平面几何入门教学
序
为了大面积提高初中数学教学质量，为国家培养各级各类的合格人才，1982年，常州市教研室的杨裕前同志，与教师中有志于改革的积极分子，针对当时几何教学造成大批学生数学成绩严重下降的情况，首先成立了“平面几何教学研究小组”，并以它为核心，团结起全市数学教师，开展了全市性的改革几何教学的研究试验活动。
他们从分析学生学习几何的困难入手，发现学生的困难虽然是在学习“三角形”一章的证明时才开始表现出来的，但它是从学习几何开始起就逐渐积累下来的。因为在证题时，尽管是刚开始做证明题，至少要具备以下知识和技能：1．对题目中各个概念有清晰而正确的理解，能想象出概念所反映的图形，以及它具有的性质（特别是本质属性)；
2．能够看懂图形，能把复杂图形分解成各种简单图形，能找出图形中的各个元素，以及各个元素之间的关系；
3．能够口头叙述、尤其是书面表述概念、性质和定理；
4．掌握推理的基本规律和书面表述的规范格式。
在开始做“三角形”一章的证明题时，虽然用到的知识是少量的，技能的要求也只是初步的、浅显的，但毕竟都是必需的，而且表现为一种综合运用的能力，缺少哪一方面或在哪一方面稍有缺陷，都将影响证明的完成。他们发现，学生对所需的知识和技能掌握得并不好，包括几何开始时的一些基本概念。于是他们又进一步从学习的内容和方法的转变，即从数到形、从运算到论证的转变，以及心理的准备等方面，分析了学生的情况。
基于对学习内容和学生状况的分析，他们提出了研究几何入门教学的任务，研究从几何的第一课开始怎样引起学生喜爱学几何的欲望，怎样使学生逐步掌握知识，特别是怎样训练这些技能。比如，怎样引起学生学习几何的兴趣，怎样培养学生学好几何的信心，怎样进行几何概念的教学，怎样训练学生看图、画图以及几何语言的表述的技能，怎样使学生掌握推理论证的规律，以及怎样进行证明、作图的书写格式规范的训练，等等。
由于他们是紧密结合教学实际来进行研究的，更由于这种研究是有广大教师直接参加的，因而不仅能够集中群众的智慧，使问题抓得准，分析得透，更为重要的是调动了广大教师为提高教学质量、进行教学改革实践的主动性和积极性，把研究的结果用之于教学实践并进行检验、改进，从而在当年就取得了大面积提高平面几何教学质量的可喜结果。1983年春，中国教育学会数学教学研究会在烟台召开了“大面积提高初中数学教学质量座谈会”。在这个座谈会上，杨裕前同志介绍了他们的经验，受到了与会代表的重视。代表们不仅认识到大面积提高初中数学教学质量的重大意义，而且树立了一种信心：学生数学成绩不好不是必然的，通过改进教学，绝大多数学生是可以学好的。
常州的同志并没有满足于已取得的经验和成绩。他们结合教改实践学习教育学、心理学，把已有的经验提高到理论上来认识，并在理论的指导下进一步改进平面几何入门教学的实践。这样，常州全市近几年来的几何教学成绩持续达到大面积的高质量，并且写出了这本理论与实践相结合的《平面几何入门教学》。
本书的出版，对大面积提高我国数学教学质量无疑会起到促进作用。由于本书讲的是教学实际，内容生动具体，对从事初中几何教学的教师来说，可以直接
作为进行教学的参考；对其他从事数学教学和研究的人员来说，本书提供了可资借鉴和研究的真实材料。所以本书对数学教育的实践和理论的研究都是有价值的。
几何难学、难教，难在什么地方？归相结底，主要不是在几何事实的认识和应用，而是在于它的严密的科学体系。长期以来，人民之重视几何，说是为了学习几何的实际知识，毋宁说是为了学习它的这个科学体系，也就是说，学习几何主要在于使学生的思维受到严格的逻辑推理的训练，并从中掌握科学的思想方法和科学的体系。因为这种方法和体系，以及推理论证的能力，对于从事脑力劳动，尤其是从事科学研究的人来说是必不可少的。这种教育观点，至少在实科教育兴起之前是这样。其实，在实科教育兴起之后，这种观点仍然强烈地影响着数学教育。
几何的科学体系，通常是指欧几里得几何的公理体系。它是人们经过了漫长的岁月，积累了丰富的关于几何事实的知识及其相互间的关系的认识之后，到了两千多年之前，才由欧几里得完成的。欧氏几何是人类完成科学体系的第一门学科，是人类认识史上的一次伟大飞跃。我以为，人的认识能力的发展过程与人类认识能力的发展过程存在着一致性。所以，第一，学生学习和掌握这个尽管还不是严密的欧氏几何体系，确实不是一件轻而易举的事；第二，它又毕竟是人类完成的第一个科学体系，比起晚近出现的其他更为抽象的体系——比如抽象代数的公理体系来，又是轻易于为学生所理解和掌握的一个体系，因为它可以借助于图形的直观。因此，欧氏几何有对学生早期进行系统的推理论证训练、学习科学思想方法和体系的优点，不过，在初中学习几何仍有“化难为易”的必要。20世纪初期，就有人主张在“理论几何”之前增加一门“实验几何”，即先学习一些几何事实的知识，再学习公理体系的论证几何。我国自1933年公布《初级中学算学课程标准》起到解放前，采用的就是这种主张。不过当时更多学校采用“三S”几何课本进行教学，是一本把实验几何与论证几何结合起来的课本，受到了当时教者的欢迎。1978年的中学数学教学大纲，对初中几何除了精简只起训练思维作用的繁琐内容、强调知识的实用性外，在安排上采用扩大的公理体系，也就是把实验几何与论证几何结合起来的体系。现在，常州市以及其他一些地区和学校的经验证明，采用扩大公理体系的方法是可行的；同时，他们的经验更说明，在入门阶段的几何教学，确实需要有一个小步训练、逐级渐进的过程。所以，《平面几何入门教学》一书，不仅对研究教学方法有积极的意义，而且对改进教材的编写也提供了经验。
现在，教育改革已进入了一个新的阶段，初中教育已属于义务教育。无论是几何教材的内容，还是教学方法，都要从教育改革的新阶段和义务教育的要求来加以重新考虑；另外，有不少学校在初中一年级进行几何教学的试验也取得了有益的经验。所以，我们也要从这个要求和经验来看待《平面几何入门教学》。实践、认识，再实践、再认识，这是认识的规律。因此，我们广大数学教师要在不断的实践中，不断地创造新经验，为大面积提高数学教学质员，为建立数学教育学作出贡献。
张孝达
1988年10月
一“入门教学”的特点
平面几何教学普遍存在“入门难”的问题。为解决这个问题，首先有必要研究平面几何的入门教学，即起始阶段的教学具有的一些特点。
1．每一门新的教学科目，它研究的对象往往与以前的有所不同。《几何》主要研究图形及其性质。在初中《几何》教学以前的小学数学和初一代数，主要是研究数量关系。也就是说，平面几何这门学科使中学数学进入了一个新的领域，“新”在研究对象发生了根本的变化，这是平面几何教学带根本性的一个特点。
2．研究对象的变化，必然使研究方法也随之发生变化，平面几何不再用学生较为熟悉的运算的方法，而是用学生还很陌生的说理、推理、论证的研究方法。这种新的方法，学生在以往的学习中没有得到系统的训练。因此，研究方法是新的，也是平面几何教学中一个重要的特点。
3．从教学内容看，平面几何入门教学又有“基础知识多而集中，难度虽不大，但对整个几何教学具有本源性”这样的特点。在平面几何的起始阶段教学中，作为这门学科的最基础的知识，如基本概念、名词术语、符号等都将集中出现。这些知识从表面上看似乎不难，实际上并非如此，它们是这门学科知识的本源，以它们为基础才能逐步形成整个平面几何的知识结构。
在实际教学中，这个特点往往不被教与学的两方面充分认识。从“学”的方面看，学生常常对集中出现又无明显联系的一大堆知识感到枯燥乏味，加之知识难度不大，因而往往表现在学习中掉以轻心；再从“教”的方面看：教师也常常感到起始阶段教学内容零碎难教，远不如进入推理阶段的教学那样得心应手，因而也可能产生尽量压缩教时，尽早进入平面几何教学的"华彩乐章”的想法。教与学两方面可能存在的这种“轻视”心理，对搞好平面几何的教学是十分不利的。
