均值不等式导学案
沈阳市第三十六中学连奎奎
教材内容分析：
本节课主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
教学目标：
（一）知识与技能：理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题.
（二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力.
（三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.
教学重难点:
依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.
教学过程：
一、提出问题，引入新课
二。探究新知，推进新课
几何平均数
均数大于或等于它们的为：俩个正数的算术平即均值不等式语言描述。
的时，的是）说明：（_________,________,2
1b a ab b a b
a + 为正数，）适用范围：（
b a ,2
（3）注意：当且仅当b a =时，“=”成立。
三、举例精析，灵活应用，
课堂反思:
这堂课你学到了哪些内容?有什么收获?
加深对新课内容的理解与掌握，让学生进一步体会数学的严谨之美
板书设计：
均值不等式
1、重要不等式：
2、均值不等式：
3、均值不等式三个条件：一正
二定
三相等
4、“1”的代换教案
精品文档
基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1
a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2
八年级数学下册2.3 不等式的解集导学案（新 版）北师大版 【学习目标】 【学习过程】 一、温故知新： 1、设a＞b,用“＜”或“＞”号填空。（1）a+1 b+1；（2）a－3 b－3；（3）3a3b；（4）；（5）－－；（6）－ a －b。 二、新知探究： 【探究一】 1、研读课本 p47页的探究。 2、根据题意可得引火线的长度x应满足的关系式为： 。 3、利用不等式的基本性质，得x的取值范围是。 【探究二】 4、认真研读课本p47页的“ 想一想”。 （1）x=2，5，7， 8、3能使不等式x>5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ 【探究三】
(1)方程2x=4的解有个； (2) 不等式2x<4的解有个； (3)不等式5x≥-10的解集是。 三、交流研讨 【研讨一】 5、认真研读课本p47页的有关概念。(1)能使不等式成立的，叫做不等式的解。例如:在4，5，-7,10, 13、9这些数中，是不等式x<7的解，而不是不等式x<7的解。(2)一个含有未知数的，组成这个不等式的解集。(3)求不等式的过程叫做解不等式。(4)不等式的解集在数轴上的表示方法:在数轴上表示不等式≥－2的解集，正确的是（） A B C D 【研讨二】 尝试判断 1、-2是不等式 x<4的一个解； ( ) 2、x=7是不等式 x＞3的解集； ( ) 3、x=3是不等式8-x<0的一个解； ( ) 4、不等式3x-12<0的解集是x＞4。 ( ) 四、课堂内化：(你学到了什么?) 五、课后作业 1、如图所示，在数轴上表示x＞-2的解集，正确的是（） 2、在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x≥3；（2）x≤－4；（3） x＜0；（4）x＞－2 。
七年级数学）第九章不等式与不等式组（一）—不等式的性质 学习目标： 明确什么是不等式，不等式的解及解集，能列出简单的不等式； 理解不等式的性质，能用不等式的性质解简单的不等式。 学习过程： 环节（一）复习引入： 1、比较下列各数的大小，用“＜”或“＞”填空： ① 3______－6 ②－1______0 ③______ 2、用式子表示： ① x的3倍大于5：② y与2的差小于－1： ③ x不大于1：④a不等于0； 小结：像上面这样，用不等号（<、>、≤、≥、≠等）表示不相等关系的式子，叫做不等式。 3、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 例如：下列数值中： -4，，0， 4.5，不等式的解有哪些？ 解：当-4时，=，所以-4是不等式的解； 当0时，= ，所以0是不等式的解； 当 4.5时，= ，所以4是不等式的解； 所以，不等式的解有。 环节（二）探索不等式的性质： 1、试一试：（通过计算比较结果，在横线上用“<”、“>”填空） 第一部分 3 -2 4 7 两边同时加上一个数 3+1 -2+1 4+（-1） 7+（-1） 3+（-3） -2+（-3） 4+3 7+3 两边同时减去一个数 3-2 -2-2 4-（-2） 7-（-2） 3-（-4） -2-（-4） 4-3 7-3 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向； 第二部分 9 6 -4 8 两边同时乘一个正数
