目录
摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I
1 引言 (1)
2 知识方面的联系 (1)
2．1多项式理论的应用 (1)
2．2行列式的应用 (2)
2．3柯西不等式的应用 (3)
2．4二次型的应用 (4)
3 思想方面的联系 (4)
3．1符号化思想 (4)
3．2分类思想 (5)
3．3化归与转化思想 (5)
3．4结构思想 (6)
3．5公理化方法 (6)
3．6坐标方法 (6)
3．7构造性方法 (7)
4 观念方面的联系 (7)
结束语 (8)
参考文献 (8)
致谢 (10)
摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．
关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用
Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application
1 引言
高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高
等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效
的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在
二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，
让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者
的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发
学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学
数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教
学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三
个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．
2 知识方面的联系
2．1 多项式理论的应用
作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利
用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此
可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．
例1 多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．
解 将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得
173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，
再将142=-x x 代入上式，可得
18174)(2=+-=x x x f ．
例2 已知c b a 、、 为整数，且满足
a c c
b b a ++与
c b b c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明 设))()(()(a
c x c b x b a x x f ---=． 于是
1)()()(23-+++++-=x a
b b
c c a x a c c b b a x x f ． 由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，a
c 均为它的三个有理整
数根，又因为它们的乘积为1，所以
1===a
c c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用 “矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．
例3 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．
解 由已知条件，得
???????-=+?+?+?-=+?+?+?-=+?+?+?=+-+-+-4
3339
22261110)1()1()1(23232323d c b a d c b a d c b a d c b a 把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式
1
333122211111)1()1()1(2323
23
23
---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即
142)(23---=x x x x f ．
例4 试分解多项式xyz z y x 3333-++．
解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即
xyz z y x x
z y
y x z
z y x
D 3333-++==． 而 x y z
x y z x y z D z
x y y z x
++++++=
x
z y y x z
z y x 1
11)(++= 222=()()x y z x y z xy yz zx ++++---．
所以，xyz z y x 3333-++可分解为：))((222zx yz xy z y x z y x ---++++．
此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．
2．3 柯西不等式的应用
定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量ξ，η有不等式
????≤??ηηξξηξ， ，，2，
当且仅当ξ与η线性相关时，等号成立．
在欧氏空间n R 里，取)…(21n a a a ，， ，=ξ，)...(21n b b b ，， ，＝η时，就有
柯西不等式 对任意实数组n a a a ，， ，…21和n b b b ，， ，...21，有
≤+++22211)…(n n b a b a b a )...)(…(222212n 2221n b b b a a a ++++++．
当且仅当)21(， ==i kb a i i 时，上式的等号成立．
特别的，)…21(1n i b i ，， ， ==时，有
)…()…(2
n 2221221a a a n a a a n +++≤+++．
所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间n R 中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．
例5 已知P 为ABC ?内一点，a BC =，b CA =，c AB =，点P 到ABC ?的三边BC ，
CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d ．求证： ABC
S c b a d c d b d a ?++≥++2)(2
321． 证明 由题意知3212cd bd ad S ABC ++=?，要证明结论成立，只需证
23213
21)())((c b a cd bd ad d c d b d a ++≥++++， 由柯西不等式得，上式显然成立，所以
ABC
S c b a d c d b d a ?++≥++2)(2
321． 2．4 二次型的应用
作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．
定理]6[ 设n 元二次型'()f x x Ax =，则f 在条件112=∑=n
i i X 下的大（小）值恰为矩阵A
的最大（小）特征值．
例6 设2232)(y xy x x f ++=，且满足122=+y x ，求)(x f 的最大值与最小值．
解 二次型),(y x f 的矩阵??
