圆的标准方程
一．选择题（共10小题）
1．圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x+1）2+（y+2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=3D．（x+1）2+（y+2）2=3 2．已知A（﹣4，﹣5）、B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）
A．（x+1）2+（y﹣3）2=29 B．（x﹣1）2+（y+3）2=29
C．（x+1）2+（y﹣3）2=116 D．（x﹣1）2+（y+3）2=116
3．点M（3，4）到圆x2+y2=1上的点距离的最小值是（）
A．1 B．4 C．5 D．6
4．点P（2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
5．已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则点P（3，1）在（）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不知道
6．圆x2+y2﹣2x=0的圆心坐标和半径分别为（）
A．（1，0），1 B．（0，1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），2
7．过点（2，0）且圆心为（1，0）的圆的方程是（）
A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2﹣2x=0 C．x2+y2﹣4x=0 D．x2+y2+4x=0
8．圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）
A．（﹣2，3），4 B．（﹣2，3），16 C．（2，﹣3），4 D．（4，﹣6），16
9．圆x2+y2+2x﹣4y﹣6=0的圆心和半径分别是（）
A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2），D．（﹣1，2），
10．圆x2+y2+2x+y=0的半径是（）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
11．以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．
12．点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值为．
13．P（1，1）到圆（x﹣4）2+（y﹣5）2=1上的任意点的最大距离是．
14．过三点0（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为．
15．圆心为C（1，﹣2），半径长是3的圆的标准方程是．
16．已知圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=3，则圆C的标准方程为．
17．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为．
18．已知圆心坐标为（﹣1，1），半径是2的圆的标准方程：．
19．圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的方程为．
20．圆心为C（3，﹣5），且与直线x﹣7y+2=0相切的圆的方程为．
三．解答题（共8小题）
21．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．
（1）求半径最小时的圆C的方程；
（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．
22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．23．已知三点A（1，0），B（0，），C（2，），求△ABC外接圆的方程．
24．若圆经过点（2，0），（0，4），（0，2）
求：（1）圆的方程
（2）圆的圆心和半径．
25．已知x2+y2﹣4y﹣a=0表示一个圆．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，求过原点且倾斜角为60°的直线l被圆所截得的弦长．
26．已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆？
（2）若直线l：y=x﹣m与圆C相切，求m的值．
27．已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．
28．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016春?哈尔滨校级期末）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）
A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x+1）2+（y+2）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=3D．（x+1）2+（y+2）2=3 【解答】解：由题意可得圆的半径r=，
又圆心为（1，2），可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．
故选：A．
2．（2016秋?西区校级期中）已知A（﹣4，﹣5）、B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣3）2=29 B．（x﹣1）2+（y+3）2=29
C．（x+1）2+（y﹣3）2=116 D．（x﹣1）2+（y+3）2=116
【解答】解：由A（﹣4，﹣5）、B（6，﹣1），设圆心为C，
则圆心C的坐标为（，）即C（1，﹣3）；
所以|AC|==，则圆的半径r=，
所以以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y+3）2=29．
故选B
3．（2016秋?枣阳市校级月考）点M（3，4）到圆x2+y2=1上的点距离的最小值是（）
A．1 B．4 C．5 D．6
【解答】解：圆x2+y2=1上的点到点M（3，4）的距离的最小值=|OM|﹣R=﹣1=4．
故选：B．
4．（2016春?延边州校级月考）点P（2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
【解答】解：圆x2+y2=24的圆心O（0，0），半径r=2，
∵点P（2，5）与圆心O（0，0）的距离：
|OP|==，
∴点P在圆外．
故选：A．
5．（2016秋?成都校级月考）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则点P（3，1）在（）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不知道
【解答】解：∵⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y=0即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，
∴⊙C的圆心为（1，1），半径为，
则点P（3，1）到圆心的距离为，
∴点P（3，1）在圆外．
故选：C．
6．（2016?福建模拟）圆x2+y2﹣2x=0的圆心坐标和半径分别为（）
A．（1，0），1 B．（0，1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），2
【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，
故选：A．
7．（2016?丰台区二模）过点（2，0）且圆心为（1，0）的圆的方程是（）
A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2﹣2x=0 C．x2+y2﹣4x=0 D．x2+y2+4x=0
【解答】解：圆的半径为=1，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
故选：B．
8．（2016春?钦州期末）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）
A．（﹣2，3），4 B．（﹣2，3），16 C．（2，﹣3），4 D．（4，﹣6），16
【解答】解：将圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y﹣3）2=16，
∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心为C（﹣2，3），半径r=4，
故选：A．
9．（2016春?锦屏县校级期末）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6=0的圆心和半径分别是（）
A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2），D．（﹣1，2），
【解答】解：将圆x2+y2+2x﹣4y﹣6=0化成标准方程，
得（x+1）2+（y﹣2）2=11，
∴圆心的坐标是（﹣1，2），半径r=．
故选D．
10．（2016春?重庆校级期末）圆x2+y2+2x+y=0的半径是（）
A．B．C．D．
【解答】解：把圆x2+y2+2x+y=0化标准方程为：，
则圆x2+y2+2x+y=0的半径是：．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．（2016?南昌二模）以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2=8．【解答】解：∵以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的半径为圆心（﹣1，3）到直线x﹣y=0的距离，∴圆半径r==2，
