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2016 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5 分）已知全集 U={ 1，2，3，4，5， 6} ，集合 P={ 1，3，5} ，Q={ 1，2，4} ，
则（ ?U P）∪ Q=（）
A．{ 1} B．{ 3， 5} C． { 1，2，4，6} D．{ 1，2，3，4，5}
2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线 l，若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥
β，则（）
A．m∥ l B．m∥ n C．n⊥l D． m⊥n
3．（5 分）函数 y=sinx2的图象是（）
A．B．C．
D．
4．（ 5 分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两
条平行直线间的距离的最小值是（）
A．B．C．D．
5．（5 分）已知 a，b＞0 且 a≠1，b≠1，若 log a b＞ 1，则（）
A．（a﹣1）（ b﹣ 1）＜ 0 B．（ a﹣ 1）（a﹣b）＞ 0 C．（b﹣ 1）（b﹣a）＜ 0 D ．（ b
﹣ 1）（b﹣a）＞ 0
6．（5 分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜ 0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
.
．（ 分）已知函数 f （ ）满足：
x
，x ∈R ．（ ） 7 5 x f （x ）≥ | x| 且 f （ x ）≥ 2
．若
≤
．若
b
，则 a ≤b
A
f （ a ）≤ | b| ，则 a b
B
f （a ）≤ 2
．若
f （ a ）≥ | b| ，则 a ≥ b
．若
f （a ）≥ 2 b
，则 a ≥b
C D
8．（ 5 分）如图，点列 {A n } 、{ B n } 分别在某锐角的两边上，且 | A n A n +1| =| A n +1A n +2| ，
n n +1 ，n ∈N * ，| B n n +1 n +1 n +2 ， n ≠ n +1 ， ∈
* ，（P ≠Q 表示点 P 与 Q 不 A ≠ A B | =| B B | B B n N
重 合 ） 若 d n n n
，
n
为 △n n n +1 的 面 积 ， 则 （
）
=| A B | S A B B
A ．{ S n } 是等差数列
B ． { S n 2
} 是等差数列
C ．{ d n } 是等差数列
D ．{ d n 2} 是等差数列
二、填空题
9．（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm ），则该几何体的表面积是
cm 2，体积是
cm 3．
10．（ 6 分）已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2+（a+2）y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标
是
，半径是
．
11．（6 分）已知 2cos 2x+sin2x=Asin （ωx +φ）+b （A ＞0），则 A= ，b=
．
12．（ 6 分）设函数 f （x ）=x 3+3x 2+1，已知 a ≠ 0，且 f （x ）﹣ f （ a ） =（ x ﹣b ）（x
﹣ a ） 2，x ∈R ，则实数 a= ， b= ．
13．（4 分）设双曲线 x 2﹣
=1 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，若点 P 在双曲线上，
且△ F 1 2 为锐角三角形，则
| PF 1|+| PF 2| 的取值范围是 ．
PF
14．（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD ，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD ′，直线 AC 与 BD ′所成角的余弦的最大值
是
．
15．（ 4 分）已知平面向量 ， ，| | =1，| | =2， =1，若 为平面单位向量，
则 |
|+| | 的最大值是
．
三、解答题
16．（14 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 b+c=2acosB．（1）证明： A=2B；
（2）若 cosB= ，求 cosC的值．
17．（ 15 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求通项公式 a n；
（Ⅱ）求数列 {| a n﹣ n﹣2|} 的前 n 项和．
18．（ 15 分）如图，在三棱台A BC﹣ DEF中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ ACB=90°，
BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证： BF⊥平面 ACFD；
（Ⅱ）求直线 BD 与平面 ACFD所成角的余弦值．
19．（ 15 分）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y
轴的距离等于 | AF| ﹣1，
（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直
的直线交于点 N， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．
20．（ 15 分）设函数 f （x） =x3+ ， x∈ [ 0，1] ，证明：
（Ⅰ）f（x）≥ 1﹣x+x2
（Ⅱ）＜ f（x）≤．
2016 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5 分）已知全集 U={ 1，2，3，4，5， 6} ，集合 P={ 1，3，5} ，Q={ 1，2，4} ，
则（ ?U P）∪ Q=（）
A．{ 1} B．{ 3， 5} C． { 1，2，4，6} D．{ 1，2，3，4，5}
【分析】先求出 ?U P，再得出（ ?U P）∪ Q．
【解答】解： ?U P={ 2，4，6} ，
（?U P）∪ Q={ 2，4，6} ∪{ 1， 2，4} ={ 1，2，4，6} ．
故选： C．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）
A．m∥ l B．m∥ n C．n⊥l D． m⊥n
【分析】由已知条件推导出l? β，再由 n⊥β，推导出 n⊥l ．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或 m? β或 m 与β相交， l?