????=3111A ，则 243
111
2+-=----=-λλλλλA I ， 解得221+=λ，222-=λ，于是由以上定理可得，)(x f 在122=+y x 下的最大值为22+，最小值22-．
3 思想方面的联系
3．1 符号化思想
原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间…相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象．
例7 设集合}){(R y x y x ∈=Ω，，，规定：（1）），（000=；（2）当且仅当21x x =，
21y y =时，)()(2211y x y x ，，=．在Ω上定义运算“?”：21212211)()(y y x x y x y x +=?，，，
设Ω∈c b a ，，，有以下四种命题：
a b b a ?=?① ；
)()(②c b a c b a ??=??；
③若0=?b a ，则b a ，中至少有一个为0；
④若c a b a a ?=?≠，0，则c b =；
其中真命题的个数为（A ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个（08广东梅州市检）
3．2 分类思想
数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类．分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见．如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛运用．
例8 已知函数1)2()1(2--+-=x m x m y （m 是实数）．如果函数的图像和X 轴只有一个交点，求m 的值．
解 当1=m 时函数就是一个一次函数1--=x y ，它与X 轴只有一个交点)01(，
-． 当01≠-m 时，函数就是一个二次函数1)2()1(2--+-=x m x m y
0)1(4)2(2=-+-=?m m ，
得0=m ．抛物线122---=x x y 的顶点)01(，
-在X 轴上． 评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷．运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用．
3．3 化归思想
化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简．例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等．
例9 设对所有实数x ，不等式
2
2
22224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+ 恒成立，求a 的取值范围．
分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法，，化为简单的参数的一元二次不等式． 解：设22log 1
a t a =+， 则 224(1)8(1)log log 32a a t a a ++==-，2
22(1)log 24a t a
+=-． 于是，已知的不等式化为
()23220t x tx t -+->．
该不等式对所有实数t 恒成立的充要条件是
()230,4830.t t t t ->???=+-
解得0t <．
即
22log 01
a a <+， 进一步解得
01a <<．
3．4 结构思想
现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体．从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构．因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方．例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想．
3．5 公理化方法
中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的《几何原本》中的“23条定义”、“五大公理”、“五大公设”的的理论基础上．并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质公理化方法．高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法．实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展．
3．6 坐标方法
坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案．在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广．特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展．
例10 如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，21===CA CB C C |，CB AC ⊥ ，E D ﹑分别是棱11﹑C B AB 的中点，F 是AC 的中点，求EF DE ﹑的长度．
解 以点C 为坐标原点，1﹑﹑CC CB CA 所在直线为X 轴、Y 轴、Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
21===CA CB C C ，
)000(，，C ∴，)002(，，A ，)020(，，B ，)200(1，，C ，)220(1，，B ．
由中点坐标公式可得
)011(，，D ，)210(，，E ，)001(，，F
5)20()11()01(222=-+-+-=∴DE ，
6)02()01()10(222=-+-+-=EF
图１
3．7 构造性方法
