第十五章 积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。
§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
一. 积分方程一般概念
1. 积分方程的定义与分类
[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程
()()()()(),d b
a x y x F x K x y αλξξξ=+? (1)
称为积分方程。式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )
内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程
()()(),d b a
K x y F x ξξξ=?
第二类Fr 方程
()()()(),d b
a
y x F x K x y λξξξ=+?
第三类Fr 方程
()()()()(),d b
a
x y x F x K x y αλξξξ=+?
[n 维弗雷德霍姆积分方程]
111()()()()(),d D
P y P F P K P P y P P α=+?
称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是
(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21
n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21
n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。 关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。
[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。
由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成
()
()()d
a
xλξξ
=+?
它是含有未知函数),
(
)
(x
y
x
α以
)
(
)
(
)
,
(
ξ
α
α
ξ
x
x
K
为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点研究一维第二类Fr方程。
2. 积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：
2
2
00
()()()
()()
d d
d d
,
y y
A x
B x y f x
x x
y y y y
αα
?
++=
?
?
?''
==
?
（2）
若从方程(2)中解出
2
2
d
d
x
y
，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出*，
?'
-
-
+
-
=x
a
y
A
B
x
A
x
yξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξd)
(
)]}
(
)
(
)[
(
)
(
{
)
(
)
](
)
(
[
d)
(
)
(y
x
y
y
A
f
x
x
a
+
-
'
+
+
-
+?α
α
ξ
ξ
ξ
令
)
(
)]
(
)
(
)[
(
)
,
(ξ
ξ
ξ
ξ
ξA
A
B
x
x
K-
'
-
-
=
和
)
](
)
(
[
d)
(
)
(
)
(y
x
y
y
A
f
x
x
F x+
-
'
+
+
-
=?α
α
ξ
ξ
ξ
上式就可写为如下的形式:
)
(
d)
(
)
,
(
)
(x
F
y
x
K
x
y x
a
+
=?ξ
ξ
ξ(3) 这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。
例1初值问题
??
?
?
?
=
'
=
=
+
)0(
,1
)0(
)
(
d
d
2
2
y
y
x
f
y
x
y
λ
(4) 变为积分方程
?
?-
-
+
-
=x
x
f
x
y
x
x
y
d)
(
)
(
1
d)
(
)
(
)
(ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
λ(5) 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中，对(5)式求导，得出
?
?+
-
=x
x
f
y
x
y
d)
(
d)
(
d
d
ξ
ξ
ξ
ξ
λ(6) 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1, 0
)0(=
'y
*在计算过程中应用了公式
1
1
()d d()()d
(1)!
x x x n
a a a
n
n
f x x x x f
n
ξξξ
-
=-
-
???（n≥2）
当0
)
(
)
(
)
(1=
=
=
'
=-α
α
αn f
f
f 时成立。
对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。 例2 从问题
?????===+0
)(,0)0(0
d d 22a y y y x
y
λ 出发，积分两次，导出关系式
Cx y x x y x
+--=?0
d )()()(ξξξλ
从此立刻可知条件y (0)=0成立。从第二端点条件y (a )=0决定C ：
?=-a
Ca y a 0
d )()(ξξξλ
所以有关系式
?
?
-+-=x
a
x y a a
x
y x a a
x y 0
d )()(d )()()(ξξξλξξξ
λ (7) 令
????
?>-<-=x a a
x
x
x a a x K ξξξξ
ξ),(),(),( 则方程(7)变为
?=a
y x K x y 0d )(),()(ξξξλ (8)
这是第二类Fr 方程。要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到
)()]()()([d d 22x y x y x a x xy a
x y λλ
-=---= 在积分方程(7)中，令x =0和x =a ,可以直接推出边值条件y (0)=y (a )=0。
注意：在这个例中，
1° x
K ??在x =ξ处不连续，并当x 增加而过ξ时有一跳跃-1。
2° K 是x 的一个线性函数，即满足022=??x
K
，且K 在端点x =0,x =a 处等于零。
3° K (x ,ξ)=K (ξ,x ),即核是对称的。
如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题：
?????===++0)(,0)0(0d d d d 22a y y By x
y
A
x y 则除A =0外，可得在x =ξ不连续的一个核。
二、格林函数及其物理意义
[格林函数] 在区间[a ,b ]上，考虑微分方程
Ly +Φ(x )=0
的边值问题，式中L 是微分算子：
q x
x p x p q x p x L ++
=+??? ??≡d d d d d d d d d d 22
齐次边界条件为在端点x =a , x =b 处，满足0d d =+x
y
y β
α，其中α,β为常数。 为了得出这个问题解的形式，首先构造函数G ,使对一给定数ξ，
??
