谐波-真有效值（True RMS）??唯一的真实测量值
我司推系列的真有效值的万用表，如203T钳形万用表，68T数字万用表，为了使客户对真有效值有一个全面的了解。我们结合生活中现实情况讲解下真有效值和平均值的区别。
真有效值（True RMS）??唯一的真实测量值
许多商业和工业的装置都为断路器的频繁误跳闸所烦扰。这些跳闸看上去经常像是随机的、令人费解的。其实这里面是有其原因可究。造成这种现象的原因一般来说有两个方面。第一个可能原因是一些负载，特别是个人电脑和其它电子设备开机时所产生的冲击电流。关于这种原因，将会在本指南的后面章节里具体讨论。另一个可能原因是回路里的真实电流的测量值低于真实值??换而言之，是实际电流过高而引起的。
在现代化装置中这种电流测量值偏低是个高发现象。既然当前的数字测量仪器如此精确可靠，为什么又会发生这种现象哪？答案就是许多测量仪都不适合于测量失真（畸变）电流，而现在绝大多数的电流都是失真的。
电流失真是由于非线性负荷的谐波电流造成的，特别是个人电脑、配有电子镇流器的荧光灯和变频驱动装置等电子设备为代表。谐波的产生机理及其对电气系统的的影响将在指南的3.1节进行具体阐述。图3所示为个人电脑接入后的典型电流波形图。很明显这不是一个纯正弦波，所以一般适用于正弦波的测量工具和计算方法都不适用。这意味着，在对电力系统进行故障检修或者性能测试分析时，有必要采用能够处理非正弦电流和电压的正确测量工具。
图1 一个电流两种读数，你相信哪个？图中的回路为一个有畸变电流的非线性负载供电。真有效值卡钳式电流表（左）上的读数是正确的，而平均值卡钳式电流表的读数（右）比正确值要低32%。
图1所示为同一回路上的两种卡钳式电流表的读数差别。两个测量仪都运行正常，且按照生产厂家的要求进行了校准，主要的差别就在于测量方法的不同。
左边的电流表是真有效值测量仪，右边的是按有效值校准的平均值测量仪。在很好的理解它们差异所在之前必须首先了解有效值的确切含义。
什么是有效值（方均根值）？
交流电流的有效值（RMS）等于在同一电阻性负载回路中，与其产生等热量的直流电流的大小。使用交流电时，电阻产生的热量与一个周波内的平均电流的平方成正比。换而言之，产生的热量和电流平方的平均值成正比，也就是说电流值和这个平方的平均值开方后的值也就是有效值成正比。（由于平方后总是正数，所以不用考虑极性问题）
对于如图2所示的纯正弦波，有效值是峰值的0.707倍（或者说峰值是有效值的即1.414倍）。换句话说，有效值为1安培的纯正弦波电流的峰值电流为1.414安培。如果波形值仅仅被简单的平均（对半个负波形取反），平均值就是峰值的0.636倍，或是有效值的0.9倍。图2所示为这两个重要的比例关系。
波顶因数=峰值/有效值=1.414 波形因数=有效值/平均值=1.111
图2 纯正弦波
在测量一个纯正弦波（仅限于纯正弦波）时，简单的测出平均值（0.636倍峰值），再乘以波形因数1.111（即0.707倍峰值）所得到的数值是完全正确的，这个数值也被称为有效值。这种方法被广泛用于所有的模拟测量仪（此时平均值是靠线圈运动的惯性和阻尼作用来实现的）和所有旧式、仪表和大多数电流表数字万用表上。这种技术被称为?平均读数，按有效值校准?的测量方法。
问题是这种测量方法只适用于纯正弦波，而在现实的电气装置中根本不存在纯正弦波。图3所示的波形图是一个接入个人电脑后所产生的典型电流波形图。方均根值仍然是1安培，但是峰值要明显高于纯正弦波时的峰值，为2.6安培。同时平均值则小得多，为0.55安培。
Peak ＆#118alue 峰值
Crest or Peak factor 峰顶因数
Form factor 波形因数
True RMS ＆#118alue 真有效值
Averaging RMS measurement 平均有效值测量
Mean ＆#118alue 平均值
图3 个人计算机的典型电流波形图
如果这个波形用?平均读数，按有效值校准?的测量仪进行测量，它的读数为0.61安培，比真有效值（1安培）少了将近40%。表1给出了两种不同测量仪对不同波形的测量值的几个示例。
真有效值仪表工作时，先采集输入电流的瞬时值平方，按时间取平均值，最后显示这个平均值的平方根值。如果能够理想地实施这种测量方法，无论是怎样的波形都能达到绝对精确。当然在现实中理想的测量是不可能实现的，有两个制约因素要考虑在内：频率响应和峰顶因数。
对于电力系统，一般测量到50次谐波就足够了，也就是说最高频率测量到2500赫兹。峰顶因数（峰值和有效值的比率）是个很重要的决定因素，较高的峰顶因数要求采用动态测量范围较大的仪表，因此转换电路的精度也就更高。峰顶因数最小应达到3。