中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理．例如，正交基存在性定理的证明，带余除法定理的证明，最大公因式存在性的证明等等．所以，构造方法使二者既有联系，又有区别．
例11 若()()()042
=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列． 证明 当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠
时，设方程
()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=?得21t t =，并易知1=t 是方程的根，所以=21t t 1=--y
x z y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列． 评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式?=ac b 42-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解．
综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同．简而言之，高等代数源于中学数学，却高于中学数学．中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强．通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的．
4 观念方面的联系
中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学．接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系．
研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主．例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究．高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用．例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间、欧氏空间等．充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助．
数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中．下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系．
首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头”．显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的．由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质．例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间．可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质．
其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义．所以容易造成知其然，不知其所以然的格局．特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形．显然在数学上，这是不够严谨的．高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统．
最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题．相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学．随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大．
结束语
在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同，因为高等代数与中学数学的研究对象、方法出现了巨大差异，中学教师大都毕业于师范院校本﹑专科，具有高等代数知识是无疑的，但能用高等代数的思想﹑观点去指导中学数学教学的却不多见]7[．数学师范专业的学生有种误区，认为“教学中用不上高等代数知识”，因而在学习高等代数知识的过程中懈怠，学习积极性不高，甚至于“厌学”．本文通过从数学方法、数学思想、数学观念三方面，并辅以例题综合阐述中学数学与高等代数的种种联系．在课程教学改革中，不仅要挖掘知识体系的联系，更要挖掘数学方法，数学观念方面的联系]8[．促进中学数学与高等代数的完美结合，进而扩大高等代数在中学数学的应用．
参考文献
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致谢
历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了．尤其要强烈感谢我的论文指导老师—钟纯真老师、刘熠老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作．感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版的过程中提供热情的帮助．由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
