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立体几何例题及讲解

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1、空间几何体的结构特征

（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体

棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具

有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．

棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．

多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球

分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球

圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．

2、空间几何体的侧面积、表面积

（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．

因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别

为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积S ch

侧．

若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积

2()

S ab bc ca

=++

表．

（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面

周长．如果设圆柱母线的长为l，底面半径为r，那么圆柱的侧面积

2π

S rl

侧，此时圆柱

底面面积

S r

底.所以圆柱的表面积

22π2π2π()

S S S rl r r r l

=+=+=+

侧底．

（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长

为l，则侧面积

S rl

侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2

πππ()

S S S rl r r r l

=+=+=+

侧底．

（4）正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c，斜高为h'，

则它的侧面积

S ch'

侧

．

（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是

c c'

，，斜高是h'，那么它的侧面积是

S ch'

侧

．

（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r

'，，母线长为l，那么它

的侧面积是

π()

S r r l

侧．

圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即

2222

π()πππ()

S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=+++=+++侧上底下底．

（7）球的表面积2

4πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍． 3、空间几何体的体积

（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即

V Sh

=柱体．其中

底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2

πV r h

=圆柱．

（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是

13V Sh

锥体．其

中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是

1π3V r h

圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底

等高柱体体积的1

3．

（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h ，那么它的体积

是

1()3V S S h

+台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是

1π()3

V r R r R h

++圆台．

（4）球的体积公式：3

V π=

. 4、中心投影和平行投影

（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。（2）平行投影：投射线相互平行的投影。（3）三视图的位置关系与投影规律

三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方．三视图之间的投影规律为：

主、俯视图———长对正；主、左视图———高平齐；俯、左视图———宽相等． 5、直观图画法

斜二测画法的规则：

（1）在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使xOz ∠=90°，且yO z ∠=90°．

（2）画直观图时把它们画成对应的x '轴、y '

轴和z '轴，它们相交于O '，并使

x O y '''∠=

45°，x O z '''∠= 90°。

（3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '

轴和z '轴的线段．

（4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度相等；平行于y 轴的线段，长度取一半． 6．平面

（1）对平面的理解

平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念．

立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型，平面是无大小、厚薄之分的．类似于我们以前学的直线，它可以无限延伸，它是不可度量的．（2）对公理的剖析

1）公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，公理1的条件“线上不重合的两点在平面内”是公理的必要条件，结论是“线上所有点都在面内”．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内．

其作用是：可判定直线是否在平面内、点是否在平面内．

2）公理2中的“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两方面．这个术语今后也会常常出现，要理解好．其作用是：一是确定平面；二是证明点、线共面．

3）公理3的内容反映了平面与平面的位置关系,它的条件简而言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．

其作用是：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上． 7. 空间直线.

（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

8. 直线与平面平行、直线与平面垂直.

（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 9. 平面平行与平面垂直.

（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.

（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.

（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 10. 空间向量.

（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

（2）空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c

z b y a x p

++=.

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的

有序实数组x 、y 、z 使

z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).

（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),),,(321b b b b =，则

)

,,(332211b a b a b a b a ±±±=+，)

)(,,(321R a a a a

∈=λλλλλ，3

32211b a b a b a b

a ++=? ，

∥)

(,,332211R b a b a b a b

∈===?λλλλ3

1b a b a b a =

。

332211=++?⊥b a b a b a b a 。

++==

(用到常用的向量模与向量之间的转化：

a a =??=)

空间两个向量的夹角公式2

22212

32211|

|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b

a b a ++?

++++=??>=

（a ＝

123(,,)

a a a ，

b ＝

123(,,)

b b b ）。

②空间两点的距离公式：

122

12)

()

()(z z y y x x d -+-+-=

b.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α

⊥a ，如

果α

⊥a

那么向量a 叫做平面α的法向量.

c.用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射

线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为

②.异面直线间的距离

C D n d n ?=

(

12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n

，C D 、分别是

,l l 上任一点，d 为

,l l 间的距离).

③.点B 到平面α的距离

A B n d n ?=

（n

为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，

A α∈）.

④直线AB 与平面所成角sin ||||A B m

arc A B m β?=

为平面α的法向量).

⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角β

--l 中平面βα,的法向量，

则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，

21,n n 反方，则为其夹角）.

二面角l αβ--的平面角cos ||||

m n

arc m n θ?=

或

cos ||||

m n

arc m n π?-

（m ，n

为平面α，β

的法向量）.

三、考点剖析

考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图

【内容解读】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单

空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。

【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。

例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A

点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是

解：以俯视图为主，

因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，

可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。

点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。考点二：空间几何体的表面积和体积

【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。

把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问

E F

A H G

C E

F D A

B C

侧视图1

图2 B

A ．

B ． B

C ．

D ．

主视图左视图俯视图

题。

【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S

解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD 。

(1) ()186464

V =

???=

(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为

1h =

=, 另两个侧面VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,

AB 边上的高为

h =

因此

112(

685)402

S =????=+点评：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在

一起，综合考查。例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）

A ．9π

B ．10π

C ．11π

D ．12π 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，

其表面及为：

411221312.S ππππ=?+??+??=，故选D 。

点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。

例5、（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）

A. 38π

B. 3

28π C. π28 D.

