第八章 向量代数与空间解析几何（一）练习题
1 :,,:,,,0,0,.
A B C OA OB OC O λμνλμνλμν++=++=练习题证明三点共线的充分必要条件为存在不全为零的数使得并且其中是任意点
()
:
. ,,// ,, , A B C AB AC
AB AC OB OA OC OA λλλ??=-=-必要性若共线存在实数使得即亦即参考证明 (1)0.. ,,0, 0.(), OA OB OC OA OB OC λλλμνλμνλμννλμ-+-=++=++==-+充分性若存在不全为零的数使得并且将代入上式得
()()
0,
0,,,,,,,,OA OC OB OC CA CB A B C λμλμλμνλμ-+-=+=即由于不全为零因此不全为零故共线.
:,,,:,,,,0,0,.A B C D OA OB OC OD O λμνωλμνωλμνω+++=+++=练习四点共面的充分必要条件为存在不全为零的数使得并且其中是任意点
123111213
212223313233
2 :,,, 0.
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???练习题证明对任意三个共面向量有
123123123:,,,,, 0, (1),,(1), r r r r r r r r r λμνλμν++=三个向量共面的充分必要条件是存在不全为零的数使得将分别与式左右两端做内积得
参考证明1112132122233132330 0 (2)
(2),,,,,, r r r r r r r r r r r r r r r r r r λμνλμνλμνλμνλμν??+?+?=??
?+?+?=???+?+?=??将视为关于的三线性齐次方程组由于不全为零因此
111213
212223313233
0.
r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???
练习3 设,,a i j b j k c k i =+=+=+，试求a b ?，a b ?，()a b c ??和()a b c ??.
解：因为,,i j k 是直角坐标系的三个单位向量，故1i i j j k k ?=?=?=
，0i j j k k i ?=?=?=.因此，()()1a b i j j k i j i k j j j k ?=+?+=?+?+?+?=.
当然，利用坐标表达式可得{1,1,0}{0,1,1}1a b ?=?=.
同样，利用0i i j j k k ?=?=?=，,,i j k j k i k i j ?=?=?=，可知
()(){1,1,1}a b i j j k i j i k j j j k k j i ?=+?+=?+?+?+?=-+=-. ()()(()())()()a b c i j j k k i i j j k j i k k k i ??=+?+?+=+??+?+?+?
=()()i j i k j i i i k i j j i j k j j k j i k i j +?-+=?-?+?+?-?+?=-+-+=-+. 直接利用坐标表达式计算
(1,1,0)(0,1,1)110{1,1,1}011
i j k
a b i j k ?=?==-+=-.
()(1,1,1)(1,0,1)111{1,0,1}1
1
i j k a b c i k ??=-?=-=-+=-.
注意：()a b c ??()a b c ≠??！
注：计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式，或根据单位向量,,i j k 的内积和外积的运算规律计算.
练习题4 已知三个单位向量,,a b c 满足条件0a b c ++=，试求a b b c c a ?+?+?之值，并证明a b b c c a ?=?=?.
解：注意到
2
()()222a b c a b c a b c a a b b c c a b b c c a ++=++?++=?+?+?+?+?+? 所以2222
13[()]22
a b b c c a a b c a b c ?+?+?=
++-++=-. 因为0a b c ++=，两边与b 作外积，得 0a b b b c b ?+?+?=，即a b b c ?=?.
同理，若两边与c 作外积，就有c a b c ?=?，于是a b b c c a ?=?=?.
:()()a b
a a c
b a b
c b a a a
??-?-
?练习证明向量与向量和都垂直。
练习题5 设S 是ABC ?的面积，p 是ABC ?的周长之半，试证： （1）正弦定理，即
sin sin sin a b c
A B C
==
； （2
）三角形面积的海伦公式：S
（3）如果(1,1,2),(5,6,2),(1,3,1)A B C ---，试求ABC ?的面积. 解：（1）由向量积的几何意义有
2ABC ?=CA CB ?=BA BC ?=AB AC ?， 即 s i n s i n s i n a b C a c B b c A =
=，同时除以abc ，
即得sin sin sin A B C a b c ==，从而sin sin sin a b c A B C
==
. （2）根据内积的定义及余弦定理，有
222221
()()4a b a b c ?=+-，于是
2
2222222111(())444S a b a b a b c =?=-+-
=2222221
(2)(2)16ab a b c ab a b c ++---+ =1
()()()()16
a b c a b c c a b c a b +++-+--+ =()()()p p a p b p c ---.
故S （3）(4,5,0)BA =-，(4,9,3)BC =--，(15,12,16)BA BC ?=，故
1525BA BC ?==，ABC ?=12.5.