教学大纲 一．课程的教学目的和要求 通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。 二．课程的主要内容： 代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。 《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。 本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。 三．课程教材和参考书： 教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版 参考书：1. 姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版 2. 北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987） 3. 张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）
浅谈数学史与初中数学课堂教学的结合 万州桥亭中学秦毅 内容摘要： 为了适应现代教育的需要，在现今的教育与教学过程中穿插一些数学史的有关轶闻趣事，能够激发学生对相关内容产生好奇心，活跃课堂气氛，调动学生学习数学的积极性。学习数学史，不仅是广大学生学好数学的有力帮助，而且是也是我们中学数学教师提高自身素养、更好的搞好教学工作所必需的。我们广大教师不仅要明白数学史的重要性，最根本的是要研究如何将数学史融合到教学当中，努力探索出一条新型的教学模式，以提高学生的数学能力和综合素质。 关键词: 数学数学史 一、引言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 数学史研究已具有很长的历史，如何在数学教育中运用数学史的知识，充分发挥数学史的作用和价值则是当前数学教育改革面临的一个重要课题。1998年4月20日至26日，由国际数学教育委员会(ICMI)发起，在法国马赛附近的Luminy镇举行了题为“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会。张奠宙
教授在《重视“科学史”在科学教育中的应用》一文中指出：在数学教育中，特别是中小学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。目前数学史在数学教育中的应用已经进入系统的研究阶段，并在一些国家和地区进行实践性的操作。我国的数学史研究，乃至科学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何运用于教学过程，发挥它的应有效益。 现阶段，在一定程度上，我国中小学数学教育在世界上也算是一流的，也正因为如此，我国的数学才会取得举世瞩目的成就，涌现了一大批优秀的数学家。在中学数学教学中，使学生深刻理解数学基础知识、牢固掌握数学基本技能、提高学生运算能力、思维能力和空间想象能力等方面，我们都有非常成功的经验，也取得了相当多的成绩。近年来，我国数学教育界在提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力方面也极其重视，并且以探索出了许多成功经验。我国学生在国际数学奥林匹克竞赛中连年取得佳绩、在国际水平测试中名列前茅，这些都是我国数学教育水平高的有力证据，我国数学教育水平高的另一个证据是，在第三次国际数学和科学研究的测试中，深受中国传统文化影响的亚洲参加国的测试成绩遥遥领先于其他国家。因此，中国中小学数学教育的高水平成绩绝不是偶然的，是有厚重的历史积淀的，是几代、十几代数学教育工作者辛勤劳动、共同的结晶，是应该充分肯定的。但是对于现行教育体制中存在的问题，我们也是应该予以正视的。就在我们的教育界为上述的成就感到欢欣鼓舞时，社会上也存在着另外一种不同的声音“现行中小学数学课程处于一种十分尴尬的局面。一方面，我们现行的中小学数学内容一些学生学不好，学不了，成为数学学习上的失败者；另一方面，很多有价值的内容我们的学生没有机会接触，特别表现在数学思考方法、
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
初中数学综合实践活动方案 娄庄中学钱坤 综合实践活动是指一种以学生的兴趣和直接经验为基础，以学生学习生活和社会生活密切相关的各类现实性、综合性、实践性问题为内容，以研究性学习为主导学习方式，以培养学生的创新精神和实践能力及体现对知识的综合运用为主要目的的实践性课程模式。 一、在思想上提高认识。 《数学课程标准》指出：数学知识源于生活，又应用于生活。数学实践活动是对这句话最好测验证。现在众多教师都认识到了它在教学中的地位与作用，但课本上每学期仅有的两个实践活动内容，远远满足不了教学实际的需要。教师要带领学生走出教室，接触社会，打开学生的眼界，增加学生的信息量，使他们看到生活之中处处有数学，数学是生活中不可缺少的有力工具。 针对一年级学生的特点，结合学生所学的知识，鼓励学生联系生活实际，开展社会实践活动。我们设计了两个主题：1、对各村种植农作物产值情况的调查。2、调查本班学生家长对学生学习情况、学校教育工作支持情况的调查。通过本学期的数学实践活动，我们认为：开展好数学实践活动，教师任重而道远。我们应不断学习和思考，不断探索和尝试，构建具有个人特色的数学实践活动教学模式，为学生数学能力的提升，为学生的全面发展努力，再努力！ 二、培养学生多方面能力 1、观察能力。如学习了“找规律”与“观察物体”后，学生们
经常留心观察生活中的事物，从中发现问题、提出问题与探讨研究问题，观察能力也随之得到提高。 2、动手操作能力。 3、交流表达能力。数学实践活动课为学生提供合作与交流的广阔空间。数学交流主要表现在学会与他人合作，能与他人交流思维的过程与结果，初步形成评价与反思的意识。 4、质疑思考能力。在开展“找找生活中的角”活动中，学生结合身边一些物体指出角的存在。可有个别学生观察得很细致，他们发现生活中许多“角”的两条“边”不够直，顶点不尖，有点钝，并提出质疑：生活中的“角”并不像数学课本中描述的那样规范。经过大家激烈的探讨、验证与交流，总结出生活中物体表面的角与数学课中严格意义规定的角存在着一定的联系和区别。 5、创造能力。传统教学方法以及问题的答案往往是单一与绝对的，这不利于培养学生的创造性思维。创造性思维的特点是能从多角度、多层次与多侧面地分析问题，从而产生许多联想。 三、活动中教师与学生的关系 在综合实践活动中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。教师成为学生最可信赖的心理支持源。在综合实践活动中学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。
