平面向量经典例题:
欧阳学文
1.已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=
(1,-2)共线,则实数λ等于( )
A.-2 B.-1 3
C.-1 D.-2 3
[答案] C
[解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa+b与c共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.
2.(文)已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3),若a+
2b与c垂直,则k=( )
A.-1 B.-3
C.-3 D.1
[答案] C
[解析] a+2b=(3,1)+(0,2)=(3,3),
∵a+2b与c垂直,∴(a+2b)·c=3k+33=0,∴k =-3.
(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b与a-λb互相垂直,则实数λ的值为( )
A.-6
11
B.-
11
6
C.6
11 D.
11
6
[答案] C
[解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),
∵a+b与a-λb垂直,
∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,
∴λ=6 11 .
3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向
量a、b间的夹角为( )
A.150° B.120°
C .60° D.30° [答案] B
[解析] 如图,在?ABCD 中,
∵|a|=|b|=|c|,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形,∴∠BAD=60°,∴〈a ,b 〉=120°,故选B.
(理)向量a ,b 满足|a|=1,|a -b|=3
2,a 与b 的夹角
为60°,则|b|=( )
A.12
B.13
C.14
D.15
[答案] A
[解析] ∵|a-b|=32,∴|a|2+|b|2-2a·b=3
4,
∵|a|=1,〈a ,b 〉=60°,
设|b|=x ,则1+x2-x =34,∵x>0,∴x=1
2
.
4.
若AB
→·BC →+AB →2=0,则△ABC 必定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 [答案] B
[解析] AB
→·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB
→⊥AC →,
∴AB⊥AC,∴△ABC 为直角三角形.
5.
若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示c 为( )
A .-a +3b
B .a -3b
C .3a -b
D .-3a +b [答案] B
[解析] 设c =λa+μb,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),
∴??? λ+μ=-2λ-μ=4,∴???
λ=1μ=-3
,∴c=a -3b ,故选B.
在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是线段
OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →=a ,BD →=b ,则AF
→等于( )
A.14a +12b
B.23a +13b
C.12a +14b
D.13a +23b
[答案] B
[解析] ∵E 为OD 的中点,∴BE
→=3ED →,
∵DF∥AB ,∴
|AB|
|DF|=|EB||DE|
,
∴|DF|=13|AB|,∴|CF|=23|AB|=2
3|CD|,
∴AF →=AC →+CF →=AC →+23CD →=a +23(OD →-OC →)=a +23(12
b
-12a)=23a +13
b.
6.
若△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB
→·BC →的值为( ) A .19 B .14 C .-18 D .-19 [答案] D
[解析] 据已知得cosB =72+52-622×7×5=1935
,故AB →·BC →=|AB →|×|BC →|×(-cosB)=7×5×? ??
?
??
-1935=-19. 7.
若向量a =(x -1,2),b =(4,y)相互垂直,则9x +3y 的最小值为( ) A .12 B .23 C .32D .6 [答案] D
[解析] a·b=4(x -1)+2y =0,∴2x+y =2,∴9x+3y =32x
+3y ≥232x +y =6,等号在x =1
2
,y =1时成立.
8.
若A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,若O 不在l 上,存在实数x 使得x2OA →+xOB →+BC →=0,实数x 为( )
A .-1
B .0
C.-1+52
D.1+52
[答案] A
[解析] x2OA
→+xOB →+OC →-OB →=0,∴x2OA →+(x -1)OB
→+OC →=0,由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知,1-x -x2=1,∴x=0或-1,当x =0时,BC →=0,与条件矛盾,∴x=-1.
9.
(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点,则AP
→·(AB →+AC →)( )
A .最大值为8
B .最小值为2
C .是定值6
D .与P 的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC 的中点O 为原点,直线BC 为x 轴建立如图坐标系,则B(-1,0),C(1,0),A(0,3),AB →+AC →=(-1,-3)+(1,-3)=(0,-23),
设P(x,0),-1≤x≤1,则AP →=(x ,-3),
∴AP
→·(AB →+AC →)=(x ,-3)·(0,-23)=6,故选C.
