05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于和之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ， 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： 已知一维谐振子的波函数为： 四、本题满分12分 一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。 五、本题满分12分 已知氢原子的电子波函数为。 求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均值。 六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态之中, 其中, A为待求的归一化常数, 求： (1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分
附：氢原子能量本征值： 定积分：，n为正整数 球坐标系中： 05级2学分B 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？ 4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个算符的共同本征函数？ 5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？ 6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、本题满分14分 设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。 三、本题满分15分 证明：是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。已知。 四、本题满分8分 证明在的本征态下，。 五、本题满分15分 设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ，，求粒子的能量本征值和本征波函数。 六、本题满分10分 求下列算符对易关系式： 1) 2)
量子力学习题第一部分 一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。 二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。 三简单证明： 1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。 2. 由薛定谔方程证明几率守恒。 3. 证明定态的叠加不是定态。 4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。 5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。 6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。 7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。 8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。 9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。 10. 证明坐标和动量的对易关系。 11. 证明角动量间的对易关系。 12. 证明坐标和角动量的对易关系。 13. 证明动量和角动量的对易关系。 14. 证明厄米算符的本征值是实数。 15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符 16. 证明厄米算符的本征值必为实数。 17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。 18. 证明书中求和规则（两题）。 19. 证明（）() =+ i() 20. 证明a和a+ 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。 四计算： 1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。 2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。 3. 设一维运动粒子用gauss波包描述，验证测不准关系。 4．一维自由运动粒子，求波函数。 5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。 6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。 7. 求平面转子的能级和波函数。 8. 求角动量z分量的本征值和本征态。 9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果给予解释。 10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。 11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。
一、量子力学及其意义和作用 量子力学：是研究微观粒子运动、变化基本规律的科学。 由于宏观物质全部是由微观物质组成的，宏观世界全部建立在微观世界之上，量子力学便无处不在、普遍适用。“整个世界是量子力学的！” 物理学四大力学（理论力学、热力学与统计物理、电动力学、量子力学）之一。 自从量子理论诞生以来（1900年12月14日），它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和触发人类物质文明的大飞跃。例如，可以把所有学科名称前面冠以“量子”————quantum二字，就会发现：已经形成或将要形成一门新的理论、新的学科。 光学—量子光学化学—量子化学 电子学—量子电子学生物学—量子生物学 电动力学—量子电动力学宇宙学—量子宇宙学 统计力学—量子统计力学网络—量子网络 经典场论—量子场论信息论—量子信息论 计算机—量子计算机 就连投机家所罗斯的基金会也时髦的冠以“量子”二字：“量子基金会”一百年（1901—2002）来总共颁发Nobel Prize 96 次（其中1916,1931,1934,1940,1941,1942共6年未颁奖）单就物理奖而言：直接由量子理论得奖或与量子理论密切相关而得奖的次数有57 次（直接由量子理论得奖25次 量子力学自20世纪20年代创立以来，直到现在，已逐步成为核物理、粒子物理、凝聚态物理、超流和超导物理、半导体物理、激光物理等众多物理分支学科的共同理论基础。自20世纪80年代以来，量子力学又有很大发展：量子信息科学（量子计算、量子通信）目前，它正在向材料科学、化学、生物学、信息科学、计算机科学大规模渗透。不久的将来它将会成为整个近代科学共同的理论基础。国家中长期科学技术发展规划：量子调控计划二、历史的回顾 19世纪末，一些物理学家认为：辉煌的物理学大厦已经建成！ Kelvin勋爵：物理学的天空上漂浮着两朵乌云： 麦克尔逊—莫雷实验相对论 黑体辐射的“紫外灾难”量子力学 经典物理、近代物理 相对论：平地起高楼，伟大的头脑 量子力学：一点一滴的积累，Plank, Einstein, Bohr, Heisenberg, Born, Pauli, de Broglie, Schrodinger, Dirac 领袖：Niels Bohr, 哥本哈根学派
