直流电动机数学模型的建立
直流电动机数学模型的建立
4.1 数学模型的建立
建立电动机动态数学模型的方法的要点是：首先列写出电动机主电路电压平衡方程式，轴上力矩平衡方程式和励磁电路电压平衡方程式等基本关系式，加以整理，然后进行拉普拉斯变换，根据此变换，即可求出电动机的动态结构图和传递函数的表达式[1，10]。
图4—1
上图为一他励直流电动机的等效电路，其中：
a
U E----分别为电动机电枢端电压和反电势；
d
I f
I ---电动机电枢电流和励磁电流；
a R a
L ---电枢电路电阻和电感； f R
f
L ---励磁电路电阻和电感；
f
U -------电动机的励磁电压；
ω-------电动机的角速度；
J--------电动机轴上的转动惯量；
e T l
T ----电动机转矩和负载阻转矩。
4.1.1 写出平衡方程式、拉普拉斯变换
由上图可写出下列基本关系式：
a U -E= a R (1+a T S ?) d
I
e T -l T =J ?S ?
ω
f
U =
f R ()f
f I T S ??+1
E=
ω
ωφ???=??f e I M p K Te=
d
f d m I I M p I K ???=??φ
其中:a a
a R L T =
为电枢电路时间常数；f f
f R L T = 为励磁电路时间常数；p 为电动机磁极对数；M 为励磁绕组和电枢绕组的互感；
4.1.2 动态结构图
将S=d/dt 看作算子，则上述诸式也就是它们的拉氏变换。所以由上式可画出直流电动机的结构。如图4—2所示。
图4—2
如果将讨论的问题限制在稳态工作点附近的小偏差情况，经过化简，可得此时系统的增量方程为：d
a a a I T S R E U ??+?=-)1(
ω
??=-S J T T l e
f
f f f I T S R U ??+?=)1(
0Ω???+???=f f I M p I M p E ω 0
0d f d f e I I M p I I M p T ???+???=
为简化起见，式中表示增量的下标1已删去。由诸式可画出直流电动机在独立电枢电压和磁场控制下的动态结构图如下所示：
图4--3
1) 当电动机磁场恒定时，动态结构图可化为下图形式：
其传递函数为：
()1/1)
()
(2+?+??=
=
s T s T T C s U s s W m a m e
a ω
或写成： 2
2
2/)(n n e
n s s C s W ωω?ω+??+=
式中:
m a n T T ?=
1ω----固有振荡频率
ζ=
a m
T T ----衰减系数或阻尼比
e
C =
φ
?e K =
φ
?m K =
m
C = C----电势系数或转矩系数
2C R J T a
m ?=
---------电动机的电气机械时间常数
当ζ〈1时，输出响应是振荡的； 当ζ≥1时，输出响应是非振荡的；
当ζ>>2,即Tm>>4Ta 时，传递函数可写成如下形式：
)
1)(1(/1)
()
()(+?+?=
=
s T s T C s U s s W m a e
a ω
次式表明，在外施阶跃电压作用下，首先产生由于时间常数a
T 而滞后的电枢电
流，然后下一步输出因
m
T 滞后的响应速度。
2) 略去电枢电感
a
L ，动态结构图可化为：
其传递函数为：
1
/1)
()
()(+?=
=
s T C s U s s W m e a ω
其中：
2C R J C C R J T a
m e a m ?=
??=
3) 当负载中含有随转速成比例变化的粘性摩擦负载，即
ω
?+=l l l K T T 1时，
结构图如下：
其中转矩系数
f
e m I M p C C C ??===
4) 忽略电枢电感但需要计入粘性摩擦负载时动态结构图如下：
由上图可得直流电动机的传递函数：
()()1)(+??+???+?=
=s C C K R R J C C K R C s U s s W m e l a a m e l a m
a ω
以上四种的讨论都是就恒定磁场他励直流电动机而言，而永磁直流电动机只不过是用永久磁铁代替了恒定他励电动机达到励磁绕组，故两者具有相同的等效电路，如下图：
当永磁电动机用于伺服系统时，常常要考虑带有粘性负载的情况。此时，用下列诸式描述起其动态过程：
ωω?+??=l e K s J T ----------------------------------------------①
d
m l I C T ?=------------------------------------------------------②
()
a a d e a L s R I C U ?+?+?=ω---------------------------------------③
由①、②可得：
()
()
l
m
d K s J C s I s +?=
ω----------------------------------④
令
m
e a m C C R J T ??=
为电动机的电气机械时间常数，
a
a
a R L T =
为电动机的电气时间常
数，由③、④式可得：
()()
()
?
??
??+?+???? ????++??=
=
1/12m l a m l m a m e
a T J K s T T J K T s T T C s U s s W ω⑤
式④、⑤分别是以电枢电流d
I 和电枢电压
d
U 为输入，以角速度ω为输出时，永
磁电动机的传递函数，这两种表达式可根据组成控制系统时的具体情况来选用，
通常把永磁直流电动机作为电流变换装置，选取式④较好，因为相对于式⑤，式
④只有一个极点。
显然，若忽略不计粘性摩擦负载，则KL=0，此时，永磁电动机的传递函数
式⑤与前描述式
()1/12+?+??=
s T s T T C s W m a m e
相同，若电枢电感也可忽略不
计，则式⑤与前述式 ()1
/1+?=
s T C s W m e 相同。
4.2 本设计中电动机部分的数据采集和计算
已知：电动机部分[9，10]：电动机电枢端电压a
U =220V ，电动机的电枢电流
d
I
=0.35A ，电枢电路电阻a
R =21.2Ω，转速n=1600r/min,额定功率n
P =185w ，电
枢电路电感
a
L =0.72H ，极对数p=2，电磁转矩M=0.034mH,角速度ω=1600*2π
/60=164.47rad/s,频率W=50HZ ； 励磁部分：励磁电压
f
U =220V ，励磁电流
f
I =98.2MA,励磁电路电阻
f
R =2.07k Ω,励磁电路电感
f
L =106.5H 。转动惯量
J=0.0146kg.m*m 。 经计算：a T =0.034
f
T =0.0000474
所以得出结论：
电动机磁场恒定时，
()1/1)
()
(2
+?+??=
=
s T s T T C s U s s W m a m e
a ω=15.17595.0133
.0/12+?+?s s
(2) 略去电枢电感a
L 时，
1
/1)
()
()(+?=
=
s T C s U s s W m e a ω =15.17133.0/1+?s
（4）忽略电枢电感但需要计入粘性摩擦负载时
()()1)(+??+???+?=
=s C C K R R J C C K R C s U s s W m
e l a a m e l a m
a ω =018.02.2131.0133.0+?+?l K s 其中，
l
L 是由负载决定的。