β，∵ n⊥β，
∴n⊥ l．
故选： C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间
思维能力的培养．
3．（5 分）函数 y=sinx2的图象是（）
A．B．C．
D．
【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．
【解答】解：∵ sin（﹣ x）2=sinx2，
∴函数 y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除 A，C；
由y=sinx2 =0，
则 x2=kπ，k≥0，
则x=±，k≥0，
故函数有无穷多个零点，排除 B，
故选： D．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性
质是解决本题的关键．比较基础．
4．（ 5 分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两
条平行直线间的距离的最小值是（）
A．B．C．D．
【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算
距离．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
∴当直线 y=x+b 分别经过 A，B 时，平行线间的距离相等．
联立方程组，解得 A（2，1），
联立方程组，解得 B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即 x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．
∴平行线间的距离为d==，
故选： B．
【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
5．（5 分）已知 a，b＞0 且 a≠1，b≠1，若 log a b＞ 1，则（）
A．（a﹣1）（ b﹣ 1）＜ 0 B．（ a﹣ 1）（a﹣b）＞ 0 C．（b﹣ 1）（b﹣a）＜0 D ．（ b ﹣ 1）（b﹣a）＞ 0
【分析】根据对数的运算性质，结合a＞ 1 或 0＜a＜1 进行判断即可．
【解答】解：若 a＞ 1，则由 log a b＞ 1 得 log a b＞log a a，即 b＞a＞ 1，此时 b﹣ a＞0，b＞1，即（ b﹣1）（ b﹣a）＞ 0，
若0＜a＜1，则由 log a b＞1 得 log a b＞log a a，即 b＜a＜1，此时 b﹣a＜0，b＜1，
即（ b﹣1）（ b﹣ a）＞
0，综上（ b﹣1）（b﹣a）
＞ 0，故选： D．
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数
学思想是解决本题的关键．比较基础．
6．（5 分）已知函数 f （x ）=x 2+bx ，则 “b＜ 0”是“f（f （x ））的最小值与
f （x ）的
最小值相等 ”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【分析】求出 f （x ）的最小值及极小值点，分别把 “b＜0”和“f（f （x ））的最小值
与 f （ x ）的最小值相等 ”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．
【解答】 解： f （x ）的对称轴为 x=﹣ ， f min （ x ） =﹣ ．
（ 1）若 b ＜0，则﹣ ＞﹣
，∴当 f （x ）=﹣ 时，f （f （x ））取得最小值 f （﹣
） =﹣
，
即 f （ f （x ））的最小值与 f （x ）的最小值相等．
∴“b＜0”是 “f（f （ x ））的最小值与 f （ x ）的最小值相等 ”的充分条件．
（ 2）设 f （x ）=t ，则 f （ f （x ））=f （t ），
∴ f （t ）在（﹣ ，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，+∞）上单调递增，若 f （ f （x ））=f （t ）的最小值与 f （ x ）的最小值相等，
则﹣ ≤﹣ ，解得 b ≤ 0 或 b ≥2．
∴“b＜0”不是 “f（f （x ））的最小值与 f （x ）的最小值相等 ”的必要条件． 故选： A ．
【点评】 本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． 7．（5 分）已知函数 f （ x ）满足： f （x ）≥ | x| 且 f （ x ）≥ 2x
，x ∈R ．（ ） A ．若 f （ a ）≤ | b| ，则 a ≤b
B ．若 f （a ）≤ 2b
，则 a ≤b
C ．若 f （ ）≥ | b| ，则 ≥
D ．若 f （a ）≥ 2 b
，则 a ≥b
a a b
【分析】 根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．
【解答】 解： A ．若 f （ a ）≤ | b| ，则由条件 f （x ）≥ | x| 得 f （a ）≥ | a| ，即 | a| ≤| b| ，则 a ≤ b 不一定成立，故 A 错误，
B ．若 f （ a ）≤ 2b
，
则由条件知 f （x ）≥ 2x ，
即 f （ a ）≥ 2a ，则 2a ≤f （a ）≤ 2b ，
则 a ≤b ，故 B 正确，
C ．若 f （a ）≥ | b| ，则由条件 f （x ）≥| x| 得 f （a ）≥ | a| ，则| a| ≥| b| 不一定成
立，故 C 错误，
D ．若 f （ a ）≥ 2b ，则由条件 f （x ）≥2x ，得 f （ a ）≥2a ，则 2a ≥2b ，不一定成立，
即 a ≥b 不一定成立，故 D 错误，故选： B ．
【点评】本题主要考查不等式的判断和证明， 根据条件， 结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
8．（ 5 分）如图，点列 {A n } 、{ B n } 分别在某锐角的两边上，且 | A n A n +1| =| A n +1A n +2| ，
n n +1
，n ∈N * ，| B n n +1n +1 n +2 ， n ≠ n +1 ， ∈ * ，（P ≠Q 表示点 P 与 Q 不 A ≠ A B | =| B B | B B n N 重 合 ） 若 d n =| A n B n | ， S n
为 △ A n B n B n +1 的 面 积 ， 则 （ ）
A ．{ S n } 是等差数列
B ． { S n 2} 是等差数列
C ．{ d n } 是等差数列
D ．{ d n 2} 是等差数列
【分析】 设锐角的顶点为 O ，再设 | OA 1| =a ， | OB 1| =c ， | A n A n +1| =| A n +1A n +2| =b ，
| B n n +1n +1 n +2
，由于 ， 不确定，判断 ， 不正确，设△ n n n +1 的底 B | =| B B | =d a c C D A B B 边 B n B n +1 上的高为 h n ，运用三角形相似知识，
h n +h n +2=2h n +1，由 S n = d?h n ，可得
S n +S n +2=2S n +1，进而得到数列 { S n } 为等差数列．
【解答】 解：设锐角的顶点为 O ，| OA 1| =a ， | OB 1 | =c ，
