奇偶性背景的函数不等式求解问题
【知识回顾】
函数性质是用来描述函数的，包括定义域、值域、单调新、奇偶性、对称性、周期性等.如果单独去研究某个函数性质，我们可以仅仅抓住相关性质的概念去探讨，不过在高考中，关于函数性质的考查都会同时对2-3个性质进行考查，这样一来的话，题目的难度就会上升很多，不过万变不离其宗，不管同时考查几个函数性质，我们在研究函数题如果可以把相关的函数性质都研究出来，那这样的函数题在我们面前就是纸老虎一只，本节微专题研究奇偶性背景的函数不等式求解问题。 奇偶性与函数不等式的求解 【典型例题】
例1 已知函数,0(),0x x xe x f x x x e
??
=?-
解 由()()f x f x -=可知函数()f x 为偶函数，当0x >时，显然()f x 为增函数，且(1)f e =，所以不等式(2)f x e -<即为(|2|)(1)f x f -<，从而|2|1x -<解得13x <<，故原不等式解集为(1,3).
【解题反思】分段函数快速判断奇偶性的方法之一是先做出示意图，根据图形识别和判断，此法对作图的要求非常高；另外代数上判断分段函数的奇偶性的方法是：当x>0时，f(x)=g(x)，若x<0时，f(x)=g(-x)，则函数f(x)为偶函数；若当x>0时，f(x)=g(x)，若x<0时，f(x)=-g(-x)，则函数f(x)为奇函数.另外，关于偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|),这个式子的妙处是将自变量都化归成|x|，这样就在x>0的范围上研究相应的不等式解的问题，会简洁许多.
例2设函数210()00210.
x x f x x x x +>??
==??-
，，
，，，若不等式(1)()0m f x f x -+>对任意0x >恒成立，则实数m 的取值范围
是（ ）
A ．11(,)44-
B ．1(0,)4
C ．1
(,)4
+∞
D ．(1,)+∞
解 由()()f x f x -=-可知函数()f x 为奇函数，且在R 上是增函数，不等式(1)()0m f x f x
-+>即
(1)()()m m f x f f x x ->-=-，所以1m x x ->-对0x >恒成立，即2m x x >-，而2211
()24y x x x =-=--+的
最大值为14，所以1
4
m >，答案选C.
【解题反思】如果函数f(x)是奇函数且单调增，则不等式f(a)+f(b)>0等价于a+b>0;f(a)+f(b)<0等价于a+b<0. 如果函数f(x)是奇函数且单调减，则不等式f(a)+f(b)>0等价于a+b<0;f(a)+f(b)<0等价于a+b>0.如果函数y=f(x)图象关于(0,p)对称【此类问题后续的微专题会介绍】，则y=f(x)-p 为奇函数，继续用上面的结论去解决相应的不等式求解问题.
【举一反三】
1.（★★★江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学试卷(理科)11）已知函数x
x
e e x
f --=)(，对任意的0<)()2(]),3,3[x f kx f k +--∈恒成立，则x 的取值范围为 .
2.（★★★江苏省南通市通州区2020届高三第二次调研抽测数学试卷11）己知函数(
)
()21x
f x x =-，若关于x 的不等式()2(22)30f x x a f ax --+-≤对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .
3.（★★★★镇江2020届高三第一学期期末考试数学试卷12）函数3
31(),0
()22,0x x x x f x x x ?-+
≥ ，对
任意的[,1]x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -+≤恒成立，则实数m 的取值范围是 . 试数学试卷(文科)13）在平面直角坐标系xOy
4.（★★★★江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考中，己知直线mx y l =:1与曲线x x x f +=3
2)(从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2:2+=kx y l 上存在点P ，满足2||=+,则实数k 的取值范围为______.
5．（★★★★浙江镇海中学竞赛模拟卷）已知函数(
))
20202020log 20202x x f x x -=+-+，则关于x
的不等式(31) ()4f x f x ++>的解集为（ ） A ．1
(,)2020-
+∞ B ．1(,)3-+∞ C ．1(,)2
-+∞ D ．1(,)4
-+∞
【参考答案】
1. 1
(1,)2
-
2. [4,0]-
3. 1
[1,]3
--
4.
(,[3,)-∞+∞ 5．D
【详细答案】
1.（★★★江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学试卷(理科)11）已知函数x
x e e x f --=)(，
对任意的0<)()2(]),3,3[x f kx f k +--∈恒成立，则x 的取值范围为 .1
(1,)2
-
2.（★★★江苏省南通市通州区2020届高三第二次调研抽测数学试卷11）己知函数(
)
()21x
f x x =-，若关于x 的不等式()2(22)30f x x a f ax --+-≤对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 . [4,0]-
3.（★★★★镇江2020届高三第一学期期末考试数学试卷12）函数3
31(),0
()22,0x x x x f x x x ?-+
≥ ，对
任意的[,1]x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -+≤恒成立，则实数m 的取值范围
是 .1
[1,]3
--
4.（★★★★江苏扬州高邮市2020届高三上学期开学考试数学试卷(文科)13）在平面直角坐标系xOy 中，
己知直线mx y l =:1与曲线x x x f +=3
2)(从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2:2+=kx y l 上存在点P ，满足2||=+,则实数k 的取值范围为
______.(,[3,)-∞+∞
5．（★★★★浙江镇海中学竞赛模拟卷）
已知函数())
20202020log 20202x x f x x -=+-+，
则关于x 的不等式(31) ()4f x f x ++>的解集为（ ） A ．1
(,)2020-
+∞ B ．1(,)3-+∞ C ．1(,)2
-+∞ D ．1(,)4
-+∞ 答案：D