∴以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2=8．
故答案为：（x+1）2+（y﹣3）2=8．
12．（2015春?漳州期末）点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值为3．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2=1的圆心C（0，1），半径r=1，|AC|=2，
∴点A（2，1）到圆C：x2+（y﹣1）2=1上一点的距离的最大值：
d=|AC|+r=1+2=3．
故答案为：3．
13．（2014秋?宣武区校级月考）P（1，1）到圆（x﹣4）2+（y﹣5）2=1上的任意点的最大距离是6．
【解答】解：∵点P（1，1）与圆心的距离为d=
故点P（1，1）与圆（x﹣4）2+（y﹣5）2=1上的点的距离最大值是d+r=5+1=6
故答案为：6
14．（2016?包头二模）过三点0（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0．
【解答】解：设过三点0（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则由求得，
故要求的圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0，
故答案为：x2+y2﹣8x+6y=0．
15．（2016秋?琼海校级期中）圆心为C（1，﹣2），半径长是3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9．【解答】解：∵圆的圆心为C（1，﹣2），半径长是3，
∴圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9
故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2=9
16．（2016春?株洲校级期中）已知圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=3，则圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．
【解答】解：圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=3，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．
17．（2016秋?铜官山区校级期中）过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为x2+（y﹣1）2=2．
【解答】解：联立直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0，解得x=0，y=1
∴圆的圆心为（0，1），
∴圆的半径为
∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=2．
故答案为：x2+（y﹣1）2=2．
18．（2016春?建湖县校级期中）已知圆心坐标为（﹣1，1），半径是2的圆的标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=12．
【解答】解：∵圆心坐标为（﹣1，1），半径是2，
∴圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=12．
故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=12．
19．（2016秋?德宏州期中）圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．
【解答】解：因为圆心为点（1，0），且过点（1，﹣1）的圆的半径为：1，
所以所求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1．
20．（2016春?临沂校级月考）圆心为C（3，﹣5），且与直线x﹣7y+2=0相切的圆的方程为（x﹣3）2+（y+5）2=32．
【解答】解：∵圆心到切线的距离d=r，即r=d==4，圆心C（3，﹣5），
∴圆C方程为（x﹣3）2+（y+5）2=32．
故答案为：（x﹣3）2+（y+5）2=32
三．解答题（共8小题）
21．（2009春?苏州期末）已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．
（1）求半径最小时的圆C的方程；
（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．
【解答】解：（1）因为圆心C在直线l：2x+y=4上，
所以设圆心的坐标为（a，4﹣2a）．
又因为动圆C经过坐标原点O，
所以动圆的半径r=，所以半径r的最小值为．
并且此时圆的方程为：（x﹣）2+（y﹣）2=．
（2）设定点坐标（x0，y0），因为圆的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（4﹣2a）]2=a2+（4﹣2a）2
所以x02﹣2ax0+y02﹣2（4﹣2a）y0=0，
即a（4y0﹣2x0）+（x02+y02﹣8y0）=0，
因为当a为变量时，x0，y0却能使该等式恒成立，
所以只可能4y0﹣2x0=0且x02+y02﹣8y0=0
即解方程组可得：y0=，x0=或者y0=0，x0=0（舍去）
所以圆C恒过一定点（，）．
22．（2008春?常州期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
【解答】解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，
解之得．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．
（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．
∵∴∴M点坐标（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，
则圆．
又∵三角形CPQ面积
∴当d=时，S取得最大值2．∴．
∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．
23．（2016春?唐山校级期末）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，），求△ABC外接圆的方程．【解答】解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意知当y=，关于x的方程x2+Dx+3+F+E=0 的两个根为0，2，
因此有D=﹣2，F+3+E=0，
由（1，0）在圆上可得1+D+F=0，
∴D=﹣2，E=﹣，F=1，
∴圆的方程为．
24．（2016春?延安校级期中）若圆经过点（2，0），（0，4），（0，2）
求：（1）圆的方程
（2）圆的圆心和半径．
【解答】解：（1）设圆的一般式为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将已知三点代入方程得：
，
解得；
所以圆的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8=0；…（5分）
（2）因为圆的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8=0，
所以﹣=3，﹣=3，
即圆心坐标为（3，3）；
所以圆的半径为：
r===．…（10分）
25．（2014春?沙坪坝区校级期末）已知x2+y2﹣4y﹣a=0表示一个圆．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，求过原点且倾斜角为60°的直线l被圆所截得的弦长．
【解答】解：（Ⅰ）x2+y2﹣4y﹣a=0，配方可得：x2+（y﹣2）2=a+4，
x2+y2﹣4y﹣a=0表示一个圆，
a+4＞0，解得a＞﹣4．
a的取值范围（﹣4，+∞）；
（Ⅱ）若a=0，x2+（y﹣2）2=4．过原点且倾斜角为60°的直线l的方程：y=，
圆的圆心（0，2），到直线的距离为：d==，
∴圆的半弦长为：=，
直线被圆所截得的弦长2．
26．（2016?衡阳校级模拟）已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆？
（2）若直线l：y=x﹣m与圆C相切，求m的值．
【解答】解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m=0，
得（x+1）2+（y+2）2=5﹣m，
由5﹣m＞0，得m＜5．
∴当m＜5时，曲线C表示圆；
（2）圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为．
∵直线l：y=x﹣m与圆C相切，
∴，
解得：m=±3，满足m＜5．
∴m=±3．
27．（2016?河西区模拟）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．
【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，
所以圆C的方程为x2+y2=4；
（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），
∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，
则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，
则有，
解得：k=﹣，
则直线l的方程为y=﹣x+．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．