4．从技能和能力的要求看，平面几何教学需要学生逐步具备识图、画图、作图，正确地理解和表述几何语言、运用三段论证的方法进行演绎推理的技能和能力，以及逐步了解并掌握图形变换的思想、分析的方法、反证法的思想方法等等。这些技能、能力和思想方法，学生在学习平面几何以前没有得到过系统的训练和培养。因此，平面几何教学在技能、能力和思想方法的要求上，具有“突变性”的特点。
把第3，4两个特点结合起来考虑，我们清楚地看到：应该利用平面几何入门教学阶段知识难度不大的时机，有计划有重点地逐步训练学生掌握学好几何所必须具备的技能、能力和思想方法，而不应急于进入推理论证教学。同时，不宜把这些训练安排在平面几何教学进入核心阶段——推理论证后去进行。因为推理论证阶段已是诸种技能和能力的综合运用阶段。到那时再开始进行上述训练，就为时太晚了。
5．在入门教学阶段，由于研究对象、方法的变化，以及技能、能力和思想方法上的突变性，学生在起始阶段的学习中，一般需要有一个调整学习方法、改变学习习惯的过程。比如，由于种种原因，不少学生在代数学习中仍常用背诵的方法学习基础知识，解题时又习惯于套用程式，这种不好的学习方法和习惯在几何学习中尤需改变，因为学习几何更加要求重理解、会思考。又如，他们在由运算转变为论证时，对解题的书写格式也会不习惯等等。因此入门教学中必须考虑学生这样一个调整的过程。
6．学生的学习动机、兴趣、意志、情感、注意，乃至态度、理想等非智力因素，在入门教学中具有重大的作用。学生刚开始学习一门新学科时，往往有新奇感，并表现出一定的兴趣。但是，如果起始阶段教学趣味性不强，或由于各种
原因使学生在学习中遇到了较大的困难，学生又不能以坚强的意志和毅力克服这些困难，那么他们便可能丧失学习的兴趣和信心。
因此，入门阶段的教学关系到能否帮助学生形成“乐学——学懂——更乐学”的良性循环，还是相反地出现学习上的恶性循环。1983年5月，人民教育出版社的有关同志在常州一所学生基础差的学校召开了一次座谈会，问参加座谈会的九名留级生：“为什么你们去年没有学好几何，今年都学得很好(当时，初二下学期期中考试成绩，一人80分以上，余均在90分以上)”?这几位学生说：“现在学几何有趣，学得懂，上课就认真听讲，所以就学好了。”这正是非智力因素发挥了积极作用，从而使智力因素得到较好发展的—个例证。可以这样说：能否在入门阶段调动学生的非智力因素，促进教学的良性循环的形成，对每一门新学科的整体教学具有决定性的影响。
7．新学科的教学与以前学科教学之间必然存在着迁移，这也是入门教学中必须认真研究的一个特点。在初中平面几何教学前，学生在小学“简单的形体知识”教学中，已经了解了诸如直线、射线、线段、垂线、平行线、两点间距离、等腰三角形、等边三角形等名称，学会了某些特殊四边形、圆和简单几何体的有关计算等。这些对初中平面几何教学都有着可利用的正迁移作用。但是，由于小学生的年龄特征和知识面的限制，小学数学没有也不可能用说理的方法去导出这些形体知识，而是大量地借助直观。这种以“直现”代替“论证”的获取知识的过程，常常会使学生对平面几何教学中论证的必要性认识不足，甚至产生排斥的心理，这就将给初中平面几何的教学带来很多困难。
比如，一位小学生在作业本上计算图1的面积时，列出式子（3+6)×4÷2，显然，他把图1看作为直角梯形(注：原题意中没有说明这一点)。
下面是家长与该生的一段对话：
问：“你怎么知道长度为4的那条线段是梯形的高呢?”
答：“如果它不是梯形的高，我怎么能做这道题呢?”
学生的回答令人啼笑皆非，但似乎又是合乎情理的。因为他们只能借助图形直观，看看图形象什么，就认为它是什么。这使我们想到：初中学生在几何论证中不也常常杜撰条件(比如，角的内部有一条过角的射线，就把它当成角的平分线)导致错误吗?
我们再来看这位学生在初二年级学习了“直线的基本性质”以后，家长与他的另一段对话：
问：“今天《几何》课上，你们学习了“两条直线相交，只有一个交点吗?”
答：“学习了。”
问：“这个‘直线的基本性质’是怎样说理的?”(注：课本在这个性质的说理中用了反证法的思想方法，家长问话的本意是想了解学生能否粗浅地了解这种方法。)
答：“我觉得老师用一大段话去说明这个性质，是多余的。”
问：“怎么会是多余的呢？”
答：“老师讲这个性质之前，讲‘经过两点有一条直线并且只有一条直线’时，先在黑板上过两点画出一条直线，再过这两点画直线，画不出第二条直线，所以把那个结论作为‘公理’。那么，两条直线相交，无论怎样画也总只有一个交点，为什么却要说理呢?”
是啊！初学几何的学生尚不清楚，平面几何要有若干条公理，然后在公理和定义的基础上，用说理的方法去论证一系列的几何命题和定理。由此可见，用直
观代替乃至取消论证这种获取知识的方法和习惯，对初中几何教学造成了很大的障碍。不注意到这一点，便会使平面几何起始阶段的教学中，教师与学生总也想不到一块儿去！教师想的是如何讲才能使学生听懂道理，学生想的却是不需要讲道理。不解决这一问题，怎么能取得好的教学效果呢？
针对入门教学的以上特点，平面几何起始阶段的教学应注意以下几点。
第一，要明确本学科教学的根本目的。
近几十年来，平面几何这门学科一直是教学内容改革的对象。国内外对这门古老的学科在中学数学中的地位和作用，有着很多的争论。但是，至今它仍在中学数学中占有一席之地。这些现象说明了什么呢?毫无疑问，随着当代科学技术的发展，在两千多年前开始形成的几何这门学科，它的某些内容确实已经失去了实用的价值，有的也过于繁难，因此平面几何教学内容要改革是合理的。那么经历了多次改革和冲击，平面几何作为中学数学的一门学科仍被保留下来，这又说明它必然有着独特的作用，即它对培养初中学生的逻辑思维能力有效，目前尚未有更好的办法去替代它的这种作用。因此，平面几何的教学必须在教给学生有用的知识的同时，把培养学生分析、综合、演绎、归纳等逻辑思维能力作为其根本的目的。
为此，平面几何教学要注重知识的应用价值，要着眼于使学生会思考、会学习，而不应以证题术为中心。逻辑思维能力的培养也不一定需要搞大量的难题，用大量的一般难度题(课本中的习题)和少量的难题同样可以达到这个目的。关键在于如何在解题过程中教会学生思考问题的方法。
第二，教学要求必须恰当。
教学要求恰当，是平面几何教学中始终应当注意的，在入门阶段的教学中显得尤为重要。我们认为，每门学科的教学要求应考虑以下几个不同的层次：大纲规定的要求；
本学科教学的要求；
章节或单元的教学要求，或某个知识系统、某种数学思想方法在整个学科教学中的要求；
每堂课教学的具体要求。
它们的关系是前者决定后者，局部服从于整体并为整体服务；它们既有区别，不能等同，又是相互紧密相连的。
既搞清了不同层次的教学要求，又承认学生之间实际存在的差异，才能做到面向多数，克服教学要求任意拔高，教学内容任意膨胀的做法，把握好教学分寸。
第三，在起始阶段的教学中，要注重经常的、细致的调查研究。
应当承认，许多有经验的教师对学生学习中的困难和问题存比较正确的估计和了解。但是，教学不可能是一成不变的，它要受时空、对象变化的影响。同时，应考虑到初中学生身心发展的特点，他们的性格表现出越来越强的独立性，部分学生性格趋于内向，不轻易地表露个人的想法（包括几何学习中的困难)。因此，在平面几何入门教学中，教师应通过课堂教学、批改作业、个别谈话、书面调查等多种形式，深入了解并力求真正摸清学生学习中的具体困难和问题，从而确立好教学的基点，使入门教学更具针对性。
第四，要十分注意培养学生的学习兴趣，激发他们的学习积极性(本书第三部分将详细论述)。