两边同时除以一个正数 9÷3 6÷3 ÷÷ 9÷2 6÷2 ÷4 ÷4 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向； 第三部分 9 6 -4 8 两边同时乘一个负数 两边同时除以一个负数 9÷（-3） 6÷（-3）÷（-）÷（-） 9÷（-2） 6÷（-2）÷（-4）÷（-4） 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向；2、想一想：你能用式子表示不等式的三条性质吗？ 不等式的性质1：如果，那么 不等式的性质2：如果，，那么（或） 不等式的性质3：如果，，那么（或） 3、思考： ①如果不等式两边同时乘以0，不等式会有什么变化？ ②不等式两边能同时除以0吗，为什么？ 环节（三）运用不等式的基本性质解不等式 例题：利用不等式的性质解下列不等式 ① 解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向 得： ② 解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向 得： 总结：解不等式就是将不等式化成或等形式。
9.1.1 不等式及其解集 学习目标 1.了解不等式概念，会列不等式； 2.理解不等式的解与解集，能正确表示不等式的解集。培养数感，渗透数形结 合的思想. 重点：不等式的解集的表示 活动1 自学教材P114-115思考并完成下列问题（先独立思考后小组交流完善）问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00正好到达A地，车速应满足什么条件？ 1.变式： 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过 ．．．．A地，车速应满足什么条件？ 2.不等式的概念 3.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解？ ⑵什么叫做不等式的解集？怎样表示不等式的解集？ 4.解不等式的含义 总结： ⑴不等式分两大类：①表示大小关系的不等式，其符号类型有：“＞”、“＜”、
“≤”、“≥”.“≤”读作“小于或等于”也可以说是“不大于”；“≥”读作“大于或等于”也可以说“不小于”.②表示不等关系的不等式，其符号为“≠”，读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不明确谁大，谁小. 有些不等式不含未知数，有些不等式含未知数. ⑵不等式的解集的表示方法：①用最简的不等式表示：如26 x-<的解集为8 x<.②用数轴表示：如x a >在表示a的点上用空心圆圈表示不包括这一点，x a ≥在表示a的点上用实心点表示包括这一点. 活动2练习巩固 1.判断下列数中哪些是不等式2 50 3 x>的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90， 60.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 2.下列各数:-5,-4,-3,- 2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.用不等式表示 (1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与5的和小于7；(4)a与2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；（6）a的一半小于3. 4.直接想出不等式的解集，并用数轴表示： （1）x+3>6；（2）2x<8；（3）x-2≥0. 活动3课堂作业 1.用不等式表示： ⑴a与5的和是正数 ⑵b与15的差小于27 ⑶c的4倍大于或等于8 ⑷d与5的积不小于0 ⑸x的2倍与1的和是非正数
2.2.4 均值不等式及其应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题． 3．掌握运用均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b >0) 求最值的常用方法及需注意的问题. 1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用． 2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解． 3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆. 必备知识·探新知 基础知识 1．均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值. 前提 给定两个正数a ，b 结论 数 a ＋b 2 称为a ，b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ，b 的几何平均值 (2)前提 __a ，b __都是正数 结论 a ＋b 2 ≥ab 等号成立的条件 当且仅当a ＝b 时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 提示：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b >0. (2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．
