需求、品牌/牌号转换商情；（2）建立转移概率矩阵；（3）计算未来可能市场分享率（市场份额）；（4）确定平衡条件。
3.设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额发生如下变化：
甲公司保持顾客的80%，丧失5%给乙，丧失15%给丙；
乙公司保持顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙； 丙公司保持顾客的60%，丧失20%给乙，丧失20%给乙；
假设顾客的购买倾向跟第一年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额。
转移概率矩阵为0.80.050.150.10.900.20.20.6??
????????
，
由()()
20.80.050.150.330.330.330.10.900.380.410.20.20.20.6??
??=??????得第三年底三家公
司各占的市场份额为0.38，0.41，0.2。
实践能力考核选例
在本年企业A,B,C三个牛奶厂分别占本地市场份额的40%，40%和20%。根据市场调研，A店保留其顾客的90%而增的B的5%，增的C的10%。B店保留其顾客的85%而增的A的5%，增的C的%7。C 店保留其顾客的83%而增的A的5%，增的B的10%。预测未来占有的市场份额。
解：
由题意得
A B C
0.9 0.05 0.05
（0.4,0.4,0.2）[0.05 0.85 0.1 ] = （0.4,0.374，0.226）
0.1 0.07 0.83
0.4*0.9+0.4*0.05+0.2*0.1=0.4
0.4*0.05+0.4*0.85+0.2*0.07=0.374
0.4*0.05+0.4*0.1+0.2*083=0.226
因此市场变动情况即下一年的市场所占份额A,B,C各为0.4，
0.374,0.226。
由题意得
设未来市场占有率A,B,C分别为Z1，Z2，Z3。
0.9Z1+0.05Z2+0.1Z3=Z1
0.05Z1+0.85Z2+0.07Z3=Z2
0.05Z1+0.1Z2+0.83Z3=Z3
Z1+Z2+Z3=1
解方程组得
Z1=0.43
Z2=0.28
Z3=0.29
所以利用一价马尔科夫求得A,B,C未来的市场分享率各为43%，28%，29%。
《运筹学》案例配矿戕J编制 一、问题的提出 某大型冶金矿山公司共有14个出矿点，年产量及各矿点矿石的平均品位（含铁量的百分比）均为已知（见表1）。 表1 矿点出矿石量及矿石平均品位表 按照冶金生产，具体说这里指炼铁生产的要求，在矿石采岀后，需按要求指立的品位值丁尺进行不同品位矿石的混合配料，然后进入烧结工序，最后，将小球状的烧结球团矿送入高炉进行髙温冶炼，生产出生铁。 该企业要求：将这14个矿点的矿石进行混合配矿。依据现有生产设备及生产工艺的要求，混合矿石的平均品位T Fe规定为45%0 问：如何配矿才能获得最佳的效益？ 二、分析与建立模型 负责此项目研究的运筹学工作者，很快判左此项目属于运筹学中最成熟的分支之一一线性规划的范畴。而且是一个小规模问题。 1?设计变量:记Xj （j=l, 2, *, 14）分别表示出矿点1~14所产矿石中参与配矿的数量（单位: 万吨）。 2.约束条件：包括三部分： （1）供给（资源）约朿：由表1,有X：￡70 ,決 W 7 ,…，X lt W 7.2 （2）品位约朿： 0. 3716X t+0. 5125E+…+0. 5020X^=0. 4500￡Xj （3）非负约朿： Xj>0 j二1, 2,…，14 3.目标函数： 此项目所要求的“效益最佳”。作为决策准则有一上的模糊性。由于配矿后混合矿石将作为后而工序的原料而产生利润，故在初始阶段，可将目标函数选作配矿总量，并追求其极大化。
于是，可得出基本（LP）模型如下: (LP) Max 厂Z二 s. t. OW X： W70 0￡ X= W 7 OW X lt W 7. 2 < 0. 3716V0. 5125X=+...+0. 5020^,=0. 4500￡Xj 三、计算结果及分析 （-）计算结果使用单纯形算法，极易求出此模型的最优解： X?二（X\, X；,…，X\,）T,它们是： X： =31.121 X；二 7 r3=i7 X； =23 X\= 3 X\ 二 9? 5 X；二 1 X；二 15.4 = 2. 7 X\o= 7. 6 X\F13. 5 2. 7 X；5=l. 2 X\i= 7. 2 （单位：万 吨） 目标函数的最优值为：Z= EX： =141.921 （万吨） （二）分析与讨论 按照运筹学教材中所讲述的方法及过程，此项目到此似乎应该结朿了。但是，这是企业管理中的一个真实的问题。因此，对这个优化计算结果需要得到多方而的检验。 