| A n A n +1| =| A n +1A n +2| =b ，| B n B n +1| =| B n +1B n +2| =d ，
由于 a ，c 不确定，则 { d n } 不一定是等差数列，
{ d n 2} 不一定是等差数列，
设△ A n B n B n +1 的底边 B n B n +1 上的高为 h n ，
由三角形的相似可得
= = ，
.
==，
两式相加可得，==2，
即有 h n+h n+2=2h n+1，
由S n= d?h n，可得 S n +S n+2=2S n+1，
即 S n+2S n+1=S n+1S n，
数列 { S n} 等差数列．
另解：可△ A1B1B2，△ A2B2B3，?，A n B n B n+1直角三角形，
且A1B1， A2B2，?，A n B n直角，即有
h n+h n+2=2h n+1，
由 S n= d?h n，可得 S n +S n+2=2S n+1，
即 S n+2S n+1=S n+1S n，
数列 { S n} 等差数列．
故： A．
【点】本考等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性，
考化整理的推理能力，属于中档．
二、填空
9．（ 6 分）某几何体的三如所示（位： cm），几何体的表面是 80 cm2，体是 40 cm3．
【分析】根据几何体的三，得出几何体下部方体，上部正方体的合体，合中数据求出它的表面和体即可．【解答】解：根据几何体的三，得；
几何体是下部方体，其和都4，高 2，
表面 2×4× 4+2×42=64cm2，体 2× 42=32cm3；
上部正方体，其棱2，
表面是 6×22 =24 cm2，体 23 =8cm3；
所以几何体的表面64+242×22=80cm2，
体 32+8=40cm3．
故答案为： 80； 40．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，
也考查了空
间想象和计算能力，是基础题．
10．（ 6 分）已知 a ∈R ，方程 a 2x 2+（a+2）y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是
（﹣ 2，﹣ 4） ，半径是
5 ．
【分析】 由已知可得 a 2=a+2≠ 0，解得 a=﹣1 或 a=2，把 a=﹣1 代入原方程，配
方求得圆心坐标和半径，把
a=2 代入原方程，由 D 2+E 2﹣ 4F ＜0 说明方程不表示
圆，则答案可求．
【解答】 解：∵方程 a 2x 2+（a+2） y 2+4x+8y+5a=0 表示圆，
∴ a 2=a+2≠ 0，解得 a=﹣1 或 a=2．
当 a=﹣ 1 时，方程化为 x 2 +y 2+4x+8y ﹣ 5=0， 配方得（ x+2） 2+（y+4）2 ，所得圆的圆心坐标为（﹣
，﹣ 4 ），半径为 ；
=25 2
5 当 a=2 时，方程化为 ，
此时
，方程不表示圆，
故答案为：（﹣ 2，﹣ 4）， 5．
【点评】 本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
11．（6 分）已知 2cos 2
x+sin2x=Asin （ ωx +φ）+b （A ＞0），则 A= ，b= 1 ．
【分析】 根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
【解答】 解：∵ 2cos 2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+ （
cos2x+ sin2x ）
=
sin （2x+ ）+1，
∴ A= ，b=1， 故答案为： ； 1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、 两角和的正弦函数的应用， 熟练掌握公
式是解题的关键．
12．（ 6 分）设函数 f （x ）=x 3+3x 2+1，已知 a ≠ 0，且 f （x ）﹣ f （ a ） =（ x ﹣b ）（x ﹣ a ） 2，x ∈R ，则实数 a= ﹣2 ， b= 1 ．
【分析】根据函数解析式化简 f （x ）﹣f （a ），再化简（ x ﹣ b ）（x ﹣a ）2 ，根据等
式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b 的值．
【解答】解：∵ f（x）=x3+3x2+1，
∴f（x）﹣ f（a）=x3+3x2+1﹣（ a3+3a2+1）
=x3+3x2﹣（ a3+3a2）
∵（ x﹣ b）（x﹣a）2=（ x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（ 2a+b）x2+（a2+2ab）x ﹣a2b，且 f（ x）﹣ f（ a） =（x﹣b）（x﹣a）2，
∴，解得或（舍去），
故答案为：﹣ 2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．13．（4 分）设双曲线 x2﹣=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，若点 P 在双曲线上，且△ F1 2为锐角三角形，则 1 2 的取值范围是．PF | PF |+| PF |
【分析】由题意画出图形，以 P 在双曲线右支为例，求出∠ PF2 1 和∠ 1 2 为直
F F PF
角时 | PF12 的值，可得△ 1 2 为锐角三角形时12 的取值范围．|+| PF | F PF | PF |+| PF |
【解答】解：如图，
由双曲线 x2﹣=1，得 a2=1，b2=3，
∴．
不妨以 P 在双曲线右支为例，当PF2⊥x 轴时，
把x=2 代入 x2﹣ =1，得 y=±3，即 | PF2| =3，
此时 | PF1 2 ，则12；
| =| PF |+ 2=5 | PF |+| PF | =8
由 PF1⊥ 2 ，得，
PF
又 | PF1﹣ 2 ，①
| | PF | =2
两边平方得：，
∴ | PF1|| PF2| =6，②
联立①②解得：，
此时 | PF1|+| PF2| =．
∴使△ F1PF2为锐角三角形的 | PF1|+| PF2| 的取值范围是（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思
想方法，是中档题．
14．（4 分）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD′，直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是．
【分析】如图所示，取 AC的中点 O，AB=BC=3，可得 BO⊥AC，在 Rt△ ACD′中，AC= ．作 D′E⊥AC，垂足为 E，D′ E= ． CO= ，CE= = ， EO=CO﹣
CE= ．过点 B 作 BF∥AC，作 FE∥BO 交 BF于点 F，则 EF⊥AC．连接 D′F．∠FBD′为直线 AC与 BD′所成的角．则四边形 BOEF为矩形，
BF=EO= ．EF=BO= ．则
∠ FED′为二面角 D′﹣CA﹣ B 的平面角，设为θ．利用余弦定理求出
2
D′F的最小值
即可得出．
【解答】解：如图所示，取AC的中点 O，∵ AB=BC=3，∴ BO⊥AC，在 Rt△ACD′中，=．
作 D′E⊥AC，垂足为 E，D′E==．
CO= ， CE== =，
∴EO=CO﹣ CE= ．
