B
C
轴对称图形
考点1：轴对称及轴对称图形的意义
一、考点讲解：
1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对
称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．
2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这
条直线叫做对称轴．
3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线
段被对称轴垂直平分，对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。 4．简单的轴对称图形：
线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。
二、基本图形：
1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。
三、经典考题剖析： 1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）
2．（2006
B
l
C
D
3．（2006河南省3分）下列图形中，是轴对称图形的有（）Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个
4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
( )
(A) (B) (C) (D)
5．（2006苏州市3分）如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1300，∠B=1100．那么∠BCD的度数等于（）
A. 400
B.500 C．600 D.700
6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）
7．（2006 湛江市6分）如图5，请你画出方格纸中的图形关于点O的中心对称图形，并写出整个图形的对称轴的条数．
四、针对性训练：
1．（2006宜昌市3分）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车的后5位号码实际是。
2．（2006湛江市3分）图4是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该
O
图5
图4
A．B．C．D．
3．(2006河北2分)请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数，再猜想正n边形对称轴的条数为．
4．（2006深圳市3分）下列图形中，是．轴对称图形的为
ＡＢＣＤ
5．（2006宿迁市4分）下列图案中，不是轴对称图形的是
6．（2006厦门市3分）下图形是轴对称图形的是
（A）（B）（C）（D）
7．（2006衡阳市3分）下列图形中，是轴对称图形的个数为
A．0个B．1个 C.2个 D.3个
8．（2006梧州市3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）Ａ．菱形、正方形、平行四边形Ｂ．矩形、等腰三角形、圆
Ｃ．矩形、正方形、等腰梯形Ｄ．菱形、正方形、圆
9．（2006娄底市3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）
大众本田欧宝奥迪
A ．
B ．
C ．
D ． 10．（2006南平市4分）如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是……（ ）
A ．W17639
B ．W17936
C ．M17639
D ．M17936
11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC △变换后的图形（图中每个小正方形的边长为1个单位）： （1）向右平移8个单位；（2）关于x 轴对称；（3）绕点O 顺时针方向旋转180
．
12．（2006贵州黔南6分）
如图，是由半圆和三角形组成的图形，请以AB 为对称轴，作出图形的另一半（用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法和证明）
13．（2006贵港市10分）
如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A
B ，，已知10AB =千米，直线AB 与公路MN 的夹角30AON = ∠，新开发区B 到公路MN 的距离3B
C =千米．
（1）求新开发区A 到公路MN 的距离；
（2）现要在MN 上某点P 处向新开发区A
B ，修两条公路PA PB ，，使点P 到新开发区A B ，的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA PB +的值．
（第11题图）
考点2：折叠问题
一、考点讲解：
常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。
二、基本图形：
1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。
变形：若矩形ABCD中，AB=6，AD=3，求三角形AFC的面积。
2．将矩形ABCD沿着EF对折，使点B与点D重合，若AB=8，AD=10，求折痕EF的长。
三、典型例题剖析：
1．（2006宿迁市4分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，
则∠AED′等于（）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
2．（2006内江市3分）如图（1）将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD
的中位线FG上，若
，则AE的长为( )
A.
C
E
E
D′
D C
B
A（第1题）
__C
3、（2006遂宁市3分）如图在梯形ABCD 中, ∠DCB=90 0
;AB ∥CD, AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A 愉好与点D 重合,BE 为折痕,那么AD 的长度为_________.