?><=ξξ
x x G x x G G ),(),(2
1 并且满足条件：
(i) 函数G 1和G 2在它们的定义区间上满足LG =0,即当x <ξ时,LG 1=0;当x >ξ时，LG 2=0。 (ii) 函数G 满足边界条件，即G 1满足在x =a 的边界条件，G 2满足在x =b 的边界条件。 (iii) 函数G 在x =ξ连续，即G 1(ξ)=G 2(ξ)。
(iv) G 的导数以x =ξ为一不连续点，其跳跃是)
(1
ξp -，即
)(1
)()(12
ξξξp G G -='-' 可以证明，若以ξ为参数的这个函数G 存在，则原问题的解有如下的形式：
ξξξΦd ),()(x G y b
a ?= (2)
例如G (x,ξ)可取
??
??
?>-<-
=ξξξξξx x v u A
x v x u A x G ),()(1
),()(1
),( (3) 式中A 是由关系式
)
()()()()(ξξξξξp A u v v u =
'-' 决定的一个常数，u (x )是Ly =0满足在x =a 处所给定的齐次边值条件的一个解，v (x )是在x =b 处满足边值条件的一个解。则G (x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)。
此外，还可证明，对由(3)定义的G (x,ξ),由关系式(2)确定的函数y 满足微分方程(1)并且满足u (x )在x =a 与v (x )在x =b 所规定的相同的齐次边界条件。
满足条件（i ）~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly 和边界条件相联系的格林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。
[线性积分方程的一个典型实例] 考虑一条长为l 的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦的位置在Ox 轴的线段Ol 上。在点x 施加单位力，于是弦的每一点得到一个离差，在点ξ处所产生的离差以G (x,ξ)表示（图15.1）。函数G (x,ξ)为两点（x 和ξ）函数，在点x 施加外力，在点ξ计量离差，称G 为影响函数。
如果弦的两端固定在x 轴上A ,B 两点，弦的张力为T 0,则在点x 外处施加的单位力作用下，弦成图15.1所示的形状。根据虎克（Hooke ）定律与力的平衡条件，在点ξ处有
???????>-<-=ξξξξξx l T x l x l
T l x x G ,)(,)
(),(0
这就是弦的影响函数。
从能量守恒定律可导出G (x ,ξ)的互易原理：在点x 处施加外力在点ξ处产生的离差等于在点ξ处施加大小相同的力在点x 处产生的离差，即
G (x,ξ)=G (ξ, x )
如果在弦上施加的力F 是连续分布的，并设线性强度是p (ξ),则作用于弦上点ξ和ξ+?ξ之间的一小弦段的力就接近于p (ξ)?ξ。把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状
?=l
p x G x y 0
d )(),()(ξξξ
1° 设在某个力的作用下，弦成已知形状y=y (x ),求定力分布强度p (ξ),就得到含未知函数p (ξ)的第一类Fr 积分方程
?=l
p x G y 0d )(),(ξξξ (1)
2° 设作用力随时间t 改变，且在点ξ的强度是
p (ξ)sin ω t (ω >0)
则弦的运动是由方程
y =y (x )sin ω t 描写的周期运动。
设ρ(ξ)为弦在点ξ的线性密度，则在时刻t ,点ξ与ξ+?ξ之间的小弦段除受力p (ξ)sin ω t ?ξ的作用外，还受惯性力
222d ()()()d y
y t
ρξξρξ
ξω-?=sin ω t ?ξ 的作用，则等式(1)可化为如下的形式：
)(d )(),()(0x F y x K x y l
+=?ξξξλ (2)
式中
?=l
p x G x F 0d )(),()(ξξξ
K (x ,ξ)=G (x ,ξ)ρ(ξ), λ=ω2
如果函数p (ξ)给定，那么F (x )也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y (x )的Fr 方程。注意，由于F (x )的定义，有
F (0)=F (l )=0
若密度ρ(ξ)=ρ是常数，而F (x )有二阶的连续导数，则方程(2)的解为
)(d )()(d )()()(02
002x F y l
T l x y l T x l x y l x x +-+-=??ξξξρωξξξρω
即
)(d )()(d )()()(202x F y l l cx y x l l c x y l
