2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
一、填空题
1、化简++++++34431
23321
12211…=++20162017201720161
.20171
1- 解：由11
1
)1(1)1).(1(1
)1(11
+-=+-+=+++=+++k k k k k
k k k k k k k k k 可得.
2、若sinx+cosx=22,8
25cos sin 33=+x x . 解:4
121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=
+-+=+x x x x x x x x 3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．
解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a 3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.3a 13
,333
3==，则令a a 4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e 2
221或． 解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,122
22b B a A b a b
y a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c c
a l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由2
1,22===+-a c e c c a a 得；（2）、 上，的对称点在右准线关于c
a x c F B 2
21)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得 5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．
解：首先， .06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=?=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因y>0,则,5≥y 此值在
求解）（也可以令时取得θtan 2
1.51
==x x . 6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n …n n x a 22+，则+++642a a a …=+n
a 2213-n ． 解：令x=0，得a 0=1,再令x=1，得a 0+ a 1+ a 2+…+ a 2n =n 3,又令x=-1，得a 0- a 1+ a 2+…+ a 2n =1，所以
2
132642-=++++n n a a a a . 7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,4
3,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a 65
1． 解：按分母分段，分母为k+1的分数有k 个，因
208026564,201626463=?=?，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即65
1. 8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则n=120. 解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(9
1=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解
（a,b,c ）的个数是552
11=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.
二、解答题（共70分） 9、（本题满分15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ． 证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++n
n n n b a b a ． 证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得
n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()
1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=-------- …② 因此02,022*********<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--n
n n n b a b a
据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{}
,,n n b a 皆为严格递增的正整数数列， ,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以n n n n b a b a 2121
11+<+++…④n
n b b 111<+…⑤ 将③④⑤相乘得2211-<-++n
n n n b a b a 10、
（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数． 证：因）
（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a ++--；又由,20170<-
2b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即
）
（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222a a c b c b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],b a a [2017…④，同理有）（bc -2a 2017，
）（ab -2c 2017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）
（222a 32017c b ++于是）（222a 2017c b ++，从而）
（222a )(c b c b a ++++. 11、
（本题满分20分）设P =｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n 能够表示为集合P 中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n 具有P 结构．证明：每个自然数n 都具有P 结构．
证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：
22222222222
22222222223
9,318,437,4316,21524,213,43212,11,5430=+-=+-=+--=+==+-=+---==+--= 再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，
于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242?的项）；因此，区间(]224,3中的数
皆具有P 结构表示，也就是2
4≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的
表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m ≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]
22)1(,+m m 中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：
)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k 具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.
12、
（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、
⊙2O 上，过线段CD 上的任意一点K ，作BD KM //，BC KN //，点M ，N 分别在BC ，BD 上，又向BCD ?形外方向，作BC ME ⊥，BD BF ⊥，其中E 在⊙1O 上，F 在⊙2O 上；证明：KF KE ⊥．
证明：设⊙1O 、⊙2O 的半径分别为21,r r ，由于ABEC 共圆，
ABFD 共圆，得,sin 2,221BAD r BD BAC sim r BC ∠=∠=
而,r ,1802
1r BD BC BAD BAC ==∠+∠?所以于是 C BO 1?∽D BO 2?，根据平行关系得
CMK ?∽KND ?∽CBD ?,所以
KMBN r BD BC ND NK MK MC 且四边形,r 2
1===为平行四边形，BN=MK,延长垂线FN 交⊙2O 于1F ,因,r 2
1r BD BC =则⊙1O 上优弧BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD 上的点，且所以,r 2
1r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B, ⊿BME ∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ?,得FN BN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FN
KM KN EM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ?∴∠=∠?=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ?,
而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥?由此所以
《落日的幻觉》黄天祥
同学们可能都听过“猴子捞月亮”的故事。猴子看到井水中有个月亮，心想月亮掉到井里了可怎么办呢，就想赶快把这月亮捞上来，可是无论如何总是捞不起井水中的月亮。后来抬头望天，发现“月亮竟还挂在天上”。这是怎么一回事呢？告诉大家一个秘密，其实猴子看到的井水中的月亮只是一个幻觉。生活中的幻觉现象还有很多，比如说海市蜃楼、镜花水月、立竿见影、对影成三人等。相信大家都读过唐代诗人王维的一首诗《使至塞上》，里面有一句名句叫：“大漠孤烟直，长河落日圆”。这两句诗语言质朴自然，意境博大。但落日圆，果真是圆的吗？下面就让我们带着这个疑问仔细地来看一组照片，看看落日究竟是不是圆的。通过这些图片很明显的，我们肉眼看到的落日不仅是圆的，而且很美，色彩绚丽，变化多端，怪不得连古人也会发出夕阳无限好，只是近黄昏的感叹。可是你们不会想到吧，这些奇异景象竟然大都是幻觉，夕阳本身没有任何变化，事实上——落日是扁的！
可是，落日怎么会是扁的？难道古人观察错了？下面，就让我们一起走进课文《落日的幻觉》，和黄天祥一同去探寻日落时种种幻觉景观背后的科学奥秘吧。
首先，请同学们快速阅读课文第一遍，找出生字词。再次默读课文第二遍用不同符号圈点勾划重要信息，完成黑板上的表格，现在开始。
敬爱的老师、亲爱的同学们:
大家好！今天，我来说说梦想。
梦想，简简单单的两个字却包含了太多太多。有人说：有理想并为之奋斗的人一定是坚强的人，有梦想并陶醉其中的人一定是浪漫的人。而我想说：梦想，真的很美，拥有梦想并为之奋斗的人，更美。
认认真真地看完了《开学第一课》，给了我很大的感触。小时候，梦想真的很简单。那时候我们不管梦想是否现实，科学家，艺术家，老师，医生，等等一切美好的职业都能成为我们梦想中最美好的点缀。也正是因为这些美好的梦想伴随着我们一步步地成长，到如今，我们已经学会为着自己的梦想而努力奋斗，我们已经懂得追逐自己的梦想，并且不放弃。
我想，梦想贵在坚持。寻梦的旅途是坎坷的，梦想的终点是遥远的，但是未来却是光明的。当一个身体残缺的人为着梦想不懈地努力，当刘伟用那双人人都拥有的平凡的脚弹奏出一首首不平凡的钢琴曲时，你是否想过自己对于梦想的态度，是否真的坚持过？当孟衡在水中起伏的时候，当他因梦想失败而愤怒地嘶喊的时候，他父亲告诉他，这只是梦想的第一步，跌倒了，再站起来。一个成功背后至少有一千个错误，我们永远都只能是倒下了再站起来。
我想，梦想贵在脚踏实地。马云说的几句话让我记忆犹新。他说：其实梦想不必要很大，只需要觉得你能做得到。梦想永远跟眼泪和汗水是在一起的。假如梦想离开了眼泪和汗水那就变成乱想和空想。每个人都有梦想，每个阶段都有不同的梦想，我不例外，你也不例外。但是，你是否真的有努力地去追求过？
梦想是可以传递的，韩璇的梦想是做一名教师，可是他却已经无法实现了。而如今，我站在这里，追求着我的梦想，也是做一名教师的梦想。说实话在这之前，我从没真正地意识到将来我要做一名人民教师。可是就从现在开始，就从演讲开始，因为这是为成为一名合格教师所做的铺垫，这也是我寻梦途中的一块基石。对于这个梦想的未来我似乎还缺少点信心，因为就目前的我，我们而言，距离成为一位合格教师的资格还差很远。但是我想借章子怡最后的那句话与大家共勉：“为梦想，做一个坚强勇敢的女人。”