32π

解：截面面积为π?截面圆半径为1，又与球心距离为1?

，

俯视图

正(主)视图侧(左)视图

所以根据球的体积公式知

R V π=

球，故B 为正确答案．

点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。考点三：点、线、面的位置关系

【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。

【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大。

例6、如图1，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD

的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且C F

C B ＝C G

C D ＝2

3，则（）

（A ）EF 与GH 互相平行（B ）EF 与GH 异面

（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上

（D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上

解：依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，由公理2可知，

E 、

F 、

G 、

H 共面，因为EH ＝1

2BD ，F G

B D ＝2

3，故EH ≠FG ，所以，EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M ，因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上，同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，由公理3可知，点M 一定在平面ACB 与平面ACD 的交线AC 上。选（D ）。

点评：本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。

例7、（2008全国二10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）

A ．1

．3 C

．3 D ．2

解：连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE ∥SD.所以∠AEO 为异面直线SD 与AE 所成的角。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO 中，OE ＝1,AO ＝2，AE=3122

-，

于是

32)

2(1)3(cos 2

-+=

∠AEO ，故选C 。

图1

点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。

考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。

通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。

例8、（2008安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，

4A B C π

∠=

, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，

N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。方法一：（1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE

M E C D M E C D ∴ ，‖AB,AB ‖‖

又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖

（2）C D ‖AB,

MDC ∠∴为异面直线AB 与M D 所成的角（或其补角）作,A P C D P ⊥于连接M P

⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP

2A D P π

∠=

∵∴DP =

M D ==

1cos ,2

3D P M D P M D C M D P M D

∠=

=∠=∠=

∴

所以 AB 与M D 所成角的大小为3π

（3）AB 平面∵∴‖OCD,

点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ,过点A 作 A Q O P

⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平

面∵∴∴

又 ,AQ OP

AQ OCD ⊥⊥平

面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

O P

∵，

2A P D P ==

223

O A A P A Q O P

= ∴，所以点B 到平面OCD

的距离为2

方法二(向量法)

作AP CD

⊥于点P ,如图

,分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,

x y z 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),

(,0),(0,

0,2),(0,0,1),(1

A B P D O

M N --,

(1)(1,1),(0,

,2),(2)

22M N O P O D =-

-=-=-

设平面OCD 的法向量为

(,,)n x y

z =,则

0,0

n O P n O D ==

即

2022022

y z x y z ?-=???

+-=??

取

z =

,解得(0,4,n =

(1,,1)(0,0

M N n =-

∵

MN OCD ∴平面‖

(2)设AB 与M D 所成的角为θ,

(1,0,0),(1)

22A B M D ==-

∵

1c o s ,23A B M D A B M D

θθ==

=? ∴∴ , AB 与M D 所成角的大小为3π

(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB

在向量(0,n =上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)

O B =-

, 得23O B n d n ?== .所以点B 到平面OCD 的距离为2

点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （1）求证：;AC GN ⊥

（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.

证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ， ∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC

∴AC ⊥面FDN FDN GN 面? ∴GN ⊥AC

（2）点P 在A 点处

证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC

GSA GA 面?

∴GA//面FMC 即GP//面FMC

点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD —A1B1C1D1中O 为正方形ABCD 的中心，M

为

BB1的中点，求证：

（1）D1O//平面A1BC1; （2）D1O ⊥平面MAC. 证明: (1)连结

,BD B D 分别交

,AC A C 于

,O O

在正方体

1111ABC D A B C D -中,对角面

11BB D D

为矩形

1,O O 分别是11

,BD B D 的中点

//B O D O ∴

∴

四边形

11BO D O

为平行四边形11//BO D O

∴

1D O ?

平面

11A BC ,

1BO ?

平面

11A BC 1//

D O ∴平面

A BC

（2）连结MO ,设正方体1111

ABC D A B C D -的棱长为a ,

在正方体

1111

ABC D A B C D -中,对角面

11BB D D

为矩形且

1,BB a BD ==

,O M 分别是1

,BD BB 的中点

a B M B O O D ∴=== 12

B M B O O D

D D

∴

1ODD Rt MBO Rt ??? 1B O M D D O ∴∠=∠

在1

ODD

Rt ?中，

1190

D D O D O D ∠+∠=

190

B O M D O D ∴∠+∠=

，即

1D O M O

⊥

在正方体1111

ABC D A B C D -中

1D D ⊥

平面ABCD

D D A C

∴⊥

又AC BD ⊥ ，1DD BD D = AC ∴⊥平面11BB D D

1D O ?