目录 摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)
致谢 (10)
摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合． 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application
初中数学综合实践课案例 通过学生实践活动，经历“问题情境－建立模型－求解－解释与应用”的课 题学习，体验数学内在联系，探讨一些具有挑战性的研究课题，发展学生 应用知识和解决问题的意识和能力，让不同学生获得各取所需的知识。 一、活动目的 (一 )让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意 义，增强学好数学的愿望和信心;(二)创设问题情境 ,引导学生通过实践、思 考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习;(三 )促进学 生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，促进学生的思维 发展，培养学生自主探索能力。 二、活动过程 : 1、创设问题情境，激发实践兴趣。某科技小组的学生在 3 名老师带领下， 准备到仙女山公园考察，采集标本。当地有甲、乙两家旅行社，其定价都 一样。但表示对师生都有优惠，甲旅行社表示带队老师免费，学生按8 折 收费 ;乙旅行社表示师生一律按 7 折收费。经核算，甲、乙两家旅行社的实际收 费正好相同。问科技小组一共有多少人师 :请一位已完成了的同学，把你的解 法在黑板上展示一下。生 :解设科技小组共有 X 名同学，两家旅行社 定价为“1。”80%X=70%(X+3)。解得 X=21。答 :科技小组共有21 名学生。师 : 正确，很好！如果上题中的科技小组增加学生人数，那么选哪家旅行社较 合算 2、鼓励自主交流，让位学生实践。同学们七嘴八舌地说开了，讨论气氛 非常热烈。生A:我们认为乙旅行社较合算。我们试算了当增加 1 人时，甲
旅行社 :80%×(21+1)=。乙旅行社 :70%×(24+1)=。>。所以选乙旅行社较合算。 生 B:我也选乙旅行社，我认为试增加 1 人不放心，我一共试了20 人，得 到这个结论。师 :以上两组讨论得很好。 3、感悟实践过程，体验实践乐趣。师:其它条件不变，选甲旅行社，学生 人数应有什么变化生:学生人数小于21 人时，选甲旅行社合算。师:老师人数变为 2 人时，打折情况不变，又如何呢 (同学们一起讨论，气氛顿时跃起 来。 )师 :请同学们谈谈你们的见解，好吗生1:我通过方程先算出两家旅行 社实际收费一样的情况，再讨论其余情况。生2:我利用第 1 题的结论。因 为，当甲旅行社乙旅行社价格一样，老师人数/ 学生人数 =3/21=1/7 时，得 到2/ 学生人数 =1/7 。所以当学生人数为 14 名时两家收费一样。剩下的两 个问题与前面同学的思路一样。 4、运用实践结果，发展创新意识。师:这位同学的发言很好！很新颖！是 否正确，老师和同学们共同探讨。同学们还有其它想法吗生3:老师我还有 其它解法。解 :设学生人数为X 人，单价为“1。”如选甲旅行社，即 80%X<70%(X+2)，则 X<14;如选甲、乙旅行社一样，即80%X=70%(X+2)，则X=14;如乙旅行社。即80%X>70%(X+2)，则 X>14; 三、活动小结 刚才这位同学是用不等式解的，方法完全是正确的。这是我们今后要学 习的内容，有兴趣的同学课后可以继续探讨、实践 (给学生提供探索、交流 的空间 )。 四、活动反思
浅谈数学史在中学数学教学中的应用 摘要：本文主要讨论数学史在中学数学教学中的应用，数学史在中学数学教学的意义，原则方法及其怎样才能在中学数学教学中更好的渗透数学史。为今后更好的把数学史融入到中学数学教学当中，使学生们更加有激情的学好数学做好准备。最后分析了当前影响数学史在中学数学中的概况以便更好的、有效的应用到其中。 关键词：数学史；中学数学；教学 自1972年数学史与数学教育的关系国际小组成立以来，数学史的研究在国内外受到了高度的重视，尤其在国内，新课程标准的颁布奠定了数学史在课堂教学中的重要地位。很多教育研究者从不同的角度和层面对数学史进行了研究，其中对数学史的意义及作用、教师数学史知识的研究比较多。但是，对于如何将数学史与初中数学课堂教学整合，直接应用数学史的内容比较少，有的只是后边的阅读。基于此现象本文主要编写数学史融入初中数学教学中的应用及其相应的意义。数学史是研究数学概念、思想和方法的起源与发展，及其与社会政治、经济、文化的联系的一门学科.数学史不单单是数学成就的编年纪录，人类对数学的认识史，它也是数学发展对社会生产、政治、科技、军事、文化的关系史，同时还是一部数学思想的发展史。数学史在数学教育中的应用一直是人们关注的重要研究课题之一.在数学课程改革背景下，数学史在激发学生学习兴趣、培养学生数学思维等方面的教育价值逐渐被人们所认同，但是在实际教学中数学史的应用却十分有限，或只停留于单纯加入和简单介绍的层面。但是随着课程标准的改革中的要求数学史融入中学数学教学更加受到了人们的广泛关注。 1.数学史融入中学数学教学的背景 数学史在数学教育中的重要性已普遍被人们所认同，而怎样借助数学史来使数学教学活动得到改善和优化，成为数学家、数学教育家、数学史学家等所关注的新问题.因此，为了促进数学史教育价值的实现，为了加强国际间
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