4．（2006临汾市3分）将一张菱形纸片，按下图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
5．（2006聊城市8分）如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F ．你认为四边形ABEF 是什么特殊四边形？请说出你的理由．
四、针对性训练：
1．（2006梅州市3分）如图1，把矩形
ABCD 沿EF 对折，若150∠=
，则AEF ∠等于（ ） Ａ．115
Ｂ．130
Ｃ．120 Ｄ．
65
2．（2006临汾市2分）如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD 的周长为________．
3．（2006鸡西市3分）如图，△ABC 中，∠B=900
，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ′处，并且C ′D∥BC，则CD 的长是( ) (A)409 (B)509 (C)154 (D)254
D D
D 第5题图 A
B
C
D E
F
1
图1
① ② ③ ④
A ．
B ．
C ．
D ．
A A D
)
(C E
B C
4．（2006山西3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝2，∠ADB＝30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为＿＿＿＿．
5．(2006河北省3分)小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9－1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图9－2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是_______cm．
6．（2006汉川市3分）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图
形是
7．（2006郴州市10分）如图7，矩形纸片ABCD的边长分别为(
)
a b a b
<
，．将纸片任意翻折（如图8），折痕为PQ．（P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C'，PC'的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A'，且A M
'所在直线与PM所在直线重合（如图9）折痕为MN．
（1）猜想两折痕PQ MN
，之间的位置关系，并加以证明．
（2）若QPC
∠的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ MN
，间的距离有何变化？请说明理由．
（3）若QPC
∠的角度在每次翻折的过程中都为45 （如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC QD
'，及四边形BPA N'的周长与a b
，有何关系，为什么？
A D
C
a
b
图7 图8
左右
左右
第二次折叠
第一次折叠
图9－1 图9－2
考点3：线段的垂直平分和角的平分线
一、考点讲解：
1． 线段垂直分线：
（1）定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫做中垂线。 （2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）三角形的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形的外心（三角形外接圆的圆心），它的位置可能在三角形的内部、外部或边上，它到三角形三个顶点的距离相等。 ２．角的平分线：
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
（2）三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心（三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等。 二、基本图形：
1.三角形ABC 中，DE 垂直平分AC ，则三角形BCD 的周长等于
变形：三角形ABC 中，DF 、EG 分别垂直平分AB 和AC ，则三角形AFG 的周长等于
2.在DEC ∠中找一点P ，使点P 到DEC ∠两边的距离相等，并且到M 、N 两点的距离也相等。
3.在平面内找一点P ，使点P 到三条直线的距离相等。
A
B
C
B
A
三、典型例题剖析：
DE⊥AB，CD=5cm，则DE的长是。
2．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AC=6，△ABD
的周长是13，，则△ABC的周长是；若△ABC的周长
是30，△ABD的周长是25，则AC= 。若∠C=30°，则
∠ADB=
3．（2006泰州市3分）如图,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个
考点4：等腰三角形
一、考点讲解：
1．等腰三角形：
（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）性质：两条腰相等； 两个底角相等；
三线合一：底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。 （3）判定：两条边相等的三角形是等腰三角形。 等角对等边 2．等边三角形：
（1）定义：三条边相等的三角形是等边三角形。 （2）性质：三条边相等；三个角都是60度。
（3）判定：三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 3．直角三角形：
（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 （2）性质：两个锐角互余；
两条直角边的平方和等于斜边的平方； 特殊：斜边上的中线等于斜边的一半；
30度所对的直角边等于斜边的一半； （3）判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；
如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （说明：直角三角形本节只是简单说明，没有选择相关的练习。） 二、基本图形：
1．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角的关系。
变形：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角与顶角的关系。 2．在三角形ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上的任意一点，PM ⊥AB,PN ⊥AC,垂足分别为M 、N ，BD 是AC 边上的高，则PM+PN= 。
变形1：矩形ABCD 中，PM ⊥BD ，PN ⊥AC ，若AB=3，BC=4，则PM+PN= 变形2：正方形ABCD 中，AB=2，BC=BE ，PM ⊥BD ，PN ⊥BC ，则
PM+PN=
B
C
D
3．△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则△BDE 是 三角形。
变形1：BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，MN ∥BC ，则BM+CN=
变形2：BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角，MN ∥BC ，则BM-CN=
变形3：BD 、CD 分别平分∠ABC 的外角和∠ACB 的外角，MN ∥BC ，则BM+CN= 三、典型例题剖析： 1．（2006淮安市3分）若等腰三角形底角为72°，则顶角为( ) A ．108° B ．72° C ．54° D ．36°
变形：若等腰三角形一个角为72°，则顶角为 。
若等腰三角形的一个角是另一个角的2倍少10°，则顶角为 。 若等腰三角形的两条边长分别是3、6，则周长是 。 2． (2006日照3分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ， 则∠A 等于
（A ）30o （B ）36o （C ）45o （D ）72o
3．（2006扬州市10分）如图, △ABC 中, D 、E 分别是AC 、AB 上的点, BD 与CE 交于点O. 给出下列三个条件：
①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD.
