第2课时摩擦力
考纲解读 1.会判断摩擦力的有无和方向.2.会计算摩擦力的大小．
1．[对摩擦力的理解]下列关于摩擦力的说法正确的是() A．摩擦力的方向总与物体的运动方向相反
B．摩擦力的大小与相应的正压力成正比
C．运动着的物体不可能受静摩擦力作用，只能受滑动摩擦力作用
D．静摩擦力的方向与接触物体相对运动趋势的方向相反
答案 D
解析摩擦力的方向与物体的运动方向可以相同也可以相反，故A错；静摩擦力的方向总是与物体间相对运动趋势的方向相反，故D对；静摩擦力存在于相对静止的物体间，物体可以是静止的，也可以是运动的，故C错；滑动摩擦力大小与正压力成正比，静摩擦力与正压力无关，最大静摩擦力与正压力成正比，故B错．
2．[对滑动摩擦力的理解]有关滑动摩擦力的下列说法中，正确的是() A．有压力一定有滑动摩擦力
B．有滑动摩擦力一定有压力
C．滑动摩擦力总是与接触面上的压力垂直
D．只有运动物体才受滑动摩擦力
答案BC
解析产生滑动摩擦力的条件有四个：相互接触、挤压、接触面粗糙、发生相对滑动，四者缺一不可．由产生滑动摩擦力的条件可知A选项错，B选项正确．滑动摩擦力方向与接触面相切，而压力垂直于接触面，所以滑动摩擦力方向跟接触面所受压力垂直，C 选项正确．如擦黑板时，黑板是静止的，但其相对黑板擦是运动的，也受滑动摩擦力，所以关键是“相对运动”，故D选项错误．
3．[关于摩擦力的计算]在水平力F作用下，重为G的物体沿墙壁匀速下滑，如图1所示．若物体与墙壁之间的动摩擦因数为μ，则物体所受的摩擦力
的大小为()
A．μF B．μF＋G 图1 C．G D.F2＋G2
答案AC
解析水平方向F＝F N，由F f＝μF N得F f＝μF；由竖直方向二力平衡得F f＝G.
考点梳理
1．定义：两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势时，在接触面上产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力．
2．产生条件
(1)接触面粗糙；
(2)接触处有挤压作用；
(3)两物体间有相对运动或相对运动的趋势．
3．方向：与受力物体相对运动或相对运动趋势的方向相反．
4．大小
(1)滑动摩擦力：F＝μF N；
(2)静摩擦力：0 4．[静摩擦力的判断]如图2所示，放在水平桌面上的木块A处于 静止状态，所挂的托盘和砝码总质量为0.6 kg，弹簧秤读数 为2 N，滑轮摩擦不计．若轻轻取走部分砝码，使总质量减 小为0.4 kg，将会出现的情况是(g＝10 m/s2) () A．A对桌面的摩擦力不变图2 B．A所受合力增大 C．A仍静止不动 D．弹簧秤的读数减小 答案 C 5．[利用假设法判断摩擦力的方向]分析图3中各种情况下物体A所受摩擦力的方向． 图3 答案(a)A受沿传送带向上的静摩擦力． (b)A受沿斜面向上的静摩擦力． (c)A受竖直向上的静摩擦力． (d)酒瓶A受竖直向上的静摩擦力． (e)A受水平向右的静摩擦力． 方法提炼 1．判断静摩擦力方向的方法——假设法 2．滑动摩擦力的计算 F f＝μF N.F N是产生滑动摩擦力的前提，且F N与F f一定相互垂直. 考点一静摩擦力方向的判断 1．假设法：静摩擦力的方向一定与物体相对运动趋势方向相反，利用“假设法”可以判断出物体相对运动趋势的方向． 2．状态法：根据二力平衡条件、牛顿第二定律，可以判断静摩擦力的方向． 3．利用牛顿第三定律(即作用力与反作用力的关系)来判断，此法关键是抓住“力是成对出现的”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“反向”确定另一物体受到的静摩擦力的方向． 例1(2011·天津·2)如图4所示，A、B两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B受到 的摩擦力() 图4 A．方向向左，大小不变 B．方向向左，逐渐减小 C．方向向右，大小不变 D．方向向右，逐渐减小 解析对A、B整体受力分析如图所示，滑动摩擦力F使整体产生加 速度a，a等于μg不变，对B受力分析知，B所受静摩擦力F f＝m B·a＝ μm B g，大小不变，方向向左，故A对，B、C、D错． 答案 A 应用“状态法”解题时应注意的问题 状态法是分析判断静摩擦力有无及方向、大小的常用方法,用该方法可以不必分析物体相对运动的趋势，使模糊不清的问题明朗化，复杂的问 题简单化．在使用状态法处理问题时，需注意以下两点： (1)明确物体的运动状态，分析物体的受力情况，根据平衡方程或牛顿第二 定律求解静摩擦力的大小和方向． (2)静摩擦力的方向与物体的运动方向没有必然关系，可能相同，也可能相 反，还可能成一定的夹角． 突破训练1如图5所示，两个方向相反的水平力F1和F2分别作用在 物体B、C上，力的大小满足F2＝2F1＝2F.物体A、B、C均处于静 止状态，各接触面与水平地面平行．物体A、C间的摩擦力大小图5 为F f1，物体B、C间的摩擦力大小为F f2，物体C与地面间的摩擦力大小为F f3，则() A．F f1＝F，F f2＝F，F f3＝0 B．F f1＝0，F f2＝F，F f3＝F C．F f1＝F，F f2＝0，F f3＝0 D．F f1＝0，F f2＝F，F f3＝2F 答案 B 解析由于各物体均静止，所以它们受到的合外力均为零；物体A不会受C的摩擦力，否则A将加速，和题意状态矛盾，所以F f1＝0；B受到的合外力为零，则F f2＝F1＝F； 对C受力分析，水平方向上应有：F2＝F f2′＋F f3＝F＋F f3，F f3＝F，即地面对C有向右的摩擦力F，综上所述可知，选项B正确． 考点二摩擦力大小的计算 计算摩擦力时首先要分清是静摩擦力还是滑动摩擦力． (1)滑动摩擦力由公式F＝μF N计算，应用此公式时要注意以下两点： ①μ为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、表面的粗糙程度有关；F N为两接触面间的 正压力，其大小不一定等于物体的重力． ②滑动摩擦力的大小与物体的运动速度无关，与接触面积的大小无关． (2)静摩擦力的计算 ①它的大小和方向都跟产生相对运动趋势的力密切相关，跟接触面相互挤压力F N无直接 关系，因此它具有大小、方向的可变性，变化性强是它的特点．对具体问题，要具体分析研究对象的运动状态，根据物体所处的状态(平衡、加速等)，由力的平衡条件或牛顿 运动定律求解． ②最大静摩擦力F max：是物体将要发生相对运动这一临界状态时的摩擦力．