2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y
x
-==σ
σ
及0=xy
τ
能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也
能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
证明： （1）将应力分量q y
x
-==σ
σ，0=xy
τ
和0==y x f f 分别代入平衡微分方
程、相容方程
???
???
?=+??+??=+??+??00y x xy y y x y
yx x x f f τστσ （a ） 0)
1())((2
22
2=??+
??+-=+??
+
??
）（y
f x
f y
x
y x y x
μσσ
（b ）
显然（a ）、（b ）是满足的
（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σ
σ
，0=xy
τ
代入平面问题的应力边界条件的表达式
??
??
?=+=+)()()
()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),c o s (),c o s (y n q y n
y -=σ 所以q x
-=σ
，q y
-=σ
。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y
x
-==σ
σ
及0=xy
τ
代入物理方程，得形
变分量q E
x )1(-=
με，q E
y
)1(-=
με
，0=xy
γ
（d ）
然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得
q E
x
u )1(-=??μ，
q E
y
v )1(-=
??μ，
0=??+
??y
u x
v （e ）
前而式的积分得到 )()1(1y f qx E
u +-=
μ，)()1(2x f qy E
v +-=μ （f ）
其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx
x df dy
y df )()(21=
-
等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有
ω-=dy
y df )(1，
ω=dx
x df )(2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω
代入（f ）得位移分量 ??
??
?++-=+--=v
x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。
从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。
2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy
τ
的表达式，并取挤压应力0=y
σ
，然后证明，这些表达
式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。
解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横
截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12
3
h
I z =
，根据材料力学公式，弯应力
xy
h
F I y x M z
x
3
12)(-
==
σ
；该截面上的剪力为F
x F s -=)(，剪应力
2
2
2
2
3()346()()2
4
s xy F x y F h I y h
h
h τ=
-
=--；并取挤压应力0=y
σ
（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程 ??????
?=+??+??=+??+??0
0y x xy
y
y
x y yx x
x
f f τστσ 也能满足相容方程0)
1())((
2
22
2=??+
??+-=+??
+
??
）（y
f x
f y
x
y x y x
μσσ
再考察边界条件：在2/h y ±=的主要边界上，应精确满足应力边界条件：
0)(2/==h y y σ，0)(2/==h y yx
τ
； 0)(2/=-=h y y σ，0)(2/=-=h y yx
τ
。
能满足
在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：
/20
/2/2
0/2/20/2
()0
()0()h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy F σστ=-=-=-?=??=???=-???? 满足应力边界条件。
在次要边界l x =上，列出三个积分的应力边界条件：
???
?
??
???-=-=-====??????-=--=--=-F y h h F dy Fl ly h F ydy lydy h F dy h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h h )4(6)(12)(0
12)(2
2
3
2/2/02/2/23
2/2/2
/2/32/2/2
/2/τσσ 满足应力边界条件
因此，他们是该问题的解答。
3-6如题3-6图所示的墙，高度为h ，宽度为b ，h?b ，在两侧面上受到均布剪力q 的作用。试用应力函数y Bx Axy 2
+=Φ求解应力分量。
解（1）相容条件：
将应力函数Φ代人相容方程04=Φ?中，其中 044
=?Φ?x
，
04
4
=?Φ?y
，
02
2
4
=??Φ?y
x 很明显满足相容方程。
（2）应力分量表达式 022
=?Φ?=y
x
σ
，Bxy x
y
62
2
=?Φ?=
σ
，2
2
3Bx A y
x xy --=??Φ?-
=τ
（3）考察边界条件：在主要边界2/b x ±=上，各有两个应精确满足的边界条件，即
0)(2/=±=b x x σ，q b x xy -=±=2/)(τ。
在次要边界0=y 上，0)(0==y y σ，而0)(0==y yx
τ的条件不可能精确满足（否则只有
A=B=0），可用积分的应力边界条件代替
0)(02
/2
/==-?