过点 B 作 BF∥ AC，作 FE∥BO 交 BF于点 F，则 EF⊥ AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与 BD′所成的角．
则四边形 BOEF为矩形，∴ BF=EO=．
EF=BO==．
则∠ FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角，设为θ．
2 ﹣×
则 D′F
+ cos θ= ﹣5cos θ≥， cos θ =1时取= 2
等号．
∴ D′B的最小值
= =2．
∴直线 AC与 BD′所成角的余弦的最大值 ===．
也可以考虑利用向量法求解．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与
计算能力，属于难题．
15．（ 4 分）已知平面向量，，| | =1，| | =2，=1，若为平面单位向量，
则 | |+| | 的最大值是．
【分析】由题意可知， | |+| | 为在上的投影的绝对值与在上投影的
绝对值的和，由此可知，当与共线时，| |+| | 取得最大值，即．
【解答】解： | |+| | = ，
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，
当与共线时，取得最大值．
∴= ．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概
念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题
16．（14 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 b+c=2acosB．（1）证明： A=2B；
（2）若 cosB= ，求 cosC的值．
【分析】（ 1）由 b+c=2acosB，利用正弦定理可得： sinB+sinC=2sinAcosB，而 sinC=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得： sinB=sin（A﹣B），由 A，B∈（ 0，π），可得 0＜A﹣B＜π，即可证明．
（ II）cosB= ，可得 sinB= ．cosA=cos2B=2cos ﹣，．利
B 1 sinA=
用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得
出．【解答】（1）证明：∵ b+c=2acosB，
∴ sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣ cosAsinB=sin（ A﹣ B），由 A，B∈（ 0，π），
∴0＜ A﹣ B＜π，∴ B=A﹣B，或 B=π﹣（ A﹣B），化为 A=2B，或 A=π（舍去）．∴A=2B．
（ II）解： cosB= ，∴ sinB==．
cosA=cos2B=2cosB﹣1=，sinA==．
∴ cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（ 15 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式 a n；
（Ⅱ）求数列 {| a n﹣ n﹣2|} 的前 n 项和．
【分析】（Ⅰ ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证
明数列 { a n} 是公比 q=3 的等比数列，即可求通项公式 a n；
（Ⅱ）讨论 n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{| a n﹣n﹣2|} 的前 n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵ S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．
∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，
解得 a1=1，a2=3，
当 n≥2 时， a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，
两式相减得 a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，
即a n+1 =3a n，当 n=1 时， a1=1，
a2=3，满足 a n+1=3a n，
∴=3，则数列 { a n} 是公比 q=3 的等比数列，
则通项公式 a n=3n﹣1．
（Ⅱ）a n﹣ n﹣ 2=3n﹣1﹣ n﹣2，
设b n=| a n﹣ n﹣ 2| =| 3n﹣1﹣n﹣2| ，
则b1=| 30﹣ 1﹣ 2| =2， b2=| 3﹣2﹣2| =1，
当 n≥3 时， 3n﹣1﹣n﹣2＞0，
则b n=| a n﹣ n﹣ 2| =3n﹣1﹣n﹣2，
此时数列 {| a n﹣
n ﹣
2|}
的前
n
项和n ﹣
T =3+
=，
则 T n==．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{ a n } 是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．
18．（ 15 分）如图，在三棱台A BC﹣ DEF中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证： BF⊥平面 ACFD；
（Ⅱ）求直线 BD 与平面 ACFD所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长 AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出 BF⊥ AC．而根据条件可以判断出点 E，F 分别为边 BK，CK的中点，从而得出△ BCK 为等边三角形，进而得出 BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定
理即可得出 BF⊥平面 ACFD；
（Ⅱ）由 BF⊥平面 ACFD便可得出∠ BDF为直线 BD 和平面 ACFD所成的角，根
据条件可以求出BF=，DF=，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面 ACFD所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF 相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面 ABC，且 AC⊥BC；
∴AC⊥平面 BCK， BF? 平面 BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△ BCK为等边三角形，且F 为 CK的中点；
∴BF⊥CK，且 AC∩CK=C；
∴BF⊥平面 ACFD；
（Ⅱ）∵ BF⊥平面 ACFD；
∴∠ BDF是直线 BD和平面 ACFD所成的角；
∵F 为 CK中点，且 DF∥AC；
∴DF为△ ACK的中位线，且 AC=3；
∴；
又；
∴在 Rt△ BFD中，，cos；
即直线 BD和平面 ACFD所成角的余弦值为
【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
19．（ 15 分）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 | AF| ﹣1，