值得注意的是尽管两种仪表在测量失真波形的时候读数不同，而它们在测量纯正弦波时却读数一致。这个状态就是两种测量仪的校准状态，因而两个测量仪都可以看作为已经校准过了?仅限用于正弦波。
真有效值仪表已经用了３０多年了，过去它仅用于专业领域、并且价格昂贵。现代电子学的发展促进了真有效值测量仪的发展，现在许多手持式万用表都具有这种功能。遗憾的是，这个功能也只是很少生产商一般地认知。然而就是这样其价格之低仍足以使真有效值仪表在公用场合种普及应用。
表１平均值测量仪和真有效值测量仪的读数差别
测量值过低造成的后果
绝大多数电路元器件的极限容量值是由保证元器件不过热而可以散发的热量所决定的。
例如，电缆的容量是由特定的安装条件（决定散热的快慢）和最大的工作温度所决定的。因为含有谐波的电流有着比普通平均测量值要高的有效值，电缆的实际运行电流值往往被低估，因而导致电缆的工作温度比预期的温度要高，结果是电缆的绝缘下降、过早损坏甚至引发火灾。
母线的尺寸取决于母线因对流和热辐射所散发的热量速率与电阻损耗发热速率。上述速率相等时的温度就是母线的正常工作温度。通常将母线的正常工作温度设计地足够低以使绝缘和支持材料不过早老化。就电缆而言，真有效值的测量误差将会导致过高的工作温度。而母线一般来说体积都很大，它的集肤效应比一般的小规格导线要明显的多，从而导致温度进一步提高。
其他的一些电力元器件，如熔断器和断路器的热元件，它们的额定电流值是根据有效值来制定的，因为它们的特性和散热紧密相关。这就是误跳闸的根本原因所在。真实电流大于所预期电流，导致断路器一直工作在过电流状态，长期工作可能会引起跳闸。处于过电流状态断路器对温度非常敏感出的问题，难以预测。任何由误跳闸引起的断电所造成的事故损失都可能是巨大的，例如，电脑系统数据丢失和生产控制系统瘫痪等等。在指南的第２章将对这些问题具体讨论。
很明显，只有真有效值仪表才能给出正确的测量值，才能正确确定电缆、母线和断路器的额定值。一个很重要的问题：怎样才能知道仪表是否是真有效值仪表？通常可以通过产品说明书作出判断，可往往是在实际需要的时候产品说明书并不在手边。有一个很好的办法：分别用已知的平均值仪表（往往是手头最便宜的那种）或真有效值仪表和待定的测量仪同时测量象个人电脑这样非线性负荷的电流和白炽灯回路的电流值，比较其读数。对于白炽灯负荷，两种测量仪的读数应一致。而在接入个人电脑后一台仪表的读数比另外一台仪表大很多（比如说２０％以上）则此仪表很可能是真有效值仪表。若此时两表读数接近，说明两种仪表是同一类型的。
结论
真有效值测量对于任何带有很多非线性负载（个人电脑、电子镇流器和紧凑型荧光灯等）的装置意义重大。平均值测量仪的测量值比真实值最大可小４０％，从而会导致电缆和断路器在?不满载?状态下而出现故障和频繁误跳闸。
3.1 AD536A的工作原理
AD536A是将真有效值转换成直流的单片集成电路，可以连续、实时地计算输入信号平方、平均值，且得到的直流电压值正比于输入信号的有效值RMS。
AD536A计算RMS时，首先求行绝对值（整流电路）、第二步进行平方计算；第三步是平均计算，即除以反馈回来的输出电压；最后再经滤波器得出结果。这里很重要的一条是要求平均的时间常数要远大于待测信号的周期，这样才能保证测试的精度。
3.2 AD536A电路分析
AD536A的典型RMS连接图如图4所示。AD536A由以下四部分组成：
?绝对值电路（整流电路）；
?平方电路和平均电路；
?电流镜电路；
?缓冲放大器电路。
AD536A的电路原理图如图5所示。
运算放大器A1、A2和晶体管Q6的B-E结及电阻R3、R4、R5、R6组成的部分是典型的求绝对值电路，该电路的主要作用是实现绝对值的电压/电流转换。
I1=|VIN|/R4 (1)
运算放大器A3和晶体管Q1、Q2、Q3、Q4组成的是单象限乘法/除法（平均）电路。I1流过晶体管Q1、Q1、I3流过Q3，分别作用于Q4的发射极和基极，从而得到：
I4=I1 2/I3 (2)
电流I4流过低通滤波电路R1和CA V（外接电容）后，又返回驱动电流镜产生I3，当时间常数R1CA V 远大于待测信号的周期时，则I3就是I4的平均值。
由有效值的定义和式（2）可知，I4实际上就是I1的有效值I1rms。
电压输出是由Iout产生的。从电流镜电路可知Iout=2I4，即Iout=2I1rms。经过电阻R2，转换成输出电压： V out=IoutR2=2L1rms?1/2R4=I1rmsR4=(VIN)rms (3)