它的数值与 F N成正比，在F N不变的情况下，F max比滑动摩擦力稍大些，通常认为二者相等，而静 摩擦力可在0～F max间变化． 例2如图6所示，人重600 N，木块A重400 N，人与木块、木块与水平面间的动摩擦因数均为0.2.现人用水平力拉绳，使他与木块一起 向右做匀速直线运动，滑轮摩擦不计，求： (1)人对绳的拉力大小；图6 (2)人脚对A的摩擦力的大小和方向． 解析设绳子的拉力为F T，木块与地面间的摩擦力为F f A. (1)取人和木块为整体，并对其进行受力分析，如图甲所示，由题意可知 F f A＝μ(m A＋m人)g＝200 N. 甲 由于系统处于平衡状态，故 2F T＝F f A 所以F T＝100 N. (2)取人为研究对象，对其进行受力分析，如图乙所示． 由于人处于平衡状态，故 F T＝F f人＝100 N 由于人与木块A处于相对静止状态，故人与木块A之间的摩擦力为静摩擦 力．乙 由牛顿第三定律可知人脚对木块A的摩擦力方向水平向右，大小为100 N. 答案(1)100 N(2)100 N方向水平向右 1.在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用 整体法与隔离法进行分析． 2．受静摩擦力作用的物体不一定是静止的，受滑动摩擦力作用的物体 不一定是运动的． 3．摩擦力阻碍的是物体间的相对运动或相对运动趋势，但摩擦力不一 定阻碍物体的运动，即摩擦力不一定是阻力． 突破训练2如图7所示，质量为m B＝24 kg的木板B放在水平地面上，质量为m A＝22 kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上， 另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A 与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N的 图7 力F将木板B从木箱A下面匀速抽出(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，重力加速度g取10 m/s2)，则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为() A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 答案 A 解析对A受力分析如图甲所示，由题意得 F T cos θ＝F f1 ① F N1＋F T sin θ＝m A g ② F f1＝μ1F N1 ③ 由①②③得：F T＝100 N 对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得 F T cos θ＋F f2＝F ④ F N2＋F T sin θ＝(m A＋m B)g ⑤ F f2＝μ2F N2 ⑥ 由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A答案正确． 考点三摩擦力的突变问题 当物体的受力情况发生变化时，摩擦力的大小和方向往往会发生变化，有可能会导致静摩擦力和滑动摩擦力之间的相互转化． 该类问题常涉及摩擦力的突变问题，在分析中很容易发生失误．在解决此类问题时应注意以下两点： (1)如题干中无特殊说明，一般认为最大静摩擦力略大于滑动摩擦力． (2)由于此类问题涉及的过程较为复杂，采用特殊位臵法解题往往比采用过程分析法解题 更为简单． 例3长直木板的上表面的一端放有一个木块，如图8所示，木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角α变大)，另一端不动，则木块 受到的摩擦力F f随角度α的变化图象是下列图中的() 图8 解析 解法一：过程分析法 (1)木板由水平位臵刚开始运动时：α＝0，F f 静＝0. (2)从木板开始转动到木板与木块发生相对滑动前：木块所受的是 静摩擦力．由于木板缓慢转动，可认为木块处于平衡状态，受力 分析如图： 由平衡关系可知，静摩擦力大小等于木块重力沿木板向下的分力：F f 静＝mg sin α.因此，静摩擦力随α的增大而增大，它们满足正弦规律变化． (3)木块相对于木板刚好要滑动而没滑动时，木块此时所受的静摩擦力为最大静摩擦力F fm .α继续增大，木块将开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，且满足：F fm >F f 滑． (4)木块相对于木板开始滑动后，F f 滑＝μmg cos α，此时，滑动摩擦力随α的增大而减小，满足余弦规律变化． (5)最后，α＝π 2，F f 滑＝0 综上分析可知选项C 正确． 解法二：特殊位臵法 本题选两个特殊位臵也可方便地求解，具体分析见下表： 答案 C 解决本题的关键在于理清物理过程，分析物体所受的 摩擦力的类型，然后分阶段或选用恰当的位 置进行分析， 在本题中，如认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则答案应为B 项． 突破训练3如图9所示，把一重为G的物体，用一水平方向的推力 F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整墙上，从t＝0 开始物体所受的摩擦力F f随t的变化关系是下图中的() 图9 答案 B 解析物体在竖直方向上只受重力G和摩擦力F f的作用．由于F f从零开始均匀增大，开始一段时间F f 在整个运动过程中，摩擦力为滑动摩擦力，其大小为F f＝μF N＝μF＝μkt，即F f与t成正比，是一条过原点的倾斜直线． 当物体速度减为零后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，其大小F f＝G，所以物体静止后的图线为平行于t轴的线段．正确答案为B. 5．摩擦力认识的三个误区 (1)认为滑动摩擦力的大小与接触面积大小、物体速度大小有关 例4一块质量均匀分布的长方体木块按如图10甲、乙、丙所示的三种方式在同一水平面上运动，其中甲图中木块做匀速运动，乙图中木块做匀加速运动，丙图中木块侧立在水平面上做与甲图相同的运动．则下列关于甲、乙、丙三图中木块所受滑动摩擦力大小关系的判断正确的是() 图10 A．F f甲＝F f乙 C．F f甲＝F f乙＝F f丙D．F f丙 误区警示 1.