dx y yx b b τ
（4）把各应力分量代入边界条件，得 2
q A -
=，2
2b
q B =。
应力分量为0=x
σ
，xy b
q y
2
12=
σ
，)121(2
2
2b
x q xy -=
τ
3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。
解（1）相容条件： 设3
2
23Dy Cxy
y Bx Ax +++=Φ (a)
不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 （2）体力分量g f o f y x ρ==,由应力函数得应力分量的表达式 Dy Cx x f y
x x
6222
+=-?Φ?=
σ
(b)
gy By Ax y f y
y y
ρσ
-+=-?Φ?=
262
2 (c)
Cy Bx y
x xy 222
--=??Φ?-
=τ (d)
（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数 先考察主要边界上0=y 的边界条件：0)(0==y y σ， 0)(0==y yx
τ
将应力分量式(b)和式（c ）代入，这些边界条件要求
06)(0===Ax y y σ，02)(0=-==Bx y xy
τ
得A=0，B=0。
式(b)、（c ）、（d ）成为
Dy Cx x
62+=σ （e ） gy y
ρσ
-= （f ）
Cy xy 2-=τ （g ）
根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是αtan x y =,在斜面上没有任何面力，即0==y x f f ,按照一般的应力边界条件，有
????
?=+=+====0
)()(0
)()(tan tan tan tan αααατστσx y xy x y y x y xy x y x l m m l 将(e)、（f ）、（g ）代入得
0)tan 2()tan 62(=-++ααCx m Dx Cx l （h ） 0)tan 2()tan (=-+-ααρCx l gx m （i ）
由图可见，
ααπ
sin )2
cos(
),cos(-=+==x n l ， αc o s ),c o s (==y n m
代入式（h ）、(i)求解C 和D,即得αρcot 2
g
C =
，αρ2
cot 3
g
D -
=
将这些系数代入式(b)、（c ）、（d ）得应力分量的表达式 2cot 2cot cot x y xy gx gy gy
gy σραρασρτρα
?=-?
=-??
=-? 4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q ，如题4-12图所示.试求其应力分量
。
解 （1）应力函数)2sin 2cos (2
D C B A +++=Φ???ρ，进行求解 由应力函数Φ得应力分量
????
?
?
??
???--=?Φ
???-=+++=?Φ?=--+-=?Φ
?+?Φ?=C B A D C B A D C B A ??ρρρτ???ρσ????ρρρσρ??ρ2cos 22sin 2)1()2sin 2cos (2)2sin 2cos (2112
2
2
2
2
（2）考察边界条件：根据对称性，得
0)(2/=α?σ （a ） q =2/)(αρ?τ （b ） 0)(2/=-α?σ （c ） q -=-2/)(αρ?τ （d ）
由式（a ）得2cos 2sin 20A B C D ααα+++= （e ） 由式（b ）得2sin 2cos A B C q αα--= （f ） 由式（c ）得2cos 2sin 20A B C D ααα--+= （g ） 由式（d ）得2sin 2cos A B C q αα---=- （h ） 式（e ）、（f ）、（g ）、(h)联立求解，得αα
cot 2,0,sin 2q D C B q A -
====
将以上系数代入应力分量，得
??
?
?
?
?
???
=-=+-=α?ταα?σαα
?σρ?
?ρ
sin 2sin )cot sin 2cos (
)cot sin 2cos (q q q 4一13设有内半径为r,外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变，并求
圆筒厚度的改变。
解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求
0)(==r ρρ?τ，0)(==R ρρ?τ
q r -==ρρσ)(，0)(==R ρρσ
由表达式可见，前两个关于ρ?τ的条件是满足的，而后两个条件要求
??????
?=+-=+0
2222C R
A q C r
A
由上式解得)
(2
2
22r R
r qR A --
=，)
(22
2
2
r R qr
C -=
(a)
把A,B,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，
??ρμρμρ
sin cos )1()1()(2
2
22
K I R r R E qr
u ++???