x
x +-+-=
??ξξξωξξξω (3) 式中
T c ρ
=
把(3)式微分两次就得到
)()()(2x F x y c x y ''+'=''ω
另一方面，可以证明这个微分方程的任一在x =0及x =l 处等于0的解是积分方程(2)的解。
三、 具有可分离核（退化核）的Fr 方程
[可分离核（退化核）] 若核K (x ,ξ)可分解为如下的形式：
∑==n
k k k g x f x K 1
)()(),(ξξ
则称K (x ,ξ)为可分离核或称为退化核。不妨假定n 个函数f k (x ) (k =1,2, ,n )在有关区间上是线
性无关的。
例如，如果核是关于x 和ξ的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+ξ)也是退化核。
[具有可分离核的第二类Fr 方程解法] 具有可分离核的第二类Fr 方程
)(d )(),()(x F y x K x y b
a +=?ξξξλ (1)
即
)(]d )()()[()(1
x F y g x f x y n
k b
a
k k +=∑?=ξξξλ (2)
的解法如下，首先设
?=b
a
k k x x y x g c d )()( (k =1,2, ,n )
则
∑=+=n
k k k x f c x F x y 1)()()(λ
于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c 1,c 2, ,c n 。
再用g i 乘(2)式两边且积分，令
?=b a
j i ij x x f x g a d )()(，?=b
a
i i x x F x g b d )()(
（i =1,2, ,n , j =1,2, ,n ）
则c 1,c 2, ,c n 满足方程组
i n
j j ij i b c a c =-∑=1
λ （i =1,2, ,n ）
即
??
???=-+---=---+-=----n n nn n n n n n n b
c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a )1()1()1(22112
222212*********λλλλλλλλλ
（3） 矩阵形式为
（I -λA ）c =b
式中I 为n 阶单位矩阵，A =(a ij ),c = (c 1,c 2, ,c n )τ, b = (b 1,b 2, ,b n )τ。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系数行列式
?=det （I -λA ）≠0
如果F (x )≡0,则b i =0(i =1,2, n )，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当?≠0时，y (x )≡0是积分方程(1)的平凡解（零解），且是唯一解。当?=0时，至少有一个c i 可以任意指定，其余的c j 可以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。
使?=0的λ值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。
如果对于λ的一个给定的特征值，可以从常数c 1,c 2, ,c n 中任意指定r 个，那么可得到r 个线性无关的对应特征函数。
如果F (x )不恒为零,但与g 1(x ), g 2(x ), ,g n (x )正交，即b i =0 (i =1,2, n )。那末方程组(3)仍为齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数F (x )。这样平凡值 c 1= c 2= = c n =0导出解y =F (x )。对应于λ的特征值的解是F 与特征函数的任意倍数之和。
最后，如果(3)式右边的b i 至少有一个不为零，当行列式?≠0时，方程组(3)存在唯一的非平凡解，于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解，当?=0时，则方程(3)或者是不相容的，这时积分方程(1)没有解；或者n 个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个
解。
例 解积分方程
)(d )()31()(1
0x F y x x y +-=?ξξξλ (1)
解 可把这个方程改写为
y (x )=λ(c 1-3c 2x )+F (x ) (2)
式中
?=10
1d )(ξξy c ，?=1
2d )(ξξξy c
决定c 1,c 2的方程组是
???????
