1 实验数据的误差分析与处理

1 实验数据的误差分析与处理

在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。

1.1 测量误差的表示方法

由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差别。

1.1.1 绝对误差

绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。假设被测量的真值为Ａo，测量仪器的示值为X，则绝对误差为

△X＝X－Ao （1.1.1）在某一时间及空间条件下，被测量的真值虽然是客观存在的，但一般无法测得，只能尽量逼近它。故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao，为区别起见，将A称为被测量的实际值，则

△X＝X－A （1.1.2）在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值（即实际值）减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即

在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值（即实际值）减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即

C＝－△X＝A－X （1.1.3）

利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值A，即

A ＝X ＋C （1.1.4）

例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V ，通过鉴定得出该电压表修正值为－0.01V ，则被测电压的真值为

A ＝1.1＋（－0.01）＝1.09V

修正值给出的方式可以是曲线、公式或数表。对于自动测验仪器，修正值则预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是实际值。 1.1.2 相对误差

测量不同大小的被测量时，绝对误差往往不能确切地反映出被测量的准确程度。例如：设测一个大小为100V 电压时，绝对误差为△X 1＝＋2V ；测一个10V 电压时，绝对误差为△X 2＝0.5Ｖ，虽然△X 1＞△X 2，可实际△X 1只占被测量的２％，而△X 2却占被测量的5％。显然，后者的误差对测量结果的影响更大。因此，工程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。

相对误差：用绝对误差△X 与被测量的实际值A 的比值的百分数来表示的相对误差，记为

%

100??=

A

X A

γ

（1.1.5）

1.1.3 引用误差

相对误差虽然可以说明测量结果的准确度，并衡量测量结果和被测量实际值之间的差异程度，但还不足以用来评价指示仪表的准确度，为此引入了引用误差的概念。

引用误差：用于表征仪表性能的好坏，其定义为绝对误差△X 与仪器的满刻度值Xm 之比的百分数，即

%

100??=

m

m X X γ （1.1.6）

例1.1 用量程为300V 的电压表测量实际电压为218V 的电压时，电压表的示值为214V ，试求各种误差。

解：根据定义，得被测电压的绝对误差为

△U=U-U 0=214-218=-4V

相对误差为

%

83.1%100218

4%1000

-=?-=

??=

U U A

γ

引用误差为

%

33.1%100300

4%100-=?-=

??=

m

m U U γ

1.2 误差的来源与分类 1.

2.1测量误差的来源

测量误差的来源很多，根据误差产生的情况，主要可以分成以下几个方面。 （1）仪器误差

仪器误差是指由于测量仪器本身的电气或机械等性能不完善所造成的误差。因此，消除仪器误差的方法是配备性能优良的仪器并定时对测量仪器进行校准。

（2）使用误差

使用误差又称为操作误差，指测量过程中因操作不当而引起的误差。减小使用误差的办法是测量前详细阅读仪器的使用说明书，严格遵守操作规程，提高实验技巧和对各种仪器的操作能力。

例如：在万用表表盘上常有“⊥”、“∏”、“∠600

”等符号，它们表示该万用表在使用时的位置分别是：垂直、水平和与水平面倾斜成600。若测量者在使 用时不按规定位置放置，则会带来误差。又如在使用万用表欧姆档测电阻前不调零所带来的误差，更是显而易见的。

（3） 方法误差

方法误差又称理论误差，它是指由于使用的测量方法不完善、理论依据不严密、对某些经典测量方法作了不适当的修改简化而产生的误差，即指凡是在测量结果的表达式中没有得到反映的因素，而实际上这些因素在测量过程中又起到一定的作用所引起的误差。例如，用伏安法测电阻时，若直接以电压表示值与电流表示值之比作测量结果，而不计电表本身内阻的影响，就会引起方法误差。

下面我们以伏安法测电阻为例，来说明方法误差的产生。根据欧姆定理，对于线性电阻，其阻值R 为

I

U R =

(1.2.1)

