第
八
章
二
重
积
分
习
题
答
案
练习题8.1
1.设D ：
0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义
计算
d x y
1.D
??2D
解：σd y
x D
341(--??=
22
1
21
1212(1[(1]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2
22(1)84
x
dx --=?
3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.
解：
2
2
2
42
20
2320(42)
28(2)|33
x x x
D
A dxdy dx dy x x x x -===-=-
=?????
4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积
解： 2222
2
2
(4)(4)48D
V x y d d r rdr d ππ
σθθπ=--=-==?????
1.D
??2.1.2.
3.二重积分0
(,)dy
f x y dx ??
交换积分次序后为
(,)x
dx f x y dy
??
.
(,)x
dx f x y dy ??
4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y =
0.0
5.交换积分次序
1
d (,)y f x y dx ?
=
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy
+??
.
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??
6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22
1D
dxdy
x y ++??
=_ln 2πln2π
三. 选择题
1.
20x =，
）. 2.3.
）.
4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B ）时D
π=
A 1 B
C .
D
四 计算二重积分
1.计算二重积分2D
dxdy ??，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.
解：2dxdy =??22
1
26d rdr π
θπ=?
?
2.计算二重积分(6)D
x y dxdy +??，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。
解：150
(6)(6)x
x
D
x y dxdy dx x y dy +=+????
1
23100
76767633
x dx x ==
=?
4.6.
8. ()D
x y d σ+??计算二重积分，1,1D y x ≤≤其中由曲线围成.
解：1
1
1
1
()()D
x y dxdy dx x y dy --+=+???
?
1
2
1
1
1
20xdx x --===?
解：1
222
00
x
D
x ydxdy dx x ydy =????
1
4510
2225
5
x dx x ==
=
? 10.2,D
xy dxdy ??计算二重积分
()2
02
p
y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。
解：2
2
2
2p
D
xy dxdy dx xy dy =???
353722
22
2
5
20
0243721
p
p
p p x dx p x ===?