⑴ 上述三个条件中, 哪两个条件．．．．
可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出所有情形)；
⑵ 选择第⑴小题中的一种情形, 证明△ABC 是等腰三角形.
4．（2006常德市8分）如图7，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=
，且BQ BP =，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（4分）
（2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由．（4分）
P
A
5．(2006河北省8分）
已知：如图9，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在边BC 上，且BD =
求证：AD =AE
．
四、针对性训练：
1. ( 2006威海3分)如图，在△ABC 中，∠ACB =100o，
AC =AE ，BC =BD ，则∠DCE 的度数为 （ ）
（A ）20o（B ）25o（C ）30o（D ）40o
2.（2006天津市3分） 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：
① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。其中，正确结论的个数是
(A) 3个 （B ）2个
(C) 1个 （D ）0个
3 .（2006天津市6分）如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 的大小
4．（2006徐州市8分）已知：如图5，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E 。 求证：∠C ＝∠CDE 。 5．（郴州市9分）如图12，在ABC △中，AB AC D ，是BC 上任意一点，过D 分别向AB AC ，引垂线，垂足分别为E F CG ，，是AB 边上的高． （1）DE DF CG ，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明．
（3）若D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
E D C
B A A
C 图9 (第3题)
6．（2006青岛市3分)如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，
PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则
点P与点P' 之间的距离为_______，∠APB＝______°．
7．(2006日照8分）
如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．
求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
考点5：等腰梯形
一、考点讲解：
1．梯形：
（1）定义：只有一组对边平行的四边形是梯形。 （2）分类：等腰梯形和直角梯形。 2．等腰梯形：
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。 （2）性质：两腰相等；
同一底上的两个角相等； 对角线相等；
（3）判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形。 二、基本图形：
1．等腰梯形ABCD 中，∠B=60°，则BC=AD+AB
2．等腰梯形ABCD 中，若AB=AD=CD ，则BD 平分∠ABC
三、典型例题剖析：
1．（2006新疆维吾尔自治区3分）如图，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．则DEC ∠等于（ ） Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°
2．（2006徐州市2分）如图2，用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD ，则∠A ＝ 3．（2006深圳市７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==，
120ADC ∠= ．（1）（３分）求证：DC BD ⊥
（2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积．
3．（2006钦州市8分）已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥中，点E F ，分别在AD BC ，上，且DE CF =．求证：AF BE =．
A
D C
E B A D C
E B 第7题 A D C
E B
D C B A 图2 B
C
图7
4．（2006贵州黔南10分）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形
ABCD 外一点，PA
PD ，分别交线段BC 于点E F ，，且PA PD =． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）
（2）选择你在（1）中写出全等三角形中任意一对进行证明．
四、针对性训练：
1．（2006长沙市3分）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=
，
28AD BC ==，，则此等腰梯形的周长为（ ） Ａ．19 Ｂ．20 Ｃ．21 Ｄ．22
2．(2006临沂市3分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，∠B ＝45o，则该梯形的面积是
A ．
1 B ．4
C ．
4 D ．
2
3．（2006绍兴市3分）如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于( ) A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3
4．（2006河南省9分）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AD=DC ，点E 为底边BC 的中点，且DE //AB ．试判断△ADE 的形状，并给出证明．
5．（2006宜昌市6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD 。 （1）利用尺规作AD 的中点E ；(保留作图痕迹，不写作法和证明) （2）连接EB 、EC 。求证：∠ABE =∠DCE
A
B
F
C D
E
C
第1题
E D
C
B
A
6．(2006宁波市3分)如图，剪四刀把等腰直角三角形分成五块，请用这五块拼成一个平行四边形或梯形：(请按1：1的比例画出所拼成的图形)
。
(第6题图)
A B
C
D
E F
M
C
'
D
'
B
'
★★★(II)备考训练★★★
1．（2006扬州市4分）如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知 OC 是对称轴，∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC= °．
2．(2006烟台3分)如图1，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．
3. ( 2006威海3分)如图，梯形纸片ABCD ，已知AB ∥CD ，AD =BC ，AB =6，CD =3.将该梯形纸片沿对角线AC 折叠，点D 恰与AB 边上的E 点重合，则∠B = .