第五，要用辩证法的思想观点处理好入门阶段教学内容多而集中的矛盾。突出重点，有轻有重，有主有从，不要求全。
“在有利于继续学习的前提下，信息量愈少，需要记住的事实愈少就愈经济”，这是提高教学效率的重要原则。根据这个原则，入门教学中大量的知识不应该也不可能都作为重点，只有切实抓好对平面几何教学有重大影响的那些知识的教学，才能使整个教学较为顺利，取得好的效果。
第六，要在学生调整、改变学习方法和习惯的同时，改进教学方法，以帮助学生尽快适应几何教学的要求。
要根据几何学科的特点，按照学生的认识规律进行教学。比如，几何概念的形成往往要经过直观形象、形象(图形)抽象、本质抽象这样几个阶段。这与代数概念的教学是不尽相同的。因此，不能简单地搬用代数概念教学方法教几何概念。
在入门教学阶段要注重使用“渗透的教学方法”。所谓“渗透”就是采用教者有意、学者无心的办法，经过多次反复，日积月累，逐步使学生形成某种技能，粗浅地了解某种数学思想方法，以求得“水到渠成”的效果。
此外，还可选择适当的教学内容，采用教师引导、学生探索并获取知识的方法进行教学。这种教法不是由教师在课堂上抛出一个又一个结论，使学生应接不暇，来不及思考，而是把教学作为一个过程，使学生在主动获取知识的过程中，既学会了数学的思想方法，训练了技能，发展了能力，又养成了思维的习惯，因为“数学知识，不仅是那个高度抽象的结论，得出那个结论的过程同样是十分重要的”，“在这个过程中，往往具体体现了数学的基本方法和重要思路”。
第七，要在注重基础知识的同时，十分注重技能的训练。
如前所述，入门教学具有“知识的本源性和技能、能力的突变性”这样的特点。数学技能是发展数学能力的基础。我们不能脱离知识来发展学生的能力，也不能脱离技能的训练来谈发展学生的能力。
因此，在平面几何入门教学中，应加强对学生进行识图、画图、作图、几何语言的理解、表述和翻译，以及推理等技能的渗透性训练，应在通盘考虑平面几何教学中技能训练序列的基础上，有计划、有层次地把技能训练渗透在各个阶段的教学之中。
必须指出：这里的“训练”，不能片面地理解为解题。一般地说，课堂教学中的训练应包括以下几个方面：
基础知识(概念、定理)的简单应用；
各种基本技能的训练；
数学思想方法的渗透；
非智力的心理素质的训练；
为后续教学可能做好的各种准备等。
同时，这里的“训练”这个词语，还包含了根据教学对象的差异，在要求、方法和数量等方面都可以有所不同的意思。
二重视非智力因素的作用，培养学生的学习兴趣
教育心理学认为：“学习”是一个含义极广的概念，学生在学校里，“不仅学习知识，而且也学习技能，形成良好的态度与习惯，还要改变不良的行为习惯”。学习，“不仅指文化知识的学习，也指思想品质和行为习惯的学习”。教学实践也证明，知识、品质、行为习惯的学习是相互影响、相互促进的。
在日常的教学活动中，往往狭义地把“学习”理解为知识、技能和能力的学习。即使就这种意义的学习而言，它也是一种复杂的心理过程。在这种过程中的心理成分可分为两类：一类是认知过程本身所涉及的，如感知、记忆、思维、想象等，即所谓智力因素；另一类是与激发学习积极性有关的，如动机、兴趣、注
意、意志、情感、态度等，即所谓非智力因素。长期以来，我们在教学活动中往往偏重于研究智力因素，而不重视非智力因素对教学的影响和作用。事实上，只有不仅注重前者，而且同样注重后者，使学生生动活泼、主动地学习，教学才能取得最优效果，在一门学科起始阶段的教学中则尤为如此。
在诸种非智力因素的心理成分中，兴趣是一种十分活泼的因素，它对其他各种心理成分有着重大的影响。对此，古今中外著名的教育家、科学家有许多精辟的论述。我国古代教育家孔子说：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”。宋朝程颐说：“教人未见其趣，必不乐学”。爱因斯坦说过：“热爱是最好的老师。赞可夫说：“对所学知识内容的兴趣可能成为学习动机”。苏联心理学博士彼得罗夫斯基指出：“对某种对象或活动具有兴趣，是决定注意高度集中之所以能持久的一系列条件之一”。由此可见，注意培养学生的学习兴趣，就能激发他们的学习热情，调动他们学习的积极性。做到乐好、好学、学会、会学。
应当看到，平面几何是一门趣味性较强的学科(至少在中学数学的各门学科中如此)。但是，这里所说的“兴趣”主要是指平几教学进入推理阶段后，学生解出难题后得到自我激励所产生的乐趣。因此，这种“兴趣”只是部分学生的兴趣。事实上，学习兴趣是可以培养的。我们这里强调的是从平面几何教学一开始就要培养全体学生的学习兴趣。
但是，在平面几何起始阶段教学中，培养全体学生的学习兴趣有着一些不利的因素：
教学内容较为零碎，抽象的名词、概念多，学生往往感到枯燥乏味；
由“数”到“形”引起的突变，学生常常不能适应；
部分学生有“几何难学”的畏难情绪，缺乏学好几何的自信心；
基础较差的学生往往意志薄弱，有自卑感，自制力也差。他们对几何学习或采取无所谓的态度，或由于对几何这门学科不了解而产生“神秘感”，如引导不当也可能转化为畏难情绪。
当然，初二学生的好奇心强，对新事物容易发生兴趣(尽管这种兴趣并不稳定)；平面几何作为一门新的学科，既可能在早期出现两极分化，同时它又给包括差生在内的全体学生提供了同等的机会，即差生也可以赶上去，这些都是平面几何入门教学中培养学生学习兴趣的有利条件。
那么，怎样在平面几何入门教学中培养学生的学习兴趣呢？
学习兴趣的“第一个源泉，第一颗火星”在于教师对要讲的材料和要分析的事实所抱的态度和采取的办法。《几何》开头的引言课介绍了体、面、线、点等概念名称，有些叙述与学生熟悉的日常的生活经验相差甚远，如“体是由面围成的”，“面没有厚薄”，“面和面相交于线”，“线没有粗细”，“点没有大小”等。因此，学生可能产生“《几何》这门课很‘玄’，生活中本来很清楚的事情在几何中反而糊涂了”这种想法。如果学生真的这样想，那对《几何》教学是十分不利的。要使几何教学的“趣味性”从一开始就能体现出来，就应当把“引言课”的教学设计得直观、有趣。
“引言课”的教学内容可作如下安排。
首先，简要介绍平面几何这门学科随着生产、生活实际的需要而产生、发展的历史，讲一些有趣的故事，特别要介绍我国古代在几何学上的光辉成就。如《周髀算经》中就写了‘勾三股四弦五”，祖冲之在圆周率的计算上达到了相当精确的程度等，以激发学生的爱国主义热情，激励学生为实现祖国四化而勤奋学习。
其次，要结合学生的实际，选编一些趣味性强、与几何知识又有一定联系的
实际问题，让学生解决，从中培养起学习几何的兴趣。这类问题大致有以下几类：1．折纸
比如让学生“把一张长方形的纸裁成一个正方形”。然后，我们可以告诉学生，这样的动作中包含了《几何》中的三个知识：(1)第一条折痕把长方形的一个直角分成一样大小的两部分，这条拆痕是一条重要的线(即角的平分线)；(2)第二条折痕实际上比较出了长方形的长比宽长多少，这就是《几何》中将要学习的“比较两条线段大小”的方法；(3)把图2中的阴影部分裁去，又可以看作在长方形的“长”上截取一条较短的线，使它的“长”与“宽”一样长，这就是《几何》中的一种基本作图——作一条线段使它等于已知线段。
这样讲解，学生便会感到，他们十分熟悉的简单的动作中就包含了不少几何知识，《几何》这门学科并不难学。
又如，要求学生“从一张纸片上剪下一个等腰三角形”。开始时，学生往往凭观察，徒手剪下一个“等腰”三角形，这时可让学生量一量，是否真正“等腰”。然后，引导学生先把纸对折，再剪下一个直角三角形，最后把剪下的直角三角形摊平，就得到一个真正的等腰三角形。