（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p 值；
（Ⅱ）设出直线AF 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线 BN 的方程，根据 A、M、N 三点共线，可求出 M 的横坐标的表达式，从而求出 m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x= ﹣ 1 的距离，
由抛物线定义得，，即 p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（ t2，2t ），t ≠0，t≠± 1，
∵ AF不垂直 y 轴，
∴设直线 AF： x=sy+1（s≠0），
联立，得 y2﹣4sy﹣4=0．
y1y2=﹣4，
∴ B（），
又直线 AB 的斜率为，故直线FN的斜率为，
从而得 FN：，直线BN：y=﹣，
则 N（），
设 M （m， 0），由 A、M、N 三点共线，得，
于是 m==，得m＜0或m＞2．
经检验， m＜0 或 m＞2 满足题意．
∴点 M 的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（ 2， +∞）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．
20．（ 15 分）设函数 f （x） =x3+，x∈[ 0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥ 1﹣x+x2
（Ⅱ）＜f（x）≤．
【分析】（Ⅰ ）根据题意， 1﹣ x+x2﹣x3=，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；
（Ⅱ）利用 0≤x≤1 时 x3≤x，证明 f（ x）≤，再利用配方法证明f（ x）≥，结合函数的最小值得出f（x）＞，即证结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 f （x）=x3+ ，x∈[ 0，1] ，
且 1﹣x+x2﹣x3= =，
所以≤，
所以 1﹣x+x2﹣ x3≤，
即f（ x）≥ 1﹣x+x2；
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以 x3≤x，
所以 f （x） =x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤；
由（Ⅰ）得， f（x）≥ 1﹣x+x2= + ≥ ，
且 f（）=+ = ＞，
所以 f （x）＞；
综上，＜ f（x）≤．
【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了
推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设z=，则|z|=（） A. 2 B. C. D. 1 2.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B∩?U A= （） A. B. C. D. 6， 3.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（） A. B. C. D. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂 维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿 长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( ) A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm 5.函数f（x）=在[-π，π]的图象大致为（） A. B. C. D. 6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生
7.tan255°=（） A. B. C. D. 8.已知非零向量满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（） A. B. C. D. 9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A. B. C. D. 10.双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率 为（） A. B. C. D. 11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A-b sin B=4c sin C，cos A=-， 则=（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ，，则C的方程为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.曲线y＝3（x2＋x）e x在点（0，0）处的切线方程为________． 14.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=，则S4=______． 15.函数f（x）=sin（2x+）-3cos x的最小值为______． 16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离 均为，那么P到平面ABC的距离为______．
绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）
2020年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合}043|{2<--=x x x A ，}5,3,1,4{-=B ，则=B A A. }1,4{- B. }5,1{ C. }5,3{ D. }3,1{ 2. 若3i i 21++=z ，则=||z A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 A. 4 15- B. 2 15- C. 4 15+ D. 215+ 4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O 、A 、B 、C 、D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A. 51 B. 52 C. 21 D. 5 4 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同 的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据)20,,2,1)(,( =i y x i i 得到下面的散点图： 2020.7
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是 A. bx a y += B. 2bx a y += C. x b a y e += D. x b a y ln += 6. 已知圆0622=-+x y x ，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数)6cos()(πω+=x x f 在],[ππ-的图像大致如下图，则)(x f 的最小正周期为 A. 910π B. 67π C. 34π D. 2 3π 8. 设24log 3=a ，则=-a 4 A. 161 B. 91 C. 81 D. 6 1 9. 执行右面的程序框图，则输出的n = A. 17 B. 19