=++-=+-??10211021d )()1(2
1d )(2
3)1(x x xF c c x x F c c λλλλ (3)
其系数行列式为
)4(41
12
1
23
12λλλλλ-=+--=? 则积分方程(1)存在唯一解的条件是λ≠±2。由(3)解出c 1,c 2并代入(2)得到(1)的解。特别，若F (x )=0, λ≠±2,则唯一解是平凡解y (x )=0。数λ=±2为问题的特征值。
若λ=2，则方程组(3) 为
??
???=+-=+-??1
0211021
d )(3d )(3x
x xF c c x
x F c c 这两个方程是不相容的，除非函数F (x )满足条件
0d )()1(1
=-?x x F x
这时两个方程相同。
若λ=-2，则方程组(3) 为
??
???
=-=-??1
211021d )(d )(31x
x xF c c x
x F c c 这两个方程也是不相容的，除非函数F (x )满足条件
0d )()31(1
=-?x x F x
这时两个方程也是相同的。
现在具体讨论积分方程(1)的解。 1° 先考虑齐次方程（即F (x )=0）的情形。若λ≠±2，则唯一解是平凡解y (x )=0。 当λ=2时，代数方程组只给出一个条件c 1=3c 2。这时，解是
y (x )=c 1(1-x )
式中c 1=3λc 2=6c 2是任意常数，1-x 是对应于特征值λ=2的特征函数。
当λ=-2时，解是
y (x )=c 2(1-3x )
式中c 2=λc 1=-2c 1是任意常数，1-3x 是对应于λ=-2的特征函数。
方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式：
y (x )=F (x )+c 3(1-x )+c 4(1-3x )
式中)(23213c c c -=
λ，)3(2
124c c c -=λ
。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F (x )的和来表达。
2° 在非齐次的情形（即F (x )不恒等于零）下，若λ≠±2，则积分方程(1)存在唯一解。 当λ=2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F (x )正交于λ=2所对应的特征函数
1-x *,即
0d )()1(1
=-?x x F x
在此条件下，再利用c 1-3c 2=?-1
)(dx x F ,给出积分方程(1)的解。
)1(d )(2)()(11
x c x x F x F x y -+-=?
式中c 1=6c 2是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。
类似地，当λ=-2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F (x )正交于1-3x ,即
?=-1
0d )()31(x x F x
这时存在如下的无穷多个解：
)31()(32)()(21
x c dx x F x F x y -+-=?
式中c 2=-2c 1是任意常数。
四、希尔伯特-施密特的理论
当齐次Fr 方程的核K (x,ξ)不可分离，特别，K (x,ξ)对于x>ξ和x<ξ,分别由不同的分析表达式给定时，其特征值一般有无穷多个λn (n =1,2, ),每个特征值对应的特征函数除一个乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值λk 可以对应于两个或更多个独立的特征函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。
[具有对称核的Fr 方程的性质] 如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个核就叫做对称核。
1° 具有对称核的齐次Fr 方程的特征函数系是正交的。 2° 具有实对称核的Fr 方程的特征值都是实数。 注意，核不对称的Fr 方程可以具有虚的特征值。
[希尔伯特-施密特定理] 设Φ为一平方可积函数，则形如
?Φ=b
a
d x K x f ξξξ)(),()(
的函数f (x ),可由对称核齐次Fr 方程
?=b
a
d y x K x y ξξξλ)(),()(
在[a ,b ]上的特征函数y 1(x ), y 2(x ), 的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的无穷级数在区间[a ,b ]上绝对且一致收敛。
[施密特公式] 考虑非齐次第二类Fr 方程
* 在下一段会看到，这个情形是原积分方程中核K (x ,ξ)=1-3x ξ 的对称性的一个推论。
?+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
式中K (x ,ξ)是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k 0(a ≤x ≤b ，a ≤ξ≤b ）上是两变量x ,ξ的连续函数,F (x )是已知的一致连续函数，y (x )是未知函数，而λ是参数，则有施密特公式
∑∞
=-+=1)()()(n n n
n
x y F x F x y λλλ （λ≠λn
，即λ不是特征值） (1) 右边的级数是绝对且一致收敛的，式中F n 由下式决定：
??=b
a
n b
a
n n dx x y x F dx x y F )()()]([2
（n =1,2, ） (2)
[核的展开定理] 一个对称核K (x ,ξ)可展开为级数
∑∞
=1
)
()(n n
n n y x y λξ
这个级数对任意固定的ξ，有
0)()(),(l i m 2
1=??