初中数学综合实践活动方案 综合实践活动是指一种以学生的兴趣和直接经验为基础，以学生学习生活和社会生活密切相关的各类现实性、综合性、实践性问题为内容，以研究性学习为主导学习方式，以培养学生的创新精神和实践能力及体现对知识的综合运用为主要目的的实践性课程模式。 一、在思想上提高认识。 《数学课程标准》指出数学知识源于生活，又应用于生活。数学实践活动是对这句话最好测验证。现在众多教师都认识到了它在教学中的地位与作用，但课本上每学期仅有的两个实践活动内容，远远满足不了教学实际的需要。教师要带领学生走出教室，接触社会，打开学生的眼界，增加学生的信息量，使他们看到生活之中处处有数学，数学是生活中不可缺少的有力工具。 针对一年级学生的特点，结合学生所学的知识，鼓励学生联系生活实际，开展社会实践活动。我们设计了两个主题： 1、对各村种植农作物产值情况的调查。 2、调查本班学生家长对学生学习情况、学校教育工作支持情况的调查。通过本学期的数学实践活动，我们认为开展好数学实践活动，教师任重而道远。我们应不断学习和思考，不断探索和尝试，构建具有个人特色的数学实践活动教学模式，为学生数学能力的提升，为学生的全面发展努力，再努力！ 二、培养学生多方面能力
1、观察能力。如学习了“找规律”与“观察物体”后，学生们经常留心观察生活中的事物，从中发现问题、提出问题与探讨研究问题，观察能力也随之得到提高。 2、动手操作能力。 3、交流表达能力。数学实践活动课为学生提供合作与交流的广阔空间。数学交流主要表现在学会与他人合作，能与他人交流思维的过程与结果，初步形成评价与反思的意识。 4、质疑思考能力。在开展“找找生活中的角”活动中，学生结合身边一些物体指出角的存在。可有个别学生观察得很细致，他们发现生活中许多“角”的两条“边”不够直，顶点不尖，有点钝，并提出质疑生活中的“角”并不像数学课本中描述的那样规范。经过大家激烈的探讨、验证与交流，总结出生活中物体表面的角与数学课中严格意义规定的角存在着一定的联系和区别。 5、创造能力。传统教学方法以及问题的答案往往是单一与绝对的，这不利于培养学生的创造性思维。创造性思维的特点是能从多角度、多层次与多侧面地分析问题，从而产生许多联想。 三、活动中教师与学生的关系 在综合实践活动中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。教师成为学生最可信赖的心理支持源。在综合实践活动中学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。 四、数学实践活动教学应注意的几个问题
新课标下数学史与初中数学的整合 在新一轮中学数学课程改革中，数学史首先被看作理解数学的一种途径。在对数学内容的学习过程中，教材中应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用(如建筑、计算机科学、遥感、CT 技术、天气预报等)，这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。义务教育阶段各科课程标准都围绕三个基本方面：知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，对于理科课程，还进而包括理解科学、技术与社会之间的关系，尝试科学教育与人文教育的融合。 一、在新一轮中学数学课程改革中，数学史首先应被看作理解数学的一种途径 1、认识数学的发展规律，了解榜样的激励作用，减少学生走数学学习的“弯路”。 数学史让我们认识数学发展的规律，了解昨天，指导今天，预见明天。从前人研究数学的经验教训中获取鼓舞力量，以指导和推动我们今天的数学学习和研究，少走弯路。平时的教学中，要结合数学史教育，把精力用在基础知识的学习和基本技能的提高上，多做一些有意义的探究活动，以适应新课改学习方式的需要。 许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会(这往往能够获得比从正面讲解更好的效果)，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富的人文内涵。 2、了解数学理论发展的历史背景，加深理解数学理论、公式、定理和数学思维。 一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。它既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，而历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。写在书本上的数学公式、定理、理论都是前人苦心钻研经过无数次的探索、挫折和失败才形成的，是在当时社会生产、人们的哲学思想、数学家的独创精神联系在一起的活生生的数学。但是，我们从书本的条文上，已看不到数学成长、发展的生动的一面，而只看到数学家的浓缩的形式，这就妨碍我们对这些数学理论的深刻理解。如在七年级教空间与图形部分前，可以向学生介绍有关的数学背景知识，特别介绍欧几里得的《几何原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。 3、抓住数学历史名题，丰富教学内容，展现学习数学新途经。 对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的；许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题还难住了许多有名的人
整理人 尼克 初中数学综合
小学数学综合实践活动课教案 植树的学问 熊颖慧
植树的学问 【活动内容】植树的学问 【活动目的】 1、利用学生熟悉的情境，通过动手操作的实践活动、观察、分析等探究活动，发现间隔数与植树棵数之间的关系。 2、感受数学与生活的紧密联系，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的逻辑思维能力。 3、通过合作学习，协作探索，培养学生的合作和创新意识，发展学生的个性品质。 【活动准备】 学生：剪刀、塑料管、活动卡。教师：课件。 【活动过程】 一、创新情境，激趣导入 媒体导入。同学们，你们听过龟兔赛跑的故事吗？比赛谁赢了？小兔可不服气呢，于是它们决定再比一次。在第二次比赛中，小兔可认真了。瞧，它正往目的地跑。来，我们给它加油！呀！一条小河挡住了去路。（媒体画面河里有几个石墩）你们猜猜看，小兔要跳几次，才能跳过河。谁能说一说？继续播放——同学们仔细看看，小兔究竟跳了几次。 师：我们再看画面，每两个小石墩之间的距离可以说成是一个间隔。小石墩的个数与间隔数之间到底有什么关系呢？有没有规律可循？ 二、自主探究，动手实践