直线l的方程：x=1或y=﹣x+．
28．（2016?包头二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，
∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，
∴由题意知R2﹣b2=2，
R2﹣a2=3，
∴b2﹣a2=1，
∴圆心P的轨迹方程为为y2﹣x2=1．
（Ⅱ）由题意知，
解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=，
∴满足条件的圆P有两个：
x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3．
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
数学归纳法（填空题：一般） 1、已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2014＝________. 2、设，则 _____．（不用化简） 3、用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了 ________ 4、用数学归纳法证明:,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答). 5、用数学归纳法证明不等式成立，起始值应取为__________． 6、已知，用数学归纳法证明时，等于_____________。 7、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为___________. 8、用数学归纳法证明（是非负实数，）时，假设命题成立之后，证明命题也成立的关键是________．
9、用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 _____________． 10、用数学归纳法证明：（）时，从 “”时，左边应增添的代数式为_______________. 11、用数学归纳法证明（）时，从“n=”到“n=”的证明，左边需增添的代数式是___________. 12、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____． 13、n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝ ________，命题为真． 14、若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________． 15、用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等式左边与时的等式左边的差等于. 16、用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)”，当n＝k＋1时，应在n＝k时的等式左边添加的项是________． 17、用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n ＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________．
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷（12月份组卷）（四） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3
SM数列高中数学组卷1 一．选择题（共1小题） 1．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+2，数列{a n}满足a1=0，且对任意n∈N*，a n=f（n），则f（2010）=（）A．4012 B．4018 C．2009 D．2010 二．填空题（共4小题） 2．记集合P={ 0，2，4，6，8 }，Q={ m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P }，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是．3．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，． （Ⅰ）求a n与b n； （Ⅱ）求数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n． 4．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为． 5．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n= 三．解答题（共25小题） 6．已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=4（x﹣1）．数列{a n}中，对任何正整数n，﹣a n）g（a n）+f（a n）=0都成立，且a1=2，当n≥2时，a n≠1；设b n=a n 等式（a n +1 ﹣1． （Ⅰ）求数列{b n}的通项公式； （Ⅱ）设S n为数列{nb n}的前n项和，，求的值．7．设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；
（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n． 8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*． （1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值． 9．已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x2，且a1=f（d﹣1），a5=f（2d﹣1），b1=f（q﹣2），b3=f（q）． （1）求数列{a n}和{b n}的通项公式； （2）设数列{c n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，都有 成立，求S n． 10．已知函数f（x）=x2+2x． （Ⅰ）数列a n满足：a1=1，a n+1=f'（a n），求数列a n的通项公式； （Ⅱ）已知数列b n满足b1=t＞0，b n+1=f（b n）（n∈N*），求数列b n的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为S n，若不等式λ＜S n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围． 11．设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2；数列{b n}满足6n2﹣（t+3b n）n+2b n=0（t∈R，n∈N*）． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）①试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列； ②在①结论下，若对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，符到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．12．已知函数f （x）=log a x （a＞0且a≠1），若数列：2，f （a1），f （a2），…，f （a n），2n+4 （n∈N﹡）为等差数列． （1）求数列{a n}的通项公式a n； （2）若a=2，b n=a n?f （a n），求数列{b n}前n项和S n； （3）在（2）的条件下对任意的n∈N﹡，都有b n＞f ﹣1（t），求实数t的取值范
高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2
排列组合高中数学组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2016?衡阳校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（） A．90种B．180种C．270种D．540种 2．（2016?黄冈校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2016?新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．480 4．（2016?内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（） A．24种B．36种C．48种D．60种 5．（2016?邯郸一模）现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（） A．90 B．115 C．210 D．385 6．（2016?成都校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个． A．324 B．216 C．180 D．384 7．（2016?湖南校级模拟）某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 8．（2016?陕西模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A．3种B．6种C．9种D．18种 9．（2016?福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（） A．72 B．96 C．144 D．240 二．填空题（共3小题） 10．（2016?黄冈校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=， q=． 11．（2016?黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是． 12．（2016?绵阳模拟）从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个．（用数字作答） 三．解答题（共4小题） 13．（2016?新余三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点． （1）证明：EF∥平面PCD；