这不仅可以让学生认识到单凭观察常常不精确，又可使学生体会等腰三角形这种图形的特性，为后续有关内容的教学准备一点感性材料。
再如，“把两张长方形的纸片拼成一个凸字形，并使竖放的一张纸在横放的那张纸片的正中间”。学生解决此题，常有三种不同办法：(1)单凭眼睛观察，移动竖放的纸片使其居中，这是不精确的；(2)在第一种办法的基础上，再用刻度尺量竖放的纸片两旁，并随时移动调整位置，这种方法是准确的，但费时间，又需要有刻度尺；(3)把两张纸片分别沿横向和纵向对折，然后把它们届展平叠合在一起，并使两条折痕对齐，显然这种方法既省时又精确。最后可以向学生介绍，“折纸”在《几何》中就是一种对称变换，也称为翻折变换。是研究几何图形性质的一种重要方法。
2．拼搭图形
比如，“用火柴棒搭一个等边三角形”；“怎样用五根火柴棒搭两个等边三角形”(如图3——(1)、(2)，其中出现“公共边”的直观形象)；然后，“搭六个这样的等边三角形，看谁用的火柴棒最少”，这时，搭成图4——(1)共用13根火柴棒；而搭成图4——(2)只需用12根火柴棒，这种更优的办法必将激起全体学生很大的兴趣。同时，图4——(2)表明的“正六边形是由六个同样大小的等边三角形拼合而成的”这一点，又是《几何》中将要介绍的一个重要性质。
再如，先让学生剪好两块同样大小的直角三角形，教师示范，把这两块直角三角形拼合成一个平行四边形，然后由学生自己动手采用不同的拼合方法，看看可以拼出些什么形状的图形。学生将拼合出等腰三角形，长方形，另一种形状的平行四边形，以及一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形等图形。在这个过程中，学生不仅感知到各类图形的结构，而且不知不觉地接触、了解了图形拼合的思想方法。
3．观察、判断与思考
观察是人们感知事物的重要途径，但是由于生理上的原因，观察并不总是可靠的，同时如前所述学生在小学“形体知识”学习中，又形成了仅仅依赖直观作出判断的习惯。因此，我们应该设计一些会产生视错觉的图形，“诱使”学生作出错误的判断，进而帮助学生纠正。
比如，让学生判断“图5中的两条线段哪一条长一些”。生理学研究表明：
经过同样的距离，视线“从上到下”观察停留的时间要比“从左到右”观察长一些，因而会产生竖着的线段要“长”一些的错觉。当学生作出这种错误判断时，教师可以用圆规度量，验证两条线段一样长。同时，向学生指明，今后学习《几何》这门学科，要学会观察认识图形，而观察的结果有时是错误的，有待于验证和说理证明。因此，学好《几何》必须要学会说理、论证，从而防止和克服小学“形体知识”教学对《几何》教学可能产生的负迁移影响。
如果学生由于其他原因(比如高年级同学事先告诉了他们图5中两条线段一样长)自觉排除了视错觉，从而避免判断的错误时，则可以将图5中竖着的线段再稍为画短一点，如图6，再让学生观察并判断。实践证明，几乎没有一个学生能仅仅凭观察得出“竖着的线段较短”的正确结论，这样的效果甚至更佳。此时，学生对于“学习几何要注重说理”这样的话才能心悦诚服，真正听得进去。
象这类容易产生视错觉的图形还有很多，比如图7——（1）中线段AE与DE实际一样长，看起来长度不相等；图7——（2）两组图形的中间两个圆，被小圆所衬托的那个圆似乎“大”一些。其实，这都是由于“背景”（如图7——(2)中周围的若干个较小或较大的圆)对“对象”（图7——(2)的中间两个圆)产生了干扰而引起的。“背景”与“对象”的关系在几何教学中的应用，以后还将有所论述。
4.欣赏图案
几何图案简明(由弧线和线段组成)、和谐、美观并被广泛地应用于生产和生活实际中。教学中让学生欣赏一些漂亮的几何图案(图片和相片)，实地观察建筑物、印花布上的各种图案，不仅可以对学生进行美学的教育，以图案美激发他们学习几何的兴趣，而且也有助于训练学生的识图技能。
此外，可以用一张白纸和一张透明的纸分别画上简单的几何图形。然后把它们叠合在一起，再通过平移（或旋转等）透明纸的方法组成各种花色的图案。还可以与初一、初二年级的美术课结合起来，让学生画一些花边图案等。
课后，可要求学生自己设计一些漂亮的图案(如窗花)。他们在兴趣盎然的画图过程中，不仅学习了作图工具的使用方法，而且不自觉地体验了图形的位置关系，这些对平面几何的教学都会产生良好的作用。
引言课的实践性、趣味性，成了激发学生学习兴趣的“第一颗火星”。据1982年10月份的调查统计，92%的学生感到学习几何“有兴趣”或“很有兴趣”。兴趣是入门的先导，学生学习兴趣的提高将为平面几何的教学创造十分有利的条件。
当然，我们应当清醒地认识到：引言课激发出学生的这种兴趣主要是由于他们的好奇心得到满足和所设计的问题有较强的趣味性而产生的，还处于较低级的阶段，也是不稳定的，这就要求教师在后继的教学中“以知识本身的价值吸引学生，使学生感到认识事物的乐趣”，千方百计使学生的学习兴趣趋于稳定，并逐步转化为较高级的“志趣”。
从课本第一章起，教学中可以采用如下手段，进一步培养学生的学习兴趣。
1．充分挖掘教材的实践性、趣味性，把教学内容与实际联系起来。
数学是抽象、严密的科学，因而它有着广泛的应用。数学又来源于生产、生活实践。但是数学的抽象性、严密性往往掩盖了它的实践性和趣味性。因此，在中学数学(特别是初中数学)教学中，要采用各种方法使数学“回到”学生熟悉的生活实际中去，这样便能使全体学生(包括对数学学习态度冷漠的学生)兴致勃勃地学习、思考。
比如，讲授“点到直线的距离”这个起始阶段难教的重要概念时，可以测量跳远成绩为实例作如下的说明：测量跳远成绩时，先把皮尺的始端放在落点处，再把皮尺拉直，皮尺与起跳线的交点就是垂足，皮尺上的读数就是跳远的成绩。这个实例可以抽象成为数学问题：把起跳线看成—条直线，沙坑里的落点即直线外一点，测量跳远成绩就是度量直线外一点到直线的距离。这样，学生感到通俗易懂，生动有趣，从而能较好地掌握这个概念。
事实上，几何教学内容与实际有较为广泛的联系。比如，线段的概念可以用“两地间造一条直路”形象地比喻；用“四地中每两地之间都要造一条直路，要造几条路”引导学生画图、识图；用比较筷子长短的实例介绍“线段大小比较”的办法；以时针的转动、做广播操的踢腿动作引出旋转所成角的概念；用练习本的横线描述平行线，用“田”、“中”、“喜”等汉字来导入轴对称概念等。这样教学可使学生体会到几何知识与日常生活有着紧密的联系，并不玄。
在借助实例揭示知识的实践性、趣味性的同时，还要注重用知识本身的价值去吸引学生。比如，为什么射击瞄准时，用手托住枪杆(此时枪杆与弯曲的手臂构成三角形)可以保持稳定，而银行的铁门总是做成平行四边形才能开关？为什么车轮都是圆形的?又如，在公路两侧有村庄A,B，怎样造一个汽车站P，使PA+PB 最小?如何利用太阳照射的影子测量物体的高度？怎样用长90cm，宽45cm的矩形木板拼接成长120cm，宽30cm的矩形木板，既要拼接的次数少，又使拼成的木板美观牢固？等等。
2．运用简易教具演示或实验，激发学生的学习兴趣。
教具的直观形象，常常使学生感到生动有趣，同时又有助于他们理解、掌握有关的知识。比如，用折纸的方法讲“线段的中点”、“角平分线”、“线段的垂直平分线”，以及探求等腰三角形的性质等。还可以利用教具演示图形的运动变化，处理如下的“一般——特殊”的关系：两线相交(斜交)——两直线垂直；两条相交直线(借助第三条直线）——两条平行直线；平行四边形——矩形或菱形——正方形等等。
