第一章 解斜三角形
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
sin sin sin a
b
c
=
=
，接着就一般斜
三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学过程 1[创设情景]
如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 2[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
的定义，有
sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C
=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c
A B C
==
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的
定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
， C
同理可得sin sin c
b
C B =
， b a
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A c B
(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ?=?+∴j AB j AC j CB ?=?+? j
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即
=
a c
同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =
b c
B C
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
，
sin sin c
b
C
B
=
，
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a =； β
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b
=。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 3[例题分析]
例1．在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B
000180(32.081.8)=-+
066.2=； 根据正弦定理，
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；
根据正弦定理，
0sin 42.9sin66.274.1().sin32.0==≈a C c cm
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD AB
DC AC
= 证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得
sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC AC
βαα
==-， 两式相除得
BD AB
DC AC
= 五巩固深化反馈研究
1已知ΔABC 已知A=600
，B=300
，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ 3 D 2
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 （3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知a+b=12 B=450 A=600
则则
则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明==+c b a C
B
A sin sin sin + 六，课堂小结（有学生自己总结） 七 板书设计略
五 [课堂小结]（由学生归纳总结）
1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，
A B D
β
α 1800- α
1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin a
A
= = 。 2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin a
A
= ，
同理得 ，故有
sin a
A
= 。 3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即
sin a A = ，故有sin a
A
= 。 【典例解析】一 新课导入，推导公式 （1）直角三角形中
（2）斜三角形中
正弦定理是
例1．在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。 例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：
BD AB
DC AC
= 【达标练习】
1. 已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ
3 D 2
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -（3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知a+b=12 B=450 A=600
则则则
则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明
==+c b a C
B
A sin sin sin + 参考答案
【预习达标】
1．a,b,sin sin b c B C =. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin a
A =sin c C ,sin b
B =sin c C
. 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin c
C .
【典例解析】
如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
， C
同理可得sin sin c
b
C B =
， b a
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A c B
(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ?=?+∴j AB j AC j CB ?=?+? j
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即
sin sin =
a c
A C
同理，过点C 作⊥j BC ，可得 =
b c
从而
sin sin a
b
=
sin c
=
类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
=
sin c
=
例1解：根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B
000180(32.081.8)=-+
066.2=； 根据正弦定理，
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；
根据正弦定理，
00
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得
sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC AC
βαα
==-， 两式相除得BD AB
DC AC
= 【双基达标】
1．（1）C （2）D （3）
sin a
A =
sin b B =sin c C
.（4）36-126 126-24（5）2, 2.5, 3 ，
2．证明：设
sin sin sin a b c
k A B C
===，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C === sin sin sin sin sin sin a b k A k B A B c k C C
+++∴==
A
B
D
β β α 1800
- α
§1.1.2 正弦定理
【三维目标】：
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生处理解三角形问题的运算能力； 【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：新授课 四教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解
例 1试推导在三角形中
A a s i n =
B b sin =C
c
sin =2R 其中R 是外接
圆半径
证明 如图所示，∠A ＝∠D
∴
R CD D a
A a 2sin sin === 同理
B b sin R 2=，
C c sin R 2= ∴A a sin =B b sin =C
c sin =2R 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===?
：∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，
C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角，
0090,30==∴B C ∴222=+=c b a
例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===?
解
2
3
245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 1360 sin 75sin 6sin sin ,75600 +=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200 -=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 五、巩固深化，反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况： 已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解 3.在ABC ?中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____ 4.在ABC ?中，, B=1350 C=150 a=5则此三角形的最大边长为_____ 5在ABC ?中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____ 6.在ABC ?中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数 六、小结 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===； （2） A a sin = B b sin = C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =C c sin ，即可得正弦定理的变形形式： 1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； 2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = ==； 3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如B A b a sin sin = ； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B b a A sin sin =。 一般地，已知角A 边a 和边b 解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）． 外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D a=bsinA 有一解 a >bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解 七板书设计 略 1.1.2正弦定理学案 — 预习达标 1 正弦定理的内容是—————————————————— 2 在三角形ABC 中已知c=10 A=450 C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------ 3在三角形ABC 中，已知a=20cm ，b=28cm ，A=400 ，则角B=-------------（可借助计算器） 二 典例解析 例 1试推导在三角形中 A a s i n = B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半 径 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 三 达标练习 1试判断下列三角形解的情况： 已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解 3.在ABC ?中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____ 4.在ABC ?中， B=1350 C=150 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____ 5.在ABC ?中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____ 6.在ABC ?中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数 学案答案 一预习达标 1 A a sin = B b sin = C c sin 2 102 ， 56+52 3 640 或1160 二典例解析 例1证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴ R CD D a A a 2sin sin === 同理 B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? ：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ， C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===?
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