第二十八章 锐角三角函数
测试1 锐角三角函数定义
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥
AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而
AC
B A B
C C B )
()(=
'=''，又可得 ①
='
'
'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值；
②
=''
B
A C A ______，
即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______；
③
='
'
'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
第2题图
①斜边)
(sin =A ＝______， 斜边)
(sin =B ＝______； ②斜边
)(cos =A ＝______，
斜边
)(cos =B ＝______；
③的邻边A A ∠=
)
(tan ＝______，
)
(tan 的对边
B B ∠=
＝______．
3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它
______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
9．已知Rt △ABC 中，,12,4
3
tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=
∠4
3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=
∠5
3sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．
13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=
3
1sin A
(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．
14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：
(1),sin c
a A =
∴=?=c A c a ,sin ______； (2),cos c
b A =
∴b ＝______，c ＝______； (3),tan b
a A =
∴a ＝______，b ＝______；
(4),23
sin =
B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),5
3
cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；
(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．
16．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐
标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ． 求：P 点和C 点的坐标．(用α 的三角函数表示)
17．已知：如图，△ABC 中，∠B ＝30°，P 为AB 边上一点，PD ⊥BC 于D ．
(1)当BP ∶P A ＝2∶1时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1； (2)当BP ∶P A ＝1∶2时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1．
测试2 锐角三角函数
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)o 45cos 230sin 2-?
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)?+?+?
+?-
?45sin 30cos 30tan 1
30sin 145cos 222
3．求适合下列条件的锐角α ． (1)2
1cos =α (2)3
3tan =
α
(3)222sin =
α
(4)33)16cos(6=- α
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)． (1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角α (精确到1″)． (1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；
(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．
综合、运用、诊断 6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=13
12sin A 求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ACB 的值．
8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：
(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ；
(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，3
1
tan =
∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是
上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，
求证：
(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．
(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：
(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)?=A
A
A cos sin tan
14．化简：ααcos sin 21?-(其中0°＜α ＜90°)
15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°． 猜想：若0°＜α ≤45°，则sin2α ______2sin α cos α ．
(2)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．
16．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于H
点．在底边BC 保持不变的情况下，当高AD 变长或变短时，△ABC 和△HBC 的面积的积S △ABC ·S △HBC 的值是否随着变化?请说明你的理由．
测试3 解直角三角形(一)
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________． ②两锐角之间的关系：
__________________________________． ③边与角之间的关系：
==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；
==
B A tan 1
tan _____； ==B A
tan tan 1
______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．
CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；
(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；
(3)已知：3
2
sin =A ，6=c ，求a 、b ；
(4)已知：,9,2
3
tan ==
b B 求a 、
c ；
(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．
(1)求弦AB 的长及弦心距；
(2)求⊙O 的内接正n 边形的边长a n 及边心距r n ．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB 、BC 两段)，其中CC ′＝ BB ′＝3.2m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB 与BC 的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm ，台阶面的宽为30cm ，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度(精确到1cm)．
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那
么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能
落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A地多少距离?
10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)
测试4 解直角三角形(二)
学习要求
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD 的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD 的长．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)
7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．
8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到1m)．
9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点
B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．
10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米?
3 11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向?
12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?
拓展、探究、思考
13．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，锐角∠A ＝α ．
(1)BC 的长；
(2)△ABC 的面积．
14．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A ＝α ，∠B ＝β ．
(1)求AB 的长；
(2)求证：.sin sin β
αb
a =
15．已知：如图，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及
α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长．
16．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长．
17．已知：四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于E 点，AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC
＝α (0°＜α ＜90°)，求此四边形的面积．
测试5 综合测试
1．计算． (1)
45tan 260tan 60cos 2-
(2) 60
cos 30cos 60tan 30tan 45sin 30sin 2222+?++
2．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝32，BC ＝12． 求：sin ∠ACD 及AD 的长．
3．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AB ＝2m ，BD ＝m －1，?=
5
4cos A (1)用含m 的代数式表示BC ； (2)求m 的值；
4．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，BE ＝2EC ，DM ⊥AE 于M 点．求DM 的长．
5．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ABD ＝75°，∠DBC ＝ 30°，AB ＝2a ．求BC 的长．
6．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ．AB ＝3，求BC 的长．
7．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC ＝m ，锐角∠A ＝α ，
(1)求⊙O 的半径R ；
(2)求△ABC 的面积的最大值．
8．已知：如图，矩形纸片ABCD 中，BC ＝m ，将矩形的一角沿过点B 的直线折叠，使A 点落在DC 边上，落点记为A ′，折痕交AD 于E ，若∠A ′BE ＝α ． 求证：??=
α
α2sin cos m
EB
答案与提示
第二十八章 锐角三角函数
测试1
1．△BAC ，AB ，AC ′．
①AB
BC
，对边，斜边，固定； ②AB
AC
，邻边，斜边，固定值； ③
AC
BC
，对边，邻边，固定值． 2．①∠A 的对边，
,c a
∠B 的对边，;c b ②∠A 的邻边，,c
b ∠B 的邻边，;
c a
③∠A 的对边，,b a ∠B 的邻边，?a
b
3．唯一确定的值，对应，α 的函数，锐角三角函数． 4．?3
4
,53,54,43,54,53,
15 5．.3,10
10,10103,31,10103,1010,10 6．?815,178,1715,158,1715,178,
34 7．.3,2
1,23,33,23,21,
60o 8．?==∠=∠=∠=
=∠37tan tan ,4
3cos cos ,47sin sin N TMR N TMR N TMR 9．?=
==5
3
cos ,20,16B AB AC 10．.2tan ,5
5
cos ,552sin ===
B B B 11．AB ＝2A
C ＝2AO ·sin ∠AOC ＝24cm ，cm 742
2
=-=AC OA OC
12．?=∠=∠==
4
3tan ,54cos )2(;cm 332,cm 340)1(AOC AOC OC OA 13．(1)CD ＝AC ·sin A ＝4cm ；(2);cm 322
1
2=?=CD AB S
(3)?+=4
2
2tan B