2．均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？ 提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”． 基础自测 1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4 a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3 x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4 a ≥4不成立，故A 错；a ＝1， b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4， b ＝16，则ab 2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ． 3．如果a >0，那么a ＋1 a ＋2的最小值是__4__. 解析：因为a >0，所以a ＋1 a ＋2≥2 a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1 a ，即a ＝1(－1舍)时取等号． 4．已知0
第一章 预备知识 第三章 不等式 3.2 基本不等式 导学案 1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想； 2． 借助基本不等式解决简单的最值问题， 1. 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值 2. 若a≥0,b≥0,取,x a y b ==，则：,2 a b ab +≥当且仅当a=b 时，等号成立 这个不等式称为__________ 3. 当x,y 均为正数时,下面的命题均成立： （1） 若x+y = s （s 为定值）则当且仅当x=y 时,xy 取得 最大值________ （2） 若xy=p(p 为定值）则当且仅当x=y 时,x+y 取得最小值_____ 1.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ） A ．≥（a ＞0，b ＞0） B ．（a ＞0，b ＞0） C ．≥（a ＞0，b ＞0） D ．a 2+b 2 ≥2ab （a ＞0，b ＞0）
2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（） A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3 3．若矩形ABCD的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（） A．B．C．D． 4．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，] D．（，2] 1．下列命题中正确的是（） A．若a，b∈R，则 B．若x＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x∈R，则 2．下列函数中，最小值是2的是（） A．y＝B．y＝ C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0） 3．函数的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（） A．9 B．C．5 D．4 5．已知x＞0，则y＝x+的最小值为（） A．4 B．16 C．8 D．10 6．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）A．B．C．D．
湘教版八年级数学科导学案 设计：周浩雄时间：2014年10月内容§4.1不等式 学习目标【知识技能】 1. 根据具体问题中的不等关系了解不等式的意义.2．从实际问题中抽象出不等式. 【数学思考】 由具体实例建立不等式，体会不等式也是刻画现实世界的有效数学模型. 【解决问题】 分析具体问题中数量之间的大小关系,得到不等式数学模型. 【情感态度】 在运用不等式知识解决困难的过程中获得成功体验，树立学好数学自信心. 重点不等式的概念，能够从实际问题中抽象出不等式 难点从实际问题中抽象出不等式. 学习过程 学生活动学习笔记 一、引 小明的爸爸开车带着小明前往观看开幕式, 在18：00时距离开幕式 场地120km,预计20：00到达开幕式场地, 设平均车速是xkm/h, 则可列 方程或 . 若想在 20：00之前到达开幕式场地，则平均车速xkm/h，应满足什么条件？ 解: 或 . 二、探 １、阅读教材，掌握下列知识 不等号： (1) “＜”读作：“ .” (2) “＞”读作：“ .” (3) “≤”读作：“.”，也可读作： “ .” (4) “≥”读作：“.”，也可读作： “ .” (5) “≠”读作：“ .” 不等式 定义：用连接而成的式子,叫做不等式.
2、典例精析 例1、用不等式表示下列数量关系： （1）x的5倍不大于－7； . (2)a与b的和的一半大于－1； . （3）x为非负数. . 例２、9月26日下午,在仁川亚运会女子十米移动靶的个人决赛上，中国选手李雪艳继广州亚运会之后,蝉联该项目冠军.已知十米移动靶每一枪满分为10.9环,李雪艳在前十枪中最低为9.2环,求李雪艳前十枪总环数x 的范围. 解: . 例3、小欢用81根火柴棍依下面的规律摆正方形，请用不等式表示小欢可摆出正方形的个数n与火柴根数81之间的关系. 解: . 三、结：写出这节课你的收获和体会. 四、用： １、判断下列式子哪些是不等式？ (1) 3＞ 2 (2) x＜ 2x+1 (3) 3x2+2x (4) x=2x-5 (5) a+b≠c (6)5≤ 2x+1 ２、用不等式表示下列数量关系: (1)a是正数； （2）a的2倍与b的差大于或等于4； (3)长、宽分别为x cm, y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的 面积.