又如，讲授三角形按角分类时，可以先制作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各一张，然后任取其中一张，出示这张三角形纸片含锐角的那一部分，其余部分用别的纸遮住，问学生能否判断这张纸片是什么三角形?(不能!因为有一个角是锐角的三角形，可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形。)如果出示含钝角(或直角)的那一部分，那么能否判断呢?（能！因为有一个角是钝角或直角的三角形，可以断定它是钝角三角形或直角三角形)这样辨析概念比单纯用“三个角都是锐角”、“有一个角是钝角(或直角)”等词语强化概念，趣味性更强，效果也更好！
3．进行简单的图形变换。图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法，也是激发学生学习兴趣的有效手段。因为通过变换不断地改变学生感知的图形，使主体(学生)的活动在相当时间内没有变化，而客体(图形)却发生更迭。这样能使学生在集中注意的同时产生注意的转移，而注意的转移可以防止疲劳的产生，从而使学生表现出较高的学习兴趣和热情。
图形变换还有助于学生在克服困难之中发展学习兴趣。比如，用三角形内角和定理的推论证明图8——(6)中的∠BP C＞∠A。当时由于学生没有系统进行论证训练，证明此题普遍感到困难。为此，教学中可以用竹针、橡皮泥搭出图8——(1)，并变式成图8——(2)，再添一根竹针成图8——(3)，指出这三个图形中都有∠ ＞∠2，对此学生不难掌握。然后，仿照图8——(3)(其特征是在三角形内
把一个顶点与对边上的一点连结起来），用较短的竹针搭出图8——（4)；再把图8——(4)叠合到图8——(3)中，得图8——(5)，这时学生不难知道∠α＞∠β，∠β＞∠A，最后从图8——（5）中抽去那根短竹针，便得图8——(6)，证明
∠BPC＞∠A的方法也就不言而明。这样使学生在带有趣味的活动中不知不觉地突破了论证的困难，又感知了图形叠合的方法。
不过这样的演示过程也有不足之处，即学生没有得到独立探究的训练。为弥补这一点不妨让学生思考：还有什么别的方法也可以证明图8——(6)中的∠BPC ＞∠A呢?教师可给予适当的提示：抓住如图8——(3)这类图形的特征，能否用另外的方法把图8——(6)中的△ABC分成两个类似的图形。当学生想到连结AP 并延长交BC于点D(如图8——(7)) 的方法证明时，他们更能享受到自己取得成功的喜悦。并且这种新的证法又体现了图形拼合的思想方法。
4．引导学生自己探索、猜想并获取知识。在平面几何入门教学阶段，尽管学生的知识面较窄，技能和能力也正在逐步发展，但是仍然可以选择恰当的教学内容，采用创设问题情境的办法，引导学生自己去获取知识。这种尝试的成功，将使学生增强学习的自信心，提高学习的内部动机，也会使学习兴趣向高级的方向转化。
笔者曾作过如下的尝试。
在讲多边形的有关概念和性质时，先给出图9，并指出：AC是四边形ABCD 的一条对角线，AD是五边形ABCDE的一条对角线，AD是六边形ABCDEF的一条对角线。然后要求学生观察图形，概括多边形对角线的特征后，由他们自己给出多边形对角线的定义。
一位学生说：“连结不相邻顶点的直线（应改为线段)叫多边形的对角线。”
我们认为：这种由学生自己从观察具体图形入手，经过概括并用较正确的语言表述定义的过程，不仅使学生获取了知识，面且得到了相应技能的训练，它比学生直接阅读书本并背诵定义的方法效果可能更好一些。
接着，这堂课上从四边形、五边形、六边形到n边形,由学生探索以下结论：从同一顶点出发的对角线的条数；
多边形所有对角线的条数；
多边形内角和的度数；
多边形外角和的度数等。
当时，在探索多边形所有对角线条数的结论时，有一位学生说：“六边形有8条对角线。其理由是：“四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，说明(不完全归纳)当多边形的边数增加1时，对角线增加3条。所以五边形变为六边形时，对角线共有5+3＝8条。”我们不妨仔细地分析一下这位学生的回答。尽管他的结论是错误的，但他的思维过程有可取之处，即他已尝试用归纳的方法去探索结论。从这个例子也可以看出；研究教学不能仅注重结果，同时也要注重“过程”。
这堂课后，学生们说：“像这样上课，先由我们自己总结(得出)定义，让我们自己去探索规律，然后再看课本，很有趣！而且(对所学知识的)印象深刻，全记在脑子里。”可见，当学生克服了困难，完成了学习任务后，必然会产生精神上的满足感，从而激发出更高的学习兴趣。
当然，这种探索、猜想并获取知识的难度不能过高，要接近学生能力的邻近区域；也不要把它作为硬性的要求，以保护包括中等程度以下学生在内的全体学
生的积极性。
5．一题多解(证)，一图多用、多变，这些传统教学中经常使用且行之有效的方法，也有利于激发学生的兴趣。应当注意的是：不要单纯地追求多种证法，而要使学生把寻求新的方法，并不断地优化方法成为一种自我需要，这样去一题多解、一题多变，才会成为一种趣事。
6．注意练习的多样化。心理学研究表明：单调的、长时间的、无创造性的工作会减弱注意的集中。大量的没有变化的重复练习，会使学生情绪低落，丧失兴趣，产生厌倦心理。练习中注意题型的变化，尽量避免过量的机械重复，增加练习的新异性，则能调节学生练习时的情绪，激发他们认真练习的兴趣。
现行课本在这方面已有所改进，除常规形式的练习题外，增加了一定数量结合实际的说理题，读句画图、看图写话题，判断题，各种类型的填空题，以及文字语言与结合图形的符号语言的互译题，等等。此外，教学中可根据学生实际情况，补充选编一些。
7．教学要求恰当，这是关系到能否激发学生学习兴趣，增强学生学习自信心的重要问题。事实上，学生总是对经过努力能胜任的任务表现出较大的兴趣和热情。教学要求过高，会使学生丧失信心，使—部分本来可以跟得上的学生掉队，加剧几何教学中的两极分化；反之，教学要求过低，也会使学生失去学习的积极性，知识、技能和能力得不到应有的提高。
什么样的教学要求才是恰当的呢？我们认为，没有也不应该有一个绝对的标准，但有相对的标准。这里的“相对”包括两层意思：一是大纲和通用教材体现的要求即为相对恰当的要求；二是从具体的教学对象实际出发，确定教学要求。赞可夫在阐述其“高难度教学原则”时也说过：“困难的程度要靠掌握难度的分寸来调节，初看起来可能等于取消了这一原则本身，然而这是一种误解，因为难度的分寸不是绝对的，而是具有相对性”。这里的“相对”，与我们传统教学中提倡的“因材施教”、“可接受性”教学原则，在相对于学生的实际把握教学要求这一点上，是有共同之处的。
为使平面几何的入门教学要求恰当，一般应注意以下几点。
(1)教学进度的安排宜先慢后快。
从几何知识的结构看，入门阶段的教学慢一点，有利于多数学生掌握好平面几何的最基础的知识。只有这样才能在后续的教学中，使学生掌握好整体的几何知识，并搞清知识间纵向的系统性和横向的连通性。
(2)教学内容的处理宜铺设阶梯，减缓坡度，通过小步子，常反复，早渗透，多层次的方法，帮助学生克服几何学习中的各种困难，尽快适应几何学习的要求，逐步发展几何学习所必需的技能。
(3)要善于利用教学的反馈。学习的反馈即对学习结果的认识。如果处理得当，不仅可以对学习中的动力因素起强化作用，而且可以矫正学习行动，使之得到调节、改善。因此，教师在课堂教学中应为不同程度的学生提供各种各样的机会，使他们都能得到学习中成功的体验，意识到自己学习中的进步，并受到老师的鼓励和表扬。这样，就能不断地使学生产生新的自我要求，这种要求又将成为进一步学习的有效诱因，从而形成学习中的良性循环。
(4)教学评价中要多一些鼓励，少一些批评，避免指责和惩罚。教师在课堂提问，批改作业、练习和试卷，与学生谈话等教学活动中、随时随地对学生进行着评价。这种评价既要考虑教学本身的要求，又要从具体学生的实际出发，有较强的针对性。比如，对基础较差的学生应多对其进行“自我比较”的评价，课堂