认为图乙中物体加速运动，摩擦力就大，错选B. 2．认为接触面积大，滑动摩擦力就大，误选D. 正确解析根据公式F f＝μF N知，滑动摩擦力的大小与接触面的大小无关，与运动状态也无关，C正确． 答案 C 正本清源公式F f＝μF N中，μ与两接触面的粗糙程度有关，与两物体的材料有关，但与接触面积无关，与相对运动状态也无关. (2)不能认识到摩擦力性质、方向、大小会发生突变而产生错误 例5物体A的质量为1 kg，置于水平地面上，物体与地面的动摩擦因数μ＝0.2.从t＝0时刻开始，物体以一定初速度v0向右滑行的同时，受到一个水平向左、大小恒为F0＝1 N 的作用力．则反映物体受到的摩擦力F f随时间变化的图象是(取向右为正方向) () 误区警示误认为物体减速到零后，再反向加速，而误选B项． 正确解析物体在向右滑行时，受到的是滑动摩擦力，F f1＝μmg＝2 N，方向向左．由于F0＝1 N 答案 C 正本清源在分析摩擦力的大小与方向时，应首先判断准摩擦力的种类. (3)认为静止的物体只能受到静摩擦力，运动的物体只能受到滑动摩擦力 例6在图11甲中，箱子放在汽车上，汽车启动时，箱子随汽车一起从静止到运动．在图乙中，A在拉力F的作用下运动，B静止不动，试分别分析车中的箱子及物体B所受摩擦力的性质与方向． 甲乙 图11 误区警示有的学生认为甲中的箱子随车一起加速，它受的摩擦力一定是滑动摩擦力； 认为乙中的B静止，没有运动，因而受的是静摩擦力． 正确解析在图甲中，虽然箱子是运动的，但是却受到了汽车对它水平向右的静摩擦力作用．在图乙中，虽然B是静止的，但是却受到了A对它水平向左的滑动摩擦力作用．答案见解析 正本清源判断物体具有“相对运动”或“相对运动趋势”不是以地面为参考系，而是以相互作用的另外一个物体作为参考系，因此静止的物体可能受到静摩擦力，也可能受到滑动摩擦力；运动的物体可能受到滑动摩擦力，也可能受到静摩擦力. 高考题组 1．(2012·海南单科·8)下列关于摩擦力的说法，正确的是() A．作用在物体上的滑动摩擦力只能使物体减速，不可能使物体加速 B．作用在物体上的静摩擦力只能使物体加速，不可能使物体减速 C．作用在物体上的滑动摩擦力既可能使物体减速，也可能使物体加速 D．作用在物体上的静摩擦力既可能使物体加速，也可能使物体减速 答案CD 解析摩擦力总是阻碍物体的相对运动(或相对运动趋势)，而物体间的相对运动与物体的实际运动无关．当摩擦力的方向与物体的运动方向一致时，摩擦力是动力，方向相反时为阻力，故C、D项正确． 2．(2011·安徽·14)一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上．现对 物块施加一个竖直向下的恒力F，如图12所示．则物块() A．仍处于静止状态 B．沿斜面加速下滑图12 C．受到的摩擦力不变 D．受到的合外力增大 答案 A 解析由于物块恰好静止在斜面上，由平衡条件知 mg sin θ＝μmg cos θ①当加一竖直向下的力F时 F f＝μ(mg＋F)cos θ② 由①②得F f＝(mg＋F)sin θ，所以物块仍保持静止． 3．(2011·海南·5)如图13，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块 正在沿斜面以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩 擦力() A ．等于零 图13 B ．不为零，方向向右 C ．不为零，方向向左 D ．不为零，v 0较大时方向向左，v 0较小时方向向右 答案 A 解析 解法一 整体法． 选物块和斜劈组成的系统为研究对象，由于系统的加速度等于零，合力等于零，故系统在水平方向的合力等于零，因此地面对斜劈的摩擦力等于零．故A 正确． 解法二 隔离法． 选物块为研究对象，受力情况如图所示，由于物块匀速运动， 故F f cos α＝F N sin α. 选斜劈为研究对象，受力情况如图所示，假设地面对斜劈的 摩擦力为F f ″向右，则根据平衡条件，得F f ″＋F N ′sin α＝ F f ′cos α，且F f cos α＝F N sin α，F N ′＝F N ，F f ′＝F f ，所以F f ″＝F f cos α－F f cos α＝0.故A 正确． 4．(2010·课标全国·18)如图14所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F 1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F 2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F 1和F 2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为 ( ) 图14 A.3－1 B ．2－ 3 C. 32－1 2 D ．1－ 32 答案 B 解析 当用F 1拉物块时，由匀速直线运动的受力特点知： F 1cos 60°＝μF N1 ① F N1＋F 1sin 60°＝mg ② 当用F 2推物块时，由匀速直线运动的受力特点知： F 2cos 30°＝μF N2 ③ mg ＋F 2sin 30°＝F N2 ④ 又由题意知F 1＝F 2 ⑤ 联立①②③④⑤得μ＝2－ 3 模拟题组 5．在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到 高处进行救人或灭火作业，如图15所示．已知消防车梯子的下 端放置在粗糙的车厢表面上，上端靠在摩擦很小的竖直玻璃幕墙 上．消防车静止不动，在消防队员沿梯子匀速向上爬的过程中， 下列说法正确的是() 图15 A．车厢对梯子的作用力大小不变 B．墙对梯子的弹力大小不变 C．地面对车的摩擦力逐渐增大 D．地面对车的弹力大小不变 答案CD 解析对梯子及消防队员整体受力分析，墙对梯子的弹力F N x、梯子的重力mg及车厢对梯子的作用力F，这三个力必定为共点力，必定相交于一点，随着消防队员的重心往上移动，可知墙对梯子的弹力F N x增大、车厢对梯子的作用力增大，A、B均错．对消防车、消防队员及梯子整体受力分析：水平方向有地面对车的摩擦力F f和墙对梯子的弹力F N x，且F f＝F N x，竖直方向有整体的重力G和地面对车的弹力F N y.系统均处于平衡状态，故地面对车的弹力大小F N y总等于整体的重力G，D对；F N x增大，则F f增大，C对．