????-?∑=∞→dx y x y x K b
a m
n n n n m λξξ [具有非对称核的积分方程] 设核K (x ,ξ)不是对称的，但可表为如下形式
K (x ,ξ)=r (ξ)G (x ,ξ)
式中r (ξ)在（a ,b ）内连续且不变号，而G (x ,ξ)是对称的，这时有以下性质：
1° 对应于不同特征值λm 和λn 的两个特征函数y m (x )和y n (x )在[a ,b ]上关于权函数r (x )是正交的，即
0)()()(=?
b
a
n m dx x y x y x r
2° K (x ,ξ)的特征值都是实数。 3° 若非齐次第二类Fr 方程有一个解，则这个解由(1)给出，并以权函数r (x )去乘(2)式两边所包含的被积函数。
[具有埃尔米特核的积分方程] 设核K (x ,ξ)为一复核，如果
_________
),(),(ξξx K x K =
则称K (x ,ξ)为埃尔米特核，式中),(x K 表示K (x ,ξ)的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方程有以下性质：
1° 对应于不同特征值λm 和λn 的两个特征函数y m (x )和y n (x )在[a ,b ]上是按埃尔米特意义正交的：
0)()(=?
b
a
n m dx x y x y
2° 在[a ,b ]上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。 3° 设特征函数按埃尔米特意义是标准化的：
?
??=≠=?n m n
m dx x y x y b a n m ,1,0)()(
如果非齐次第二类Fr 方程有一个解，那末这个解由(1)给出，并且(2)式改为
??==b
a
n b a
n n n n dx x F x y dx x y x y F F )()()()( （n =1,2, ）
[具有反对称核的积分方程] 设K (x ,ξ)满足条件
K (ξ,x )=-K (x ,ξ)
则称K (x ,ξ)为反对称核，这时iK (x ,ξ)是埃尔米特核。因此，具有反对称核的积分方程
?+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
如果以λi 代替λ，则得到具有埃尔米特核的积分方程
?+=b
a
d y x iK x F x y ξξξλ)(),()()(
由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。
[伴随核与自伴随核] 设u (x )是一复核K (x ,ξ)(它不一定是埃尔米特核)对应于特征值λ的一个特征函数，v (x )是核),(x K ξ对应于特征值μ的一个特征函数，若μλ≠，则
?