式中，R4=50kΩ
R2=25kΩ
3.3 AD536A测量精度分析
AD536A使用极其方便，只有一个外接电容CA V。因此，求平均值时的时间常数是R1CA V.时间常数的大小是影响测量精度的主要因素。
若输入信号是变化缓慢的直流信号，AD536A的输出能够准确地跟踪输入信号。
对于较高频率变化的输入信号，AD536A的输出就近似等于输入信号的有效值RMS，存在直流误差和波纹起伏。
直流误差的大小取决于输入信号的频率和外接电容CA V的值。
输出信号尚有波纹的起伏变化。有两种方式可减小波纹：一是增加外接电容CA V的。因为波纹的大小是反比于CA V值的，所以增加CA V的值可以有效地减小波纹的大小。对于测量低占空比的脉冲系列（这下是液晶屏采样电流脉冲的特点）的输入信号，要求平均的时间常数R1CA V至少等于7倍输入信号周期。
交流电有效值与峰值计算公式的推导过程 兴安红叶21:30:28 满意回答 设一周期电流i(t)通过电阻R，由于电流是变化的，各瞬间功率i^2R不同，在极短时间dt 内产生热量为i^2Rdt,在一个周期T内产生的热量为∫T i^2Rdt ,如果通过电阻R，经过时间T产生相等热量的直流电流的大小为I, 则有∫T i^2Rdt=I^2RT, 这就得到了电流的有效值I=[(1/T)∫T i^2dt]^(1/2) 对正弦量，设i(t)=ImSIN(wt+∮） I={1/T∫T Im^2SIN^2(wt+∮)dt}^(1/2) 因为SIN^2(wt+∮)=(1/2)[1-COS^2(wt+∮)] 所以I={(Im^2/2T)∫T [1-COS^2(wt+∮)]dt}^(1/2) ={Im^2/2T[t]T}^(1/2) =(Im^2/2)^(1/2) =Im/[2^(1/2)]=0.707Im 兴安红叶21:06:43 有效值又叫“方均根值”-----先进行“方”（平方）运算，把其化为功率；再进行“均”（平均），在一个周期内进行功率平均；最后进行“根”（平方根）运算，计算出有效值。比如说对于交流电压u，其有效值： 兴安红叶21:07:00 （其中U是有效值，T是周期，u是瞬时值，可以是任何的周期函数。）对于正弦波，u=UmSin ωt 其中Um是峰值，ω是角频率。代人上面的式子，计算后就可以得出 用 兴安红叶20:57:08 一、基本概念： 交流电的有效值： 正弦电流（电压）的有效值等于其最大值(幅值)的0.707倍。 兴安红叶20:59:27
兴安红叶21:00:51
交流电有效值的计算 江苏省新海高级中学 崔晓霞 222006 交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。 一、 正弦交流电有效值表达式的推导： 交流电的有效值是用它的热效应规定的，因此设法求出正弦交流电的热效应，才能求出其有效值，正弦交流电电压的瞬时值u =U m ·sinωt ，如果把这加在负载电阻R 上，它的瞬时电功率22cos 1sin 2222t R U t R U R u P m m ?-?=?==ωω 其图像如图1所示．由微元法可知，P-t 图线和t 轴之间 所包围的面积就是功（图中打斜条的部分）． 不难看出，图中有斜条打△的部分和无斜条打△的部分面 积是相同的，因此打斜条部分的面积就是P =U 2m /2R 线和t 轴之 间的面积．设正弦交流电电压的有效值是U ，根据有效值的定义：R U R U m 222= 可得：2/m U U = 同理可得：2/m I I =；2/m E E = 此关系式仅适用于正弦交流电，那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢？ 二、非正弦交流电有效值的计算 例1. 如图2甲乙所示分别表示交变电流随时间变化的图象，则这两个交流电的有效值分别是 V 和 A 。 解析：对于图甲，该交变电流在每个周期T 内都可看作两个阶段的直流电流：前T /3中，U 1=100V ，后2T /3中，U 2=50V 。在一个周期中，该交变电流在电阻R 上产生的热量为： 3250310032322222 1T R T R T R U T R U Q ?+?=+?= ① 设该交流电电压的有效值为U ，则上述热量T Q ?=R U 2 ② 联立①、②两式，可得有效值为V 250=U 对于图乙，从t ＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为I A 15=， 图1 图2 甲 乙