4.（2006厦门市3分）下面几种图形，一定是轴对称图形的是
5．（2006龙岩市3分）如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中α∠的度数是（ ） Ａ．60
Ｂ．55
Ｃ．50
Ｄ．45
6、（2006成都市3分）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）
A 、85°
B 、90°
C 、95°
D 、100°
7、(2006淄博市3分)将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与与在同一条直线上，则∠CBD 的度数
A. 大于90°
B.等于90°
A.等腰梯形
B.直角梯形
C.平行四边形
D.直角三角形
（第5题图）
D
A '
D
C
B
A
A
B C
D
E
F
C. 小于90°
D.不能确定
8、（2006旅顺口区3分）如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三
角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是 （ ）
9．（2006汉川市3分）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在F 处，BF 交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是
A 、△ABE ∽△CBD
B 、∠EBD =∠EDB
C 、A
D =BF D 、sin ∠AB
E =DE
AE
10．（20006钦州市3分）如图，有一腰长为5，底边长为4的等腰三角形纸片，现沿着等腰三角形底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中，是四边形的共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
11．（2006潍坊市3分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，AC BC ⊥， 点E
是AB 的中点，EC AD ∥，则ABC ∠等于（ ） A ．75? B ．70? C ．60? D ．30?
12．（2006南充市8分）已知：如图，OA 平分,1 2.BAC ∠∠=∠ 求证：△ABC 是等腰三角形．
第10题
E
B
第15题
13. （2006湖州市8分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠B=60o，DE ∥AB 。
求证：（1）DE=DC ；
（2）△DEC 是等边三角形。
14．（2006西安6分）如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点。现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD 。 (1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号)。 (2)证明你写出的命题。 已知： 求证： 证明：
15. (2006淄博市8分） 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和ABC ,E 、A 、C 在一条直线上，连结BD ,取BD 的中点M ，连结ME ，MC ,试判断△EMC 的形状，并说明理由.
16．（2006常州市7分）已知：如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，?=∠=∠90DCE ACB ，D 为AB 边上一点，
求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）2
2
2
DE AE AD =+
17、（2006芜湖市5分）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关
(第14题图) A
B
C
E D
M
于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。
18. (2006海淀区4分)如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。
19. （20006益阳市3分）如图6，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是
A . （1）
B . （2）
C . （3）
D . （4）
20．（2006淮安市）已知：线段m 、n
(1)用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m,腰等于n(保留作图痕迹，不写作法、不证明)；
(2)用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)．
a h
欢迎阅读 页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王?田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 7 8的长915和6________________________． Ｄ．2.．三条角平分线的交点 345．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝°，则∠ABD 的度数是（ ） A D E
八上第二章《轴对称图形》暑假辅导（难题）单元测试（一） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高线AD和BE的交点.若 CD=4，则线段DF的长为() A. 2 B. 4 C. 3 D. 4√2 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA 上有一动点Q，OB上有一动点R.若△PQR周长最小，则最小周 长是() A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 3.如下图，△ABC中，∠A=60°，BE，BF三等分∠ABC；CE，CF三等分∠ACB，分别交 于点E、F，连接EF，则∠BEF等于() A. 40° B. 45° C. 60° D. 50° 4.如图，AD是△ABC的边BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，由下列条件中的某一个就能 推出△ABC是等腰三角形的是()
①BD=CD；②∠BAD=∠CAD；③S△ABD=S△ACD；④DE=DF． A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD 交CE于N，交AE于O.则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM； ⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°， 则∠A n?1A n B n?1(n>2)的度数为() A. 70 2n B. 70 2n+1 C. 70 2n?1 D. 70 2n+2 7.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上， AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最 小值等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射 线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为()
《简单的轴对称图形》典型例题 例1 想一想等边三角形的三个内角各是多少度，它有几条对称轴。 例2 如图，已知ABC ?是等腰三角形，AC AB 、都是腰，DE 是AB 的垂直平分线，12=+CE BE 厘米，8=BC 厘米，求ABC ?的周长． 例3 AC AB ABC =,:中在已知? _____ ,100)3(____,30)2(___ __,,70)1(00为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若=∠=∠=∠C B A ο 例 4 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠110ACD ，求ABC ?各内角的度数.