=b
a
dx x v x u 0)()(
这里),(x K ξ称为K (x ,ξ)的伴随核。如果),(x K ξ= K (x ,ξ)，那么K (x ,ξ)称为自伴随核，显然实对称核与埃尔米特核都是自伴随核。
五、第二类Fr 方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解
[逐次逼近法] 在某种情形下，第二类Fr 方程可用逐次逼近法来解。为此，设方程 ?+=b
a d y x K x F x y ξξξλ)(),()()( (1)
的解可用λ的幂级数来表达：
y (x )=y 0(x )+y 1(x)λ+y 2(x )λ2+ (2) 如果级数(2)在区间[a ,b ]上关于x 是一致收敛的，那末把它代入(1)中，可逐项积分，比较λ的系数就得到确定y n (x )的递推公式
y 0(x )=F (x ), ?-=b
a n n d y x K x y ξξξ)(),()(1 (n =1,2, ) (3)
式中y n (x ) (n =1,2, )都是连续函数。若λ充分小，则级数(2)关于x 绝对且一致收敛，于是级数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。
[叠核 ? 预解核 ? 诺伊曼级数解] 设K (x ,ξ)为核，经递推公式
K 1(x ,ξ)=K (x ,ξ),?-=b
a n n d K x K x K 1111),(),(),(ξξξξξ (n =2,3,4, ) (4)
产生的K n (x ,ξ)称为已知核K (x ,ξ)的n 次叠核。它满足下面公式
?=+b
a
q p q p d K x K x K 111),(),(),(ξξξξξ
式中p ,q 为任意正整数。
由于F (x )和K (x ,ξ)分别在[a ,b ]上和k 0(a ≤x ≤b ，a ≤ξ≤b ）上连续，所以各有极大值m 和M ：
m x F ≤)(， M x K ≤|),(|ξ
当)(1
a b M -<λ时，级数∑∞
=+0
1),(n n n x K λξ在k 0内绝对且一致收敛，记作
∑∞
=+=0
1),();,(n n n x K x R λξλξ (5)
如果用自由项F (x )来表达y n (x ),则由(3),(4)推出
?=b
a
n n d F x K x y ξξξ)(),()(
并把它代入级数(2)得到
∑?∞
=++=0
1)(),()()(n b
a n n d F x K x F x y ξξλξλ (6)
因为级数(5)在k 0内一致收敛，所以对[a ,b ]上任一固定值x ,它在区间内关于ξ一致收敛，故得
积分方程(1)的解
?+=b
a d F R x F x y ξξλξτλ)();,()()(， )
(1
a b M -<
λ (7)
式中不依赖于自由项F (τ)的函数R (x ,ξ ;λ)称为核的（或Fr 方程的）预解核，级数(5)称为诺伊曼级数。
[存在性与唯一性定理] 如果把级数(5)改写为
∑∑?∞=∞
=+++=+=0
1112),(),(),(),(),(),(n n b
a
n n n n d K x K x K x K x K x R ξξξξλλξξλλξλξ;
由(5)上式化为
?+=b
a
d R x K x K x R 111),(),(),(),(ξλξξξλξλξ;;
改变符号可写为
?+=b
a
d y R x K y x K y x R ξλξξλλ),(),(),(),(;;
因此，当把方程(1)中F (x )换为K (x ,y )时，上式表明存在预解核R (看作两个变量x ,y 与参数λ的函数)是方程(1)的唯一解。
例 举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)中
K (x ,ξ)=1-3x ξ
由公式(4)算出它的各次叠核：
ξξξξξξξx x d x x K 3)(2
3
1)31)(31(),(101112++-=--=?
)31(41
),(),(),(1011213ξξξξξξx d K x K x K -==?
所以413K
K =，从此容易推出4
2-=n n K K （n ≥3）,于是有
24
21423221)16
41()1641(K K K K K R +++++++=+++=λλλλλλλ
即
])1(3)(23
)1[(4
11);,(2ξλξλλλλξx x x R --+-+-
= )2(<λ
值得注意的是，由此式可以给出一切λ值（λ=±2除外）的预解核，但相应的诺伊曼级数只当2<λ时才收敛。
六、弗雷德霍姆的理论
[Fr 方母] 预解核R (x ,ξ;λ)可以用关于λ的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一切λ值都是收敛的。
若预解核表成
)
()
;,();,(λλξλξ?=x D x R (1)
式中
-+-=),(!2),(1),();,(22
1
ξλξλξλξx D x D x K x D ! (2) -+-=?22
1!2!11)(c c λλλ (3)
Δ(λ)称为Fr 分母，它与变量x ,ξ无关。式中系数c n 与函数D n (x ,ξ)可由下列递推公式逐次算出：
?=b a dx x x K c ,),(1 ?-=b
a
d K x K x K c x D 11111),(),(),(),(ξξξξξξ ?=b
a
dx x x D c ,),(12 ?-=b
a
d D x K x K c x D 111122),(),(2),(),(ξξξξξξ
?-=b
a
n n dx x x D c ,),(1 ?--=b
a
n n n d D x K n x K c x D 1111),(),(),(),(ξξξξξξ
那末方程
?+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
的解可将（1）代入上段（7）式中得到，其形式为
?+=b
a
d F x D x F x y ξξλξλ?λ)();,()()()( （4）
当K (x ,ξ)是可分离时，这个结果与本节三中所得到的解一致，这时级数(2)与(3)都只包含有限项。