3
.
4
练习：用向量法证明三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的
练习题6 已知75a b -与3a b +垂直，4a b -与72a b -垂直，求cos ,a b <>，其中,a b 为非零向量.
解：利用两向量垂直的充要条件有
(75)(3)0(4)(72)0a b a b a b a b -?+=??-?-=?，即22
22
71615073080
a a
b b a a b b ?+?-=??-?+=??. 两边除以a b ，并令x a b =，a b
y a b
?=
得
22
716150
73080
x xy x xy ?+-=??-+=??，解得21,12xy x ==，即11,2x y ==. 因此1cos ,2a b a b a b ?<>=
=，故,3
a b π
<>=. ,,,||4,||2,||6, 3
a b c a b c p a b c π
====++练习：已知向量两两的夹角为且求向量的长度
练习题7 已知向量{2,3,6}a =-和{1,2,2}b =--有共同起点，c =着向量a 和b 间夹角的平分线方向的向量c 的坐标.
分析：所求向量c 的模已知，关键是确定它的方向.向量a 和b 直接相加减，均得不到沿角平分线的向量，但由简单的几何知识可知，菱形的对角线平分两邻边之夹角.由此可考虑
取a 和b 的单位向量0a 和0b ，则与c 同向的向量00
1c a b =+必平分,a b <>.
解：0a =
13,6}{2,3,6}7a a =-=-， 0b =
11,2,2}{1,2,2}3b b =--=--. 0012132621
{,,}{1,5,4}73737321
c a b -=+=-+-=-，
设1{1,5,4}21
c c λ
λ==-，且0λ>，c =，
所以
2
22222
[(1)54]21
λ-++=，由此得63λ=.
故{3,15,12}c =-.
注：向量00
1c a b =+=
a b b a
a b a b a b
++=
表示向量a 和b 夹角的角平分线的方向. 练习题8 已知,2,22a i b j k c i j k ==-=-+，求一单位向量γ，使c γ⊥，且γ与,a b 共面.
解：设所求的向量γ={,,}x y z ，依题意1,c γγ=⊥，γ与,a b 共面，可得
2221x y z ++=； （1）
0c γ?=，即220x y z -+=； （2）
[,,]0a b γ=，即1
020012
x
y z
y z =+=-. （3）
由（1）（2）（3）式联立解得212,,33
3x y z =±
=±=，所以212
{,,}333
γ=±-. 注：欲求一个向量，即是求满足一定条件的向量的坐标.
（1）当所求向量平行于向量{,,}x y z a a a a =（或与之共线）时，可设所求向量为
{,,}x y z P a a a λλλ=，然后利用其他条件求得λ.
（2）当所求向量垂直于向量a 时，可设所求向量为{,,}P x y z =，由此得方程，再与其他两个条件所建立的方程联立，求得,,x y z .
（3）当所求向量同时垂直于两个向量a 和b 时，即说明所求向量平行于向量a b ?，故可设所求向量为()P a b λ=?，然后利用其他条件求得λ. 练习题9 求过直线1123:
101x y z L ---==-，且平行于直线221:211
x y z
L +-==的平
面π的方程.
分析：求平面方程一般考虑用点法式方程，即要求出平面的法向量.注意到该法向量同时垂直于两条直线，故法向量可取这两条直线的方向向量的外积. 如果已知平面过一条已知直线，经常可考虑用平面束方程求得.
解：方法1 根据题意，平面π过直线1L ，所以π过直线1L 上的点(1,2,3).又因为平面
π过直线1L 且平行于直线2L ，所以平面π的法向量为101{1,3,1}211
i j k
n =-=-，因此平
面π方程为1(1)3(2)1(3)0x y z ?--?-+?-=，即320x y z -++=.
方法2 将直线1123
:
101x y z L ---==
-变为一般式 2 40y x z =??+-=?
.故可设所求平面π的方程为2(4)0y x z λ-++-=，即240x y z λλλ++--=，其法向量为{,1,}λλ.由
2//L π得21110λλ?+?+?=，解得1
3
λ=-.故平面的方程为320x y z -++=.
练习题10 求由平面2260x y z +-+=和4880x y z -+-=构成的二面角的平分面方程.
分析：两个平面构成的二面角有两个，所以本题的解为两个平面.本题的解法也有两种，一是利用平分面上任一点到已知二平面的距离相等；二是利用平面束方程.