例5 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE． 例6如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．
参考答案 例1 分析：由等腰三角形的性质易知等边三角形三个内角相等都是60°，它有三条对称轴。 解：三个内角都是60°，它有三条对称轴。 说明：等边三角形是等腰三角形的特例，所以等腰三角形的性质对其都是适用的，在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。 例2 分析：本题依据线段垂直平分线的性质可以得到． 解：DE Θ是AB 的垂直平分线 ∴BE AE = ∴12=+CE AE 厘米AC = ABC ?Θ是等腰三角形 ∴12==AC AB 厘米 ∴ABC ?的周长是3281212=++=++BC AC AB 厘米 例3 分析：注意到题中所给的条件AB ＝AC ，得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题（1）可得οο55,55=∠=∠C B ；对问题（2）考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角；对问题（3）由三角形内角和为ο180可得此等腰三角形的顶角只能为ο100这一种情况。 略解：（1）οο55,55=∠=∠C B （2）另外两内角分别为：οοοο120,30;75,75（3）οο40,40 说明：通过题目中的（2）、（3）渗透分类思想，训练思维的严密性。
小学三年级数学轴对称图形练习题 姓名：班别: 学号： 一．填空。 1．如果一个图形沿着一条直线对折.两侧的图形能够完全重合.这个图形就是【】.折痕所在的直线叫做【】。 2．在对称图形中.对称轴两侧相对的点到对称轴的【】。 二．判断。 1．通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。( ) 2．圆是轴对称图形.每一条直径都是它的对称轴。【】 3.等腰梯形是对称图形。( ) 4.正方形只有一条对称轴。( ) 三．选择。 1．4.下列图形中对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 2．下面不是轴对称图形的是【】。 ①长方形②平行四边形③圆④半圆 3．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像【如图所示】.此时.它所看到的全身像是( ) 4.【2004·安徽】如图14－18所示.下列图案中.是轴对称图形的是( ) A.【1】【2】 B.【1】【3】 C.【1】【4】 D.【2】【3】 5.(2004·厦门)如图14－19所示.下列图案中.是轴对称图形的是( )
图14-19 A.【1】【2】 B.【1】【3】【4】 C.【2】【3】 D.【1】【4】 6.下列英文字母属于轴对称图形的是【 】 A.N B.S C.L D.E 7.下列各时刻是轴对称图形的为【 】 A. B. C. D. 8.将写有字“B ”的字条正对镜面.则镜中出现的会是【 】 A . B . C . D . 9.和点P 【－3.2】关于y 轴对称的点是【 A.【3. 2】 B.【－3.2】 C. 【3.－2】 D.【－3.－2】 10．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示.则电子表的实际读数是 . 四．作图题。 画下面图形的对称轴． 五．解答题。 1. 判断下列图形【如图14－6所示】是不是轴对称图形. 2.判断下面每组图形【如图14－7所示】是 否关于 某条直线成轴对称. B ： 第10题图
轴对称图形解答题较难题 一、翻折变换题型 1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=?AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程． （ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长． （ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长． 二、特异三角形 1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线； （ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数． 5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到 △ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ． （ 1 ）求证： FD=FB ． （ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若 EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长． 三、点的运动变化题型 8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度
一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置）；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； （3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ）∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2 ，则 这个梯形较小 的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的 高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ） P A E C B D
第10题 一、 选择题 1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，?则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处 C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 D.在A 、B 两内角平分线的交点处 4.下列说法中错误的是（ ） A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B 关于某条直线对称的两个图形全等 C 全等的三角形一定关于某条直线对称 D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ） A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC 8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ） A . <1>和<2> B . <2>和<3> C . <2>和<4> D . <1>和<4> 轴对称作图题专练 1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，?且到∠AOB 的两边的距离相等． C B A
三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。 3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。 4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图 形就叫做___________，这条直线叫做________． 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段． 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，?请再写出三个这样的汉字：_________． 9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴． 11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。二、选择题。 1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（） A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（） 3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称 图形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中，对称轴最多的是（）。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是（）。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。8题）