交流电有效值计算方法 1.如何计算几种典型交变电流的有效值 答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值. 解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种： （1）正弦式交流电的有效值 此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t 它的电压有效值为E =2m E ，电流有效值 I =2m I 对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法.
（2）正弦半波交流电的有效值 若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流电时的1/2，即U 半2 T /R=2 1 （ R T U 2 全）， 而U 全=2m U ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=2 1 I m . （3）正弦单向脉动电流有效值 因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U =2m U ，I =2m I . （4）矩形脉动电流的有效值 如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生
的热量相当于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（ R U 2 矩）T =T t （ R u 2 m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m . 当T t =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=2 1 U m . （5）非对称性交流电有效值 假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q 1= 2 22 22 1T R U T R U ?+?， 直流电在相等时间内产生的热量 Q 2=R U 2T ，根据它们的热量相等有 R U T R U 2 2 12=?T 得 U = )(2 12221U U +，同理有I = )(2 12 221I I +. 2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻
1.如何计算几种典型交变电流的有效值 答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值. 解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种： （1）正弦式交流电的有效值 此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t 它的电压有效值为E =2m E ，电流有效值I =2m I 对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法. （2）正弦半波交流电的有效值 若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流电 时的1/2，即U 半2T /R=21（R T U 2全），而U 全=2 m U ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=21I m . （3）正弦单向脉动电流有效值 因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U = 2m U ，I =2m I . （4）矩形脉动电流的有效值 如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生的热量相当 于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（R U 2 矩）T =T t （R u 2 m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m .当T t =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=21U m .