解：方法1 设(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，根据题意，M 到两已知平面的距
=
，即
3226488x y z x y z +-+=-+-，
因此 36618(488)x y z x y z +-+=±-+-，
故所求平面方程为714260x y z -+-=，或752100x y z +++=
方法2 设所求的平面方程为226(488)0x y z x y z λ+-++-+-=，其法向量为{14,2,28}n λλλ=+--+.记12{1,2,2},{4,1,8}n n =-=-，
根据题意，n 与1n 所夹锐角和n 与2n 所夹锐角相等，所以
121
2
n n n n n n n n ??=
，解得1
3
λ=±
，故所求平面方程为714260x y z -+-=，或752100x y z +++=.
练习题11 一平面通过点(1,2,3)，它在正x 轴，y 轴上的截距相等，问当平面的截距为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体的体积最小？并写出此平面的方程. 分析：这是求最小值的问题.先写出体积表达式，再利用求最值的方法求解.
解：设此平面的截距式方程为
1x y z
a b c
++=，根据题意，a b =，故平面方程为1x y z a a c ++=，因为点(1,2,3)又在平面上，所以1231a a c ++=，解得33
a
c a =
-. 设此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积为V ，则
31316323a a V a a a a =??=--，令32212902(3)a a a V a -'==-，得0a =（舍去），或9
2
a =
. 所以当9
,92
a b c ==
=时，此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积最小. 练习题12 设一直线过点0(1,0,5)P ，并与平面:3215x y z π-+=平行，又与直线
12
:
42
x y L z --==相交，试求此直线方程. 解：方法1 设所求直线与已知直线L 的交点为0000(,,)M x y z ，因为0M 在直线L 上，故有
00012
42
x y z --==，于是有00014,22,x t y t z t =+=+=.因所求直线过点0P 与0M ，故向量00000{1
,,5}P M x y z =--是它的一个方向向量.又因为所求的直线与平面π平行，故向量00P M 与平面
π的法向量{3,1,2}n =-垂直，于是
000003(1)2(5)12(22)2(5)0n P M x y z t t t ?=--+-=-++-=.
由此解得1t =，故0005,4,1x y z ===，即交点0(5,4,1)M .故由两点式得所求的直线方程为
105
514015
x y z ---==
---，即15x y z -==-. 方法2 过点0(1,0,5)P ，且与平面π平行可作一平面1π；过点0(1,0,5)P 与直线L 也可作一平面2π.显然，所求直线为平面1π与2π的交线. 过点0(1,0,5)P ，且与平面π平行的平面1π的方程为
3(1)2(5)0x y z --+-=，即32130x y z -+-=.
直线L 上点0(1,2,0)Q 与点0(1,0,5)P 构成向量00{0,2,5}PQ =-，直线L 的方向向量
{4,2,1}s =，则平面2π的法向量004{3,5,2}n PQ s =?=--，于是由点法式方程得平面2
π的方程为3(1)52(5)0x y z ----=，即35270x y z --+=.
因此，所求的直线方程为32130
35270
x y z x y z -+-=??
--+=?.将它化为点向式方程即为方法1的结果.
练习题13 试求直线10
:10
x y z L x y z +--=??-++=?在平面:0x y z π++=上的投影直线l 方程，
并将它写为点向式方程.
解：方法1 过直线L 且垂直于平面π的平面记为1π，1π的法向量记为1n ，显然1n 垂直于平面π的法向量{1,1,1}n =，又垂直于直线L 的方向向量s ，而s 同时垂直于构成直线
L 的两张平面的法向量，故有{1,1,1}{1,1,1}{0,2,2}s =-?-=--.于是
1{1,1,1}{0,2,2}{0,2,2}n n s =?=?--=-.
再在直线L 任取一点，如取点(0,1,0)，于是过直线L 且垂直于平面π的平面1π的方程为
2(1)20y z --=.将它与平面π的方程联立即得L 在π上的投影直线方程
10
:0y z l x y z --=??++=?
.
投影直线l 的方向向量1{0,1,1}{1,1,1}{2,1,1}s =-?=--，并在l 上任取一点(1,1,0)-，则
投影直线l 的点向式方程为
11211
x y z
+-==
--. 方法2 由直线L 的一般式方程知，以直线L 为轴的平面束方程是
(1)(1)0x y z x y z αβ+--+-++=，即()()()()0x y z αβαβαββα++-+-++-=.
选出一张平面与平面π垂直，即1()1()1()0αβαββα?++?-+?-=，故βα=-.从而把它代入平面束方程得10y z --=，将它与平面π的方程联立便得如方法1的投影直线的方程.
练习题14 判断下列各题中两条直线的位置关系（是否平行、相交或重合）.若相交求出交点的坐标.若共面求出所确定的平面方程.
（1）1238
312:,:132426
x t x y z L L y t z t =+?++-?
===+??=+?