??
?++--= （b ） 0cos sin =+-=??ρ?K I H u (c)
式（c ）中的?ρ,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。 所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为 ???
??
?++--=ρμρμρ
2
2
22
)1()1()(R r R E qr
u ， 而圆简是属于平面应变问题，故上式中u
E E -→
-→
1,12
μ
μμ
代替，则有
)
1(1)11()11(2
22
2
2
----
+-+
=r
R E R q
u μ
ρρ
μ
μμ
μρ
此时内径改变为)1()1()
1(1)11()11(2
22
222
22
2
2
μμ
μμ
μ
μμ
μ-+-+-=----
+-+
=r
R r R E qr r
R Er r
R q
u r ， 外径改变为2
2
2
2
22
2
2
2)
1()
1(1)11()11(r
R Rr E
qr r
R ER R
R q
u R --=
----
+-+
=μμ
μ
μμ
μ
圆环厚度的改变为)1()1(2
μ
μ
μ-++---=-r R r R E qr u u r R
4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为0==y
x
σ
σ ，q xy
=τ
，如该处有
一小圆孔.试求孔边的最大正应力。
解 求出两个主应力，即
q xy y
x
y
x
±=+-±+=?
??
2
221)2
(
2
τσσ
σσ
σσ
原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q 而在上下两边受均布压力q ，如图所示。 应力分量q x
=σ
，q y
-=σ
，0=xy
τ
代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件
?σρρ2cos )(q R == （a ） ?τρρ?2sin )(q R -== (b)
在孔边，边界条件是
0)(==r ρρσ （c ） 0)(==r ρρ?τ （d ）
由边界条件式（a ）、（b ）、（c ）、（d ）可见，用办逆解法是，可假设ρ
σ
为ρ的某一函数乘以
?2cos ，而ρ?
τ
为ρ的另一函数乘以?2sin 。而
2
2
2
11ρ
ρ
ρ
ρσ
ρ
?Φ
?+
?Φ
?=
，)1(
ρ
ρρ
τρ??Φ
???-
=
因此可假设 ?ρ2c o s )(f =Φ。 （e ）
将式（e ）带入相容方程0)11(
2
2
22
2
2=Φ??
+
??
+
??
?
ρρ
ρρ
，得
0)(9)(9)(2)(cos 3
2
2
23344=??
????+-+ρρρρρρρρρρρd df d f d d f d d f d
删去因子?2cos 以后，求解这个常微分方程，得2
34ρ
ρρρD
C B A f +
++=，
其中A,B,C,D 为待定常数，代入式（e ），得应力函数)(2cos 2
24ρ
ρρ?D
C B A +++=Φ
由应力函数得应力分量的表达式
???
?
??
???--+=++=++-=)6226(2sin )6212(2cos )642(2cos 423
4
2
4
2ρρρ?τρρ?σρ
ρ?σρ??ρD C B A D B A D
C B 将上式代入应力边界条件 由式（a ）得q R
D R
C B -=+
+4
2
642 （g ） 由式（b ）得q R
D R
C
B AR -=--+4
2
2
6226 （h ）
由式（c ）得06424
2
=+
+r
D r
C B （i ） 由式（d ）得062264
2
2=--
+r
D r
C B Ar
（j ）
联立求解式)()(j g -，并令
0→R
r ,得2
,,2
,04
2
qr D qr C q B A -
==-
==
将各系数值代入应力分量的去达式，得
??
?
?
?
??
?