平面

11BB D D

A C D O ∴⊥

又AC M O O = 1D O ∴⊥平面M AC

点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．

(I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．

证明：（1）由PA ⊥平面ABCD ?

=?⊥⊥A AD PA CD PA ）AD （CD 已知

?⊥PAD CD PAD CD 面面

?平面PDC ⊥平面PAD ；

（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点，得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ．又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ．所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ．由AF ?面PAD ，则EF//面PAD ．

点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．

例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，

E 是SC 上一点．

（1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ；

（2）设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离； (1)证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴ 且AC BD ⊥ ∴S A C 平面⊥BD

∴平面⊥EBD 平面SAC

(2)解：因为

ABD

-S SBD -A V V =，且

3222

1S SBD ??=

?，

可求得点A 到平面SBD 的距离为34

点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．

考点六：空间向量

【内容解读】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我

A B C

D E

P F

有等问题（进行向量运算）；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．

【命题规律】空间向量的问题一般出现在立体几何的解答题中，难度为中等偏难．例１３、如图1，直三棱柱111ABC A B C -中，1

C A

C B ==，

90B C A ∠=°，棱12AA M N

=，，分别是111A B A A ，的中点．

求B N

的长；

求

cos BA C B ，的值．

解：如图1，建立空间直角坐标系O xyz -．（1）依题意，得

(010)(101)

B N ，，，，，

，

B N =

∴

（2）依题意，得11(102)(010)(000)(012)

A B C B ，，，，，，，，，，，， 11(112)(012)

BA C B =-= ，，，，，∴．

11113BA C B BA C B ===

，，∴·

111111

cos 10B A C B B A C B B A C B ==

，·∴．

点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量的夹角、

长度的计算公式．解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标例１４、如图2，在四棱锥-P

A B C D

，底面A B C D 为矩形，PD ⊥底面A B C D ，E 是AB 上

一点，P E

E C

⊥

．已知122

P D C D A E =

，．

求：（1）异面直线PD 与E C 的距离；

（2）二面角E P C D

--的大小．

解：以D 为坐标原点，DA DC DP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，

并设D A a =

，则

1(00)(20)(020)(000)(0002A a B a C D P E a ??

??，，，，，，，，，，，，，，，，．

（1）P E C E ⊥∵，

0P E C E =

∴·

，解得

a =

．

0D E C E =

∴·，即D E C E

⊥，

又DE PD ⊥，故D E 是异面直线PD 与E C 的公垂线．而

D E =

，即异面直线PD 与E C 的距离为1．

（2）作D G P C

⊥，并设(0)G y z ，，，

(0)(2)D G y z

P C == ，，，，，∵，且0

D G

P C =

·，

则

z =，∴

可取

(01D G =

．

再作E F

P C

⊥于F ，并设(0)F m n ，，，

22E F m n ??=-- ? ??? ，∵，且0E F P C = ·

，则2

n =-

，

∴又取

1222E F ?=- ???

，，

．

由D G P C ⊥，E F P C

⊥，可知D G

与EF

的夹角就是所求二面角θ的大小，

c o s 2

D G

E D G E

F θ==

·∴，即所求二面角为π

4．

点评：向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．

向量法求二面角通常有以下三种转化方

式：①先作、证二面角的平面角A O B ∠，再求得二面角的大小为

arccos O A O B

O A O B

·；②先求二

面角两个半平面的法向量12，n n （注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面

角的大小为1212

arccos

n n n n ·或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重

合），又可转化为求两条异面直线的夹角．

例１５、如图，已知正三棱柱111-ABC A B C ，D 是A C 的中点，求证：1AB ∥平面1D BC ．

证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设正三棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ，

则11(000)0(0)0022222a a

a A B B

b C a b D

?????

?? ? ????

????

，，，，，，，，，，，，，，，

122a A B b ??= ?

???

，，∴

，

100022a B D D C b ????

=-= ? ?

????? ，，，，，．

设平面1D BC 的一个法向量为n ()x y z =，，，

则102

02B D a D C y bz ?=-

=????=+=??

，

，··n n 所以0.2x a z y b =??

=-??，

不妨令2y b =，则n (02)

b a =-，，．

由于1AB

·n 0

ab ab =-=，得1A B ⊥

．

又1AB ?平面1D BC ，1AB ∴∥平面1D BC ．

点评：平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中都有很好的应用.

四、方法总结

（一）方法总结 1．位置关系：

（1）两条异面直线相互垂直

证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；

②证明这条直线的方向量和这个

平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直

证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互垂直

证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离

求法：利用公式法。

（2）点到平面的距离

求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。3．求角

（1）两条异面直线所成的角

求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所

成角得范围是

]

,0(

，向量所成的角范围是]

,0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应

的锐角。

（2）直线和平面所成的角

求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于

平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为

2或2

α-

。

（3）平面与平面所成的角

求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：

1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。

2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注

意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。

3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 及CN 所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ，故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图