6．如图16所示，楔形物块a固定在水平地面上，在其斜面上静止着 小物块b.现用大小一定的力F分别沿不同方向作用在小物块b上， 小物块b仍保持静止，如下图所示．则a、b之间的静摩擦力一定 增大的是() 图16 答案 A 解析未加力F前对b进行受力分析可知，b受沿斜面向上的静摩擦力．A中加力F后，静摩擦力一定增大；B、C中加力F后，静摩擦力可能减小，B、C错；D中加力F后，静摩擦力不变，D错．A选项正确． ?题组1对摩擦力的理解 1．关于摩擦力，有人总结了“四条不一定”，其中说法错误的是() A．摩擦力的方向不一定与物体的运动方向相同 B．静摩擦力的方向不一定与运动方向共线 C．受静摩擦力或滑动摩擦力的物体不一定静止或运动 D．静摩擦力一定是阻力，滑动摩擦力不一定是阻力 答案 D 解析摩擦力的方向与跟它相接触的物体的相对运动方向或相对运动趋势的方向相反，与它的运动方向可能相同，也可能相反，也可能不在一条直线上，故A、B正确；运动的物体可受静摩擦力作用，如随传送带一起加速的物体，静止的物体可受滑动摩擦力作用，如滑块滑过固定的木板时木板受的力，故C正确；静摩擦力也可以充当动力，故D 不正确． 2．卡车上放一木箱，车在水平路面上运动时，以下说法中正确的是() A．车启动时，木箱给卡车的摩擦力向后 B．车做匀速直线运动时，车给木箱的摩擦力向前 C．车做匀速直线运动时，车给木箱的摩擦力为零 D．车突然制动时，木箱获得向前的摩擦力，使木箱向前滑动 答案AC 解析车启动时，卡车及木箱均有向前的加速度，故卡车应给木箱一个向前的摩擦力，其反作用力应向后，故A项正确；匀速运动时，水平方向不受力或合力为零，故B项错误，C项正确．车突然制动时，减速运动，故加速度向后，木箱获得的摩擦力也向后，木箱向前减速滑行，D项错误． 3．人握住旗杆匀速上爬，则下列说法正确的是() A．人受到的摩擦力的方向是向下的 B．人受到的摩擦力的方向是向上的 C．人握旗杆用力越大，人受的摩擦力也越大 D．人握旗杆用力越大，并不会使人受的摩擦力也增大 答案BD 解析人的手与旗杆是相对静止的，人受到的是静摩擦力，方向沿杆向上，由二力平衡可知，摩擦力大小始终等于人的重力大小，故B、D正确． 4．如图1所示，物块A 放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30° 和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和木板间的动摩 擦因数为 ( ) A.12 B.32 图1 C.22 D. 52 答案 C 解析 由题意可以判断出，当倾角α＝30°时，物块受到的摩擦力是静摩擦力，大小为F f1＝mg sin 30°，当α＝45°时，物块受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为F f2＝μF N ＝μmg cos 45°，由F f1＝F f2得μ＝ 2 2 . 题组2 静摩擦力分析和计算 5．如图2所示，有一重力不计的方形容器，被水平力F 压在竖直的 墙面上处于静止状态，现缓慢地向容器内注水，直到注满为止， 此过程中容器始终保持静止，则下列说法正确的是 ( ) A ．容器受到的摩擦力不断增大 图2 B ．容器受到的摩擦力不变 C ．水平力F 必须逐渐增大 D ．容器受到的合力逐渐增大 答案 A 解析 由于容器始终保持静止，故摩擦力为静摩擦力，而且始终与容器受到的重力平衡，由于水的质量不断增大，因此静摩擦力也随之增大，只有A 正确． 6．如图3所示，倾角为θ的斜面体C 置于水平面上，B 置于斜面上， 通过细绳跨过光滑的定滑轮与A 相连接，连接B 的一段细绳与斜 面平行，A 、B 、C 都处于静止状态．则 ( ) A ．B 受到C 的摩擦力一定不为零 图3 B ． C 受到水平面的摩擦力一定为零 C ．不论B 、C 间摩擦力大小、方向如何，水平面对C 的摩擦力方向一定向左 D ．水平面对C 的支持力与B 、C 的总重力大小相等 答案 C 解析 由于B 受到的重力沿斜面向下的分力与绳对它的拉力 关系未知，所以B 受到C 的摩擦力情况不确定，A 错；对B 、 C 整体，受力如图所示，C 受到水平面的摩擦力与拉力的水平 分力相等，水平面对C 的支持力等于B 、C 的总重力大小与拉力的竖直分力的差值，故 C 对，B 、 D 错． 7．如下图所示，质量为m 的物块，在力F 作用下静止于倾角为α的斜面上，力F 大小相等且F ( ) 答案 D 解析 在A 中，mg sin α＝F ＋F fA ，F fA ＝mg sin α－F ； 在B 中，mg sin α＝F cos α＋F fB ，F fB ＝mg sin α－F cos α； 在C 中，mg sin α＝F fC ； 在D 中，(mg ＋F )sin α＝F fD . 由以上四式可知，F fD 最大，正确选项为D. 8．如图4所示，矩形物体甲和丙在水平外力F 的作用下静止在 乙物体上，物体乙静止在水平面上．现减小水平外力F ，三物 体仍然静止，则下列说法中正确的是( ) A ．物体乙对于物体甲的摩擦力一定减小 图4 B ．物体丙对于物体甲的压力一定减小 C ．物体乙对于地面的摩擦力一定减小 D ．物体丙对于物体甲的摩擦力可能减小 答案 C 解析 把甲、丙看做一个整体，甲受的摩擦力有两种情况，①(m 甲＋m 丙)g sin α＋F f ＝ F cos α；②(m 甲＋m 丙)g sin α＝F cos α＋F f .如是第①种情况，F 减小，F f 减小；如是第②种情况，F 减小，F f 增大，A 项错误．甲对丙的支持力、摩擦力不随F 的变化而变化，选项B 、D 错误．把甲、乙、丙看做一个整体，F f 地乙＝F ，F 减小时，F f 地乙一定减小，选项C 正确． 9．质量为m 的木块被水平力F 紧压在倾角为θ＝60°的固定木板上静止， 如图5所示．则木板对木块的作用力大小为 ( ) A ．F B. 32 F C.1 2F D.F 2＋(mg )2 图5 答案 D 10．如图6所示，斜面小车M 静止在光滑水平面上，一边紧贴墙壁．若再 在斜面上加一物体m ，且M 、m 都静止，此时小车受力个数为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 图6 答案 B 解析 对M 和m 整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车 静止，由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象， 如图所示，它受四个力：重力Mg ，地面的支持力F N1，m 对它的 压力F N2和静摩擦力F f ，由于m 静止，可知F f 和F N2的合力必定竖直向下，故B 项正确． 