上学生回答问题发生困难或错误时，应挖掘可取的因素，并加以启发引导，切忌讽刺挖苦；批改作业宜多写鼓励性的评语，对于学生做错的题可以推迟判断，让学生改正后再批改；即使对学生违犯纪律的行为进行批评教育时，也要启发他的自重、自尊、自强等。
特别要提及的是，通过考试来评价学生，是调节教学的一种重要手段。考试应控制试题的难度，不要脱离课本要求和学生实际去任意拔高要求，应使尽可能多的学生获得好的或较好的成绩，使他们通过考试看到自己学会了什么，激发他们奋发向上。试图通过提高考试难度来教训学生、惩罚学生的做法实在不可取。这样做无异于把相当一部分学生推到教师的对立面去。当学生受到这种不公正的训斥甚至惩罚的时候，也就可能丧失了学习的自信和兴趣。众所周知，当一个学生不愿意花工夫去学习的时候，要教会这样的学生又是何等的困难啊！
8．积极开展多种形式的课外活动。在培养全体学生学习兴趣的同时，必须承认学生之间客观存在的差异，兼顾学得较好的那部分学生的培养。这部分学生在学得一定的学科知识并建立了稳定的兴趣以后，就会不满足于课堂学习的内容，进而把注意力转向课外。因此要结合课堂教学内容，适当加深拓宽，开设专题讲座，组织小型竞赛活动和小论文报告会等，使学有余力的学生也兴趣盎然地得到较充分的发展。
总之，兴趣是一门学科入门教学能否成功的重要因素。兴趣不是天生的，而是可以培养的。培养学生学习兴趣的途径又是多种多样的。教师应当注意培养、发现、巩固和发展学生的学习兴趣，激发起尽可能多的学生的学习动机和积极性，从而大面积提高平面几何的教学质量。
三几何概念的教学
概念是反映一类对象共同的本质属性的思维形式，它是在对感觉、知觉、表象所反映的事物的属性，经过分析、综合、概括后形成的，是形象思维过渡到抽象思维的第一要素。只有正确地理解和运用概念，才能进行正确的判断、推理。否则，概念理解的模糊和错误，将使论证发生困难，甚至导致错误。因此，几何概念是平面几何知识的基础，是入门教学的关键，决不能以为入门阶段概念简单而掉以轻心。
1．几何概念教学的特点
平面几何主要研究图形及其性质。为了区别各种不同的图形，就必须概括图形的本质属性并用确切的词语表述为几何概念的定义。因此，几何概念与图形、语言是紧密相联的。几何概念又是几何论证的重要依据之一。这就说明，几何概念的教学绝不能等同于概念定义的教学，更不是要求学生机械的背诵，几何概念的教学将涉及多种技能，具有一定的综合性。
正确地理解、掌握一个几何概念，至少应达到以下几方面的要求：
会表述：能正确地叙述概念的定义；
会画图：会画出表示概念的图形(包括变式图形)，熟练地掌握概念的标注法和读法；
会识图：能在复杂图形中正确识别表示某个几何概念的那部分图形：
会“翻译”：学会把概念定义的文字语言翻译成为结合图形的符号语言；
会应用：会运用概念进行简单的判断、推理、计算。
由此可见几何概念的教学与代数概念的教学相比较，要求更高，地位更重要，作用和影响更大。这是几何概念教学最主要的一个特点。
其次，《几何》作为一门其自身的逻辑性很强，前后联系十分紧密的学科，
必然要把大量的概念和概念名称集中地编排在入门教学阶段，这就形成了几何概念教学多而集中的特点。仅以课本第一课为例，黑体字标出的概念就有30多个，未以黑体字标出的有关名称、术语就更多。
同时，由于众多的概念集中出现，较为零碎，它们还不能形成系统，因此，学生容易感到乏味，又往往分不清概念之间的区别和联系，可能出现混淆概念的现象。
第三，几何概念与日常生活中的概念既有联系又有区别。几何概念来源于生活实际，对此，学生常常有一定的感性认识。比如“线段”这个概念，可以用日常生活中拉紧的“一段线”来形象地描述。但是，科学的几何概念又与日常生活中的概念有所区别，学生则常常忽视这—点。比如生活中常常说：“把两段线接起来成为一段较长的线。”这个实例抽象成为几何问题就是两条线段相加，这时的几何图形应看成有三条线段，而不仅仅是一条较长的线段。再如，生活中“角”的概念常常与“带一个尖儿”的形象联系在一起，但几何中角的概念并不包含这种特征(如“平角”就不带尖儿)等。
2.学生学习几何概念的通病
初学几何的学生，由于受过去某些不良的学习习惯和方法的影响，往往用机械记忆、背诵定义的方式学习几何概念，这是—种通病。
从学生对几何概念的理解、表述、记忆、运用等几方面看，他们总是偏重于用死记硬背的办法表述定义，并且自以为“背得出”，就算学懂了；他们对几何概念的理解常常达不到本质抽象的水平，因而在概念的运用上困难就较为明显。如果教学中不注意帮助学生克服这种毛病，甚至也仅仅强调对概念定义的背诵，并以此来评价学生学习概念的优劣，那么将给整个几何教学中运用概念进行判断、推理造成极大的障碍。
近几年，我们对10所学校的300多名学生进行了多次的调查：在事先不通知学生的情况下，要求学生默写“线段中点”、“线段的中垂线”等10个概念的定义，画出表示概念的图形，并结合图形运用概念进行简单推理(填空)。据统计，默写的正确率在40%——80%之间不等，波动较大；画图及推理填空的正确率一般在80%以上，且较为稳定。对这组数据我们作出如下分析。
“默写”的正确率较低，并不表明学生不背诵，而恰恰说明机械记忆必然造成遗忘。因为调查是在10月下旬进行的，其中很多概念的定义已学了一个多月的时间，学生早已遗忘。
“画图”和“推理填空”的正确率高于“默写”，这正说明“背诵”概念的定义在整个概念的学习过程中并不起决定性作用。
再从10个概念各别的默写正确率看。据统计，默写“互余”、“互补”定义的正确率分别高达81.8%和79.2%，其原因是这两个概念定义的语句简单易记。可见学生表述概念定义的困难主要来自于语言的障碍。因此，作为熟悉几何术语的一种手段，要求学生背诵某些几何概念也是必要的。
但是，必须再次指出，会背并不等于会用几何概念。仍以“互余”、“互补”两个概念为例。第一册课本的第30页上的练习第3题是：“如图10，∠EOC=∠A0C=∠BOD＝Rt∠，在图中找出分别与∠AOB，∠BOC互余的角，有与∠BOC 互补的角吗?”据统计，许多学生答∠BOC与∠AOB互余,而不能经过简单的推理指出∠DOE也与∠AOB互余，只有不到十分之一的学生指出∠BOC有补角，它是∠AOD。这就充分说明，尽管80%左右的学生能正确叙述定义，但是90％以上的学生不能在图10这种较为复杂的图形中识别表示互补概念的图形，而运
用概念识图在几何教学中却是十分重要的。所以概念教学的重点应是理解和应用。
3．针对几何概念的特点和学生中的通病，应该如何搞好几何概念的教学呢？
首先，要对多而集中的概念，按照各自的特点及其对后续教学影响的大小，区别对待，做到有轻有重，有主有次，突出重要概念的教学，不必“求全”。
我们感到，诸如线段的中点、角平分线、互余、互补、垂线、中垂线、平行线、对顶角、三线八角、两点距离、点到直线的距离等这些重要概念，在几何教学中应用较多，影响较大，所以必需要求学生对这些概念的学习达到“会表述、画图、识图、翻译、运用”的要求。
对于那些只加描述的原始概念或名称，如直线、点等图形的名称，连结、截取、延长等画图术语，相邻、同旁、重合、内部、外部等表示位置关系的词语，以及等量、等角、任意长等表示数量关系的名词，教学中可结合学生熟悉的实际事例，让学生多加意会，一般不宜过多的“言传（描述）”。当然，对于表示位置关系的那些词语，应结合具体图形让学生搞清词义，对于那些表示画图动作的术语，应要求学生能听懂，并正确地根据语句回出图形。