式中U 为被测电阻两端电压，I 为流经电阻的电流。由于实际电流表的内阻

不是零，电压表的内阻也不等于无穷大，因此实际的两种伏安法测电阻电路（如图1.2.1和图1.2.2所示）都不可避免地要出现方法误差。此外，对于阻值不同的电阻，两种测量方法产生的方法误差也有很大差异，分析如下：

图1.2.1电流表外接伏安法 图1.2.2电流表内接伏安法

设被测电阻的阻值为R X ，电流表和电压表内阻分别为R A 和R V ，当采用图1.2.1所示电流表外接电路时，电流表的读数并不是通过R X 的实际电流，而是通过R X 和R V 并联电路的总电流，于是有

X V

X V X R R R R R I U R <+=

=

测

(1.2.2)

其绝对误差为

X

V X X R R R R R R +=

-=?2

测 (1.2.3)

其相对误差为

%100?+=

?=X

V X X

R R R R R γ

(1.2.4)

由上式可知，当R X <

在图1.2.2所示电流表内接电路中，电流表读数就是流过被测电阻R X 的电流，但电压表的读数却不是R X 两端的电压，而是R X 与R V 串联电路两端的电压，所以有

X

A X R R R I

U R >+==

测 (1.2.5)

其绝对误差为

A X A X X R R R R R R R =-+=-=?)(测

(1.2.6)

其相对误差为

%

100?=

?=

X

A X

R R R R γ (1.2.7)

由上式可知，当R X >>R A 时，相对误差较小，即图1.2.2所示电流表内接法适于测量阻值较大的电阻。

例如：在电压表、电流表内阻分别为R V =50K Ω、R A =5Ω时，若被测电阻为R X =10Ω，则用电流表外接法得相对误差为

%02.0%10010

5000010%100≈?+=

?+=

X

V X R R R γ

用电流表内接法得相对误差为

%50%10010

5%100=?=

?=X

A R R γ

若被测电阻R X =5K Ω时，则用电流表外接法得相对误差为

%1.9%1005000

500005000%100≈?+=

?+=

X

V X R R R γ

用电流表内接法得相对误差为

%1.0%1005000

5%100=?=

?=X

A R R γ

一般地，当被测电阻R X ＜V A R R 时,可视为小电阻，应采取电流表外接电路；当R X ＞V A R R 时,可视为大电阻，应采取电流表内接电路。所以，测量过程中产生的方法误差可以通过合理选择测量方法加以限制。 1.2.2 测量误差的分类

测量误差按性质和特点可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。 (1) 系统误差

系统误差指在相同条件下重复测量同一量时，大小和符号保持不变、或按照一定的规律变化的误差。系统误差一般可通过实验或分析方法，查明其变化规律及产生原因，即可减少或消除。电子技术实验中系统误差常来源于测量仪器的调整不当和使用方法不当所致。

(2) 随机误差

随机误差也称为偶然误差，指在相同条件下多次重复测量同一量时，大小和

符号无规律的变化的误差。随机误差不能用实验方法消除，但由于随机误差是符合概率统计规律的，我们可以从随机误差的统计规律中了解它的分布特性，从而对测量结果的可靠性作定量分析，并对误差进行消除。

(3) 粗大误差

粗大误差是一种过失误差。这种误差往往是由于测量者对仪器不了解、粗心等原因，导致测量结果严重偏离正确值。此外，测量条件的突然变化也会引起粗大误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，必须根据理论分析及统计检验方法的某些准则去判断哪个测量值是坏值，然后去除。

1.3 减小误差的基本方法

根据上述三类误差产生的原因，可采用不同的方法对不同类型的误差加以消除，以保证测量值的尽可能准确。

1.3.1 减小系统误差的方法

(1) 对测量结果进行校正

对仪器定期进行检定，并确定校正值的大小，检查各种外界因素，如温度、湿度、气压、电场、磁场等对仪器指示的影响，并作出各种校正公式、校正曲线或图表，用它们对测量结果进行校正，能有效地减少系统误差，提高测量结果的准确度。