《轴对称图形与成轴对称》练习题 姓名：班别: 学号： 一．填空。 1．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2．在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）。 二．判断。 1．通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。() 2．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴。（） 3.等腰梯形是对称图形。( ) 4.正方形只有一条对称轴。( ) 三．选择。 1．4、下列图形中对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 2．下面不是轴对称图形的是（）。 ①长方形②平行四边形③圆④半圆 3．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是( ) 4.（2004·安徽）如图14－18所示，下列图案中，是轴对称图形的是( ) A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（2）（3） 5.(2004·厦门)如图14－19所示，下列图案中，是轴对称图形的是( ) 图14-19 A.（1）（2） B.（1）（3）（4） C.（2）（3） D.（1）（4） 6、下列英文字母属于轴对称图形的是（） A、N B、S C、L D、E 7、下列各时刻是轴对称图形的为（） A、B、C、D、 8、将写有字“B”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（） A、B、 C、 D、 9、和点P（－3，2）关于y轴对称的点是（） A.（3，2） B.（－3，2） C. （3，－2） D.（－3，－2） 10．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是. 四．作图题。 画下面图形的对称轴． B 第10题图
1 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置？）；②等腰三角形的 对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； （3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角 形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 //3．∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，△P 1OP 2是 （ c ）：∵P 为∠AOB 内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2， ∴OP=OP 1=OP 2且∠P 1OP 2=2∠AOB=60°， ∴△OP 1P 2是等边三角形． A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ） ∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ） A ．PA+P B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，（ C ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1 C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4 ，则PD=（C ）过点P 作PM ⊥OB 于M ，∵PC ∥OA ，∴∠COP=∠CPO=∠ POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM= A O P A E C B D
轴对称图形典型例题 例1 如下图，已知，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP． 证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC， ∴∠P AB＝∠P AC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵∠APB＋∠P AB＝90°，∠APC＋∠P AC＝90°， ∴∠APB＝∠APC， 在△PDB和△PDC中， ∴△PDB≌△PDC（SAS）， ∴∠BDP＝∠CDP． （图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等） 注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．
已知如下图（1），在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°． （1） 证法一：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF， 在Rt△EAD和Rt△FCD中， （角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°． 证法二：如下图（2），在BC上截取BE＝AB，连结DE，证明△ABD ≌△EBD可得．
证法三：如下图（3），延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二． （3） 注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法． 例3 已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF 平分∠ADC交AC于F． 求证：BE＋CF＞EF． 证法一：在DA截取DN＝DB，连结NE、NF，则DN＝DC，在△BDE 和△NDE中，
精心整理 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上 的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂 2 ）3对称， B．顶 . 4与BE 相交于点P，则 ∠APE的度数是（） A．45°B．55° C．60°D．75°
5.等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较 小 的底角是（）度. A．45°B．30°C．60°D．90°6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 A． D． 7． C D 8 PC （ A．4B．3 C．2D．1 9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离 为5，Q是OB上任一点，则（）
A．PQ＞5B．PQ≥5 C．PQ＜5D．PQ≤5 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（） A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm 11 12 13CD=4， 14 15AB=6， 的周 1610且有一底角为 60°，则它的两底长分别为____________． 17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD， 则∠BAC=____________．
18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题 19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作 两边20C， 21 22AC于E、 23ABP=结论．
参考答案 第一章 轴对称图形 1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 1116．4、6 19202123＝AQ ，