?+--==+-=--=)
31)(1(2sin )31(2cos )31)(1(2cos 222222
22
22ρρ?ττρ?σρρ?σ?ρρ??ρr r q r q r
r q 沿着孔边r =ρ，环向正应力是?σ?2cos 4q -= 最大环向正应力为q 4)(max =?σ
4-17在距表面为h 的弹性地基中，挖一直径为d 的水平圆形孔道，设h 》d ，弹性地基的密
度为ρ，弹性模量为E ，泊松比为μ，试求小圆孔附近的最大、最小应力。
解 距地表为h 处，无孔时的铅直应力gh x
ρσ
-=，由水平条件0==y
x ε
ε，可得
gh y
x
ρμ
μσ
σ
--
==1
x 向为水平回形孔道的轴向，在横向y ，z 平面的主应力为gh ρσ-=1，gh ρμ
μσ--
=12
（2）原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力
gh ρμ
μ-1,在上下
两边受均布压力gh ρ-，如图（a ）所示。可以将荷载分解为两部分：第一部分是四边的均
布压力
)
1(22
2
1μρσσ-=
+gh
如图（b ）所示，第二部分是左右两边的均布拉力
)
1(2)21(2
2
1μρμσσ--=
-gh 和上下两边的均布压力
)
1(2)21(2
2
1μρμσσ--=
-gh 如图（c ）所示。
对于第一部分荷载，可应用解答0,11),1(2
2222
2==-
+
=-
=ρττρ
σρ
σ
?ρ??ρ
R
r r
q
r
q
对于第二部分解答，可应用解答，教材中式（4-18）。将两部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力分量（基尔斯的解答)。
????
?????
+-
---
==+---
+
--
=--
--+-
--
=)
3
1)(1(2sin )
1(2)21()31(2cos )1(2)21()1()
1(2)
31)(1(2cos )1(2)21()1()
1(22
2
2
22
22
22
22
22
2ρ
ρ
?μρμττρ
?μρμρ
μρσρ
ρ
?μρμρ
μρσ?ρρ??ρ
r
r
gh r
gh r
gh r
r
gh r
gh
沿着孔边r =ρ，环向正应力是?μρμμρσ?2cos )
1()21(2)
1(---
--
=gh
gh
最大环向正应力为gh ρμ
μσ?--=141)(max ，gh ρμ
μσ?---
=143)(min
8-1设有任意形状的等截面杆,密度为ρ，上端悬挂，下端自由。如题8-1图所示，试考察应力分量0,0,0,,0,0======xy
zx
yz
z
y
x
gz τ
τ
τ
ρσ
σ
σ
是否能满足所有一切条件。
解 按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满足相容方程；并在边界上满足应力边界条件.
(l) g f f f z y x ρ-===,0 很显然应力分量满足如下平衡徽分方程
?
?????
??
?=+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??000z yz xz z
y xy zy y x zx yx x f y x z
f x z y
f z y x ττσττσττσ （2）gz z
yx
x
ρσ
σ
σ
=++=Θ，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程
????
?????=?Θ?+
?+=?Θ?+?+=?Θ?+?+0
)1(0)1(0
)1(2
222222
2
2z
y
x z
y
x
σμσμσμ 0
)1(0)1(0)1(22
2
2
2
2
=??Θ?+
?+=??Θ?+
?+=??Θ?+
?+z
x z y y x xz yz
xy τμτμτμ （3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，0===z y x f f f 。.在),(y x 平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为m l n ,,0=为任意的；在下端面方向余弦分别为0,1==-=m l n ）。应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式
??
?
??=++=++=++z s yz xz x y s xy zy y x
s zx yx x f
m l n f l n m f n m l )()()(ττσττσττσ 直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解
8-2设有任意形状的空间弹性体，在全部边界上(包括在孔洞边界上)受有均布压力q,试证应力分量0,===-===xy
zx
yz
z
y
x
q τ
τ
τ
σ
σ
σ
能满足一切条件，因而就是正确的解答。
解：应力应满足平衡微分方程，相容方程及应力边界条件(在σs 上)，多连体还应满足位移单值条件。
（1） 平衡条件 0===z y x f f f ，很显然，应力分量满足平衡微分方程 （2） 相容条件：
q z
y
x
3-=++=Θσ
σ
σ
，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程。
（3）应力边界条件。考虑一般的应力边界条件：法线的方向余弦为n m l ,,边界面为任意斜面，受到法向压力q 的作用。同样，满足应力的边界条件。
（4)位移单值条件，为了考虑多连体中的位移单值条件，由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。
将应力分量代人教材中式（7一12)，得形变分量表达式
q E
z y x 1
2-===μεεε，0===xy zy yz γγγ
将形变分量代入几何方程，得
??
