§3.3 第一类换元积分法
教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用
教学过程：
一、问题的提出
不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运
算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）
我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式
??=='?)
(])([)()]([x u du u f dx x x f ???
证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C
u F +)(.
又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ?=,所以有
???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又)
(])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([?
从而推得??=='?)
(])([)()]([x u du u f dx x x f ?
?? 证毕
推论 若 ?dx x f )(=C
x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中u 为x 的
任一可导函数 该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
该方法的关键在于从被积函数
)()]([x x f ??'中成功地分出一个因子)(x ?'与
dx 凑成微分)(x d ?，而剩下部分正好表成)(x ?的函数，然后令u x =)(?，就将所要求的
不定积分变为基本积分表中已有的形式。
通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。
三、第一类换元积分法的一般步骤:
若某积分?dx
x g )(可化为
?'?dx x x f )()]([??的形式,且
?du u f )(比较容易积分,那么
可按下列的方法和步骤来计算所给积分
⑴凑微分 设法将积分
?dx x g )(变形为?'?dx x x f )()]([??的形式，从而可得：
)()]([)()]([)(x d x f x x f dx x g ???????='=
⑵作变量代换 作变量代换)(x u ?=，则)()(x d dx x du ??='=，从而将积分变为
du u f x x f dx x g ???='=)][)()]([)(??
并计算该积分;
⑶将变量回代 根据所作代换, 用)(x ?替换积分结果中的u ,从而求得原积分的结果，即：
C x F C u F du u f dx x g x u +=+====??)]([)
()][)()
(??
注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法又叫做凑微分法。
四 、举例
例1
求?
-dx
x x )1cos(22
解：因为)1(22
'-=x x 于是
?-dx x x )1cos(22?
'-?-=dx x x )1()1cos(2
2
?udu cos C u +=sin
C
x +-)1sin(2
一般地，对于积分
dx x x f k k ?
-1)((k 为不等于“0”的常数)，总可以作变换k x u =，
把它化为
???
==
-du u f k
dx x f k dx x x f k
k k k )(1)(1)(1 例2
求?
?xdx
x 210
sec tan
解：因为)(tan sec 2
'=x x
??xdx
x 210
sec tan
=?
'?dx
x x )(tan tan 10
du u ?10
=C u +11
111
C x +11tan 111
例3
求?
-dx
x 4
)
23(
解：由于2)23(-='-x ，所以
?-dx x 4
)23(=dx x x )23()23(214'---?)
23()23(214
x d x ---=? ?-du u 421=C u +-5101
C x +--5)23(101
一般地，对于积分dx b ax f ?+)(，总可以作变换b ax u +=，把它化为
??
?=++=+du u f a
b ax d b ax f a dx b ax f )(1
)()(1)( u
x =-12令12-=x u 回代u x =tan 令x
u tan =回代u x =-23令x u 23-=回代
注：①运用换元积分法，必须要熟悉基本积分公式和一些常用的微分等式，如
)()(1
x a d b ax d a dx --=±=
（其中a 、b 为常数且a 不为零） )
(21)(21)(212222x a d b ax d a x d xdx --=±== )(ln 1
x d dx x = )(x x e d dx e =
)(sin cos x d xdx = )(cos sin x d xdx -= 等等；
②在运算比较熟练以后，可省略写出变量代换的过程，这样可使运算过程更捷。
例4 求dx
x
x ?sin
解：
dx x x
?sin =C x x d x +-=?cos 2sin 2
例5 求
dx
x
xe
x ?
++2
112
解：原式=C
e
x d e
x x +=+++?2
2
121)1(
例6 求
?xdx tan
解：?xdx tan =C x x d x dx x x +-=-=??cos ln )(cos cos 1
cos sin
同理可求得
C x xdx +=?sin ln cot
例7 求?-+dx e x 11
.
解：?-+dx e x 11==+?dx e e x x 1?+'+dx e e x x 1)1(=?++)1(11x x e d e C e x ++=)1ln( 例8 求?+-dx x x x
x sin cos sin cos .