更一般地，若级数(2)与(3)之比用关于λ的幂级数(由除法或其他方法)来表达，结果将化为上段的(6)式的级数形式，而它只对充分小的λ)(1λλ<值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分母的级数展开式对λ的一切值都收敛。
分母?(λ)只当λ取一特征值时等于零，在这个情形下，Fr 方程或者无解或者有无穷多个解，并且(4)不再成立。
[?(λ)的零点与Fr 方程] 应用存在性与唯一性定理，有以下结论： 1° 若λ不是?(λ)的零点，则对任意的F (x ),(4)式是Fr 方程的唯一解。 2° 函数?(λ)的一切零点都是预解核的极点。 3° 若λc 是?(λ)的零点，则齐次方程
?=b
a
c d y x K x y ξξξλ)(),()(
有非零解。
于是?(λ)的一切零点都是上面积分方程的特征值，就是说，这时齐次方程
?=b
a d y x K x y ξξξλ)(),()( (5)
有非零解。若λ不是?(λ)的零点，则由1o ，非齐次Fr 方程对任意的F (x )有唯一解，特别，这时上面齐次方程只有零解，即
若λ是?(λ)的零点，则它是特征值，若λ不是?(λ)的零点，则它不是特征值，于是得到 4° 积分方程的特征值都是?(λ)的零点。 5° 在λ平面的任何有限区域内只有有限个特征值。 [转置积分方程] 形如
?+=b
a d y x K x G x y ξξξλ)(),()()( (6)
的方程叫做Fr 方程
?+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
的转置积分方程，它的相应的齐次方程为
?=b
a d y x K x y ξξξλ)(),()( (7)
这个方程的核记作
K 0(x ,ξ)=K (ξ, x )
转置积分方程具有以下性质： 1° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解，或同时有非零解。 2° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。
3° 若λ是特征值，则非齐次Fr 方程可解的充分必要条件是：自由项F (x )满足条件
0)()(=?
b
a
x x F ψ
式中)(x ψ是转置方程的任何特征函数，即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足，则Fr 方程有无穷多个解，而一切这样的解取形式
∑=+=r
j j j x c x y x y 1
0)()()(?
式中y 0(x )为Fr 方程的任意特解，r ??? ,,21为方程(5)的r 个非平凡的线性无关的解，c 1,c 2, ,c r 为任意常数。
应当指出，上式结果与n 个变量的n 个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次
?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y
我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.
（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.
第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数
)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。
微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了 多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运 动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们 都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程。 再由条件，将2|1==x y 代入C x y +=2，即
C +=2121=?C 。 故所求曲线的方程为12+=x y 。 再看一个例子： 例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。求质点运 动的位移与时间t 的关系。 解 这是一个物理上的运动问题。 设质点运动的位移与时间的关系为 )(t s s =。 则由二阶导数的物理意义，知a t d s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。 再由题意000 |0 |t t s v v ==ì=??í ?=??，因此，)(t S S =应满足问题 22 000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt s v v ==ì??=?í??==???，，。 要解这个问题，我们可以将两边连续积分两次，即 1C at dt ds +=， ??++=21C dt C tdt a s ，即 2122 C t C t a s ++=， 其中21,C C 为任意常数。 由条件，因为0|0==t s ，代入，得02=C ； 再由00|v v t ==，代入，得01v C =。 故得 t v t a s 02 2 += 为所求。 下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。 微分方程的基本概念 总结所给出的两个具体的例子，我们看到： (1) 例的)1(式和例 的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）； (2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；
第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。