这个结果是否能立即为公司所接受呢？回答是否左的！ 注意！任最优解X?中，除第1个矿点有富余外，其余13个矿点的出矿量全部参与了配矿。而矿点1在配矿后尚有富余量:70-31.121=38. 879 （万吨）,但矿点1的矿石平均品位仅为37.16%,属贫矿。 作为该公司的负责人或决策层绝难接受这个事实：花费大量的人力、物力、财力后，在矿点1 生产的贫矿中却有近39万吨被闲置，而且在大量积压的同时，会产生环境的破坏，也是难以容忍的。 原因何在？出路何在？ 经过分析后可知：在矿石品位及出矿量都不可变更的情况下，只能把注意力集中在混合矿的品位要求T“上。不难看出，降低的心值。可以使更多的低品位矿石参与配矿。 Tre有可能降低吗？在因的降低而使更多贫矿石入选的同时，会产生什么样的影响？必须加以考虑。 就线性规划模型建立、求解等方而来说，降低T"及其相关影响已不属于运筹学的范用，它已涉及该公司的技术与管理。但是，从事此项目研究的运筹学工作者却打破了这个界限，深入到现场操作人员、工程技术人员及管理人员中去，请教、学习、调查，然后按照T”的三个新值：44%. 43%、42%,重新计算（三）变动参数值及再计算 将参数Tre的三个变动值0.44、0.43、0.42分别代入基本模型（LP）,重新计算，相应的最优 解分别记作X* （0.44〉、X* （0.43）及X* （0. 42）。下表给出详细的数据比较: 表2 不同T H?值的配矿数据
信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==，求： 1）1Z 的分布律与数学期望
秋季流行服饰与衣料的准备(五人） 目从办公室的十层大楼里，凯瑟琳·拉里俯视着下面忙忙碌碌的人流，在充塞着黄色出租车的街道以及乱放着一些买热狗的摊位的人行道上，成群的纽约人来来往往,好不热闹。在这闷热的暑天里,她注视着各类女性的穿衣时尚，心里想的却是这些人在秋季将会选择怎样的款式。这并非是她的一时的灵感,而是她工作的重要的一部分因为她拥有并经营着一家妇女精品时装公司――时尚隧道（ＴreｎdLｉｎes）公司。 今天对她来说是很重要的，因为她将与生产部经理泰德·罗森碰面，一起商讨下一个月秋季生产线的生产计划,特别是在一定的生产能力的基础上确定要各种服装的生产量。制定下个月的周密的生产计划对于秋季的销售是至关重要的，因为这些产品在9 月份将会上市，而妇女们通常在服装一上市时就会购买大部分的秋天的服饰。 凯瑟琳回转身，走到宽大的玻璃台旁去看铺上面的大量的资料及设计图。她扫视着6个月以前就设计出来的服装图样，各种样式所需要的材料,以及在时装展上通过消费者调研取得的各种样式的需求预测。现在，她还记得当时是如何设汁图样并将样品在纽约，米兰和巴黎的服装展上展出,那些天可真是既兴奋而又痛苦。最后,她付给六个设计者的总酬金为$860,0０0。除此外，每次时装展的费用为$2，7０0，０00，包括雇用职业模特、发型师、化妆师,以及衣服的裁制与缝纫、展台背景的设计、模特的走步与排练、会场的租用。 她研究着衣服的样式和所需的材料。秋季的服装包括职业装和休闲装,而每种服装的价格是由衣服的质量、材料的成本、人工成本、机器成本,以及对该产品的需求与品牌的知名度等因素来确定的。
她知道已经为下个月采购了下面的这些材料：羊毛45，00０码、开司米28,000码、丝绸18,000码、人造纤维３0，000码、天鹅绒20，000码、棉布３0,０00码。各种材料的价格如下图所示: 多余的材料(不包括下脚料)可以运回给衣料供应商，并得到全额的偿还。 凯瑟琳知道生产丝绸上衣和棉汗衫会产生相当的多余边料。每件丝绸上衣和每件棉汗衫分别需要２码的丝绸和棉布，而其中分别有0.5码的边料。她不希望浪费这些衣料，因此打算利用矩形的丝绸和棉布的边料来生产丝绸女背心和棉的迷你裙。这样,每生产一件丝绸上衣就可以生产一件丝绸女背心。同样,每生产一件棉汗衫就可以生产一件迷你裙。要注意的是，生产背心和迷你裙并不一定需要首先生产相应数量的丝绸上衣和棉汗衫。 需求的预测表明其中一些产品的需求是有限的。天鹅绒的裤子和衬衫因为是一时的流行,预测分别只能销售５,500 和6,0０0件。公司不会生产超过预计需求的产品数量, 因为，一旦该式样不再流行，就很难再卖出去。并且,因为公司并不需要满足所有的需求，所以，公司可以生产少于需求数量的产品。开司米汗衫因为价格较高,预计也只能销出4，000。丝绸上衣和背心的需求也是有限的，因为很多女性认为丝绸较难护理。公司预计大约可销出12,００0的丝绸上衣和１５,000丝绸背心。 预测表明羊毛裤，剪裁考究的衬衫,羊毛夹克的需求是很大的,因为这些是职业行头的必需品。羊毛裤和羊毛夹克的需求分别为７,000和５,000。凯瑟琳认为必须满足该部分60%的需求,以保持客户的品牌忠诚度,为以后的业务考虑。尽管剪裁考究的衬衫的需求是无法预测的,凯瑟琳认为必须至少生产2 , 800件。 a .泰德打算说服凯瑟琳不生产天鹅绒衬衫,因为,这种流行服装的需求是很少的。而它的固定设计费用和其他成本高达$500，０00，销售该样式的净贡献（售价-材料成本-人工成本)必须能够抵消总成本，他认为,即便是满足了最大的需求，该产品也不能产生一点的利润。你认为泰德的观点如何？ 解：净贡献=6０00×（2０0-1．5×1２－160）＝１320００<50０0０0 由上式得,泰德的观点正确的，因为根据软件求解的结果，最优生产计划中X１0的最优解为0,因此最好不要生产天鹅绒衬衫。