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋表象下，波函数如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置 表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern—Gerlach实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一 般地不能直接作为的零级近似波函数？ 15、在自旋态中，和的测不准关系是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭 加是否仍为定态方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[，]=1，，，证明：。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 — 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用Dirac 符号时，若将 ψ(,)?r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0， 其中（1）∧ ) (H 0的本征值) (n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很小，称 为加在∧ ) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4η。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger &&方程的解？同一能量对
量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。
量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）
第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名： 学号： 学院： 2016年12月27 量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收 《近代物理新进展(第一讲)》（2011年春季学期） 量子力学基本概念讨论 考虑电子的双缝干涉实验。 实验过程和观察结果的动画演示(doubleslit_exp.wmv)。 一幅有趣的漫画。 BTW, New Yorker还发表过另一幅著名的漫画“On the internet, nobody knows you're a dog.” 讨论题： 1、为什么说在电子的双缝干涉实验中电子是自己和自己发生了干涉？ 2、在电子的双缝干涉实验中，电子是怎样穿过狭缝的？（A ）穿过了其中的某一条狭缝；（B ）同时穿过了两条狭缝；（C ）不知道是怎么穿过去的；（D ）这个问题没意义。 3、下面是观察电子穿过了哪个狭缝的实验（which-way experiments ）。 实验的结果如何？（A ）仍然出现干涉条纹；（B ）不再出现干涉条纹。由此你得到什么推论？ 用电子的双缝干涉不难说明Feynman 的 path integral 的基本原理，即 1122.x s x s x s =+ 4、考虑电子带有自旋。让自旋向上的电子射向双缝，并且在双缝处加一个磁场，使电子在穿过缝的时候自旋方向可能发生翻转，设自旋不翻转的几率振幅是a ，自旋翻转的几率振幅是b （假设都是实数）。问自旋向上和自旋向下的电子在观察屏上的几率分布各是什么？如果磁场只加在缝1处，所以当电子穿过缝1的时候自旋有可能翻转，其中不翻转的几率振幅是a ，翻转的几率振幅是b ，但穿过缝2的时候电子的自旋总不翻转。那么自旋向上和自旋向下的电子在观察屏上的几率分布又各是什么？（用12,P P 和12P 表出） 5、用单光子光源进行光的双缝干涉实验（光子一个一个地射向双缝），会看到什么现象？（A ）和电子的双缝干涉现象类似；（B ）不出现干涉条纹。由此你得到什么推论？ 6、所以，对于微观粒子的“波粒二象性”（particle-wave duality ）的涵义，下面的哪一种说法更合适一些？（A ）既是波也是粒子；（B ）既不是波也不是粒子；（C ）在一些实验中表现为波，在另一些实验中表现为粒子；（D ）有些特征像波，有些特征像粒子。 7、为什么必须假设波函数是复函数而不能限定它为实函数？（不要从波函数满足Schr?dinger 方程出发） 8、波函数的单值性是对谁的要求？（A ）波函数本身就必须是单值的；（B ）只要波函数的模平方是单值的就够了。 关于量子测量的讨论。 9、量子力学中的几率与经典几率（数学的概率论）在哪些地方相同，哪些地方不同？ 10、“波函数的模平方代表粒子的坐标测量几率密度”是不是波函数的几率解释的全部内容？ （A ）是全部；（B ）不是全部。 11、众所周知，若电子的自旋向上(/2)z s =+=的态记为+，自旋向下(/2)z s =?=的态记为?，则电子自旋的一般状态为a b ψ=++?。问：测量在这个状态下电子的z s 的几率分布能够（或不能）得到关于a 和b 的什么信息？为了得到更多的信息，可以再测量什么量（几率分布）？我们最多能得到关于a 和b 的哪些信息？类似的分析用于波函数()x ψ的时候，结论是什么？ 12、什么是量子测量中的波包坍缩（wave-packet collapse ）？为什么说量子测量的过程会导致波包坍缩？ 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数 ψ 1 ， ψ 2 ， ψ 3 ，…。正交性的数学表达式为 ， 归一性的表达式为 。 