解：??+'
+=+-dx x x x x dx x x x x sin cos )cos (sin sin cos sin cos
C
x x x x x x d ++=++=?cos sin ln sin cos )cos (sin 例9 求
?xdx
csc
解：
)
2(2
cos 2tan 12cos 2sin 2sin 1
csc 2
x
d x x x x dx dx x
xdx ??
??===
)2(tan 2
tan 1
x d x ?
=C x +=2tan ln C x x +-=cot csc ln 同理可得：
?++=C
x x xdx tan sec ln sec
例10 求?+dx x
a 221
)0(>a
解：dx a x a dx x a ??+?=+2222)(1111)()(1112a
x
d a x a ?+=C
a x +=arctan
例11 求?+)ln 21(x x dx
解：???+=+=+x x d x x d x x dx ln 21)
ln 2(21ln 21)(ln )ln 21(
?++=
x x d ln 21)ln 21(21C x ++=ln 21ln 21
一般地，对于积分
?
x dx
x f )
(ln ，总可以作变换x u ln =，把它化为 ???
==du u f x d x f x
dx x f )(ln )(ln )(ln
一个较为复杂的积分往往需要借助两个或两个以上的积分来完成。
例12 求?-dx a
x 221
)0(>a
解：??-+--+=-dx a x a x a x a x a dx a x ))(()
()(21122
)1
1(21??+--=
dx a x dx a x a )](1)(1[21??++---=a x d a x a x d a x a
C
a x a x a ++--=)ln (ln 21C a x a x a ++-=ln 21 例13
求?
xdx
2
sin
解：?xdx 2
sin =?-dx x 22cos 1??-=dx x
dx 22cos 21
?-=)2(2cos 4121x xd x C x x +-=2sin 41
21
例14 求?
xdx x 52cos sin
解：
?xdx x 52cos sin ?
=xdx x x cos cos sin 42
?-=)(sin )sin 1(sin 222x d x x )
(sin )sin sin 2(sin 642x d x x x ?+-=
C x x x ++-=753sin 71
sin 52sin 31
一般的，对于形如?
x x n m
cos sin
dx (m,n ∈N)的积分,当m,n 中有一个为奇数时,可考虑
从奇次幂因式中分一个因子与dx 凑微分,并借助公式cos 2
x+sin x 2
=1,再利用凑微分法求 解(如例14);当m,n 同为偶数时,利用公式
cos x 2
=
21(1+cos2x), sin x 2
=2
1(1-cos2x) 先降幂,再利用求微分法求解(如例14).
例15 求dx
x ?3
sin
解：dx x ?
3
sin )
(cos )cos 1(sin sin 2
2
x d x xdx x ??--=?=
??-=)
(cos )(cos cos 2
x d x xd
C x x +-=cos cos 31
3
例16求?xdx
x 3cos 5sin
解：根据三角学中的积化和差公式得
?xdx x 3cos 5sin ?+=
dx x x )2sin 8(sin 21 )]2(2sin 21
)8(8sin 81[21??+=x xd x xd C
x x +--=2cos 41
8cos 161
例17求?xdx
x 3
5sec tan
解：
?
xdx x 35sec tan
????=xdx x x x tan sec sec tan 24
??-=x
xd x sec sec )1(sec 222
C x x x ++-=
357sec 31
sec 52sec 71
小结：⑴由前面举例可以看出，①求形式为?'dx x x )()
(??的积分时，可用下列公式计算
②求形如
?
?xdx x n m cos sin 的积分，若m 为奇数时，只要根据x x 2
2cos 1sin -=、
)(cos sin x d xdx -=变形，并取x x cos )(=?即可；若n 为奇数，可作类似处理。
⑵运用换元积分法积分，如何适当的选择变量代换没有一般的途径可循，常要用到一定的技巧，灵活性较强，因此，要想掌握此法，平时必须多做练习并加强积累才行.