(理)在△ABC 中,D 为BC 边中点,若∠A=120°,AB →·AC →=-1,则|AD
→|的最小值是()
A.12
B.32
C.2
D.2
2
[答案]D
[解析]∵∠A=120°,AB
→·AC →=-1,∴|AB →|·|AC →
|·cos120°=-1,
∴|AB
→|·|AC →|=2,∴|AB →|2+|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|=4,∵D 为BC 边的中点,
∴AD →=12(AB →+AC →),∴|AD →|2=14(|AB →|2+|AC
→|2+2AB →·AC →)=14(|AB →|2+|AC →|2-2)≥14(4-2)=12
, ∴|AD →|≥22
.
10.
如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E 、F 两点,且交其对角线于
K ,其中AE →=13AB →,AF →=12AD →,AK →=λAC →,则λ的值为( ) A.15B.1
4
C.13
D.12
[答案] A
[解析] 如图,取CD 的三等分点
M 、N ,BC 的中点Q ,则EF∥DG∥BM∥NQ,易知AK →=15AC →,∴λ=1
5
. 11.
已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若ma +4b 与a -2b 共线,则m 的值为( ) A.1
2
B .2
C .-2
D .-1
2
[答案] C
[解析] ma +4b =(2m -4,3m +8),a -2b =(4,-1), 由条件知(2m -4)·(-1)-(3m +8)×4=0,∴m=-2,
故选C.
12.
在△ABC 中,C =90°,且CA =CB =3,点M 满足BM →=2MA
→,则CM →·CB →等于( )
A .2
B .3
C .4
D .6 [答案] B
[解析] CM
→·CB →=(CA →+AM
→)·CB → =(CA →+13
AB →)·CB →=CA →·CB →+13
AB
→·CB → =13|AB →|·|CB →|·cos45°=13×32×3×22
=3.
13.
在正三角形ABC 中,D 是BC 上的点,AB =3,BD =1,则AB →·AD →=________.
[答案] 15
2
[解析] 由条件知,|AB →|=|AC →|=|BC →|=3,〈AB →,AC
→〉=60°,
〈AB →,CB →〉=60°,CD →=23
CB →, ∴AB →·AD →=AB →·(AC →+CD →)=AB →·AC →+AB →·23CB →=3×3×cos60°+23×3×3×cos60°=15
2
.
14.
已知向量a =(3,4),b =(-2,1),则a 在b 方向上的投影等于________.
[答案] -255。[解析] a 在b 方向上的投影为a·b
|b|
=
-2
5
=-25
5.
15.
已知向量a 与b 的夹角为2π
3,且|a|=1,|b|=4,若(2a
+λb)⊥a,则实数λ=________. [答案] 1
[解析] ∵〈a ,b 〉=2π
3,|a|=1,|b|=4,∴a·b=
|a|·|b|·cos 〈a ,b 〉=1×4×cos 2π
3=-2,∵(2a +
λb)⊥a,∴a·(2a+λb)=2|a|2+λa·b=2-2λ=0,∴λ=1.
16.
已知:|OA
→|=1,|OB →|=3,OA →·OB →=0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设OC →=mOA →+nOB →(m ,n∈R+),则m
n =________.
[答案] 3
[解析] 设mOA
→=OF →,nOB →=
OE
→,则OC →=OF →+OE →,
∵∠AOC=30°,∴|OC →|·cos30°=|OF →|=m|OA →|=m ,
|OC
→|·sin30°=|OE →|=n|OB →|=3n ,
两式相除得:m
3n =|OC →|cos30°|OC
→|sin30°=1tan30°=3,∴
m
n =3.
17.
(文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,且OA →=-2i +j ,OB →=4i +3j ,则△OAB 的面积等于________.