题组3 对滑动摩擦力分析和计算的考查 11．已知一些材料间的动摩擦因数如下表所示： 如图7所示，一质量为1.0 kg 的物块放置在某材料制作的固定斜面上， 斜面倾角为30°，现用弹簧秤沿斜面方向以1 m/s 2的加速度拉此物块， 使其匀加速上升，读得弹簧秤的示数为8.17 N ，则两接触面的材料可 能是(g 取10 m/s 2) ( ) A ．木—金属 B ．木—木 C ．钢—钢 D ．木—冰 答案 C 解析 对物块受力分析，由牛顿第二定律有 F －Mg sin 30°－μMg cos 30°＝Ma ， 所以μ＝F －Mg sin 30°－Ma Mg cos 30° ＝0.25，C 正确． 12．如图8所示，质量为m 的木块在质量为M 的长木板上向右滑行， 木块受到向右的拉力F 的作用，长木板处于静止状态，已知木块 与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2， 图8 则 ( ) A ．长木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ1mg B ．长木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ2(m ＋M )g C ．当F >μ2(m ＋M )g 时，长木板便开始运动 D ．无论怎样改变F 的大小，长木板都不可能运动 答案AD 解析m在F作用下向右滑行时受的滑动摩擦力为μ1mg，同样m对M的摩擦力也为μ1mg.由M静止，可知地面对M的静摩擦力F f＝μ1mg，且F f＝μ1mg一定小于等于长木板与地面间的最大静摩擦力．A项对，B项错．无论所加的F多大，m对M的摩擦力都不会大于μ1mg，木板也就不可能运动，所以C项错，D项对． 13．如图9所示，两个长方体木块P、Q叠放在水平地面上．第一次用 大小为F的水平拉力拉P，第二次也用大小为F的水平拉力拉Q， 两次都能使P、Q保持相对静止共同向右做匀速运动．设第一次图9 PQ间、Q与地面间的摩擦力大小分别为F f1、F f1′，第二次PQ间、Q与地面间的摩擦力大小分别为F f2、F f2′，则下列结论正确的是() A．F f1＝F f1′＝F f2＝F f2′＝F B．F f1＝F f1′＝F f2＝F f2′ C．F f1＝F f1′＝F f2′＝F，F f2＝0 D．F f1＝F f2＝0，F f1′＝F f2′＝F 答案 C 解析第一次，F作用在P上时，由共点力平衡条件可知，F f1＝F f1′＝F；第二次，F 作用在Q上时，P、Q都匀速运动，所以F f2＝0，F f2′＝F，综上可知选项C正确．14．如图10所示，质量为m B＝14 kg的木板B放在水平地面上，质量 为m A＝10 kg的货箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在货箱上， 另一端拴在地面，绳绷紧时与水平面的夹角为θ＝37°.已知货箱A 与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5，木板B与地面之间的动摩擦图10 因数μ2＝0.4.重力加速度g取10 m/s2.现用水平力F将木板B从货箱A下面匀速抽出，试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)绳上张力F T的大小； (2)拉力F的大小． 答案(1)100 N(2)200 N 解析(1)对A进行受力分析可知A受四个力作用，分解绳的拉力，根据A受力平衡可得 F N1＝m A g＋F T sin θ，F f1＝F T cos θ，F f1＝μ1F N1 解得F T＝μ1m A g cos θ－μ1sin θ 代入数据得绳子张力F T＝100 N. (2)对B进行受力分析可知B受六个力的作用地面对B的支持力 F N2＝m B g＋F N1，而F N1＝m A g＋F T sin θ＝160 N 拉力F＝μ2F N2＋μ1F N1＝200 N. 1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 2.全称量词和存在量词 3.全称命题和特称命题 4.含有一个量词的命题的否定 【知识拓展】 1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假； (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反． 2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × ) 1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对 称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 答案 C 解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π 2不是y ＝cos x 的对称 轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C. 2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 綈p 为真知p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( ) §2.9 函数的应用 2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值． 复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合． 1． 