?
?
?
?
???-=??=-=??=-=??=q E z q E y v q E
x u z y x
121212μωεμεμε ???
?
??
???
=??+??==??+??==??+??=000y u x v z u x z
v y xy zx
yz
γωγωγ 积分得位移分量的表达式
).,(12),,(12),,(1
2321y x f qz E
z x f qy E
v z y f qx E
u +-=
+-=
+-=
μωμμ
其中的321,,f f f 分别是z y ,和z x ,和y x ,的待定函数，可以通过几何方程的后三个式子求出。
???
?
??
??
?-=-=-=dy z y df dx z x df dz z y df dx y x df dz
z x df dy y x df ),(),(),(),(),(),(121323 满足上述三个等式，只可能每个等式的左右两边等于同一个常数?。积分以后得
??
?
??++-=+-=++-=002013ω
ωωωωωωy x f v z x f u z y f 代入位移分量表达式得
???
?
?
????
+-++-=+--+
=++--=0
00121212ω
μωωωωμωωωμz E y x v z y E x v u z y x E u 其中ωω,,,000v u 分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。多连体上各 个点的位移分量都是z y x ,,的线性函数，所以满足位移单值条件。
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。 证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程 ???????=+??+??=+??+??00y x xy y y x y yx x x f f τ στσ （a ） 0)1())((22 22=??+??+-=+??+??）（y f x f y x y x y x μσσ （b ） 显然（a ）、（b ）是满足的 （2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式 ?? ?? ?=+=+)()() ()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。 对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形
变分量q E x )1(-= με，q E y ) 1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得 q E x u ) 1(-=??μ，q E y v )1(-=??μ，0=??+??y u x v （e ） 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-= μ，)() 1(2x f qy E v +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx x df dy y df ) ()(21=- 等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有 ω-=dy y df )(1，ω=dx x df ) (2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω 代入（f ）得位移分量 ?? ???++-=+--=v x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。 从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确 的解答。 2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。 解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横 截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12 3 h I z =，根据材料力学公式，弯应力
弹性力学简明教程（第四版） 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
【2-9】【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板 厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？ 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？ 【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
弹性力学教材习题及解 答 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃 钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没 有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力 应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足 线性弹性关系。 2－1. 选择题 a.所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不 同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截 面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边
界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。 2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如
第四章 平面问题的极坐标解答 【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。 【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即 2 2(12ln )2(32ln )20A B C A B C ρ?ρ? σρρσρρτ? =+++? ???=-+++?? ?? =?? (a) 首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得 -q 2 (12ln )2A B C ρσρρ = +++= (b) 其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，?σ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当=0ρ时，必须有0A B ==。 把上述条件代入式（b ）中，得 /2C q =-。 所以，得应力的解答为 -q 0ρ?ρ?σστ===。 【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数 2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。 【解答】（1）相容条件： 将应力函数Φ代入相容方程40?Φ=，显然满足。 （2）由Φ求应力分量表达式 =-2sin 222sin 222cos 2B C B C B C ρ?ρ?σ?? σ??τ??+?? =+??=--??