(2) 替代测量法

替代法是指用一个可变的标准量代替被测量，且保持整个测量系统的工作状态不变，则仪表本身和外界因素所产生的系统误差对测量结果没有影响。它常常被广泛应用在测量元件参数上，如用电桥法或谐振法测量电容器的电容和线圈的电感量，可以消除对地电容、导线的分布电容、分布电感和电感线圈中的固有电容等因素对测量值的影响。也可用此法测量电阻阻值，以排除温度等外界因素对测量结果的影响。

图1.3.1即采用替代法测量电阻的线路。图中R X为被测电阻，R P为可调标准电阻，R为一般可调电阻。测量时先将开关S合向“1”，使被测电阻R X接入电路，调节R使电流表的示数为一合适数值，然后将S合向“2”接入可调标准电阻R P，调节R P使电流表的示数与R X接入时的相同。若测量电路的所有其他条件不变，

则R X=R P。可以看出，这种测量方法可以排除在测量过程中外界因素对测量结果的影响。

图1.3.1 用替代法测量电阻的线路

(3) 正负误差相消法

这种方法可以消除外磁场对仪表的影响。它是通过对被测量进行正反两次位置变换的测量，然后将测量结果取平均值的方法实现对误差的消除。

(4) 合理选择仪表量程

在仪表准确度已确定的情况下，量程大就意味着仪表指针偏转小，从而增大了相对误差。因此，在测量时要合理地选择量程，并尽可能地使仪表读数接近满量程位置。一般情况下，仪表的指针在2/3满刻度以上时才有较准确的测量结果。因此，测量者应依据测试估计值的大小，在测量过程中合理选择仪表量程，方可得到较小的最大相对误差。

特别注意，电压测试时的电压表选择与电压表在电路中的接法对系统误差的影响很大，这是电路测试中普遍存在的一个问题。当用低内阻的普通万用表测量高阻电路的电压时，由于电压表内阻的分流影响，电压表示值将严重偏离实际值，误差将会很大，我们以图1.3.2所示测量线路加以说明。在图1.3.2所示电路中若将电源电压与电阻值看作是准确的，则ab两端的电压的实际值应为4V。

R

b

图1.3.2 电压表分流对测量值的影响

若用内阻为10M Ω的数字式万用表测量，则

Ω

=Ω+?='

K K R ab 58.1181000012010000120

V

V U

ab

984.358

.1186058.1186=+?

='

其相对误差为

%4.04

4

984.3-=-=

γ

若用内阻为100K Ω的普通万用表测量，则

Ω

=Ω+?="

K K R ab

55.54100

120100120

V

V U

ab

857.255

.546055.546=+?

="

其相对误差为

%6.284

4

857.2-=-=

γ

由此可见，若不能正确选择仪表，则测量误差会非常大。 1.3.2 减小随机误差的方法

通常可采取对测量值取算术平均值的方法来减少随机误差。因为随机误差的大小和符号都是随机变化的，因此，采用多次测量取算术平均值就可以有效地增加误差相互抵消的机会。

例如：在用图1.3.3所示电路测量RC 电路的时间常数τ时，由于其测量方法是用秒表来测量开关K 打开后放电电流下降到初始值的0.368时的时间的，所以其各次的测量数据的差别较大，因此可采取多次测量取平均值的方法来使随机误差减小。

图1.3.3 测量电容放电时间常数线路

表1.3.1为某次测量得到的8个数据，可见其各次偏差值较大，但若根据表1.3.1所测得的时间常数τ取其算术平均值，则

S

1.208

1

.208.214.197.194.202.212.190.19=+++++++=τ

表1.3.1 RC 电路时间常数τ的测量数据

很显然，平均值的误差已经很小了。

此外，在实际测量中,可以采用数理统计的方法来分析随机误差。常用有限次测量数据的均方根误差作为随机误差测量精度的估计值。采用均方根误差计算方法是：每次测量值与算术平均值之差称为偏差。用偏差的平均数来表示随机误差是一种描述误差大小的方法，正负偏差的代数和在测量次数增大时趋向于零，为了避开偏差的正负符号，可将每次偏差平方后相加再除以测量（n-1）得到平均偏差平方和，最后再开方得到均方根误差。 1.3.3 减小粗大误差的方法