. （2）1211122:
,:211422
x y z x y z
L L -+++-====
---. 解：（1）1L 的方向向量1{3,2,4}s =，它通过点1(3,1,2)M --，2L 的方向向量
2{3,1,2}s =，它通过点2(8,1,6)M .因为324
312
≠=，所以1s 与2s 不共线，即1L 与2L 不平
行也不重合，只需再判断是异面直线还是相交，不难算出1212()0M M s s ??=，由此知1L 与
2L 共面.又已知1L 与2L 不平行，故它们相交.为求出交点的坐标，利用参数方程. 1L 与2L 的
参数方程分别为：
111332142x t y t z t =-??=-??=+?
，22238126
x t y t z t =+??
=+??=+?. 则直线1L 与2L 相交?方程组12121
23338
2114226
t t t t t t -=+??
-=+??+=+?有解.不难解得12516,33t t =-=-，从而代
入即得交点坐标为1314
(8,,)33
--
-. （2）1L 与2L 的方向向量分别为12{2,1,1},{4,2,2}s s =-=--并且分别通过点
12(1,1,1),(2,2,0)M M ---，因为
211
422
-==
--，所以1s 与2s 共面，又1M 不在2L 上，于是1L 与2L 平行.故通过1(1,1,1)M --与121{3,3,1},{2,1,1}M M s =-=-平行的平面是
11133102
1
1
x y z -++-=-，即45320x y z +--=. 它就是平行直线1L 与2L 所确定的平面方程. 练习题15 求1(4,3,10)M 关于直线123
:
245
x y z L ---==
的对称点. 解：过1M 作平面π垂直L ，即作平面π过1M ，以{2,4,5}为法向量，它的方程是
2(4)4(3)5(10)0x y z -+-+-=.
L 的参数方程为21,42,53x t y t z t =+=+=+，代入平面π的方程得4545t =，由此解得
1t =，于是得L 与π的交点(3,6,8)，设1M 关于直线的对称点为(,,)x y z ，由中点公式得
43103,6,8,222
x y z
+++===由此解得(,,)(2,9,6)x y z =. 练习题16 证明下列三个平面：23940
321020 x y z x y z x y z +-+=??
+-+=??++=?
相交于一条直线.
证明：方法1 先求出前两个平面的交线L 的方程：
{2,3,9}{3,2,1}5{3,5,1}s =-?-=--，
再令0z =，由前两平面方程可求得1,2x y ==-，故交线过点(1,2,0)-，于是交线L 的参数方程为31
52 x t y t z t =+??
=--??=-?
.将L 的方程代入第三个平面
的方程得2(31)520t t t +---≡.这说明L 在第三个平面上，故三平面交于一条直线. 方法2 先证明这三个平面的法向量共面.事实上，因为
239
32123359(1)0211
--=?-?-?-=，所以这三个法向量共面.设平面π与此法向量都平行.再证明这三个平面有一个公共点.令0z =，由后两个方程得3210
20
x y x y ++=??
+=?，解得
1,2x y ==-.而1,2,0x y z ==-=也满足第一个方程，
因此这三个平面有公共点(1,2,0)-.最后，因为相应的三个法向量两两不平行，所以这三个平面两两相交得三条交线，且其中任
意一条交线都与平面π垂直，于是这三条交线共线.又由前面的讨论知，每条交线都通过同一点(1,2,0)-，故此三条交线重合，即三个平面交于一条直线.
方法3 由后两个方程消去z 得5310x y ++=，由前两个方程消去z 也得5310x y ++=.
因此已知方程组与方程组5310 23940
x y x y z ++=??+-+=?同解.因为23
53≠，所以三个平面相交于一条
直线.
练习题17 设有两平面12:2370,:10x y y z ππ+-=++=及两直线133
:22 x t L y t z t =+??
=-??=?
，236:21228x t L y t z t =+??
=+??=--?
，求与两平面1π及2π都平行与两直线1L 及2L 都相交的直线L 的方程.
解：设直线L ，1L ，2L 的方向向量分别为12,,s s s .平面1π与2π的法向量分别为1n 与2n .由所设条件知12,s s s s ⊥⊥，所以12//{2,3,0}{0,1,1}{3,2,2}s s s ?=?=-.再设直线L 过点
0000(,,)M x y z ，由于L 和1L 相交，它们就共面，于是110()0s s M M ??=，其中1(3,2,0)
M -为1L 上的一个点，故
000
3232103
2
2
x y z -+=-，即 0002480x y z ---= （1）
同理，由于直线L 和2L 相交，就有220()0s s M M ??=，其中2(6,12,8)M -为2L 上的一个
点，故
0006
12832203
2
2
x y z --+-=-，即 0040y z +-= （2）
将（1）（2）联立，得一个三元一次方程组，因为该方程组中方程个数小于未知数的个数，于是方程组有无穷多个解.所以不妨令00x =，解得008,4y z ==-.因而直线L 过点(0,8,4)
-，于是L 的方程为84
322
x y z -+==
-. 注：本题用到：1L 与2L 共面21
212112121112
2
2
()00x x y y z z M M s s l m n l m n ---???=?