- 2 - 轴对称图形练习题 一、选择题 1．下列图形中，只有两条对称轴的是（ ） A ．正六边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．圆 2．如下左1图Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如下左2图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）． A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m 4．如下左3图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A.90° B. 75° C.70° D. 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A.直角三角形 B.长方形 C.等边三角形 D.等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如下左1图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接 1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7 8.如下左2图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A .20° B . 40° C .50° D . 60° 9．如下左3图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A .AD DH AH ≠= B .AD DH AH == C .DH AD AH ≠= D .AD DH AH ≠≠ B M N P 1A P 2 O P M A N C Q P B N M D C H E B A F E D C B A
轴对称单元测试 (二) 一、填空题（每题2分，共32分） 1．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有 条． 2．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与其他三个．．不同请指出这个图形，并说明理由． 答：这个图形是： （写出序号即可），理由是 ． 3．等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________． | 4．△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，若AB =3，则AC =__ __． 5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD =4，则点D 到AB 的距离是__________． 6．判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形. 7．等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________． 8．如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，且△ABC 的周长为24，则AB +BD = ；又若∠CAB =60°，则∠CAD = ． 9．如图，△ABC 中，EF 垂直平分AB ，GH 垂直平分AC ，设EF 与GH 相交于O ，则点O 与边BC 的关系如何请用一句话表示： ． 如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =6，AD =5，BC =8，且AB ∥____________． 11．请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰 B " D A A B B H A E C O
当的图形. 12．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10 且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________． ！ 13．等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___. 14．如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴． 15．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图C1的位置，若∠DBC=30o，则∠ABC1=________． 16．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35o，∠BCO=30o，那么∠AOB=____ ___． 二、解答题（共68分） 17．（5分）已知点M)5, 3(b a-，N) 3 2,9(b a+关于x轴对称，求a b的值． 18．（5分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAC，问：AE与AD是否垂直为什么 — 19．（5分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC 第14题图第15题图第16题图 # A B C D E F
轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有 四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度． 7．如图，AB=AC ，0120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= 。 8、如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为 ． 9．如图，∠A =15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM 的度数为________． 10.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________． 二、选择题 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． Ｄ． 2.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） N M E F C B A D A B C D
A B M C N O 图3 A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条角平分线的交点 3．在下列说法中，正确的是（ ） A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形; B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形; C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形; D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于（ ） A.三角形内 B.三角形外 C.斜边的中点 D.不能确实 5．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ） A ．20o B ．30o C ．35o D ．40o 10、如图，在Rt ABC △中，ο90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，A D E B 图4 A C B D E
2.1轴对称与轴对称图形 姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念． 学习过程: 一、创设情境 观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动 活动一折纸印墨迹 问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？ 概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点． 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称， 直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、 点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面 联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？ 活动三
把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系 三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.