[答案] 5
[解析] 由条件知,i2=1,j2=1,i·j=0,∴OA
→·OB →=(-2i +j)·(4i+3j)=-8+3=-5,又OA →·OB →=|OA →|·|OB
→|·cos〈OA →,OB →〉=55cos 〈OA →,OB →〉,
∴cos 〈OA →,OB →〉=-55
,∴sin 〈OA
→,OB →〉=25
5
, ∴S△OAB=12|OA →|·|OB →|·sin〈OA →,OB →〉=12
×5
×5×255
=5.
(理)三角形ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)
①sinA+cosA =15②AB →·BC →
<0 ③b=3,c =33,B =
30° ④tan A +tanB +tanC>0.
[答案] ④
[解析] 若A 为锐角,则sinA +cosA>1,∵sinA+cosA =15
,∴A 为钝角,∵AB →·BC →<0,∴BA →·BC →>0,∴∠B 为锐角,由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形;由正弦定理b sinB =c sinC 得,3sin30°=33sinC ,∴sinC=32,∴C=60°
或120°,∵c·sinB=332,3<332<33,∴△ABC 有两
解,故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形.
④由tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC =-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,及A、B、C∈(0,π),A+B+C=π知A、B、C均为锐角,
∴△ABC为锐角三角形.
18.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x).
(1)若a⊥b,求x的值.
(2)若a∥b,求|a-b|.
[解析] (1)若a⊥b,
则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,
整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,则x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2,
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|=错误!=2,
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|=错误!=2
5.
19.已知向量a=(sinx,-1),b=(3cosx,-1
2
),函数f(x)=
(a+b)·a-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T;
(2)将函数f(x)的图象向左平移π
6
上个单位后,再将所得
图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标.
[解析] (1)f(x)=(a+b)·a-2=a2+a·b-2=sin2x+1
+3sinxcosx+1
2
-2
=1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6 ),
∴周期T=2π
2
=π.
(2)向左平移π
6
个单位得,y=sin[2(x+
π
6
)-
π
6
]=sin(2x+
π
6
),横坐标伸长为原来的3倍得,
g(x)=sin(2
3
x+
π
6
),令
2
3
x+
π
6
=kπ得对称中心为(
3kπ
2
-
π
4
,
0),k∈Z.
20.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、
b、c,设向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c),若m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)若sinA+sinC的取值范围.
[解析] (1)由m∥n知c-a
a+b
=
b-a
c
,
即得b2=a2+c2-ac,据余弦定理知cosB=1
2
,得B=
π
3
.
(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+π3 )
=sinA+1
2
sinA+
3
2
cosA=
3
2
sinA+
3
2
cosA=3sin(A+
π
6 ),
∵B=π
3
,∴A+C=
2π
3
,∴A∈(0,
2π
3
),
∴A+π
6
∈(
π
6
,
5π
6
),∴sin(A+
π
6
)∈(
1
2
,1],
∴sinA+sinC的取值范围为(
3
2
,3].
(理)在钝角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C 的对边,m=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且m∥n.
(1)求角A的大小;
(2)求函数y=2sin2B+cos(π
3
-2B)的值域.
[解析] (1)由m∥n得(2b-c)cosA-acosC=0,
由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0,∵sin(A+C)=sinB,∴2sinBcosA-sinB=0,
∵B、A∈(0,π),∴sinB≠0,∴A=π3 .
(2)y =1-cos2B +12cos2B +32sin2B =1-12cos2B +
3
2sin2B =sin(2B -π
6
)+1,
当角B 为钝角时,角C 为锐角,则 ?????
π
2
3
-B<π
2?π2
3
,
∴5π6<2B -π6<7π6,∴sin(2B-π6)∈(-12,12),∴y∈(1
2,32
). 当角B 为锐角时,角C 为钝角,则
?????
0
3
-B<π?0
6
,