粗大误差是应该避免的，测量者在测量时应注意以下几点，以避免粗大误差的产生。

(1) 测量之前可以做试探性测量，即进行粗测，以便正式测量时核对。 (2) 反复对被测量对象进行测量，从而避免单次失误。 (3) 改变测量方法或测量仪表后测量同一量值。

1.4 实验数据的记录与处理

实验中所得到的测量值或波形统称为实验数据，而对这些实验数据进行记录、整理、分析和计算，以从中得到实验的结论，这个过程称为实验数据处理。实验数据处理是实验过程中非常重要的环节，它可以直接影响到实验结论的正确与否。

1.4.1 数据的有效数字

(1) 有效数字的概念

在测量中，对实验数据进行记录时，并不是小数点后位数越多越精确，由于误差的存在，所以测量值总是近似的。测量数据通常由“可靠数字”和“欠准数字”两部分组成，两者合起来称有效数字。

例如：用一块量程50V的电压表(其最小刻度为每小格1V，如图1.4.1a所示)测量电压时，指针指在34V和35V之间，则可读数为34.4V，其中数字“34”是准确可靠的，而最后一位“4”是估计出来的不可靠数字，因此，该测量值应记为“34.4V”，其有效数字是3位。

34

34 35

(a) (b)

图1.4.1 有效数字的读取

有效数字位数越多，测量准确度越高。在图1.4.1b中(其电压表最小刻度为每小格为0.1V), 指针仍然指在34V和35V之间，但可读数应为“34.40”，是4位有效数字，其准确度高于3位有效数字“34.4”。在图1.4.1a中，因为小数点后面第一位就是估计出来的欠准数字，因此第二位就没有意义了，所以只能读作“34.4”，不能记为“34.40”。在实验数据的记录中，一定要合理选择有效数字的位数，使所取得的有效数字的位数与实际测量的准确度一致。

(2) 有效数字的表示方法

在用有效数字记录实验数据时，应遵守以下表示形式：

①记录测量数据时，只允许保留一位欠准数字。

②在第一个非零数字前的“0”不是有效数字。例如：0.034前面的两个“0”不是有效数字，它的有效数字是后两位，即0.034是2位有效数字；30.00的有效数字是4位，而30的有效数字是2位。必须注意末位的“0”不能随意增减，它是由测量仪器的准确度来确定的。

③大数值与小数值要用幂的乘积形式来表示。例如：测得某电阻的阻值为35000Ω，当有效数字为3位时，则应记为3.50×104Ω，或350×102Ω，不能记为35000Ω，因为35000表示该数据具有5位有效数字。

④当有效数字位数确定以后，多余的位数应一律按四舍五入的规则舍去，称为有效数字的修约。

⑤表示常数的数字可认为它的有效数字位数无限制，可按需要取任意位。如常数π、e、2等因子的有效数字的位数在计算中可视需要确定其效数字的位数。

(3) 有效数字的运算规则

当测量结果需要进行中间运算时，有效数字的取舍，原则上取决于参与运算的各数中精度最差的那一个数的有效数字位数。一般应遵循以下规则：

①加、减运算：在进行加、减运算时，参加运算的各数所保留的位数，一般应与各数小数点后位数最少的数相同。

例如：13.6、0.056、1.666三个数相加，小数点后最少位数是一位（13.6），所以应将其余两数修约到小数点后一位数，然后再相加，即

13.6＋0.1＋1.７＝15.4

为了减小计算误差，也可在修约时多保留一位小数，计算之后再修约到规定的位数，即

13.6＋0.05＋1.6７＝15.33≈15.3

②乘除运算：在进行乘除运算时，各因子及计算结果所保留的位数以百分误差最大或有效数字位数最少的项为准，不考虑小数点的位置。

例如：0.12、1.057、23.41三个数相乘，有效数字最少的是0.12，则

0.12×1.1×23=3.036≈3.0

③乘方及开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。

例如：（15.4）2＝237.2；

7.2＝1. 64

④对数运算：取对数前后的有效数字位数应相等。

例如：ln230=5.44

1.4.2 实验数据的读取与记录

(1) 数字式仪表的读数与记录

一般情况下，从数字式仪表上可直接读出被测量的量值，读出值即可作为测量结果予以记录而无需再经过换算。需注意的是，在使用数字式仪表时，若测量过程中量程选择不当则会丢失有效数字，降低测量精度。例如：用数字电压表测量1.682V的电压，在不同的量程时显示值如表1.4.1所示。