2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科）1 选择题部分（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S ∩T= A 、[-4,+∞） B 、（-2, +∞） C 、[-4,1] D 、(-2,1] 2、已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)= A 、5-5i B 、7-5i C 、5+5i D 、7+5i 3、若αR ，则“α=0”是“sin α
2014年全国高考数学卷文科卷1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- 2．若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 3．设i i z ++= 11 ，则=||z A. 2 1 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 4．已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为 2，则=a A. 2 B. 2 6 C. 2 5 D. 1 5．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A.)()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(| x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 6．设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B. AD 2 1 C. BC 2 1 D. BC 7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)6 2cos(π+=x y ,④)4 2tan(π-=x y 中，最小 正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
2015年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）（2015?浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（）A．[3，4）B．（2，3] C．（﹣1，2）D．（﹣1，3] 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出集合P，然后求解交集即可． 解答：解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}， Q={x|2＜x＜4}， 则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）． 故选：A． 点评：本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（） A．8cm3B．12cm3C．D． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥， 所求几何体的体积为：23+×2×2×2=． 故选：C． 点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015?浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 解答：解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立． 如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立， 所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查． 4．（5分）（2015?浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β，（） A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m 考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析： A根据线面垂直的判定定理得出A正确； B根据面面垂直的性质判断B错误； C根据面面平行的判断定理得出C错误； D根据面面平行的性质判断D错误． 解答：解：对于A，∵l⊥β，且l?α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确； 对于B，当α⊥β，l?α，m?β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误； 对于C，当l∥β，且l?α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误； 对于D，当α∥β，且l?α，m?β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误． 故选：A． 点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目． 5．（5分）（2015?浙江）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D． 考点：函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分析：由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，1）上，f （x）＜0，结合所给的选项，得出结论． 解答： 解：对于函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国3卷) 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012， ， 2．()()12i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i + 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
4．若1 sin 3 α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 6．函数 ()2tan 1tan x f x x = +的最小正周期为（ ） A ． 4 π B ． 2 π C ．π D ．2π 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+ 8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值围是（ ） A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．??