不等式的解集 学习目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式 学习过程 第一环节：复习旧知识 1.什么叫不等式?什么叫方程?什么叫方程的解? 2.用不等式表示： (1)x的3倍大于1； (2)y与5的差大于零； (3)x与3的和小于6； (4)x的小于2. 3.当x取下列数值时，不等式x+3＜6是否成立? -4，，，3，0，. 第二环节：创设情境，导入新课 在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔? 第三环节：师生互动，课堂探究 （一）提出问题,引发讨论探索交流: 1、若某人要完成一件工作，要求他完成这项任务的时间不得少于4小时，你知道他允许用的时间有多长吗？ 2、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少cm？ （二）想一想： （1）x=4、5、6、能使不等式成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ （三）导入知识，解释疑难： 通过以上问题情境的引入可知：所列出的不等式中都含有未知数，而符合条件的未知数的值很多，只要将其中任一个未知数的值代入原不等式中，均能使不等式成立，把“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。”不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时
无解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。 （四）议一议： 请同学们用自己的方式将不等式X ＞5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴进行交流 注意：将不等式的解集表示在数轴上时，要注意： 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈. 三、应用举例，变式练习 例1 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x≤-5； (2)x≥0； (3)x ＞-1;(4)1≤X≤4; (5)-2＜X≤3； (6)-2≤x＜3. 例2 用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来： (1)x 小于-1； (2)x 不小于-1；(3)a 是正数； (4)b 是非负数. 练习：用简明语言叙述下列不等式表示什么数： ①x＞0;②x＜0;③x＞-1;④x≤-1. 四、师生共同小结 针对本节课所学内容，请学生回答以下问题： 1.如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念? 2.找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点. 3.记号“≥”、“≤”各表示什么含义? 4.在数轴上表示不等式解集时应注意什么 当堂检测： 1．不等式中，解集不包括25 的是 （ ）
第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a
②a <0b >0，0
初一升二数学不等式学案 第一课时不等式及其解集 [教学目标] 1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想. [教学重点与难点] 重点:不等式的解集的表示. 难点:不等式解集的确定. [教学设计] 一.【自主预习】 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 2.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 二.【合作解疑】 1、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 解:略. 练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 2、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解;
平均值不等式导学案2 ☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成） 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ， 从小到大的排列是: ☆课前热身： (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ，求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知： 问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的
七年级下册《不等式及其解集》导学案 一、内容和内容解析 内容 概念：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集． 内容解析 现实生活中存在大量的相等关系，也存在大量的不等关系．本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望．再通过对实例的进一步深入分析与探索，引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念．前面学过方程、方程的解、解方程的概念．通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解．但是对于初学者而言，不等式的解集的理解就有一定的难度．因此教材又进行数形结合，用数轴来表示不等式的解集，这样直观形象的表示不等式的解集，对理解不等式的解集有很大的帮助． 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上．
二、目标和目标解析 教学目标 ．理解不等式的概念 ．理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系．了解解不等式的概念 ．用数轴来表示简单不等式的解集 目标解析 ．达成目标1的标志是：能正确区别不等式、等式以及代数式． ．达成目标2的标志是：能理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合． ．达成目标3的标志是：理解解不等式是求不等式解集的一个过程． 达成目标4的标志是：用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现，也是学习不等式的一种重要工具．操作时，要掌握好“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，边界点含于解集中用实心圆点，或者用空心圆点；二是定方向，小于向左，大于向右． 三、教学问题诊断分析 本节课实质是一节概念课，对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学，学生不难理解，但是对不等式的解集的理解就有一定的难
2019-2020学年高中数学 1.2基本不等式导学案新人教版选修4-5 【学习目标】1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数的定义； 2.使学生理解并掌握基本不等式； 3.利用基本不等式及其变形证明不等式或求最值. 【重点难点】均值不等式的应用，“等号”是否取到的问题. 一、自主学习 要点1：定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.要点2:（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2 ，当且仅当 时，等号成立. 注：应用定理2的条件：一正、二定、三相等. 要点3：如果b a ,都是正数，我们就称 为b a ,的算术平均， 为b a ,的几何平均.于是，基本不等式可以表述为： 要点4.已知b a ab b a ++,,22中一个为定值，其他两个的最值的求法. 二、合作，探究，展示，点评 题型一.利用基本不等式证明不等式： 例1．2log log ≥+a b b a 成立的必要条件是（ ） A.1,1>>b a ， B.10,0<<>b a C.()()011>--b a ， D.以上都不正确 思考题1：已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a .求证：8111111≥??? ??-??? ??-??? ??-c b a . 题型二.利用基本不等式求函数最值： 例2.设0>x ，则函数x x y 133- -=的最大值是 . 思考题2：已知2lg lg =+y x ，则 y x 11+的最小值为 .