诸如端点、角的顶点、角的边这类概念名称，它们随着教学内容的深入，可以逐步转化为常识，因而不是入门阶段概念教学的重点。同时，对其中的某些概念名称，过分地强化反而可能使学生形成一些糊涂观念。以“角的边”为例，如果教学中强化了角的边是“射线”，不是直线或线段，不仅没有必要，而且将对后续教学带来麻烦：有的学生因而认为一个三角形哪里有三个内角呢?这类问题在其他概念的学习中也时有发生。其实这里主要涉及的是几何概念定义中“数”与“形”的关系。如果一个几何概念的定义主要是规定了图形位置关系的内涵，那么它与组成图形的元素本身的数量就没有什么关系。比如“角”的定义主要是揭示两条射线有公共端点这种形的特征，“角”的数量(大小)也是由两条射线的位置关系确定的，因而组成“角”这种图形的两条射线本身画得长一些或短一些对概念就没有影响。实际上它们也可以是线段或直线。之所以选用射线来定义，是因为其具有一般性，由此可见，过分强调角的边是射线，是不必要的。
在分清概念主次的基础上，要着力搞好重要概念的教学。通常一个重要概念的教学过程是：丰富感知、把感知精确化并揭示概念的定义，把概念定义的文字语言转化为结合图形的符号语言，以及运用概念进行简单的判断、推理、计算。下面我们对过程中的各个阶段分别加以讨论。
(1)丰富感知
概念来源于实践，从感知始。初中学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，因此，概念教学必须联系实际，让学生对概念所描述的对象有尽可能多的感知。否则，感知贫乏将使概念的形成缺少形象思维的支持，学生便难于识记和理解。
丰富感知，就要借助实物、教具、图片等，让学生动用眼、耳、口、手等多种感官，通过看、画、听、说等多种形式，共同参与识记某个概念的活动。这种联合传递能强化进入大脑的信息并建立多种联系的通道。感知可以从生活实践中来，也可以从已往的学习积累及观察、实验、操作中产生。
(2)把感知精确化
直观是领会知识的起点，而不是终点。在丰富感知的同时，必须强化概念本质属性的刺激强度，从而引导学生把感知精确化。
初中学生的感知常常是不十分精确的，他们往往被事物的某些强烈的现象所吸引，而这种现象并不一定是事物的本质特征。概念教学中必须注意考虑学生的
这种心理特征。为此，要利用心理学的一些研究成果，采用各种有效的方法，引导学生精确地感知概念的本质属性。
心理学研究表明，在固定的背景中，运动着的对象很容易被感知；利用感知的这种特点设计概念教学的方式，常常能取得好的效果，比如，讲授“三角形的角平分线、中线和高”这些概念，由于前面已经讲了角的平分线、线段中点、垂线等类似概念，三角形的这几个主要线段的概念的教学已经有了基础。但是学生常常不易分清它们与相近概念之间的区别。例如“三角形的角平分线”是一条线段，它有数量(长度)的特征，而一个角的平分线是射线，无长度的特征等。为了使学生能精确感知新概念的新的本质属性，可以按如下方法进行教学。
先在黑板上画一个锐角△ABC，用一个图钉将一根牛皮筋的一端固定在点A 处，然后把牛皮筋的另一端沿着线段BC从点B移动到点C，这样就形成了背景(ABC)是固定的，要学生精确感知的对象(三条主要线段)在运动中出现的情境。从而让学生观察：牛皮筋在运动过程中，形成了多少条不同位置的线段？这无数条线段中有哪些线段的位置是特殊的？这时学生不难发现三角形的角平分线、中线、高这些特殊线段，并对它们都有长度这个新的本质特征也能精确感知，为正确理解三角形主要线段的定义奠定了基础．
为突破钝角三角形的高这个教学难点，可以进而把△ABC改画成A为钝角的三角形(或设计边BC可以移动的教具)，再用同样的方法演示后，问：此时运动中出现了三角形的角平分线、中线，但是“高”到哪里去了呢？再引导学生发现，只要把牛皮筋沿着线段BC的延长线继续移动，就会出现“高”。这种运动中出现的直观形象将使学生真正搞清钝角三角形中钝角边上的高为什么在形外的道理。
心理学研究还表明：在复杂的图形中，如果对象与背景差异越大(颜色、形状、大小等)，那么这种对象也越容易被精确感知。我国语言中的很多成语都说明了这种原理。比如，“万绿丛中一点红”，这是颜色的强烈差异，使“红”(对象)极易被感知；“鹤立鸡群”，这是高矮的差异，使人一眼就看到了鹤。这种原理同样可以运用到精确感知几何概念的教学中。比如图11中，如果把直线AOB 与直线COD用彩色描出，使它们作为对象与作为背景的其余部分图形造成色彩的强烈差异，学生便能正确地判断出图中仅有∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC两组对顶角，当然这种突出对象，把它从背景中分离出来的过程，应逐步地由学生自己去完成。
此外，有些概念的某种本质属性，并不能借助上述方式让学生精确感知，而要借助语言的辨析与反例的衬托。比如“互为余角”这个概念有三个本质属性，应逐步地由学生自己去完成即“两个角”、“和”、“90°”。其中，后两个属性对学生的刺激较强烈，也容易被精确感知，而第一个本质属性则常常被学生忽视从而造成“90°的角是余角”等概念的混淆。为此，教学中除了强调“两个角”这个词语外，还可用反例“∠l+∠2+∠3＝90°”、“∠1，∠2，∠3互为余角，对吗？”、“∠A＝90°，∠A是余角吗”等，以反衬互余概念中“两个角”这个本质属性，使学生精确感知。
概念感知的精确化，不仅要想方设法强化本质属性对学生的刺激，同时要排除非本质属性的干扰。比如，学生常常把“互余”概念中两个角是否相邻这种非本质属性当成本质属性，扩大了概念的内涵，使外延缩小，从而不能正确识别图10中互余、互补的角。为排除两个角位置“相邻”对互余概念的影响，不妨举一个能给学生强刺激的例子：常州市一位教师在黑板上画出∠A＝40°，北京市
一位教师画了∠B＝50°，那么这两位老师画出的两个角相隔几千里，它们是否互余呢?从而使学生排除非本质属性的干扰，能根据概念正确地认识图形。
还有一些概念的本质属性，借助图形，反例仍不能清楚地揭示。比如“点到直线的距离”概念的一个本质属性——长度，即距离具有数量特征这一属性，学生常常不能精确感知，因而认为“画出点P到直线l的距离”这样的语句是正确的。为使学生避免这种错误，讲授“点到直线的距离”的定义后，要对定义的语句进行剖析，找出其主要成分并简缩为“……长度是……距离”，从而使学生从语言的变式中看清距离是数量，而不是指图形本身。
同样地，加强语言、词义的教学，也能帮助学生精确地理解概念。比如，教学射线的表示法时，对“射线用表示它的端点和射线上任意一点的大写字母来表示”这句话，可引导学生注意“任意一点”的含义，从而避免图12中射线OA 与射线0B是两条射线的错误，再如，考虑到学生在“过已知点画已知直线”的垂线时经常发生困难，因此，对“两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直”这句话，有必要强调判断两条直线是否垂直，首先要使它们“相交”再看是否“成直角”。因此，画垂线时如有必要，则应画出线段的延长线或把直线画得长一些，以使所画的直线(垂线)与之相交成直角。
总之，采用各种各样的手段和方法引导学生对概念的感知精确化，是概念教学的核心。只有这样，学生才能真正理解概念，概念的运用也才有了坚实的基础。
(3)在揭示概念的定义后，要及时地把概念定义的文字语言翻译成结合图形的符号语言，从而帮助学生克服死记硬背的毛病，把概念学活。
真正掌握概念的内涵，并且把概念学活，为运用概念打好基础。
（4）在概念的运用中，逐步使学生牢固地掌握概念
由于概念的定义揭示了概念的本质属性，因而它是充要的，并有判定和性质两种作用。因此，运用概念本身可以直接进行简单的判断或推理。比如，在表一的“符号语言”一栏中写出“∵”，“∴”，即得判断如下：