2014年全国大纲卷高考文科数学真题及答案2014年普通高等学校统一考试(大纲) 文科数学 第?卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合，则中元素的个数为MNMN,,{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}( ) A(2 B(3 C(5 D(7 2.已知角的终边经过点，则( ) ,cos,,(4,3), 4334A( B( C( D( ,, 5555 xx(2)0，,,3.不等式组的解集为( ) ,||1x,, A( B( C( D( {|21}xx,,,,{|10}xx,,,{|01}xx,,{|1}xx,4.已知正四面体ABCD 中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) 3311A( B( C( D( 6336 35.函数的反函数是( ) yxx,，,,ln(1)(1) x3x3A(yex,,,,(1)(1) B(yex,,,,(1)(1) x3x3C(yexR,,,(1)() D(yexR,,,(1)()
06.已知为单位向量，其夹角为，则( ) ab、(2)abb,,,60 A(-1 B(0 C(1 D(2 7. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A(60种 B(70种 C(75种 D(150种 8.设等比数列的前n项和为，若则( ) {}aSSS,,3,15,S,nn246A(31 B(32 C(63 D(64 22xy 9. 已知椭圆C:，,1的左、右焦点为、，离心率FF(0)ab,,1222ab 3为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则CF,AFB4321 3 的方程为( ) 2222222xyxyxyx2A(，,1 B(，,y1 C(，,1 D(，,1 33212812410.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) 81,27,A( B( C( D( 16,9, 4422xy ,,,,1(0,0)ab11.双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距 22ab 离为，则C的焦距等于( ) 3 A(2 B( C(4 D( 2242
2017年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合}023|{}2|{>-=<=x x B x x A ，，则 A. }23 |{<=x x B A I B. ?=B A I C. }2 3 |{<=x x B A Y D. R =B A Y 2. 为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田。这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ， 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x 1，x 2，…，x n 的平均数 B. x 1，x 2，…，x n 的标准差 C. x 1，x 2，…，x n 的最大值 D. x 1，x 2，…，x n 的中位数 3. 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A. i(1 + i)2 B. i 2(1 - i) C. (1 + i)2 D. i(1 + i) 4. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑 色部分的概率是 A. 41 B. 8π C. 2 1 D. 4 π 5. 已知F 是双曲线C ：13 2 2 =-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为 A. 3 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 2 3 6. 如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中， 直线AB 与平面MNQ 不平行的是 A. B. C. D. 2017.6
2016年浙江省高考数学试卷（文科） 一．选择题（共8小题） 1．【2016浙江（文）】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（?U P）∪Q=（） A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】解：?U P={2，4，6}， （?U P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}． 2．【2016浙江（文）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C 【解析】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m?β或m⊥β，l?β， ∵n⊥β，∴n⊥l． 3．【2016浙江（文）】函数y=sinx2的图象是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】解：∵sin（﹣x）2=sinx2， ∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C； 由y=sinx2=0， 则x2=kπ，k≥0， 则x=±，k≥0， 故函数有无穷多个零点，排除B，
4．【2016浙江（文）】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则 这两条平行直线间的距离的最小值是（） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】解：作出平面区域如图所示： ∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等． 联立方程组，解得A（2，1）， 联立方程组，解得B（1，2）． 两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0． ∴平行线间的距离为d==， 5．【2016浙江（文）】已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0 【答案】D 【解析】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 综上（b﹣1）（b﹣a）＞0， 6．【2016浙江（文）】已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）
高考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩?∪A=（） A．{2} B．{3，4} C．{1，4，5} D．{2，3，4，5} 2．（5分）已知，则双曲线C1：与C2： 的（） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（） A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y与x负相关且=2.347x﹣6.423； ②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y与x正相关且=5.437x+8.493； ④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578． 其中一定不正确的结论的序号是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）
A．B． C．D． 6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（） A．B．C．D． 7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（） A．B．C．D． 8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（） A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数 9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（） A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元 10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞） 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|-1＜x ＜3｝，N=｛x|-2＜x ＜1｝则M ∩N=（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α （3）设i i z ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 2 3 D. 2 （4）已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. AD B. AD 21 C. BC D. BC 21 (7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ （8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体 的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ) 文科数学（必修+选修Ⅰ） 注意事项： 1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分， 考试时间120分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或 在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 4π3 V R = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题 1．cos330=（ ） A ． 12 B ．12 - C D ．2．设集合{1 234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =e（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{124}，， D ．{1 4}，
绝密★考试结束前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式 11221 ()3 V h S S S S =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 34 3 V R π= 其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么 ()()()P A B P A P B +=+