题型三.基本不等式的实际应用： 例3.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？ 思考题3：在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？ 【课堂小结与反思】：
不等关系与不等式 导学案 命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐 学习目标： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 学习重点：比较两实数大小． 学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 学法指导： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 知识： 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ 提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3米； ⑤时间围：t∈． 问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. 自主学习： 不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等
式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 符号语言＞＜≥≤ 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？ 提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a
§ 3.2 均值不等式 本节内容是选自人教版高中数学B 版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。 一、教学目标 知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意 义；能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘 二、重难点 重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件 难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 （一）情境引入 某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，那我们能否从其中找出一些不等关系？ 解答：图中四个直角三角形的面积总和为：1 42 ab
大的正方形的面积为：22a b + 我们可以很直观地得出：22a b +>2ab 问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？ 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是a b =时，这时，正方形EFGH 变为一点，可以得到222a b ab +=。 （二）得出结论并证明（基础） 一般地，,a b R ∈,则222a b ab +≥. 证明： 2222()a b ab a b +-=- 当a b ≠时，()2 0a b ->；当a b =时，2()0a b -=. 综上所述，可得222a b ab +≥. （三）均值不等式的变式（重点） 若0,0,a b >>则 2 a b ab +≥（当a b =时，“=”取到） 需明确的两个概念：2 a b +表示a 与b 的算术平均数 ； ab 表示a 与b 的几何平均数 。 证明（几何意义）： 如图：AC 是圆O 的直径，点D 是AC 上任一点，AD a =，CD b =，过点D 做BD AC ⊥交圆周于B ， 连接OB . 则22 AC a b OB += = 又Rt ADB Rt BDC ?? ，则AD AB DB BD BC DC == 所以2BD AD DC ab =?=，也即BD ab = 又OB BD ≥，所以 2 a b ab +≥.
基本不等式 1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”. 下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 长分别为a,b,那么正方形的边长为. 问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式 若a,b∈(0,+∞),则,当且仅当时,等号成立. 问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释. (1)基本不等式的几何解释: 在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上的.在圆中,半径不小于半弦长. (2)如果把看作正数a、b的,看作正数a、b 的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的. (3)在数学中,我们称为a、b的,称为a、b 的.因此,两个正数的不小于它们的.
问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论: (1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. (2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. 即“积为常数,;和为常数,”. 概括为:一正二定三相等四最值. 利用基本不等式求最值 的最小值. (1)已知x>,求函数y=4x-2+ - (2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 利用基本不等式证明不等式 已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 单调性与基本不等式 设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当0
1. 理解不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念的含义，会在数轴上表示不等式的解集； 2. 识别一元一次不等式，会解简单的一元一次不等式，并将其解集表示的数轴上； 3. 通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤. 一、课前准备 复习：（1）不等式的基本性质有哪些？ （2）解方程：1132 x x ---，并体会其步骤． 二、新课探究 探究任务一：不等式的解和解集 情境：燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域．已知引火线的燃烧速度为0.02m/s ，燃放者离开的速度为4m/s ，那么引火线的长度应满足什么条件？ （1）设引火线的长度为x cm ，根据题意列出不等关系： _______________________________________； （2）根据不等式的基本性质，将上述不等关系转化为“x a >”或“x a <”的形式： _______________________________________； 因此，引火线的长度应该________________． 想一想. （1）4,5,6,7.2x =能使不等式5x >成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式5x >成立的x 的值吗？ 新知：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（solution set ）．求不等式解集的过程叫做解不等式． 试试：判断正误 ①不等式10x ->有无数个解． （ ） ②2x =是不等式25x <的一个解． （ ） ③不等式25x ≤的正数解为1和2． （ ） ④不等式230x -≤的解集为2 3 x ≥． （ ） 探究任务二：一元一次不等式及其解法 思考：观察下列不等式： 6330x +>，175x x +<，5x >，10 0.021004 x >? 上述不等式有哪些共同特点？ 新知：这些不等式左右两边都是_________，只含有_____________，并且____________________，像这样的不等式叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）． 试试：每人列举两个一元一次不等式，小组整理并检查． __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________．
明目标、知重点 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题． 1．用均值不等式求最值的结论 (1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 2 4. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数； (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 前一节课我们已经学习了均值不等式，我们常把a ＋b 2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫 做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 均值不等式与最值 思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 2 4，当x ＝y 时，积xy 取得最 大值s 2 4 . 思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .
例1 求函数f (x )＝－2x 2＋x －3 x (x >0)的最大值，及此时x 的值． 解 f (x )＝1－(2x ＋3 x )． 因为x >0，所以2x ＋3 x ≥2 2x ·3 x ＝26， 得－(2x ＋3 x )≤－2 6.因此f (x )≤1－2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝3 2时，式中等号成立． 由于x >0，因而x ＝ 6 2 时，式中等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝ 62 . 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4 x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0