市场占有率问题 摘要 本文通过对马尔科夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究，提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中，并给出了均匀状态下的市场占有率模型。单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 通过转移概率求得八月份的各型号商品的市场占有率为……稳定状态后，通过马尔科夫转移矩阵，计算出各商品的市场占有率为…… 关键词马尔科夫链转移概率矩阵
一、问题重述 1.1背景分析 现代市场信息复杂多变，一个企业在激烈的市场竞争环境下要生存和发展就必须对其产品进行市场预测，从而减少企业参与市场竞争的盲目性，提高科学性。然而，市场对某些产品的需求受多种因素的影响，普遍具有随机性。为此，利用随机过程理论的马尔科夫模型来分析产品在市场上的状态分布，进行市场预测，从而科学地组织生产，减少盲目性，以提高企业的市场竞争力和其产品的市场占有率。 1.2问题重述 已知六月份甲，乙，丙，三种型号的某商品在某地有相同的销售额。七月份甲保持原有顾客的60%，分别获得乙，丙的顾客的10%和30%；乙保持原有顾客的70%，分别获得甲，丙的顾客的10%和20%；丙保持原有顾客的50%，分别获得甲，乙顾客的30%和20%。求八月份各型号商品的市场占有率及稳定状态时的占有率。 二、问题分析 单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。题目给出七月份甲、乙、丙三种型号的某商品的顾客转移率，转移率的变化以当前的状态为基准而不需要知道顾客转移率的过去状态，即只要掌握企业产品目前在市场上的占有份额，就可以预测将来该企业产品的市场占有率。概括起来，若把需要掌握过去和现在资料进行预测的方法称为马尔科夫过程。 马尔科夫预测法的一般步骤： （1）、调查目前本企业场频市场占有率状况，得到市场占有率向量A ； （2）、调查消费者的变动情况，计算转移概率矩阵B ； （3）、利用向量A 和转移概率矩阵B 预测下一期本企业产品市场占有率。 由于市场上生产与本企业产品相同的同类企业有许多家，但我们最关心的是本企业产品的市场占有率。对于众多消费者而言，够不够买本企业的产品纯粹是偶然事件，但是若本企业生产的产品在质量、价格、营销策略相对较为稳定的情况下，众多消费者的偶然的购买变动就会演变成必然的目前该类产品相对稳定的市场变动情况。因为原来购买本企业产品的消费者在奖励可能仍然购买本企业的产品，也可能转移到购买别的企业的同类产品，而原来购买其他企业产品的消费者在将来可能会转移到购买本企业产品，两者互相抵消，就能形成相对稳定的转移概率。 若已知某产品目前市场占有率向量A ，又根据调查结果得到未来转移概率矩阵B ，则未来某产品各企业的市场占有率可以用A 乘以B 求得。即： 111212122212312*()*n n n n n nn a a a a a a A B p p p p a a a ????????????=????????????????????? 三、模型假设 1、购买3种类型产品的顾客总人数基本不变； 2、市场情况相对正常稳定，没有出现新的市场竞争； 3、没有其他促销活动吸引顾客。
秋季流行服饰与衣料的准备（五人） 目从办公室的十层大楼里，凯瑟琳·拉里俯视着下面忙忙碌碌的人流，在充塞着黄色出租车的街道以及乱放着一些买热狗的摊位的人行道上，成群的纽约人来来往往，好不热闹。在这闷热的暑天里，她注视着各类女性的穿衣时尚，心里想的却是这些人在秋季将会选择怎样的款式。这并非是她的一时的灵感，而是她工作的重要的一部分因为她拥有并经营着一家妇女精品时装公司――时尚隧道（TrendLines）公司。 今天对她来说是很重要的，因为她将与生产部经理泰德·罗森碰面，一起商讨下一个月秋季生产线的生产计划，特别是在一定的生产能力的基础上确定要各种服装的生产量。制定下个月的周密的生产计划对于秋季的销售是至关重要的，因为这些产品在9 月份将会上市，而妇女们通常在服装一上市时就会购买大部分的秋天的服饰。 凯瑟琳回转身，走到宽大的玻璃台旁去看铺上面的大量的资料及设计图。