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
2015年10月18日杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
2018年08月不等式的高中数学组卷 一．填空题（共30小题） 1．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为． 2．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为． 3．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为． 4．已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是． 5．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元． 6．不等式2＜4的解集为． 7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=． 8．当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．9．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=． 10．设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为． 11．设a+b=2，b＞0，则的最小值为． 12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴 影部分），则其边长x为（m）． 13．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围 是．
14．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是． 15．已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是．16．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招 聘教师最多人． 17．已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．18．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a=． 19．已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范围是． 20．如果关于x的不等式mx2﹣mx﹣1≥0的解集为?，则实数m的取值范围是．21．已知x＞﹣1，则x+的最小值为． 22．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为． 23．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值是． 24．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是． 25．若2x+4y=4，则x+2y的最大值是． 26．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为． 27．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是． 28．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为． 29．如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设=，=，=x+y，则+的最小值为． 30．已知实数a，b均大于0，且总成立，则实数m 的取值范围是．
高中数学组卷圆锥曲线练习 一．解答题（共50小题） 1．（2017秋?仙游县期末）设椭圆+=1（a＞2）的离心率为，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与x轴相交于点G，且=，求k的值； （3）设点A为椭圆的下顶点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k AC?k AD=﹣2． 2．（2018?河南模拟）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l 与W交于M，N两点． （1）求W的标准方程： （2）求． 3．（2018?株洲一模）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点． （1）求椭圆C的方程； （2）证明：△MEF为等腰三角形． 4．（2018?河南模拟）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l 与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．
（1）求抛物线E的方程； （2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值． 5．（2018?资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N 两点． ①求证：直线MN的斜率为定值； ②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）． 6．（2018?黄浦区一模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别 与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD． （1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S； （2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值． （3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．7．（2018?玉溪模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别 为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程； （II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．8．（2018?淮南一模）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16）． （1）求椭圆C的标准方程；
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
高中数学组卷—统计案例 1．（2016?延边州模拟）下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下： 月份9 10 11 12 1 历史（x分）79 81 83 85 87 政治（y分）77 79 79 82 83 （1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差 （2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程=x+ （附：==，=y﹣x） 2．（2016春?南城县校级月考）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表： 年份x 2 2014 2015 储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x﹣2010，z=y﹣5得到如下表： 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （Ⅰ）求z关于t的线性回归方程； （Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程； （Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？ （附：对于线性回归方程，其中：，=﹣） 3．（2015?重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10 （Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+． （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款． 附：回归方程=t+中 ． 4．（2015?衡阳二模）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料 日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日 温差x（°C）10 11 13 12 8 发芽数y（颗）23 25 30 26 16 （Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率．