最后需要指出的是：积分也存在一题多解，采用的方法不一样，其结果在形式上可能不
??+='='C
x x d x dx x x )(ln )()(1
)()(?????
同.
例如，求积分
xdx
x cos
sin
?.
解法1：
xdx
x cos
sin
?)
(sin
sin x
d x
?=C
x+
=2
sin
2
1
解法2：
xdx
x cos
sin
?)
(cos
cos x
d x
?-=C
x+
-
=2
cos
2
1
解法3：
xdx
x cos
sin
?dx x
?
=2
sin
2
1
)
2(
2
sin
4
1
x
d x
?
=C
x+
-
=2
cos
4
1
可以验证，上面三个结果都是正确的，其形式的差异只是积分常数不同罢了.
一般说来，采用的方法不同，解题的难易程度不同，故今后求积分时，应先对积分的特征进行分析并选择最佳的方法来计算.
习题3.3
1．求下列不定积分：
⑴
dx
x
?4
cos
；⑵
dt
t
?
3
sin
；
⑶
dx
x
x
x)3
2(
)2
3
(3
2-
+
-
?；⑷dx
x5)1
2(?-；
⑸
dx
x
x
?2
cos
sin
；⑹
dx
x
x
?
-2
2
；
⑺
dx
x
a
x
?
+21
3
2
2
)
(
；⑻
?+dx
e
e x
x
2
；；
⑼
dx
x
x
?3
ln
1
；⑽
dx
x
x
?
+3
2
；
⑾
dx
x
x)
3
2
cos(2
+
?
；⑿
?dx
e x x2
；
⒀
xdx
e x cos
sin
?
；⒁
?-21
x
dx
e x
；；
⒂
dx
x
x
?
+)1
(
sin2
2
；⒃
dx
e
e
x
x
?
-2
1；
⒄
dx
x
x
?
-2
ln
1
1
；⒅
dx
x
x
?
-4
3
1
3
；
２．求下列积分：
⑴
dx
e
ax b
x
)
(sin-；⑵
dx
x
x
?
-
-
2
1
1
2
；
⑶
dx
x
x
x
?
ln
ln
ln
1
；⑷
dx
e
e x
x
?-
+
1
；；
⑸
dx
x
x
x
x
?
-
+
3cos
sin
cos
sin
；⑹xdx
3
cos；；
⑺
dx
x
x
?
+2
3
9；⑻
dx
x
x
?
-
+)2
)(
1
(
1
；；
⑼?xdx
x sec
tan3
；⑽
dx
x
x
?
-2
arccos
2
1
10
；
⑾
dx
x
x
x
?+2
)
ln
(
ln
1
；⑿
?
-2
21
)
(arcsin x
x
dx
；
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式, 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43 π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111 []10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则 根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积 表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难点：定积分换元条件的掌握 重点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理假设 (1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续； (2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数； (3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?， 则有 ?Skip Record If...?．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算?Skip Record If...?． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?． 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 显然，这个定积分的值就是圆?(图5－8)． 例3 计算?Skip Record If...?． 解法一 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?． 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，于是 ?Skip Record If...?． 解法二 也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?．
不定积分的第一换元积分法 不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。 一、第一换元积分法运用的前提条件 由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为 f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。 二、第一换元积分法的基本解题思路 首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。 三、第一换元积分法的具体求解步骤 被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。 其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。 将题中的g(x)写成ku′(x)，即 ∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的 公式求出积分： k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c 四、举例 例1、∫x(1-3x2)10dx 解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10， 其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分， ∫x(1-3x2)10dx =-■∫(1-3x2)10(-6xdx) =-■∫u10du =-■·■u10+1+C =-■u11+C=-■(1-3x2)11+C 例2、∫■dx 解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x 其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx =■dx，然后就需要在题中凑这个微分， ∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx =■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C 例3：∫tanxdx 解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。其中■是复合函数，中间变量u(x)=cosx，求中间变量的微分d(cosx)