她扫视着6个月以前就设计出来的服装图样，各种样式所需要的材料，以及在时装展上通过消费者调研取得的各种样式的需求预测。现在，她还记得当时是如何设汁图样并将样品在纽约，米兰和巴黎的服装展上展出，那些天可真是既兴奋而又痛苦。最后，她付给六个设计者的总酬金为$860,000。除此外，每次时装展的费用为$2,700,000，包括雇用职业模特、发型师、化妆师，以及衣服的裁制与缝纫、展台背景的设计、模特的走步与排练、会场的租用。 她研究着衣服的样式和所需的材料。秋季的服装包括职业装和休闲装，而每种服装的价格是由衣服的质量、材料的成本、人工成本、机器成本，以及对该产品的需求与品牌的知名度等因素来确定的。
她知道已经为下个月采购了下面的这些材料：羊毛45,000码、开司米28,000码、丝绸18,000码、人造纤维30,000码、天鹅绒20,000码、棉布30,000码。各种材料的价格如下图所示： 多余的材料（不包括下脚料）可以运回给衣料供应商，并得到全额的偿还。 凯瑟琳知道生产丝绸上衣和棉汗衫会产生相当的多余边料。每件丝绸上衣和每件棉汗衫分别需要2 码的丝绸和棉布，而其中分别有0.5 码的边料。她不希望浪费这些衣料，因此打算利用矩形的丝绸和棉布的边料来生产丝绸女背心和棉的迷你裙。这样，每生产一件丝绸上衣就可以生产一件丝绸女背心。同样，每生产一件棉汗衫就可以生产一件迷你裙。要注意的是，生产背心和迷你裙并不一定需要首先生产相应数量的丝绸上衣和棉汗衫。 需求的预测表明其中一些产品的需有限的。天鹅绒的裤子和衬衫因为是一时的流行，预测分别只能销售5,500 和6,000件。公司不会生产超过预计需求的产品数量，因为，一旦该式样不再流行，就很难再卖出去。并且，因为公司并不需要满足所有的需求，所以，公司可以生产少于需求数量的产品。开司米汗衫因为价格较高，预计也只能销出4,000。丝绸上衣和背心的需求也是有限的，因为很多女性认为丝绸较难护理。公司预计大约可销出12,000的丝绸上衣和15,000丝绸背心。 预测表明羊毛裤，剪裁考究的衬衫，羊毛夹克的需很大的，因为这些是职业行头的必需品。羊毛裤和羊毛夹克的需求分别为7,000和5,000。凯瑟琳认为必须满足该部分60%的需求，以保持客户的品牌忠诚度，为以后的业务考虑。尽管剪裁考究的衬衫的需无法预测的，凯瑟琳认为必须至少生产2 , 800件。 a ．泰德打算说服凯瑟琳不生产天鹅绒衬衫，因为，这种流行服装的需很少的。而它的固定设计费用和其他成本高达$ 500,000，销售该样式的净贡献（售价－材料成本－人工成本）必须能够抵消总成本，他认为，即便是满足了最大的需求，该产品也不能产生一点的利润。你认为泰德的观点如何？ 解：净贡献=6000×（200－1.5×12－160）=132000<500000 由上式得，泰德的观点正确的，因为根据软件求解的结果，最优生产计划中X10 的最优解为0，因此最好不要生产天鹅绒衬衫。
第6章 马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
《运筹学》第七章决策分析习题及答案 摸索题 （1）简述决策的分类及决策的程序； （2）试述构成一个决策咨询题的几个因素； （3）简述确定型决策、风险型决策和不确定型决策之间的区不。不确定型决策 能否转化成风险型决策？ （4）什么是决策矩阵？收益矩阵，缺失矩阵，风险矩阵，后悔值矩阵在含义方 面有什么区不； （5）试述不确定型决策在决策中常用的四种准则，即等可能性准则、最大最小 准则、折衷准则及后悔值准则。指出它们之间的区不与联系； （6）试述效用的概念及其在决策中的意义和作用； （7）如何确定效用曲线；效用曲线分为几类，它们分不表达了决策者对待决策 风险的什么态度； （8）什么是转折概率？如何确定转折概率？ （9）什么是乐观系数，它反映了决策人的什么心理状态？ 判定下列讲法是否正确 （1）不管决策咨询题如何变化，一个人的效用曲线总是不变的； （2）具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钞票的缺失都不敏锐； （3） 考虑下面的利润矩阵(表中数字矩阵为利润)