活动一：探究“在一条线上，剪的次数与段数的关系” 师：请同学们拿出准备好的塑料管，你想将这些塑料管分别剪成几段？先猜一猜要剪几次？再动手试一试，看一看，剪的次数与段数之间有什么规律？ 师：下面请小组长将活动卡发给小伙伴，每人一张。 师：每一位同学的手中都有塑料管。先想想自己准备将塑料管剪成几段？再猜一猜要剪几次？然后动手试一试，将你们操作情况填写在活动卡中。认真观察卡中的数字与小伙伴说一说，剪的次数与段数有什么关系？比一比，看谁最先完成。活动开始。 师：你发现剪的次数与段数有什么样的关系？ 让学生们充分发言交流，重点让学生说出剪的段数、次数以及段数与次数之间的关系。 师：刚才同学们在剪塑料管的活动中探究得非常认真，发现了剪的次数与段数的关系。好，现在请大家把小剪刀、塑料管和活动卡收到抽屉里。看谁的速度快。 活动二：探究植树问题中棵树与段数间的关系 师：其实生活中，类似于小兔跳石墩和剪塑料管的现象还有很多。比如在路的两侧植树，树与树之间间隔一定的距离，这就需要计算准备多少棵树苗。在数学上，我们把这类问题统称为“植树问题”。板书课题。 1.播放课件：这是新盖的两座楼，它们之间的距离是100米，如果每隔5米栽一棵树。一共需要多少棵树？
浅谈数学史与初中数学教学的结合
浅谈数学史与初中数学课堂教学的结合 万州桥亭中学秦毅 内容摘要： 为了适应现代教育的需要，在现今的教育与教学过程中穿插一些数学史的有关轶闻趣事，能够激发学生对相关内容产生好奇心，活跃课堂气氛，调动学生学习数学的积极性。学习数学史，不仅是广大学生学好数学的有力帮助，而且是也是我们中学数学教师提高自身素养、更好的搞好教学工作所必需的。我们广大教师不仅要明白数学史的重要性，最根本的是要研究如何将数学史融合到教学当中，努力探索出一条新型的教学模式，以提高学生的数学能力和综合素质。 关键词: 数学数学史 一、引言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 数学史研究已具有很长的历史，如何在数学教育中运用数学史的知识，充分发挥数学史的作用和价值则是当前数学教育改革面临的一个重要课题。1998年4月20日至26日，由国际数学教育委员会(ICMI)发起，在法国马赛附近的Luminy镇举行了题为“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会。张奠宙
教授在《重视“科学史”在科学教育中的应用》一文中指出：在数学教育中，特别是中小学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。目前数学史在数学教育中的应用已经进入系统的研究阶段，并在一些国家和地区进行实践性的操作。我国的数学史研究，乃至科学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何运用于教学过程，发挥它的应有效益。 现阶段，在一定程度上，我国中小学数学教育在世界上也算是一流的，也正因为如此，我国的数学才会取得举世瞩目的成就，涌现了一大批优秀的数学家。在中学数学教学中，使学生深刻理解数学基础知识、牢固掌握数学基本技能、提高学生运算能力、思维能力和空间想象能力等方面，我们都有非常成功的经验，也取得了相当多的成绩。近年来，我国数学教育界在提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力方面也极其重视，并且以探索出了许多成功经验。我国学生在国际数学奥林匹克竞赛中连年取得佳绩、在国际水平测试中名列前茅，这些都是我国数学教育水平高的有力证据，我国数学教育水平高的另一个证据是，在第三次国际数学和科学研究的测试中，深受中国传统文化影响的亚洲参加国的测试成绩遥遥领先于其他国家。因此，中国中小学数学教育的高水平成绩绝不是偶然的，是有厚重的历史积淀的，是几代、十几代数学教育工作者辛勤劳动、共同的结晶，是应该充分肯定的。但是对于现行教育体制中存在的问题，我们也是应该予以正视的。就在我们的教育界为上述的成就感到欢欣鼓舞时，社会上也存在着另外一种不同的声音“现行中小学数学课程处于一种十分尴尬的局面。一方面，我们现行的中小学数学内容一些学生学不好，学不了，成为数学学习上的失败者；另一方面，很多有价值的内容我们的学生没有机会接触，特别表现在数学思考方法、
??初中数学综合实践课教案设计 教学目标： （1）、显性目标 1、了解数学建模的含义；探究数学建模的基本规律。 2、挖掘教材，探索教材知识内容与现实问题的结合点。 （2）、隐性目标 1、初步学会用建模的方法解决现实问题；让学生深刻地认识到数学文化的价值，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 2、提高学生分析问题、解决问题的能力；提高学生数学实践能力。 3、学会以教材为本编拟数学应用问题的方法。 教学准备： 1、材料：黄瓜、FLASH软件、小刀、多媒体各项设备。 2、知识：初中数学八年级部分几何、代数相关知识；环保、城建等知识。 教学难点 如何建立数学模型？挖掘教材中的应用问题的素材。 教学难点： 现实问题到数学模型之间的信息加工、分析处理过程。 教学原则： “三主”原则 教学方法： 实验法、讲授法、启发发现法 教学手段： 多媒体辅助教学。即用现代教育技术展现数模化（抽象）的过程。 教学过程： 教学流程教师活动学生活动教学意图 引言 今天的课是一堂 数学活动的研究课。 学生认真伶听。 为创设教学 情境做伏 笔。 问题同学们有没有信心上 好这堂研究课？ 你们怎样用所学的知 识确定我们班的陈雪 琴同学现在的位置？ 讲述两类方法：坐标 确定和方向角确定。 多媒体演示。 学生以学习合 作小组进行讨 论并确定方案。 学生回答 学生看 鼓动学生 激活学生 带学生进入 教学情境 了解数学文 化的价值 课题初中数学应用问题探究