33第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法 教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。 重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。 二、第一类换元积分法（凑微分法） 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。 定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ??=='?)(] )([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C u F +)(. 又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ?=,所以有 ???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又)(])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([? 从而推得??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证毕 推论 若 ?dx x f )(=C x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数 该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数 后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。 该方法的关键在于从被积函数?Skip Record If...?中成功地分出一个因子 ?Skip Record If...?与?Skip Record If...?凑成微分?Skip Record If...?，而剩下部分正好表成?Skip Record If...?的函数，然后令?Skip Record If...?，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。 通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。
4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法(第一类换元法) Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”， d (x) (x)dx . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分 . Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分 . Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设 f(u)具有原函数 F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量， u (x)， (x)可微，则 根据复合函数求导法则，有 所以根据不定积分的定义可得： f [ (x)] (x)dx F[ (x)] C u (x) F[u] C [ f (u)du] 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 f [ (x)] (x)]dx u (x) [ f(u)du] F u C F (x) C . 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出， 虽然 f[ (x)] (x)dx 是一个整体记号， 但是被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待 从而上式中的 (x) dx 可以看成是 (x)的微分， 通过换元 u ( x) ，应用到被积表 达式中就得到 (x)dx du . 定理 1 设 f (u)具有原函数 F(u) ，u (x)可导， du (x)dx ，则 f [ (x) (x)dx f (u)du F(u) C F[ (x)] C (1) 如何应用公式 (1) ，在求不定积分积分 g(x)dx 时 如果被积函数 g(x)可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式 f[ (x)] (x) 的形式 那么 (x) u u (x) g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u [ f (u) du] F(u) C u (x)F[ (x)] C . 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想 . 把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积 精彩文档 dF( (x)) dF du (x)] (x) 。 dx du dx f (u)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， dx x x d )()(?'=? . 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据 复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的 微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它 内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++.
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
§3.3 第一类换元积分法 教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。 重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运 算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。 二、第一类换元积分法（凑微分法） 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。 定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C u F +)(. 又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ?=,所以有 ???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又) (])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([? 从而推得??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ? ?? 证毕 推论 若 ?dx x f )(=C x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中u 为x 的 任一可导函数 该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。 该方法的关键在于从被积函数 )()]([x x f ??'中成功地分出一个因子)(x ?'与 dx 凑成微分)(x d ?，而剩下部分正好表成)(x ?的函数，然后令u x =)(?，就将所要求的 不定积分变为基本积分表中已有的形式。 通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。 三、第一类换元积分法的一般步骤: 若某积分?dx x g )(可化为 ?'?dx x x f )()]([??的形式,且 ?du u f )(比较容易积分,那么 可按下列的方法和步骤来计算所给积分 ⑴凑微分 设法将积分 ?dx x g )(变形为?'?dx x x f )()]([??的形式，从而可得：
§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的 形式 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学 习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为 有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx =
§ 换元积分法 Ⅰ 授课题目 § 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积 表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则
§ 4.2 -换元积分法（第一类换元