S 3 1 15 14 10 －3 S 4 17 22 10 1２ 分不用以下四种决策准则求最优策略：（1）等可能性准则（2）最大最小 准则（3）折衷准则（取 =0．5）（4）后悔值准则。 某种子商店期望订购一批种子。据已往体会，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。要求：（1）建立损益矩阵；（2）分不用悲观法、乐观法（最大最大）及等可能法决定该商店应订购的种子数；（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。 按照已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某一个：100，150，200，250，300，但其概率分布不明白。如果一个面包当天卖不掉，则可在当天终止时每个0.5元处理掉。新奇面包每个售价1.2元，进价0.9元，假设进货量限制在需求量中的某一个，要求 （1）建立面包进货咨询题的损益矩阵； （2）分不用处理不确定型决策咨询题的各种方法确定进货量。 6．有一个食品店经销各种食品，其中有一种食品进货价为每个3元，出售价是每个4元，如果这种食品当天卖不掉，每个就要缺失0．8元，按照已往销售情形，这种食品每天销售1000，2000，3000个的概率分不为０．３，０．５和０．２，用期望值准则给出商店每天进货的最优策略。 7．一季节性商品必须在销售之前就把产品生产出来。当需求量是D 时，生产者生产x 件商品的利润（元）为： 利润 ?? ?>-≤≤=D x x D D x x x f 302)( 设D 有5个可能的值：1000件。2000件，3000件，4000件和5000件，同时它们的概率差不多上0.2 。生产者也期望商品的生产量是上述5个值中的某一个。咨询： 若生产者追求最大的期望利润，他应选择多大的生产量？ 若生产者选择遭受缺失的概率最小，他应生产多少产品？
秋季流行服饰与衣料得准备（五人） 目从办公室得十层大楼里,凯瑟琳·拉里俯视着下面忙忙碌碌得人流,在充塞着黄色出租车得街道以及乱放着一些买热狗得摊位得人行道上,成群得纽约人来来往往,好不热闹．在这闷热得暑天里，她注视着各类女性得穿衣时尚,心里想得却就是这些人在秋季将会选择怎样得款式.这并非就是她得一时得灵感，而就是她工作得重要得一部分因为她拥有并经营着一家妇女精品时装公司――时尚隧道(ＴrｅｎdＬｉｎeｓ）公司。 今天对她来说就是很重要得，因为她将与生产部经理泰德·罗森碰面,一起商讨下一个月秋季生产线得生产计划,特别就是在一定得生产能力得基础上确定要各种服装得生产量。制定下个月得周密得生产计划对于秋季得销售就是至关重要得，因为这些产品在9月份将会上市，而妇女们通常在服装一上市时就会购买大部分得秋天得服饰。 凯瑟琳回转身,走到宽大得玻璃台旁去瞧铺上面得大量得资料及设计图。她扫视着6个月以前就设计出来得服装图样,各种样式所需要得材料,以及在时装展上通过消费者调研取得得各种样式得需求预测。现在，她还记得当时就是如何设汁图样并将样品在纽约，米兰与巴黎得服装展上展出,那些天可真就是既兴奋而又痛苦。最后,她付给六个设计者得总酬金为＄8６０,０00.除此外，每次时装展得费用为＄2，7０0，000，包括雇用职业模特、发型师、化妆师，以及衣服得裁制与缝纫、展台背景得设计、模特得走步与排练、会场得租用。 她研究着衣服得样式与所需得材料。秋季得服装包括职业装与休闲装,而每种服装得价格就是由衣服得质量、材料得成本、人工成本、机器成本，以及对该产品得需求与品牌得知名度等因素来确定得。
她知道已经为下个月采购了下面得这些材料:羊毛45，00０码、开司米２8，０00码、丝绸18,000码、人造纤维30，000码、天鹅绒２0，０00码、棉布30,00０码。各种材料得价格如下图所示： 多余得材料(不包括下脚料)可以运回给衣料供应商,并得到全额得偿还。 凯瑟琳知道生产丝绸上衣与棉汗衫会产生相当得多余边料。每件丝绸上衣与每件棉汗衫分别需要2 码得丝绸与棉布,而其中分别有0、5 码得边料。她不希望浪费这些衣料,因此打算利用矩形得丝绸与棉布得边料来生产丝绸女背心与棉得迷您裙。这样,每生产一件丝绸上衣就可以生产一件丝绸女背心。同样,每生产一件棉汗衫就可以生产一件迷您裙。要注意得就是,生产背心与迷您裙并不一定需要首先生产相应数量得丝绸上衣与棉汗衫。 需求得预测表明其中一些产品得需求就是有限得.天鹅绒得裤子与衬衫因为就是一时得流行，预测分别只能销售5,500 与6，0０0件.公司不会生产超过预计需求得产品数量，因为,一旦该式样不再流行，就很难再卖出去。并且,因为公司并不需要满足所有得需求，所以,公司可以生产少于需求数量得产品.开司米汗衫因为价格较高,预计也只能销出4,0００。丝绸上衣与背心得需求也就是有限得，因为很多女性认为丝绸较难护理。公司预计大约可销出12,００0得丝绸上衣与15，000丝绸背心。 预测表明羊毛裤,剪裁考究得衬衫,羊毛夹克得需求就是很大得，因为这些就是职业行头得必需品。羊毛裤与羊毛夹克得需求分别为7，０00与5,０00。凯瑟琳认为必须满足该部分６0%得需求,以保持客户得品牌忠诚度,为以后得业务考虑。尽管剪裁考究得衬衫得需求就是无法预测得，凯瑟琳认为必须至少生产2, 800件。 ａ.泰德打算说服凯瑟琳不生产天鹅绒衬衫，因为,这种流行服装得需求就是很少得。而它得固定设计费用与其她成本高达＄50０,0０0,销售该样式得净贡献(售价－材料成本-人工成本)必须能够抵消总成本，她认为,即便就是满足了最大得需求,该产品也不能产生一点得利润。您认为泰德得观点如何? 解:净贡献=6000×(２０0－１、５×1２－１60)＝1３２000〈50００00 由上式得,泰德得观点正确得,因为根据软件求解得结果，最优生产计划中X10得最优解为0,因此最好不要生产天鹅绒衬衫. b。在给定得生产、资源与需求约束得条件下,为该问题建立线性规划模型并求解.在作最后得决定之前，凯瑟琳打算先独立得瞧一下下面几个问题。