考点：常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】 1.微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 若未知函数是一元函数，则称为常微分方程； 若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程. 考题链接： 例：*320y x y x y xdy ydx ''=++=+=，， 2.阶：未知函数的最高阶导数的阶数. 考题链接： 例：微分方程()2 420x y y x y '''+-=的阶数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.性微分方程： ()()()()()()*012n n f x y f x y f x y f x y f x '?+?+?+ +?= 考题链接： 例：判断下列函数是否为线性方程. （1）2y x y '=+ （2）2sin y x y x '=++ （3）sin 0y x y '-+= （4）2y yy x '''-= （5）()2 3y x y '=+ 4.解：若()y x ?=代入方程成为恒等式，则称()y x ?=为方程的一个解. （1）通解：含有相互独立（不能合并，212y C x C x =+与12y C x C x =+）的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解. （2）特解：不含任意常数的解. 例1：某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ） A.sin y C x = B.12sin cos y C x C x =+ C.sin cos y x x =+ D.()12cos y C C x =+
例2：函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是微分方程0y y ''+=的（ ） A.通解 B.特解 C.解 D.不是解 例3：已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________. 考点：可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】 （1）标准形式：()()f y dy g x dx = （2）解法：①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分. 例1：微分方程0dx dy y x +=的通解是（ ） A.2225x y += B.34x y C += C.22x y C += D.227y x -= 例2：方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=的通解为________. 例3：微分方程220dy xy dx -=满足条件()11y =-的特解是（ ） A.21 y x = B.21y x =- C.2y x = D.2y x =- 考点：齐次方程【☆☆☆☆☆】 （1）标准形式：y y f x ?? = ??? 考题链接： 例：22x y x y '=+不是 222x y x y '=+是 （2）解法：①化为标准形式； ②令y u x = ，代入方程消去y ； ③化为x 与u 的可分离变量的微分方程，求解. 例：求sin 0y xy x y x '--=的通解. 考点：一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】 （1）标准形式：()()y P x y Q x '+=
第十三章常微分方程 在研究客观现象时，常常遇到这样一类数学问题，即其中某个变量和其他变量之间的函数依赖关系是未知的，但是这个未知的函数关系以及它的某些阶的导数（或微分）连同自变量都由一个已知的方程联系在一起 ,这样的方程称为微分方程.如果未知函数是一元的，那末对应的微分方程称为常微分方程;如果未知函数是多元的，那末对应的微分方程称为偏微分方程 . 这一章介绍常微分方程，第十四章介绍偏微分方程 . 本章主要内容是介绍几类可以用分析方法求解的方程，如某些一阶微分方程，常系数线性微分方程，某些高阶微分方程和微分方程组.对于那些不能用分析方法求解的方程，介绍研究解的某些性质的方法（稳定性理论大意），或者用一些特殊的方法求出常微分方程的近似解（主要是数值解法）. §1 微分方程的一般概念 微分方程是联系自变量 x ，未知函数y 和它的某些阶导数n n x y x y x y d d ,...,d d ,d d 22的关系式：0 d d ,...,d d ,d d ,,22n n x y x y x y y x F [微分方程的阶数]方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶. 例如: y y x 24是二阶常微分方程. [微分方程的次数]如果能把微分方程化作对所有导数的有理整式，则其中最高阶导数 的次数，称为微分方程的次数.并不是所有微分方程都有次数.例如：y y 11 2是一个二阶二次方程，因有理化后可得y y 12，而21 1y y 是二阶一次方程，方程ln y y 1没有次数可说. [微分方程的解]使常微分方程成为恒等式的变量之间的关系式都是该常微分方程的解.如果关系式是隐式，这种解又称为积分.微分方程的解的求法也可称为微分方程的积分法.微分方程的每一个解的图形又称为微分方程的积分曲线. [微分方程的通解]如果在微分方程的解式中,所含的独立的任意常数（如果一个解中的常数可取任意值，称它为任意常数）的个数等于这个微分方程的阶数，那末这解式称为微分方程的通解.n 阶微分方程的通解表达式中含有n 个彼此独立的任意常数. [微分方程的特解]相对于通解而言，微分方程的每一个解称为特解. [初值问题]如果在自变量某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为初值问题. [边值问题]如果在自变量一个以上的值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为边值问题.
定积分的概念与性质
第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的