（5）非对称性交流电有效值 假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期 内产生的热量为Q 1=222221T R U T R U ?+?，直流电在相等时间内产生的热量 Q 2=R U 2 T ，根据它们的热量相等有 R U T R U 2 212=?T 得 U =)(212221U U +，同理有I =)(2 12221I I +. 2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻R 在时间t 内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少 解：根据t 时间内直流电压U 0在电阻R 上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U 在电阻R /2上产生的热量相同，则 V 252 ,)2/(02 2 ===U U t R U t R U o 所以 3.在图示电路中，已知交流电源电压u=200s in 10πt V ，电阻R=10 Ω，则电流表和电压表读数分别为 A,200 V A,141 V A,200 V A,141 V 分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为 u =2200 V=141 V ，电流值i =R U =10 2200? A= A. 答案：B
正弦交流电有效值的证明 证法一：假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u 1=M m sin ωt 、u 2=U m cos ωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q ，产生的总热量Q 总=2Q 。在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为 ()2211sin m U t u P R R ω==， () 2222cos m U t u P R R ω==. 两个电阻上总的发热功率为 ()222212sin cos m m U t t U P P P R R ωω+=+==。可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为2m U Q PT T R ==. 用一个恒定电压为U 的电源，分别给两个相同的电阻R 供电，在相同时间T 内， 每个电阻产生的热量是Q=2U T R ，两个电阻产生的总热量为Q=2 2U T R .由热效应的等效可知22 2m U U T T R R =。 可得U =。而这个恒定电流的电压U 就是正弦交变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。 证法二：设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt,交流电的瞬时功率为 p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt. 因为21c o s 2s i n 2t t ωω-= 代入得 2211cos 222 m m p I R I R t ω=-?。 上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为： 212m P I R = (为最大瞬时功率的一半) 如果考虑一个恒定电流I 与其等效，即P=I 2R ，就有 P=P ，即2212m I R I R =，所以 I = U -U
正弦交流电有效值的证明 一、假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u 1=U m sin ωt 、u 2=U m cos ωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q ，产生的总热量Q 总=2Q 。在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为()2211sin m U t u P R R ω==， ()2222cos m U t u P R R ω==. 两个电阻上总的发热功率为 () 222212sin cos m m U t t U P P P R R ωω+=+==。可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为2m U Q PT T R ==. 用一个恒定电压为U 的电源，分别给两个相同的电阻R 供电，在相同时间T 内，每个电阻 产生的热量是Q=2U T R ，两个电阻产生的总热量为Q=2 2U T R .由热效应的等效可知22 2m U U T T R R = 。可得U =。而这个恒定电流的电压U 就是正弦交变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。 二（积分法）设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt.因为时刻t 瞬时功率p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt ，则一个周期内电阻R 上产生的热量为Q= 0T pdt ?. 因为21cos 2sin 2t t ωω-= 代入得 2211cos 222 m m p I R I R t ω=-?,代入上式有： 220011cos 222 T T m m Q I Rdt I R tdt ω=-??。 由于第二项积分为零，所以Q= 212 m I RT 。 如果有一个恒定电流I 与其等效，即2Q I RT '=，就有Q Q '=，即2212 m I RT I RT = 所以有I = U -U
非正弦交流电有效值的计算 正弦交流电有效值的巧妙证明 正弦交流电的有效值与其最大值之间关系的证明通常是采用积分的方法，由于高中阶段还没学习这种数学方法，所以高中书本中没有给出证明方法，只是直接给出了正弦交流电的有效值与最大值之间的关系2m I I =。但是也有比较巧妙的方法利用高中的数学及物 理知识证明这一关系。 交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。 假设有两个交变电压，其变化规律如图所示，它们的最大值与周期都相同，它们的瞬时表达式分别为t U u m ωsin 1=、t U u m ωcos 2=，其中T πω2=，把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热相同，设都为Q ，产生的总的焦耳热Q 总=2Q 。设它们交流电压的有效值为U ，则有： T R U Q 2 = T R U 2Q 2总= 另外，在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为： R t U R u P m 2211)sin (ω==，R t U R u P m 2222)cos (ω==， 两个电阻上总的发热功率为： R U R t t U P P P m m 222221)cos (sin =+=+=ωω 可以看出：两个电阻上总的发热功率是一定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为： T R U T P Q m 2总== 所以有：T R U T R U 2m 22 = U -U U -U