第六章 决策分析 6.1 某公司需要对某种新产品的批量作出决策。市场对该种产品的需求有三种可能，即需求量大、需求一般和需求量小。现有三种决策方案，即大批量生产、中批量生产和小批量生产。经估算，各行动方案在各种需求的情况下的收益值情况如下表，问哪种行动方案为最好？ 6.2 用不确定性决策的几个准则对6.1进行分析决策。（乐观系数为α=0.6） （一）悲观法 在各行中找出损益值最小的值，列于表6—5中第五列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。 i r max *=3}{min =ij j r 故应选择方案A 3。 （二）乐观法 在各行中找出损益值最大的值，列于上表中第六列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。 i r max *=36}{max =ij j r 故应选择方案A 1。 （三）乐观系数法 选乐观系数为α=0.6，则有： )8(4.0366.0}{min )1(}{max 111-?+?=-+=j j j j r r d αα= 18.4
d 2=0.6×20+0.4×0= 12 d 3=0.6×14+0.4×3= 9.6 故选方案A 1。 （四）后悔值法 首先按公式ij ij j ij r r h -=}{max （i=1，…，m ；j=1，…，n ）计算后悔值，结果如下表： 根据表中数据有：}}{max {min * ij j i h h ==11，因此，按此方法应选方案A 1。 （五）等可能准则 因为自然状态只有三个，按各自然状态出现的概率均为1/3来计算各方案的期望损益值，有 14)81436(3 1 31)(3111=-+==∑=j j r A ER 12)01620(31 )(1=++=A ER 9)31014(3 1 )(1=++=A ER 故应选方案A 1。 6.3 某企业需要在是否引进新产品之间进行决策，即开始时有引进新产品和不引进新产品两种方案。若引进新产品，又面临其它企业的竞争。估计有其他企业参与竞争的概率为0.8，没有企业参与竞争的概率为0.2。在无竞争的情况下，企业有给产品确定高价、中价和低价三种方案，其相应的收益分别为500、300和100万元。在有竞争情况下，企业也有给产品确定高价、中价和低价三种方案，但此时各方案的收益大小要受到竞争企业的产品定价的影响，有关数据如表。 试用决策树法进行决策。
武城万事达酒水批发案例分析 导言：每个企业都是为了赚取利润，想要赚取更多的利润就要想办法节约自己的成本，那怎么节约自己的成本呢？运筹学是一门用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排的学科。运输是配送的必需条件，但是怎么才能让武城万事达酒水批发厂在运输问题是节约运输成本呢？我们就运用运筹学的方法来进行分析。我们对他原来的运输路线进行调查，计算原来需要的运输成本，对它的运输方式我们进行研究然后确定新的运输路线为他节约运输成本。 一、案例描述 武城万事达酒水批发有四个仓库存储啤酒分别为1、2、3、4,有五个销地A、B、C、D、E，各仓库的库存与各销售点的销售量（单位均为t)，以及各仓库到各销售地的单位运价（元/t）。半年中，1、2、3、4仓库中分别有300、400、500、300吨的存量，半年A、B、C、D、E五个销售地的销量分别为170、370、500、340、120吨。且从1仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别为300、350、280、380、310元，从2仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别310、270、390、320、340元，从3仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别290、320、330、360、300元，从4仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别310、340、320、350、320元。具体情况于下表所示。求产品如何调运才能使总运费最小？