文档 轴对称图形练习题 一、选择题 1．下列图形中，只有两条对称轴的是（ ） A ．正六边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．圆 2．如下左1图Rt 90ABC C BAC ∠∠o 在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如下左2图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）． A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m 4．如下左3图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A.90° B. 75° C.70° D. 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A.直角三角形 B.长方形 C.等边三角形 D.等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如下左1图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接 1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7 8.如下左2图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A .20° B . 40° C .50° D . 60° 9．如下左3图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A .AD DH AH ≠= B .AD DH AH == C .DH AD AH ≠= D .AD DH AH ≠≠ B M N P 1A P 2 O P M A N C Q P B N M D C H E B A F E D C B A
《第2章轴对称图形》 一、选择题 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D． 2．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（） A．B．C．D． 3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．11 B．16 C．17 D．16或17 4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45° 5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（） A．10 B．7 C．5 D．4 6．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF=EF B．DE=EF C．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE 7．如图，在第1个△A 1BC中，∠B=30°，A 1 B=CB；在边A 1 B上任取一点D，延长CA 1 到A 2 ，使A 1 A 2 =A 1 D， 得到第2个△A 1A 2 D；在边A 2 D上任取一点E，延长A 1 A 2 到A 3 ，使A 2 A 3 =A 2 E，得到第3个△A 2 A 3 E，…按 此做法继续下去，则第n个三角形中以A n 为顶点的内角度数是（） A．（）n?75°B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75°D．（）n?85° 8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形 9．如图是P 1、P 2 、…、P 10 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P 1 P 2 、 P 1P 10 、P 9 P 10 、P 5 P 6 、P 6 P 7 ，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（） A．P 2P 3 B．P 4 P 5 C．P 7 P 8 D．P 8 P 9
第2章《轴对称图形》易错疑难点归纳 易错点1 对轴对称的概念理解不透 1.下列说法正确的有( ) ①全等的两个图形一定成轴对称; ②成轴对称的两个图形一定全等; ③若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧; ④若点,A B 关于直线MN 对称，则直线MN 垂直平分线段AB . A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 易错点2 判断轴对称图形对称轴的条数出错 2.如图所示的图形分别有几条对称轴?请分别画出它们的对称轴. 易错点3 没有正确利用轴对称的性质画出对称图形 3.如图，作出ABC ?关于BC 所在直线对称的图形. 易错点4 解题时考虑不全面，导致漏解 4.在ABC ?中，,AB AC AB =的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求C ∠的度数. 易错点5 未能正确理解“三线合一”中的“三线”指的是哪三条线段 5.已知在ABC ?中， ,AB AC BD AC =⊥，垂足为点D .若30A ∠=?，求DBC ∠的度数. 疑难点1 利用轴对称解决最值问题 1.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小若值时，ECF ∠的度数为( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
疑难点2 利用线段垂直平分线知识解决线段相等问题 2.如图，已知P 为ABC ?的边BC 的垂直平分线上的一点，该垂直平分线交BC 于点G ，且1,,2 PBG A BP CP ∠=∠的延长线分别交,AC AB 于点D ，E .求证:BE CD =. 疑难点3 探索问题 3.如图，在Rt ABC ?中，90,30,ACB A P ∠=?∠=?为BC 边上任意一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF . (1)试探索EF 与AB 的位置关系，并证明; (2)如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时， (1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)如图3，在Rt ABC ?中，90,,ACB A m P ∠=?∠=?为BC 延长线上一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使(1)中的结论仍然成立，则需要添加怎样的条件?不需证明.
轴对称图形提高练习题 一、教学目标 掌握利用轴对称图形的性质解决最短路线问题的方法；等腰三角形性质的活用 二、教学重难点 重点：轴对称的实际应用、等腰三角形性质 难点：轴对称的应用、角平分线与垂直平分线的应用、等腰三角形相关计算与证明三、基础知识梳理 轴对称的性质可运用于实际问题中的最短路线问题、球的反弹、光线反射等，解决办法是作对称点； 等腰三角形所有的性质包括：等边对等角等角对等边、三线合一、轴对称性等，主要应用于求跟角平分线和中垂线结合的求解问题 四、典型例题分析 题型一：角平分线及其中垂线的应用 例1.（1）三角形一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形____ ____的交点． （2）三角形一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形____ ____的交点． （3） 例2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D 到AB的距离是__________． 例3.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB = AC，BD平分∠ABC．求证：BC = AB + AD 例4.如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC 的外角平分线．
练习： 1. 如图,裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，若 ∠BAF=60°，则∠DAE= 2. 如图,在△ABC 中，∠C=90°，AD 的平分∠BAC 交BC 于D ，点D 到AB 的距离为7 cm ， CD= 3. 在△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB= ，∠CBD= 4. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠B=20°， 则∠DAC= 5. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分 线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它 到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7. 如图,△ABC 中,∠BAC=110°,AB 的垂直平分线交BC 于点D,AC 的垂直平分线交BC 于点 E,BC=10cm. (1) 求△ADE 的周长;(2)求∠DAE 的度数. 、 1题图 2题图 3题图 4题图