表1.4.1 数字式仪表的有效数字

由此可见，在不同的量程时，测量值的有效数字位数不同，量程不当将损失有效数字。在此例中选择“2V”的量程才是恰当的。实际测量时，一般是使被测量值小于但接近于所选择的量程，而不可选择过大的量程。

(2) 指针式仪表的读数与记录

与数字式仪表不同，直接读取的指针式仪表的指示值一般不是被测量的测量值，而要经过换算才可得到所需的测量结果，即

测量值＝读数（格）×仪表常数（C ） (1.4.1)

应注意的是，测量值的有效数字的位数应与读数的有效数字的位数一致。

①读数：指针式仪表的指示值称为直接读数，简称为读数，它是指指针式仪表的指针所指出的标尺值并用格数表示。如图1.4.2所示的为某电压的均匀标度尺有效数字读数示意图，图中指针的两次读数为18.6格和116.0格，它们的有效数字位数分别为3位和4位。测量时应先首先记录仪表的读数。

图1.4.2 指示仪表有效数字读数示意图

②仪表常数:指针式仪表的标度尺每分格所代表的被测量的大小称为仪表常数，也称为分格常数，用Cα表示，其计算式为

Cα＝Xｍ／αｍ(1.4.2)

式中，Xｍ为选择的仪表量程；αｍ为指针式仪表满刻度格数。

可以看出，对于同一仪表，选择的量程不同则仪表常数也不同。

例1.4.1 若图1.4.2所示为某电压的标度尺，试求当选择仪表量程为30Ｖ时指针所处位置对应的测量值。

解：指针在图1.4.2所示的①处时的读数K1=18.6格，指针在图1.4.2所示的②处时的读数K2=116.0格。

因为电压表的量程为30V，则分格常数为

Cα=U m/αｍ=30V/150div=0.2V/ div

所以，指针在①处时的示值为

U1= K1Cα=1８.6 div×0.2V/ div=3.72V

指针在②处时的示值为

U2= K2Cα=1１6.0div×0.2V/ div=23.20V

注意要保持测量值的有效数字位数与读数相同，因此U1、U2有效数字的位数分别为3位和4位。

(3) 波形的记录

在实验过程中，常用示波器观察电子线路中电信号的输入、输出波形。在记录波形时要注意以下几点：

①在坐标系上标示出合适的横坐标、纵坐标的单位及坐标原点。

②在波形图上标示出能够显示图形变化趋势的关键点及相应的坐标。

③描绘示波器测试波形时，在波形图上应该正确反映测试波形之间的相位关系。

④描绘示波器测试波形时，要注意正确反映波形与基线的相对位置（可参阅第二章示波器注意事项）。

例如用双踪示波器观察TTL74LS00“与非”门电路电压传输特性的变化波形。记录其波形可得到图1.4.3所示的电压传输特性曲线，其中对于波形的关键点A、B、C、D，在记录波形时均要记录其坐标点。

(0.6,3.5)

(1.4,2.9)

（1.4,0.2）D

图 1.4.3 “与非”门电压传输特性曲线

1.4.3 实验数据的处理

实验测量所得到的测量值，在经过有效数字修约、运算处理后，有时仍看不出实验规律或结果，因此必须对这些实验数据进行整理、计算和分析，才能从中找出实验规律，得出结果。常用的实验数据处理法为列表法和图示法。