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的 增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x 的增大逐渐表现为 与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为 与x 轴平行 随n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： [难点正本疑点清源] 1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关 系，数据的单位等等； (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函 数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； (3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的 特殊值等，注意发挥函数图像的作用； (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________． 答案78℃ 解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)． 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又 知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1 20 Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案 2 500 解析L(Q)＝40Q－1 20 Q2－10Q－2 000 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第15讲基因的自由组合定律 [考纲要求] 1.基因的自由组合定律(Ⅱ)。2.孟德尔遗传实验的科学方法(Ⅱ)。 1．两对相对性状的杂交实验——发现问题 (1)实验过程 (2)结果及结论 结果结论 F1全为黄色圆粒说明黄色和圆粒为显性性状F2中圆粒∶皱粒＝3∶1 说明种子粒形的遗传遵循分离定律 F2中黄色∶绿色＝3∶1 说明种子粒色的遗传遵循分离定律 F2中出现两种亲本类型(黄色圆粒、绿色皱粒)和两 说明不同性状之间进行了自由组合种新类型(绿色圆粒、黄色皱粒) (3)问题提出 ①为什么会出现新的性状组合呢？②这与一对相对性状实验中F2的3∶1的数量比有联系吗？2．对自由组合现象的解释——提出假说 (1)理论解释(提出假设) ①两对相对性状分别由两对遗传因子控制。 ②F1产生配子时，每对遗传因子彼此分离，不同对的遗传因子可以自由组合。 ③F1产生的雌配子和雄配子各有4种，且数量比相等。 ④受精时，雌雄配子的结合是随机的。 (2)遗传图解(棋盘格式) 3．对自由组合现象的验证——演绎推理、验证假说 (1)演绎推理图解 (2)实施实验结果：实验结果与演绎结果相符，则假说成立。 黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆的测交实验结果如下： 表现型 项目 黄色圆粒黄色皱粒绿色圆粒绿色皱粒 实际子粒数F1作母本31 27 26 26 F1作父本24 22 25 26 不同性状的数量比 1 ∶ 1 ∶ 1 ∶ 1 4．自由组合定律 (1)实质与各种比例的关系 (2)细胞学基础 (3)研究对象：位于非同源染色体上的非等位基因。 (4)发生时间：减数第一次分裂后期。 (5)适用范围 5．自由组合定律的应用 (1)指导杂交育种：把优良性状结合在一起。 不同优良性状亲本――→杂交F 1――→自交F 2(选育符合要求个体)――→连续 自交 纯合子 (2)指导医学实践：为遗传病的预测和诊断提供理论依据。分析两种或两种以上遗传病的传递规律，推测基因型和表现型的比例及群体发病率。 6．孟德尔获得成功的原因 教材拾遗 (1)F 2中出现与亲本不同的性状类型，称为重组类型，重组类型是黄色皱粒和绿色圆粒，重组类型所占比例是3 8 。(P 9) (2)对于两对相对性状的遗传结果，如果对每一对性状单独进行分析，其性状的数量比都是3∶1，即每对性状的遗传都遵循了分离定律。两对相对性状的遗传结果可以表示为它们各自遗传结果的乘积，即9∶3∶3∶1来自(3∶1)2。(P 10) 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 实验基础知识 一、螺旋测微器的使用 1．构造：如图1所示，B为固定刻度，E为可动刻度． 图1 2．原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为0.5 mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退0.5 mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退0.01 mm，即螺旋测微器的精确度为0.01 mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺． 3．读数：测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×0.01(mm)． 如图2所示，固定刻度示数为2.0 mm，半毫米刻度线未露出，而从可动刻度上读的示数为15.0，最后的读数为：2.0 mm＋15.0×0.01 mm＝2.150 mm. 图2 二、游标卡尺 1．构造：主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪)、游标卡尺上还有一个深度尺．(如图3所示) 图3 2．用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径． 3．原理：利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成． 不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少1 mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格见下表： 刻度格数(分度)刻度总长度每小格与1 mm的差值精确度(可精确到) 109 mm0.1 mm0.1 mm 2019 mm0.05 mm0.05 mm 5049 mm0.02 mm0.02 mm 4.