1.如何计算几种典型交变电流的有效值？ 答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值. 解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种： （1）正弦式交流电的有效值 此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t 它的电压有效值为E =2m E ，电流有效值I =2m I 对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法. （2）正弦半波交流电的有效值 若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流 电时的1/2，即U 半2T /R=21（R T U 2全），而U 全=2 m U ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=21I m . （3）正弦单向脉动电流有效值 因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U =2m U ，I =2m I . （4）矩形脉动电流的有效值 如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生的热量相当于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（R U 2 矩）T =T t （R u 2 m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m .当T t =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=21U m . （5）非对称性交流电有效值 假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q 1=222 221T R U T R U ?+?，直流电在相等时间内产生的热量 Q 2=R U 2 T ，根据它们的热量相等有 R U T R U 2 212=?T 得 U =)(212221U U +，同理有I =)(2 12221I I +. 2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻R 在时间t 内产生的热量与一交变电流通过R/2时
交变电流有效值的计算 陈 祥 （湖南省望城县第六中学 410204） 作为高考非主干知识中常考的II 级知识点，交变电流有效值的计算并不难，有关题目变化也小，题目在大多数考生能力范围之内．只要肯下功夫，复习到位，记忆准确，应该是可以稳拿分数的．但常见的复习资料和相关文章总是通过举例说明的方法进行复习，笔者认为这种复习方法不易使学生理解其本质，故本文中笔者尝试从另一角度寻找更为有效的方法． 常见中学阶段可计算有效值的交变电流可以分为三类： 类型I 基本型 基本型包括两种：一是恒定电流（特殊的交变电流）；二是正弦式电流．对于基本型，学生应该重点理解并掌握好利用焦耳定律计算 焦耳热，以及正弦式电流的有效值公式 2,2,2m m m E E U U I I = == 类型II 组合型 如图1～图4所示，这种类型交变电流是由两种基本类型的电流通过组合而成．求解此类交变电流的有效值时应该采用分段法处理． 图1 图2
例题1 如图4所示的是一交变电流随时间变化的图象．求其有效值？ 解析：此交变电流由峰值为A I m 161=的正弦式电流的前半周期和峰值为A I m 122=的正弦式电流的后半周期组合而成，故可以分为两段处理，求此交变电流在一个周期（T=2s ）内的焦耳热． 让此交变电流和直流分别通过同一阻值为R 的电阻．在一个周期（T=2s ）内此交变电流产生的热量为 22222 22121T R I T R I Q Q Q m m ??? ??+??? ??=+=' 在一个周期（T=2s ）内直流产生的热量为 RT I Q 2= 根据交变电流有效值的定义，可得 RT I T R I T R I m m 22 22 12222=??? ??+??? ?? 解得此交变电流的有效值A I I I m m 1022221=+= 类型III 叠加型 图3 图4
交变电流的有效值和平均值 在高中物理教学中,许多同学很难理解交流电的有效值这一概念。针对这种情况谈一下笔者在教学中的一点体会。有效值说明交流电产生的平均效果,为了引入有效值的概念可以提出:交流电随时间变化,产生的效果也随时间变化。但实际上只要知道交流电的平均效果就可以了。怎样衡量交流电的平均效果呢?可以做一实验。 如图1用两个相同的小电珠A、B。一个接在直流电源上,一个接在交流电源上,让两个 小电珠发光情况相同。B灯通过的是交流电流,大小、方向随时间变化,但在相同时间内交 流电流与直流电流产生的热量相同,所以B灯发光与A灯相同。既然通过A灯的直流电 流I与通过B灯的交流电流i产生的效果相同,可以把直流电流的大小I作为衡量交流电 流i产生的平均效果。在此基础上给出有效值比较准确的定义。对于正弦交流电来说,有 效值与最大值的关系可用数学方法推导出来。设通过电阻R的交流为i =Imsinωt,则在dt 时间内产生的热量是dQ=i2Rdt。在一周期T内所产生的热量是：
即正弦交流电的有效值等于最大值被2除。对图2所示的方波而说,由定义显然可得有效值与最大值相等。对图3所示的三角波和图4所示的锯齿波。由定义可得有效值等于最大值被3除I≈0.577Im。 一般不同时间内的交流电有效值是不同的。当时间段远大于其周期时,则可以认为这一时间内有效值等于一个周期内的有效值。既然交流电的有效值是根据热效应规定的,则在计算电功、电功率、热量及确定保险丝的熔断电流时应运用有效值。交流电流的平均值是交流图象中波形对横轴(t轴)所围“面积”对时间的比值。由于其值大小表示单位时间内通过的电量平均值,因此,计算通过导体的电量时应用交流电的的平均值。因平均值大小