仓库 A B C D E 存量 销地 1 300 2 400 3 500 4 300 150销量170 370 500 340 120 武城万事达酒水批发原来的运输方案： E销售地的产品从1仓库供给，D销售地的产品全由2仓库供给，C销售地全由3仓库供给，A、B销售地产品全由4仓库供给。 即：产生的运输费用为Z1 Z1=310*120+320*340+330*500+340*370+310*170=489500 二、模型构建 1、决策变量的设置 设所有方案中所需销售量为决策变量X ij（i=1、2、3、4，j=A、B、C、D、E），即： 方案1：是由仓库1到销售地A的运输量X1A 方案2：是由仓库1到销售地B的运输量X1B 方案3：是由仓库1到销售地C的运输量X1C
马尔可夫过程的研究及其应用 概率论的思想通常都很微秒，即使在今天看来仍没有被很好地理解。尽管构成概率论的思想有点含糊，但是概率论的结果被应用在整个社会当中，当工程师估计核反应堆的安全时，他们用概率论确定某个部件及备用系统出故障的似然性。当工程师设计电话网络时，他们用概率论决定网络的容量是否足够处理预期的流量。当卫生部门的官员决定推荐或不推荐公众使用一种疫苗时，他们的决定部分的依据概率分析，即疫苗对个人的危害及保证公众健康的益处。概率论在工程实际、安全分析，乃至整个文化的决定中，都起着必不可少的作用。关于概率的信息虽然不能让我们肯定的预测接下来发生个什么，但是它允许我们预测某一事件或时间链的长期频率，而这个能力十分有用。概率论的思想不断渗透到我们的文化当中，人们逐渐熟悉运用概率论的语言思考大自然。 世界并不是完全确定的，不是每个“事件”都是已知“原因”的必然结果。当科学家们对自然了解的更多，他们才能认知现象—例如，气体或液体中分子的运动，或液体的波动。由此引入了人们对布朗运动的定性与定量描述。在人们思考布朗运动的同时，俄国数学家马尔可夫开始研究现在所谓的随机过程。在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922），1856年6月14日生于梁赞；1922年7月20日卒于圣彼得堡。马尔可夫上中学时，大部分课程学得不好，惟独数学成绩常常都得满分，并开始自学微积分，有一次他独立地发现了一种常系数线性常微分方程的解法，就写信给著名数学家布尼亚科夫斯基，信被转到彼得堡数学系科尔金和佐洛塔廖夫手里，从此马尔可夫与彼得堡大学的数学家建立了联系。1874年考入彼得堡大学数学系学习，在学习期间他深受切比雪夫、科尔金、佐洛塔廖夫等数学家的启发和影响，1878年大学毕业，并以《用连分数求微分方程的积分》一文获金质奖章。1880年以题目为《论行列式为正的二元二次齐次》的论文取得硕士学位并在彼得堡大学任教。1884年获物理数学博士学位，1886年成为教授，1890年当选为彼得堡科学院候补院士，1896年当选为院士，1905年退休时彼得堡大学授予他功勋教授称号。马尔可夫研究的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树。在概率论方面，他深入研究并发展了其老师切比雪夫的矩方法，使中心极限定理的证明成为可能。他推广了大数定律和中心极限定理的应用范围。他提出并研究了一种能够用数学分析方法研究自然过程的一般图式，这种图式后人即以他的姓氏命名为马尔可夫链。他还开创了一种无后效性随机过程的研究，即在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其过去状态无关，这就是现在大家耳熟能详的马尔可夫过程。马尔可夫的工作极大的丰富了概率论的内容，促使它成为自然科学和技术直接有关的最重要的数学领域之一。 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942 年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的
《运筹学》第七章决策分析习题 1． 思考题 (１）简述决策的分类及决策的程序; （２)试述构成一个决策问题的几个因素; （3）简述确定型决策、风险型决策和不确定型决策之间的区别。不确定型决策 能否转化成风险型决策? (4)什么是决策矩阵?收益矩阵,损失矩阵，风险矩阵,后悔值矩阵在含义方 面有什么区别; (5)试述不确定型决策在决策中常用的四种准则,即等可能性准则、最大最小 准则、折衷准则及后悔值准则。指出它们之间的区别与联系； (6）试述效用的概念及其在决策中的意义和作用; （７)如何确定效用曲线；效用曲线分为几类，它们分别表达了决策者对待决策 风险的什么态度； (8)什么是转折概率?如何确定转折概率? （９）什么是乐观系数,它反映了决策人的什么心理状态? 2． 