(1)列表法

列表法是记录实验数据最常用的方法，测量时将测量结果填写在一个经过设计有一定对应关系的表格中，以便能清楚地从表格中得出各数据之间的简单关系。例如表1.4.2所示的是某一电路输出端电压值与负载的对应关系，从表中可见随着负载阻值的增大，其输出端电压值也增大，根据这几组数据我们可以做出一个输出端电压关于负载变化的曲线。

表1.4.2 输出端电压值与负载的对应关系

列表法的关键是表格中测试点的设计，选择的测试点必须能够准确地反映测试量之间的关系，尤其不要遗漏一些关键测试点。例如上述表1.4.2中选择的负载电阻变化是均匀的,但负载R L=0及负载R L=∞时这两点必须选择作为测试点，这样才能比较精确地画出测试曲线。如果测试点描绘的曲线有转折区域，则在曲线的拐点处附近要多选择几组测试点。例如表1.4.3是测试二极管正向伏安特性电压与电流的关系，由于二极管的正向导通电压为0.7伏左右,故在此处附近应多选择几组测试点进行测量。

表1.4.3 二极管正向伏安特性电压与电流对应关系

(2) 图示法

图示法是指将测量数据用曲线表示的方法。在分析两个（或多个）物理量之间的关系时，用曲线表示它们之间的关系，往往比用数字、公式表示更形象和直观。因此，测量结果常常要用曲线来表示。

在实际测量过程中，由于测量数据的离散性，如将测量点直接连接起来，所得曲线将呈折线状，如图1.4.3所示。但这样的曲线往往是错误的，我们应视情况作出拟合曲线，使其成为一条光滑均匀的曲线，这个过程称为曲线的修匀，如

图1.4.4所示。若测量数据点分散程度大时，

则应将相应的点取平均值后再绘制曲线如图1.4.5所示。

图1.4.3各数据点连成折线（错误的曲线绘制）图1.4.4拟合后的实验数据曲线

图1.4.5 实验数据点分散程度大时的曲线绘制

绘制曲线时要注意以下几点:

①选择合适的坐标系。

②在坐标系中，一般横坐标代表代表自变量,纵坐标代表因变量。

③在横、纵坐标轴的末段端要标明其所代表的物理量及其单位。

④要合理恰当地进行坐标分度。

第二章 误差和分析数据处理

第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。

误差和分析数据处理

第二章 误差和分析数据处理 第一节 概 述 定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。 第二节 测量误差 一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差 测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差 绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质 理论真值：如某化合物的理论组成等。 约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。 相对真值：如标准参考物质的含量。 标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。 实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结 果的平均值作为真值的替代值。 二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差） 由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定 时重复出现。

按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。 方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点 不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。 仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。 操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、 读数偏高（低）。 按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。 系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差） 由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小 差别等引起，其大小和正负都不固定。 偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。 三、准确度和精密度 1. 准确度与误差 准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差 表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差 精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、 相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。 偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i

实验数据误差分析和数据处理

第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值

误差理论与数据处理 实验报告

《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月

实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);

p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1

实验大数据误差分析报告与大数据处理

第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为 1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差

实验误差及数据处理习题

误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103

误差分析和数据处理

误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测 定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此 我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误 差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程 序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是 一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机 率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情 况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中 是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献 手册中所谓的“公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，

故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称 为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均 值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布 时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中， 算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==1222221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量 由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予 以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n i i i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211 式中；n x x x 21、——各次观测值； n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的

数据处理与误差分析报告

物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差

误差分析和数据处理

误差分析和数据处理

误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。

（二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。

物理实验-误差分析与数据处理

目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)

实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 1.1 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测 量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 1.2 误差及误差的表现形式 1．误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量

物理误差分析及数据处理

第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）± 625 （cm ） 改:±（cm ） （2） ± 5（mm ） 改: ± 5（mm ） （3）± 6 （mA ） 改: ± （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: ± （kg ） （5）±（℃） 改: ±（℃） 4.用级别为，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： 10 1 19.548 ()10i i I I mA ===∑ ②计算测量列的标准差I σ： 0.0623 (cm)I σ= = ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显著水平a ＝，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 6 60.158 2.536 2.410.0623 I I g σ?= = => 由此得6I ＝为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果