§ 4.2 换元积分法 I 授课题目 § 4.2 换元积分法(第一类换元法) n 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复 合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"， d (x) (x)dx . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一 类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分. W 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有 所以根据不定积分的定义可得: dF( (x)) dx d￡du du dx f(u) 乎 dx f[ (x)] (x)。
f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du] 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C . 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u (X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du . 定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则 f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么 g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u [ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C . 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想?把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来. 例 1 求3e3x dx 角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x， du d (3x) 3dx 3dx du ，
1．计算下列定积分： ⑴ sin( x )dx ； 3 3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 sin( x )dx sin( x )d ( x ) cos( x ) 3 3 3 3 3 3 3 [cos( ) cos( )] [ cos( cos )] 0。 3 3 3 3 3 【解法二】应用定积分换元法 令 x 3 u ，则 dx du ，当 x 从 单调变化到 时，u 从 2 单调变化到 4 ， 3 3 3 4 4 4 2 sin( x )dx 3 sinudu cosu 23 于是有 2 [cos cos ] 3 3 3 3 3 3 [ cos ( cos )] 0 。 3 3 ⑵ 1 dx ； 2 (11 5x)3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 1 dx 1 1 (11 5x) 3 d (11 5x) 1 1 5x) 2 1 2 (11 5x)3 5 5 (11 2 2 2 1 [ 1 2 (11 1 2) 2 ] 1( 1 2 1) 51 。 10 (11 5 1) 5 10 16 512 【解法二】应用定积分换元法 令 11 5x u ，则 dx 1 du ，当 x 从 2 单调变化到 1 时， u 从 1 单调变化到 5 16，于是有 1 dx 1 16 u 3 du 1 1 2 16 1 1 1) 51 2 (11 5x)3 5 5 u 1 ( 。 1 2 10 162 512 ⑶ 2 sin cos 3 d ； 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
§3.3第一类换元积分法 教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。 重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。 二、第一类换元积分法（凑微分法） 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。 定理设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证明设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C u F +)(. 又因为是关于的可导函数)(x u ?=,所以有 ???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又) (])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([? 从而推得??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ? ??证毕 推论若?dx x f )(=C x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中为的任一可 导函数 该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量换为的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。 该方法的关键在于从被积函数 )()]([x x f ??'中成功地分出一个因子)(x ?'与凑 成微分)(x d ?，而剩下部分正好表成)(x ?的函数，然后令u x =)(?，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。 通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。 三、第一类换元积分法的一般步骤: 若某积分?dx x g )(可化为 ?'?dx x x f )()]([??的形式,且?du u f )(比较容易积分,那么 可按下列的方法和步骤来计算所给积分 ⑴凑微分设法将积分 ?dx x g )(变形为?'?dx x x f )()]([??的形式，从而可得： )()]([)()]([)(x d x f x x f dx x g ???????='= ⑵作变量代换作变量代换)(x u ?=，则)()(x d dx x du ??='=，从而将积分变为 du u f x x f dx x g ???='=)][)()]([)(??
【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?
课题:换元积分法（一） 指导思想: 第一换元积分法是积分学中的重要方法之一,占有相当重要的地位.第一换元积分法是计算积分的基础,第一换元积分法掌握的熟练程度不仅影响着定积分的计算和应用,而且还影响到今后将要学习的多元函数的积分的计算,以及微分方程的求解。因此，必须重视。 在教学的过程中,考虑到学生的实际情况,结合第一换元积分法的基础性和灵活性,通过比较,分析,作出了一些归纳。然后通过大量的练习，积累经验，熟悉技巧，熟练掌握第一换元积分法。 教学目标： （一）知识目标： 熟练掌握第一换元积分法 （二）能力目标： 1.通过第一换元积分法的学习,能够做到举一反三; 2.培养学生分析问题,解决问题的能力; 3.提高学生自主学习的能力。 （三）情感目标： 通过这节课的学习让学生增强自信心,面对数学学习时不再害怕,提高学习数学的兴趣 教学重点:第一换元积分法 教学难点:凑微分 教学课时:2课时
教学过程: 一.复习引入 引例:计算下列不定积分: 1.223 24(21)(441)23 x dx x x dx x x x c +=++= +++?? 2.10(21)x dx +? =? 二.新课讲解 第一换元积分法: 凑微分 1 ()dx d ax b a =+ x x e dx de = 111x dx dx ααα+= + 1 ln dx d x x = sin cos xdx xdx =- cos sin xdx d x = 三.例题与练习 例1.计算 10(21)x dx +? 解:原积分= 10 1011211(2111(21)22)22 x t x x d t dt t c +=+=++??令 = 111 (21)22 x c ++ 练习1：1）cos3xdx ? 2）x e dx -? 3） 21 14dx x +? 例2.计算2 1x dx x +? 解:原积分= 122 2()111d x x ++?(令21x t +=) =112dt t ?=1ln 2t c +=21 ln(1)2x c ++