判断下列说法是否正确 （1)不管决策问题如何变化,一个人的效用曲线总是不变的; （2）具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钱的损失都不敏感； (3） 3． 考虑下面的利润矩阵（表中数字矩阵为利润） 准则(3)折衷准则(取λ=0．5）（４)后悔值准则。 4． 某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500,1000,1500或2000 公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元,剩余种子的处理价为每公斤3元。要求：（1)建立损益矩阵;（2）分别用悲观法、乐观法（最大最大)及等可能法决定该商店应订购的种子数;（3)建立后悔矩阵,并用后悔值法决定商店应订购的种子数。 5． 根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数(当天市场需求量)可能是下列当中的某 一个：100，150，200，25０，３00,但其概率分布不知道。如果一个面包当天卖不掉，则可在当天结束时每个０.5元处理掉。新鲜面包每个售价1.2元,进价0.９元，假设进货量限制在需求量中的某一个，要求 （1）建立面包进货问题的损益矩阵； (２）分别用处理不确定型决策问题的各种方法确定进货量。 6．有一个食品店经销各种食品,其中有一种食品进货价为每个３元,出售价是每个4元，如果这种食品当天卖不掉,每个就要损失0．８元，根据已往销售情况,这种食品每天销售1000,2000,3０0０个的概率分别为０．３，０．5和0.2,用期望值准则给出商店每天进货的最优策略。 ７.一季节性商品必须在销售之前就把产品生产出来。当需求量是Ｄ时，生产者生产x 件商品的利润(元）为： 利润 ???>-≤≤=D x x D D x x x f 302)( 设D 有5个可能的值：1000件。2００0件,3００0件,4000件和5０00件，并且它们的概率
案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的为首，组织了一个小组，代号为“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团” 是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。
第九章 马尔科夫分析 1. 试述马尔柯夫分析的数学原理。 （1）概率矩阵的乘积仍是概率矩阵；（2）概率矩阵P ，当n →∞时，n P 中的每一个行向量都相等。 2. 试述一阶马尔柯夫确定可能的未来市场分享率的过程总结。 （1）了解用户需求、品牌/牌号转换商情；（2）建立转移概率矩阵；（3）计算未来可能市场分享率（市场份额）；（4）确定平衡条件。 3.设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额发生如下变化： 甲公司保持顾客的80%，丧失5%给乙，丧失15%给丙； 乙公司保持顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙； 丙公司保持顾客的60%，丧失20%给乙，丧失20%给乙； 假设顾客的购买倾向跟第一年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额。 转移概率矩阵为0.80.050.150.10.900.20.20.6?? ???????? ， 由()() 20.80.050.150.330.330.330.10.900.380.410.20.20.20.6?? ??=??????得第三年底三家公 司各占的市场份额为0.38，0.41，0.2。
实践能力考核选例 在本年企业A,B,C三个牛奶厂分别占本地市场份额的40%，40%和20%。根据市场调研，A店保留其顾客的90%而增的B的5%，增的C的10%。B店保留其顾客的85%而增的A的5%，增的C的%7。C 店保留其顾客的83%而增的A的5%，增的B的10%。预测未来占有的市场份额。 解： 由题意得 A B C 0.9 0.05 0.05 （0.4,0.4,0.2）[0.05 0.85 0.1 ] = （0.4,0.374，0.226） 0.1 0.07 0.83 0.4*0.9+0.4*0.05+0.2*0.1=0.4 0.4*0.05+0.4*0.85+0.2*0.07=0.374 0.4*0.05+0.4*0.1+0.2*083=0.226 因此市场变动情况即下一年的市场所占份额A,B,C各为0.4， 0.374,0.226。 由题意得 设未来市场占有率A,B,C分别为Z1，Z2，Z3。 0.9Z1+0.05Z2+0.1Z3=Z1 0.05Z1+0.85Z2+0.07Z3=Z2