重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 19.564 ()9i i I I mA ===∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝±（cm ），高h ＝±（cm ），质量m ＝±（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： 322 4436.488 2.7003g /m 3.1416 2.042 4.126 m c d h ρπ?= =??＝（） （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 ln ln 4ln ln 2ln ln m d h ρπ=-+-- 求微分，得

“误差分析和数据处理”习题及解答

“误差分析和数据处理”习题及解答 1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。 答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。 2．将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。 答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。 3．下述说法正确否？为什么？ （1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即 ()1 2 m m m = +左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。 答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即 2 r 1 l m m l = 当l 1 = l 2时，m = m r 。当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即 1 l 2 l m m l = 将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得 m = 这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。 （2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。 4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。

物理实验误差分析与数据处理

物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)

实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。

实验数据误差分析和数据处理

第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实

验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。

数据处理及误差分析

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 结果分析 对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思考题。还

误差分析与数据处理

误差分析与数据处理 物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。 一、一、基本概念 1．误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 系统误差： 这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如： (1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。 (2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。 (3)个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。 系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等 以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减 少，以提高准确度。 偶然误差： 在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经 过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的 感官的灵敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许 多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为 偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从 几率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为： y＝y＝ 式中：h称为精确度指数，σ为标准误差，h与σ的关系为：h＝。 自图I一1中的曲线可以出： (1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。 （2）由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。σ为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在±

第三章 误差和分析数据的处理汇总

本章目录 §3-1 误差及其产生的原因 §3-2 测定值的准确度与精密度 §3-3 随机误差的正态分布 §3-4 有限测量数据的统计处理 §3-5 有效数字及其运算规则 §3-6 提高分析结果可靠性的方法 §3-1 误差及其产生的原因 分析结果与真实值之间的差值称为误差。分析结果大于真实值，误差为正；分析结果小于真实值，误差为负。 根据误差的性质与产生的原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两类。 一、系统误差 系统误差也叫可测误差，它是定量分析误差的主要来源，对测定结果的准确度有较大影响。 产生原因: 由于分析过程中某些确定的、经常的因素造成的，对分析结果的影响比较固定。 特点: 是具有?°重现性?±、?°单一性?±和?°可测性?±。即在同一条件下，重复测定时，它会重复出现；使测定结果系统偏高或系统偏低，其数值大小也有一定的规律；如果能找出产生误差的原因，并设法测出其大小，那么系统误差可以通过校正的方法予以减小或消除。 系统误差产生的主要原因 (一)方法误差这种误差是由于分析方法本身所造成的。例如：在重量分析中，沉淀的溶解损失或吸附某些杂质而产生的误差；在滴定分析中，反应进行不完全，干扰离子的影响，滴定终点和等当点的不符合，以及其他副反应的发生等，都会系统地影响测定结果。 (二)仪器误差主要是仪器本身不够准确或未经校准所引起的。如天平、法码和量器刻度不够准确等，在使用过程中就会使测定结果产生误差。 (三)试剂误差由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质所引起。 (四)操作误差 主要是指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与正确控制条件稍有出入而引起的。例如，使用了缺乏代表性的试样；试样分解不完全或反应的某些条件控制不当等。 与上述情况不同的是，有些误差是由于分析者的主观因素造成的，称之为?°个人误差?±例如，在读取滴定剂的体积时，有的人读数偏高，有的人读数偏低；在判断滴定终点颜色时，有的人对某种颜色的变化辨别不够敏锐，偏深或偏浅等所造成的误差。 二、偶然误差 偶然误差也叫不可测误差，是由于某些偶然的因素(如测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，仪器性能的微小变化等)所引起的，其影响时大，时小，时正，时负。偶然误差难以察觉，也难以控制。 偶然误差的分布完全服从一般的统计规律： (一)大小相等的正、负误差出现的几率相等； (二)小误差出现的机会多，大误差出现的机会少，特别大的正、负误差出现的几率非常小、故偶然误差出现的几率与其大小有关。 §3-2 测定值的准确度与精密度 一、准确度与误差

误差理论与数据处理试题

误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。