一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合}5|{},2|{≤=≥=x x T x x S ，则=T S A. ]5,(-∞ B.),2[+∞ C. )5,2( D. ]5,2[ 2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD 。则“四边形ABCD 为菱形”是“A C ⊥BD ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A .72cm 3 B . 90 cm 3 C .108 cm 3 D . 138 cm 3 4．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像 A ．向右平移 12π个单位 B ．向右平移4π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4 π 个单位 5. 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 6. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面 A ．若m ⊥n ，n ∥α则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β, n ⊥α则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α 7. 已知函数c bx ax x x f +++=23)(,且3)3()2()1(0≤-=-=-
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（） A．2个B．4个C．6个D．8个 2．（5分）复数=（） A．2﹣iB．1﹣2iC．﹣2+iD．﹣1+2i 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x| 4．（5分）椭圆=1的离心率为（） A．B．C．D． 5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（） A．120B．720C．1440D．5040
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） A．B．C．D． 7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（） A．﹣B．﹣C．D． 8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（） A．B．C．D． 9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（） A．18B．24C．36D．48 10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，） 11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1. 设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =U A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 2. (1)(2)i i ++= A.1i - B. 13i + C. 3i + D.33i + A.4π B.2π C. π D. 2 π 4. 设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A. a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 5. 若1a >，则双曲线22 21x y a -=的离心率的取值范围是 A. 2+∞（，） B. 22（，） C. 2（1，） D. 12（，） 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将 一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π 7. 设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤?? -+≥??+≥? 。则2z x y =+ 的最小值是 A. -15 B.-9 C. 1 D 9 8. 函数2 ()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(-∞,-2) B. (-∞,-1) C.(1, +∞) D. (4, +∞) 9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A. 乙能够知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 C. 乙、丁能够知道对方的成绩 D. 乙、丁能够知道自己的成绩 10. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S=
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） 文科数学(必修+选修) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)cos300?= (A)2- 12 (C)12 (D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1 cos300cos 36060cos 602 ?=?-?=?= (2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则() U N M ?=e A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =e，{}1,3,5N =，则() U N M ?=e{}1,3,5{}2,3,5?={}3,5
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 第Ｉ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi += (A) 34i - (B) 34i + (C) 43i - (D) 43i + (2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B = (A) (0,2] (B) (1,2) (C) [1,2) (D) (1,4) (3) 函数21 ()log 1 f x x = -的定义域为 (A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ (4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程3 0x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根 (B) 方程3 0x ax b ++=至多有一个实根 (C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程3 0x ax b ++=恰好有两个实根 (5) 已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33 x y > (B) sin sin x y > (C) 22 ln(1)ln(1)x y +>+ (D) 221111 x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) 0,1a c >> (B) 1,01a c ><< (C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<< (7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为 6 π ，则实数m = (A) 23 (B) 3 (C) 0 (D) 3- (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 x E O
2019年高考浙江卷数学文科解析 2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T =（ ） A. ]5,(-∞ B. ),2[+∞ C. )5,2( D.]5,2[ 【答案】D 【解析】 试题分析：依题意[2,5]S T =，故选D. 点评：本题考查结合的交运算，容易题. 2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不成分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：若四边形ABCD 为菱形，则对角线BD AC ⊥；反之若BD AC ⊥，则四边形比一定是平行四边形，故“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的充分不必要条件，选A. 点评：本题考查平行四边形、 菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题. 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 372cm B. 390cm C. 3108cm D. 3138cm 【答案】B 【解析】 试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(903432 1 6432cm V =???+ ??=，故选B. 点评：本题考查根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题. 4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3sin 2=的图象（ ） A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π 个单位长 C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4 π 个单位长 【答案】C 【解析】 试题分析：因为)4 3sin(23cos 3sin π +=+=x x x y ，所以将函数x y 3sin 2=的图象 向左平移12π个单位长得函数3()12 y x π =+，即得函数x x y 3cos 3sin +=的图象，选C. 点评：本题考查三角函数的图象的平移变换， 公式)4 sin(2c os sin π +=+x x x 的运 用，容易题. 5.已知圆0222 2 =+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ） A.2- B. 4- C. 6- D.8-