∵AM＝BM，M在AB上，
∴M是线段AB的中点。
又∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°。
如果在结论后面再写上判断的依据，就形成了一次三段论证的推理。如，
∵∠1与∠2互余（已知)，
∴∠1+∠2=90°。(互余的定义)。
这是几何概念最基本、最常用的一种推理形式，实质上又是推理教学的渗透。
其次，几何概念也常常用于计算。如图13，已知：AB∥CD，∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠B＝80°。
求：∠ACB的度数。
解题中先根据“角平分线”的定义，得∠2＝35°；再由“内错角”的定义及平行线性质得∠3＝36°；最后由“同旁内角”的定义及平行线性质，得∠ACB ＝65°。一般地，学生解答这类计算题的困难不大，因而教学中更应该突出概念在计算中的作用。
此外，还可经常地运用概念进行辨析。比如，“∠A的余角一定比∠A的补角小吗?为什么?”这里先要根据∠A有余角，判定∠A一定是锐角，再运用互余、互补的概念，判定∠A的余角是锐角，∠A的补角是钝角，最后根据锐角小于钝角，肯定题中的结论。
以上谈了每一个重要概念教学的四个阶段，此外，几何概念教学中还有两点亦应予以重视。
(5)一个概念的教学常常不是一次完成的，往往需要多次深化才能完成。以“线段”这个基本概念为例。第一次教学时，用学生熟悉的实例直观地描述线段的形象，并让学生动手连结两点成线段，再揭示线段是“直的”、“有两个端点”的特性；第二次在教线段的度量时，再借助实例和图形叠合的方法，使学生懂得线段有数量的特征，可以比较大小，并有两点之间线段最短的性质，这时学生对“线段”的认识有了深化；第三次通过线段的和差画法及其计算的教学，学生进而能从定性到定量地理解线段的概念，并学会在复杂图形中判断线段的大小关系等，在后续的有关内容(如三角形的主要线段)的教学中继续深化对线段概念的认识。
(6)适时地对概念进行分类，防止概念的混淆，并使学生逐步把零碎的概念形成越来越完整的、清晰的概念系统，从而在系统中更好地掌握各别的概念。
比如，在入门教学中有关“角”的概念很多，其中如“互余的角”、“余角”与“直角”，“互补的角”、“补角”与“平角”等这些本质不同又有一定联系的概念常被混淆。为此，可对“角”进行如下分类：按一个角的大小定义的有：直角、锐角、钝角、平角、周角等；按两个角的数量关系定义的有：互余的角，互补的角；按两个角的位置关系定义的有：邻角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角等；按两个角的数量和位置关系定义的角有：邻补角。还可以列成表二进行比较。
表二
平面几何是研究图形性质的一门学科，因而图形教学是它的中心环节。识图教学有助于学生的形象思维与抽象思维同步发展，正确而清晰的识图是推理论证图形性质的先导。
所谓“识图”，就是要结合基本概念，认识表示几何概念的图形，能进行图形的分解和组合，分清各种图形之间的区别和联系，并进而能识别复杂图形和变式图形。这种识图技能的训练应从平面几何教学一开始就予以充分的重视，并贯穿在教学的始终。
识图技能的训练，主要有以下三种形式：
1．图形的组合和分解
在起始阶段，要加强简单图形的教学，并在此基础上由简到繁(图形的组合)，从简单图形过渡到复杂图形进行识图训练，从而逐步要求学生能化繁为简(图形的分解)，正确认识复杂图形。
比如，教学线段、角的概念，学生认识了表示线段、角的简单图形(图14——(1))后，应进而训练学生有条不紊地识别出图14——(2)中有三条线段、三个角，图14——(3)中有六条线段、六个角。
在教学线段的和差、角的和差后，再结合图14——(3)进行如下的识图和判断的训练。
要求学生回答：图14——(3)中，线段AD与线段BC，∠AOC与∠BOD各有什么关系?并练习：“若AC＝BD,则AD＝＿＿；若∠AOB＝∠DOC，则∠AOC ＝∠＿＿。”从而为今后的论证教学扫除识图和简单判断中可能存在的障碍。这样，在“全等三角形判定”的教学中，学生就能较顺利地识别并证明图15——(1)
中(已如AC ∥DF ，AC ＝DF ，AD ＝BE)，△ABC ≌△DEF ；图15——(2)中(已知OA=OD ，OB ＝OC ，∠1＝∠2)，△OAC ≌△ODB 。也只有这样，教师才能把课堂教学的重点放在推理论证上，即集中力量去教会学生如何运用三角形全等的判定进行思考、论证(包括书写格式)。否则就会矛盾集中，顾此失彼，致使学生不能顺利地过好推理论证的难关。
图形的分解与组合对训练学生的识图技能是有效的。“如图16——(1)，D E ∥AB ，DF ∥AC ，有多少对相等的同位角、内错角?多少对互补的同旁内角?”要正确回答这个问题，必须掌握分解图形的方法，即把图形分解为如图16——(2)那样的六个简单图形，逐一识别。
这种训练实际上是从复杂图形中分解出若干个基本图形，从而排除暂不需要的那些线或角(即背景)的干扰。据调查，这种训练对初学者普遍有效，对基础较差的学生尤为有效，教学中应根据学生的实际灵活地运用。当然，这种训练只能是帮助初学者识图的“拐棍”，最终应要求学生能不画出分解后的图形，直接认识复杂图形。
图形的组合则是分解的逆过程，若把图17——（1），（2）两种形式的相似三角形的简单图形(其中AD ∥CF ，AG ∥CD)组合在一起，并延长CF 交AG 于点
B ，如图17——（3）,显然，由图17——(1)知，EF DE ＝EC
AE ；如图17——（2）知，DE EG =EC AE ，利用“中间比”，不难发现EF DE =DE
EG ，于是稍加改编，得到如下的问题：
已知：如图17—一(3)，ABCD 是平行四边形，点G 在AB 的延长线上，DG 分别交AC ，BC 于点E ，F 。求证：DE 是EF ，EG 的比例中项。
出此可见，从识图的角度看、几何论证题的编制依赖于图形的组合，论认的过程则首先要掌握图形分解的方法。
2．在加强标准位置图形教学的基础上，注重图形的变式
标准位置的图形，既反映了图形的本质特征且易于认识(比如学生对“水平”与“铅垂”这类垂直的图形是十分熟悉的)，又是变式的基础，因此要充分重视标准位置图形的识图训练。
但是，标准位置的图形常常掺杂着一些非本质属性。为了排除这些非本质属性，必须有针对性地进行图形变式的训练。比如，图18——（1）是直线AB ，CD 互相垂直的标准位置图形，为了排除AB ，CD 分别处于水平、铅垂位置的非本质属性，必须给出如图18——(2)，(3)这种变式图形才能突出“互相垂直”中“相交成90°”的本质。
又如，图19——(1)中两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，学生仅能认识这样的图形是不够的，应将两条直线处于“平放”位置这种非本质现象进行变式，正确认识图19——(2)中的∠1与∠2也是同旁内角，还要对图19——(1)中两条直线不画出交点的非本质现象进行变式，画成如图19——(3)那样封闭的图形。据调查统计，有36％的学生不能指出图19——(3)中∠1与∠2是同旁内角。
尽管几何教学中进行大量的变式图形训练，学生认识变式图形的困难仍是明显的，错误也是经常的，其原因不仅在于他们对图形的本质感知不深刻，而且也在于日常生活中大量的物体处于“平稳、正直”位置这种现象，潜移默化地对识图产生着负迁移影响。这种影响是十分顽固的。充分认识到这种不利因素，不仅