读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数，则记录结果表示为(x＋K×精确度)mm. 三、常用电表的读数 对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可． (1)0～3 V的电压表和0～3 A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是0.1 V和0.1 A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位． (2)对于0～15 V量程的电压表，精确度是0.5 V，在读数时只要求读到小数点后面一位，即读到0.1 V. (3)对于0～0.6 A量程的电流表，精确度是0.02 A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半0.01 A. §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 1 第1章第1讲 考点一 物质的量 摩尔质量 题组一 有关分子(或特定组合)中微粒数的计算 1．答案 ①>⑥>⑤>③>②>④ 2．(1)答案 1.2 < 解析 n (SO 2 － 4)＝3n [Al 2(SO 4)3]＝3×0.4 mol ＝1.2 mol ，0.4 mol Al 2(SO 4)3中含有0.8 mol Al 3＋ ，由于在 溶液中Al 3＋ 水解，故Al 3＋的物质的量小于0.8 mol 。 (2答案 小于 小于 题组二 通过n ＝m M ＝N N A ，突破质量与微粒数目之 间的换算 3．答案 C 解析 ③中摩尔质量的单位错误；由于该氯原子的质量是a g ，故a g 该氯原子所含的电子数为17，④错。 4．答案 0.33N A 0.26 解析 晶体的摩尔质量约为122 g·mol － 1，n ＝ 12.2 g 122 g·mol －1＝0.1 mol ，故氧原子数目＝0.1×(2＋ 1.3)N A ＝0.33N A ，n (H)＝0.1 mol ×1.3×2＝0.26 mol 。 考点二 气体摩尔体积 阿伏加德罗定律 深度思考 2．答案 ③ 解析 ①、②中，1摩尔水或水蒸气的质量都为m 水 N A ；③中，水蒸气分子间间距比分子直径大的多， 仅由题给条件不能确定1摩尔水蒸气的体积。 题组一 有关“n ＝V V m ＝m M ＝N N A ”的应用 1．答案 D 解析 解法一 公式法： a g 双原子分子的物质的量＝p N A mol ， 双原子分子的摩尔质量＝ a g p N A mol ＝ aN A p g·mol － 1， 所以b g 气体在标准状况下的体积为 b g aN A p g·mol － 1×22.4 L·mol － 1＝ 22.4pb aN A L 。 解法二 比例法： 同种气体其分子数与质量成正比，设b g 气体的分子数为N a g ～ p b g ～ N 则：N ＝ bp a ，双原子分子的物质的量为pb aN A ，所以b g 该气体在标准状况下的体积为22.4pb aN A L 。 2．答案 B 解析 X 除以N A 为该气体的物质的量；然后乘以M 表示其质量；最后除以V 为1 L 该气体的质量。 题组二 阿伏加德罗定律及推论的应用 3．答案 C 解析 等质量的气体，其摩尔质量与物质的量(或分子数)成反比，若M (甲) 连贯 1．填入下面横线处的句子，与上下文前后连贯、音节和谐的一组是 ( ) 埋伏和照应需要惨淡经营。埋伏处要能轻轻一笔，若不经意；________。要使读者看不出斧凿痕迹，只觉得________，如一丛花，如一棵菜。虽由人力，却似天成。如果看出来这里是埋伏，那里是照应，________。 ①照应处要顺理成章，水到渠成②照应处要水到渠成，顺理成章③清清爽爽，简简 单单④自自然然，完完整整⑤便成死症⑥便太浅显 A．①③⑥ B．①④⑤ C．②③⑤ D．②④⑥ 答案 B [本题重点考查语言的连贯。从前后连贯的角度看，③④句中，句③不能和“如一丛花，如一棵菜”相衔接。从音节和谐的角度看，句⑤中的“症”能和“却似天成” 句中的“成”、首句的“营”、句①中的“成”、句④中的“整”押韵。] 2.依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是 ( ) 中国古典美学讲和谐。，可高度概括为阴阳统一，刚柔统一。，而强调你中有我、我中有你的交感统一。，所以又称之为“中和”，。 ，孔子观东流之水，喟然长叹“逝者如斯夫，不舍昼夜”。 ①这种和谐由于做到恰到好处 ②“中”，恰当之谓也 ③和谐不是同一重复，而是众多因素对立的统一 ④中华民族十分重视天人合一之美 ⑤这种统一不强调部分与部分或部分与整体之间的统一 A.③④⑤②① B.④①②③⑤ C.④⑤③②① D.③⑤①②④ 答案 D [③句中的“和谐不是”与上文句尾的“和谐”相接；⑤句中的“不强调”与下句“强调”衔接；只有④句能引出文段末句“孔子”例；由此推出前后衔接最恰当的排序是③⑤①②④。] 3．依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是( ) 我国是食品生产和消费大国，________，________，________，________，________，________。这样才能有效解决食品安全领域损害群众利益的突出问题，切实增强消费安全感。 ①强化执法措施，严惩违法犯罪分子 ②食品产业涉及环节多，哪一环出现漏洞都会给食品安全带来严重威胁 ③创新食品安全监管机制 ④坚决淘汰劣质企业，以震慑所有企业使之不敢越雷池半步 ⑤保障食品安全需要生产经营者诚信自律，更需要严格的法律制度约束和有效监管 ⑥因此，必须保持严厉打击违法违规行为的态势，及时消除各环节的隐患 A．②⑥①③④⑤ B．②⑤⑥①④③ C．⑤②⑥③①④ D．⑤⑥②④③① 答案 C [②句说食品产业环节多，容易出问题，⑥句说必须严厉打击违法违规行为， 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0) 反比例函数模型f(x)＝k x＋b (k，b为常数且k≠0) 二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0) 函数 性质 y＝a(a>1)x y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减 性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变 化随x的增大逐渐表现为 与y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而各 有不同 值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x 应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(√) (2)幂函数增长比直线增长更快．