=.
练习题18 已知两直线1L 与2L 的方向向量分别为12{2,1,0},{1,0,1}s s ==，又分别过点
1(3,0,1)M 与2(1,2,0)M -，求1L 与2L 的公垂线方程和公垂线的长度.
解：不难算出：12{1,2,1}s s ?=--，12{4,2,1}M M =--，1212()70M M s s ??=-≠，所以1L 与2L 是异面直线.显然，公垂线的方向向量为12{1,2,1}s s ?=--，通过1L 与公垂线的平面1π的方程为
31
21001
2
1
x y z --=--，即2580x y z -+-=. 通过2L 与公垂线的平面2π的方程为
1210101
2
1
x y z
+-=--，即10x y z +--=. 故公垂线的一般式方程为258010 x y z x y z -+-=??+--=?
.
公垂线的长度等于异面直线1L 与2L 间的距离，即121212
()
M M s s d s s ??=
?=
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择 1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ） 线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k , 高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一 线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似 二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。 第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分 实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a? WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B ． 3 C ．3 D ．2 3 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,333 OA AB a OA AB ?= == 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为 111 12 3 OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1 ．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----, 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 第一章 行列式和Cramer 法则 第一章知识清单 1.行列式定义： () ()() 121211********* 21 212 1,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑ 说明1）()()()12 1 , n n n k i k k i i i t k t i τ=== =∑∑ ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法 基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质（5条） 行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则 ?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即： 解：12,, , T n D D D x D D D ?? = ??? ，.n D A = 推论：0.n n A x o A =?=有非零解 基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一 （1），（6）；二（3），（4） 一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一（A ）5： ()( ) ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一（A ）6(5)：32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法： 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========提公因式方法一：上三角式； 1 23,,,i r r i n D -=====方法二：箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --加边 方法三： 1231,2,311000100010001 n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 2312323 1 23231 2 3 2 3 000 n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=拆解 方法四：略. 一（A ）7（3，5，6，7）同类型，见课件和课本例题1.9：。 《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟） 一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。 （A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量； （C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。 2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令 414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=， 则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。 4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即?? ? ???????∈???? ??=R a a a a a W ij 2212 1211，则它的维数为 ，一组基为 。 5．若A=????? ? ? ?????? ?? ? - 10 0021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，= 。 二、计算题（60分） 1.（15分）设R 3的两组基为： T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T （1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 （2）求α关于这两组基的坐标。 （3）将321,,βββ化为一组标准正交基。 2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基， 第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 第五节 向量空间 分布图示 ★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5 内容要点 一、向量空间与子空间 定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间. 记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间. 注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间; 2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象. 定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间. 二、向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关; (2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示. 则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间. 注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基; (2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩; (3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为 }.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标. 注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为 ,2211r r a a a x λλλ+++= 数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标. 高二数学空间向量苏教版（文） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 空间向量 二. 本周教学目标： 1. 运用类比的方法，经历向量及运算由平面向空间推广的过程。 2. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质.理解空间向量共线的条件。 3. 了解向量共面的含义，理解共面向量定理，能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。 4. 掌握空间向量基本定理及推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的。 5. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标判断两个空间向量的平行。 6. 掌握空间向量夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算率。了解空间向量的几何意义;掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题。 三. 本周知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 （2011 至 2012学年 第__2_学期） 课程名称：线性代数A 考试时间：110分钟 课程代码：7100059试卷总分：100分 考试形式：闭卷 学生自带普通计算器: 否 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ） A A E =； B B E =； C A B =. D AB BA =。 2、设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（ ） A. A =0B. B ≠C 时A=0C. A ≠0时B=CD. |A|≠0时B=C 3、设A 是s n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ) A.A 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关 4、若1x 是方程=AX B 的解，2x 是方程=AX O 的解，则（）是方程=AX B 的解（c R ∈） A.12x cx + B. 12cx cx + C.12cx cx - D.12cx x + 5 、设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1 阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为0 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _. 2、1 1101-?? ??? =. 3、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为. 4、如果21,X X 都是方程O X A n n =?的解，且21X X ≠，则=?n n A ； 5、设向量组123100130121T T T (,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性 （填相关或无关）昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
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