1106、│ ψ (x 1 ， y 1 ， z 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 )│2 代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211 (x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是_______________________；若体系 的能量为2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2243ma h 的简并度是_____，E '=2 2 827ma h 的简并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 12 1m m m m +的一维谐振子，其势能为 量子力学基础 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 第一章量子力学基础 一、教案目的： 通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题:b5E2RGbCAP 二、教案内容： 1、微观粒子的运动特征 黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性；不确定关系； 2、量子力学基本假设 波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程；态叠加原理；泡利原理； 3、箱中粒子的薛定谔方程及其解 三、教案重点 微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设 四、教案难点： 量子力学的基本假设 五、教案方法及手段 课堂教案 六、课时分配： 微观粒子的运动特征 2学时 量子力学基本假设 4学时 箱中粒子的薛定谔方程及其解 2学时 七、课外作业 课本p20～21 八、自学内容 1-1微观粒子的运动特征 1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段<由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学），这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。p1EanqFDPw 在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。DXDiTa9E3d 电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们表现的行为在一些场合显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。RTCrpUDGiT 1.1.1黑体辐射和能量量子化——普朗克< planck）的量子假 说：量子说的起源 黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。 带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。5PCzVD7HxA 量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函救可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条条件。 （2）体系的状态波函数满足薛定谔方程： ψ=?ψ?H t i ? （H ?是体系的哈密顿算符） (3)将体系的状态波函数ψ用算符F ?的本征函数n Φ展开: ?∑Φ+Φ=ψλ λλd c c n n n ，（λλλλΦ=ΦΦ=ΦF F n n n ?,?） 则在ψ态中测量力学量得到结果为n λ的几率是2||n c ，得到结果在 λλλd +→范围内的几率是λλd c 2||。 (4) 力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换为算符?- i 得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函救可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条条件。 （2）体系的状态波函数满足薛定谔方程： ψ=?ψ?H t i ? （H ?是体系的哈密顿算符） (3)将体系的状态波函数ψ用算符F ?的本征函数n Φ展开: ?∑Φ+Φ=ψλ λλd c c n n n ，（λλλλΦ=ΦΦ=ΦF F n n n ?,?） 则在ψ态中测量力学量得到结果为n λ的几率是2||n c ，得到结果在 λλλd +→范围内的几率是λλd c 2||。 (4) 力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换为算符?- i 得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 第一讲 量子力学的诞生 ★重点与难点解析 一、经典物理碰到的严重困难（不能解释的典型物理现象） 1. 无法解释黑体辐射问题 （1）一些基本概念 黑体；热辐射；单色辐出度；辐射出射度。 （2）单色辐出度的一些理论公式与实验结果的差异 维恩（Wien ）公式只在短波波段（高频部分）与实验符合，而在长波波段（低频部分）与实验差别较大。 瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans ）公式只在长波波段（低频部分）与实验符合，而在短波波段（高频部分）与实验有明显差异，历史上称为“紫外灾难”。 普朗克通过改进维恩公式，得到了一个辐射公式（后称为普朗克公式），其与实验符合的很好。但无法用经典物理来解释这个公式 2. 无法解释光电效应 （1）什么是光电效应；什么是光电子 （2）光电效应的特点 A ）对于一定的金属材料做成的（表面光洁的）电极，有一个确定的临界频率0ν，当照射光频率0νν<时，无论光的强度多大，都不会观测到光电子从电极上逸出； B ）每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度，即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目； C ）当入射光频率0νν>时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。这与经典电磁理论计算结果不一致。 以上三个特点中，C ）是定量上的问题，而A ）和B ）在原则上无法用经典物理学来解释。 3. 无法解释原子结构 经典理论无法解释原子的线状光谱和稳定性等： （1）根据经典理论，原子向外辐射电磁波，随电子运动轨道的半径不断减小，辐射电磁波的频率将连续变化。而实验发现，原子光谱是离散的线状光谱，并非连续； （2）原子的核型结构是不稳定的，绕核旋转的电子最终将落到原子核上，但实际原子是稳定的，电子不会落到原子核上。 4. 无法解释极低温下固体与分子的比热问题 在极低温下，由经典统计力学的能量均分定理等得到的固体与分子的比热与实验不符。 二、能量量子化思想对上述问题的解释 1. 普朗克（Planck ）能量子假说 1900年，普朗克发现：如作下列假设，就可以根据玻尔兹曼分布律从理论上导出与实验结果相符合的普朗克黑体辐射公式。 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2量子力学史简介
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