(×) (3)不存在x0，使ax0 考点展示] 1.货币的本质：商品的基本属性；货币的产生与本质；货币的基本职能；金属货币与纸币。 2.货币的种类与形式：货币与财富；结算与信用工具；外汇和汇率。 1．货币在社会经济生活中起着重要的作用。下列活动中货币执行其基本职能的是 () ①书店中现代汉语词典标价26元②某学生购买一件衣服当场支付200元③某职工上缴个人所得税600元④某国向另一国提供500万美元的国际援助 A．①②B．③④C．①③D．②④ 答案 A 解析货币的基本职能是价值尺度和流通手段，①②符合要求。③是支付手段；④是世界货币。 2．下列对于欧元的认识，正确的是() ①欧元的本质是货币②欧元的发行量以欧盟决定为依据③欧元的使用是强制的④欧元能够充当商品交换的媒介 A．①②B．③④ C．②③D．①④ 答案 B 解析①错误，欧元属于纸币；②错误，欧元作为纸币，其发行量必须以流通中所需要的货币量为限度。 3．在核算一定时期的各项经济收支往来时，人们通常使用的结算方式是() ①债券结算②银行转账③外汇结算④现金结算 A．①③B．②③ C．①④D．②④ 答案 D 4．下列关于外汇汇率与人民币币值之间关系的曲线走势图，正确的是() 答案 B 解析外汇汇率与人民币币值成反方向变动，外汇汇率升高，外币升值，人民币贬值；外汇汇率降低，外币贬值，人民币升值，B项正确。 核心考点一货币的本质和职能 1．商品的基本属性 (1)使用价值和价值 (2)商品是使用价值与价值的统一体，使用价值是价值的物质承担者。 提醒有使用价值的东西不一定有价值，但有价值的东西一定有使用价值。 2．货币的产生与本质 产生是商品交换发展到一定阶段的产物 含义从商品世界中分离出来固定地充当一般等价物的商品 本质一般等价物 态度树立正确的金钱观，取之有道、用之有益、用之有度 提醒货币与一般等价物的最主要区别在于“是否固定”，即货币固定地充当一般等价物，而一般等价物并不固定。 图示 3．货币的职能 职能作用关键词语 基本职能价值尺度表现商品的价值“标价”“价格” 流通手段充当商品交换的媒介“购买”“买卖”“现场交易” 其他职能 贮藏手段贮藏财富“保存”“退出流通领域” 支付手段清偿或支付债务、赋税、利息、工资等 “赊销赊购”“还债”“地租”“利息” “税款”“工资” 世界货币在世界市场充当一般等价物“购买外国货”“国际收支” 考情速查命题揭秘 2014·全国Ⅱ，12 2014·全国大纲，24 以商品的基本属性在生活中的具体体现，如质量、价格等为素材，考 查商品的基本属性；以现实生活中货币的使用为背景，考查货币的本 专题综合训练(十五) 一、选择题 1．(2017·成都三模，33)1543年《天体运行论》出版，针对“日心说”，路德讥讽哥白尼是“自命不凡的占星术士”“愚蠢到公然与圣经相违背”，加尔文也回应道“有谁胆敢将哥白尼的依据置于圣灵之上呢？”这表明() A．自然科学仍待突破神学的束缚 B．宗教改革阻碍科学革命的推进 C．宗教改革与文艺复兴背道而驰 D．新教与旧教教义主张基本一致 答案 A 解析针对“日心说”，路德和加尔文持反对意见，说明自然科学仍待突破神学的束缚，故A项正确；路德和加尔文反对“日心说”，但不是反对科学革命，宗教改革打击了天主教神权统治，有利于科学革命的兴起，故B项错误；宗教改革进一步传播和发展了文艺复兴以来的人文主义，而不是与文艺复兴背道而驰，故C项错误；新教主张因信称义，而旧教主张因行称义，因此二者基本主张不一致，故D项错误。 2．(2018·河南天一大联考高三阶段性测试，33)1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》，他对支配天体运动的若干定律的发现，推动了启蒙运动，并对政治思想产生了深远的影响。由此可见，牛顿的发现推动启蒙思想家() A．相信存在着控制人类社会的自然法则 B．发现了支配人类的永远不变的法则 C．提出了自由放任主义理论的一般原则 D．宣扬国家权力高于教会的基本原则 答案 A 解析牛顿建立的经典力学，使得启蒙思想家相信存在着控制人类社会的自然法则，推动了启蒙运动的兴起，故A项正确；牛顿经典力学只是启发思想家探索人类社会的规律，“发现了支配人类的永远不变的法则”夸大其影响力，故B项错误；C项是工业革命的影响之一，故C项错误；D项是宗教改革的内容之一，故D项错误。 3．(2017·黑龙江哈三中三模，32)科学家胡克在听了某著作的提纲后说：“亲爱的先生，我真为您高兴，不过我也暗暗地为您捏一把汗啊。如果您不是生在维多利亚女王的英国，而是生2018版步步高《大一轮复习讲义》人教A版(理)第一章 1.3
步步高大一轮复习讲义
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45 不等式选讲
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程
第五单元 第15讲 【高三一轮复习系列2021版步步高生物《大一轮复习讲义》】(001)
【免费下载】高中数学步步高大一轮复习讲义文科第1讲 归纳与类比
物理步步高大一轮复习讲义答案
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第五章 5.4复数
最新2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量的数量积
最新版2017教师用书步步高大一轮复习讲义习题详细答案第一章第一讲
【步步高】高考语文大一轮复习讲义 连贯 新人教版
最新高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1汇总
2017步步高大一轮复习讲义数学29资料
2018新步步高大一轮复习讲义政治(全国)必修1第1单元生活与消费第一课
2019届《步步高 大一轮复习讲义》历史人民版一轮复习专题综合训练(十五)
相关主题
文本预览