实验材料准备：黄瓜三根、 刀三把、一个有地砖 或墙砖的场地、 一个七人的学习 小组。 实验要求：每小组将 黄瓜分成七份。（一组 在教室内，另二组就 在教室外） 媒体演示：点击 三个小组实际 操作，并先代表 陈述分配方案； 其它学生在堂 内设计分配方 案。 学生看、想 激发兴趣； 培养实践能 力、语言表 答能力、学 生之间的协 作能力。 了解身边的 数学。 讲授数学建模：对一个现实问题从数学的视角经过信息分析、加工、抽象处理，用数学语言描述其中的关系、规律或空间形式转化成数学问题的过程。 分析、加工、抽象 例题：C岛在A岛北偏东50度方向,B岛在A岛北偏东80度方向,C岛在B岛北偏西40度方向,求从C岛看A,B两岛的视角,角∠ACB的度数 答疑: 小结: 课后反思:
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
数学史与数学教育绪言（一） 1 【单选题】（A）于1758年出版的著作《数学史》是世界上第一部数学史经典著作。 ?A、蒙蒂克拉 ?B、阿尔弗斯 ?C、爱尔特希 ?D、傅立叶 2 【单选题】首次使用幂的人是（C）。 ?A、欧拉 ?B、费马 ?C、笛卡尔 ?D、莱布尼兹 3 【单选题】康托于（B）年起开始出版的《数学史讲义》标志着数学史成了一门独立的学科。?A、1870 ?B、1880 ?C、1890 ?D、1900 4 【判断题】历史上最早的数学史专业刊物是1755年起开始出版的《数学历史、传记与文献通报》。错误 5 【判断题】公元前5世纪的《希腊选集》中记载了关于丢番图年龄的诗文。（错误） 数学史与数学教育绪言（二） 1 【单选题】卡约黎的著作《数学的历史》出版于（B）年。 ?A、1890
?C、1898 ?D、1902 2 【单选题】史密斯的著作《初等数学的教学》出版于（A）。 ?A、1900 ?B、1906 ?C、1911 ?D、1913 3 【单选题】（D）数学史教授卡约黎倡导为教育而研究数学史。 ?A、德国 ?B、法国 ?C、英国 ?D、美国 4 【判断题】四等分角以及倍立方问题同属于三大几何难题，是被证明无法用尺规做出的。（错误） 5 【判断题】史密斯倡导建立了ICMI。（正确） 数学史与数学教育绪言（三） 1 【单选题】Haeckel的生物发生定律应用于数学史中即为（C）。 ?A、基础重复原理 ?B、往复创新原理 ?C、历史发生原理 ?D、重构升华原理 2 【单选题】史密斯的数学史课程最早开设于（C）年。
?B、1890 ?C、1891 ?D、1892 3 【单选题】《如何解题》、《数学发现》的作者是（C）。 ?A、庞加莱 ?B、弗赖登塔尔 ?C、波利亚 ?D、克莱因 4 【判断题】M.克莱因认为学生学习中遇到的困难也是数学家历史上遇到的困难，数学史可以作为数学教育的指南。（正确） 5 【判断题】18世纪欧洲主流学术观点不承认负数为数。（正确） 数学史与数学教育绪言（四） 1 【单选题】HPM的研究内容不包括（D）。 ?A、数学教育取向的数学史研究 ?B、基于数学史的教学设计 ?C、历史相似性研究 ?D、数学史融入数学科研的行动研究 2 【单选题】HPM的主要目标是促进三方面的国际交流与合作，其中不包括。D ?A、大中学校数学史课程 ?B、数学史在数学教学上的运用 ?C、各层次数学史与数学教育关系的观点 ?D、数学史对数学发展的推动作用 3
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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初中数学综合实践活动计划 综合实践活动是指一种以学生的兴趣和直接经验为基础，以学生学习生活和社会生活密切相关的各类现实性、综合性、实践性问题为内容，以研究性学习为主导学习方式，以培养学生的创新精神和实践能力及体现对知识的综合运用为主要目的的实践性课程模式。 一、在思想上提高认识。 《数学课程标准》指出：数学知识源于生活，又应用于生活。数学实践活动是对这句话最好测验证。现在众多教师都认识到了它在教学中的地位与作用，但课本上每学期仅有的两个实践活动内容，远远满足不了教学实际的需要。教师要带领学生走出教室，接触社会，打开学生的眼界，增加学生的信息量，使他们看到生活之中处处有数学，数学是生活中不可缺少的有力工具。 针对一年级学生的特点，结合学生所学的知识，鼓励学生联系生活实际，开展社会实践活动。我们设计了两个主题：1、对各村种植农作物产值情况的调查。2、调查本班学生家长对学生学习情况、学校教育工作支持情况的调查。通过本学期的数学实践活动，我们认为：开展好数学实践活动，教师任重而道远。我们应不断学习和思考，不断探索和尝试，构建具有个人特色的数学实践活动教学模式，为学生数学能力的提升，为学生的全面发展努力，再努力！ 二、培养学生多方面能力 1、观察能力。如学习了“找规律”与“观察物体”后，学生们经常留心观察生活中的事物，从中发现问题、提出问题与探讨研究问
题，观察能力也随之得到提高。 2、动手操作能力。 3、交流表达能力。数学实践活动课为学生提供合作与交流的广阔空间。数学交流主要表现在学会与他人合作，能与他人交流思维的过程与结果，初步形成评价与反思的意识。 4、质疑思考能力。在开展“找找生活中的角”活动中，学生结合身边一些物体指出角的存在。可有个别学生观察得很细致，他们发现生活中许多“角”的两条“边”不够直，顶点不尖，有点钝，并提出质疑：生活中的“角”并不像数学课本中描述的那样规范。经过大家激烈的探讨、验证与交流，总结出生活中物体表面的角与数学课中严格意义规定的角存在着一定的联系和区别。 5、创造能力。传统教学方法以及问题的答案往往是单一与绝对的，这不利于培养学生的创造性思维。创造性思维的特点是能从多角度、多层次与多侧面地分析问题，从而产生许多联想。 三、活动中教师与学生的关系 在综合实践活动中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。教师成为学生最可信赖的心理支持源。在综合实践活动中学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。 四、数学实践活动教学应注意的几个问题