（3）考察边界条件：注意本题有两个?面，即2 π ?=± ，分别为?±面。在?±面 上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有 2()0,??πσ=±= 得0C =； -q 2 (),ρ??πτ=±= 得2 q B =-。 将各系数代入应力分量表达式，得 sin 2sin 2cos 2q q q ρ?ρ?σ?σ?τ? ?=?? =-??=?? 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改 变量，并求圆筒厚度的改变量。 【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B =0。 内外的应力边界条件要求 r r ()0,()0;(), ()0 R R q ρ?ρρ?ρρρρρττσσ=======-= 由表达式可见，前两个关于ρ?τ的条件是满足的，而后两个条件要求 r 2 22,20A C q A C R ?+=-??? ?+=??。 由上式解得 22 2 ,C () 2() 22 22 qr R qr A R -r R -r =-=。 (a) 把A ，B ，C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。 ()()222211cos sin ,(R r )qr R u I K E ρμρμ??ρ?? =-++++??-? ? (b) sin cos 0u H I K ?ρ??=-+=。 (c) 式（c ）中的ρ，?取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零
弹性力学 2011 1.在平面问题中，对于两类平面问题，为零的应力、应变和位移分量有哪些？（10分） 2.对平面应力问题，如已知位移有如下形式，()r u f r =，u Ar θθ=。试问()f r 具有什么形式时，才能使求出的应力满足平衡方程。（不计体力）（10分） 3.板的区域以,0y=a x ±≥表示时，试由应力函数()()232332231232285q =x y a y a y y a a ???---+???? ，求应力分量，并将应力分布画在以0,0y=a x=x=x ±，为区域边界的板的表面上。（15分） 4.内外半径分别为a 和b 的圆环，材料密度和泊松比分布为ρ和υ，以角速度ω旋转，求应力分量r σ，θσ和r θτ。（15分） 5.已知应力场 ()()()(),,0,,0000x xy ij yx y x y x y x y x y στστσ??????=???????? （1）写出各应力分量间须满足的平衡方程； （2）引入一标量函数(),x y φ，使得 22x y φσ?=?，22y x φσ?=?， 证明，以φ表示的上述应力分量自动满足无体力的平衡方程。(10分) 6.如图所示的结构，由两根长度为l 的杆AC 和BC 组成，A 、B 、C 处均为铰接，杆的材料为线弹性，两杆的抗拉刚度均为EA ，在C 点作用着垂直向下的载荷P ，引起垂直向下的围岩为?，试求P 与?的关系式，结构的应变能和应变余能。（10分）
7.设位移分量为u zy α=-，v zx α=-，(),,w f x y α=，式中α为常数，试指出杜宇图示等直柱体的受力状态（设柱体表面为自由表面）。（15分） x 8.试推导轴对称问题的平衡微分方程。（15分）
《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2－1 是 2－2 是 2－3 按习题2－1分析。 2－4 按习题2－2分析。 2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。 2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。 2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。 2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。 2－10 参见本章小结。 2－11 参见本章小结。 2－12 参见本章小结。 2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）应力边界条件（假设)。 2－14 见教科书。 2－15 见教科书。 2－16 见教科书。 2－17 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 2－18 见教科书。 2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。 第三章习题的提示与答案 3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力， （3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3－3 见3-1例题。 3－4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是： 主要边界： 所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；上边界有向下的法向面力q。 次要边界： x=0面上无剪切面力作用；但其主矢量和主矩在x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。 3－5 按半逆解法步骤求解。 （1）可假设 （2）可推出 （3）代入相容方程可解出f、，得到 （4）由求应力。 （5）主要边界x=0,b上的条件为 次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 读者也可以按或的假设进行计算。 3－6 本题已给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即 而在次要边界y=0 上，已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0， 使本题无解），可用积分条件代替： 3－7 见例题2。 3－8 同样，在的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。
一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ， 50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应 力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ， =1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ， 0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ， =1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量， 2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ， 400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别 建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。 【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。 面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。 正的应力 正的面力 【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。 【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ，只存在平面应力分量,,x y xy σστ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数。可以认为此问题是平面应力问题。 【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 【解答】板上处处受法向约束时0z ε=，且不受切向面力作用，则 0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或约束，所以仅存在,,x y xy εεγ，且不沿厚度变化，仅为x ，y 的函数，故其应变状态接近于平 面应变的情况。 O z y
【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件C M 0=∑改为对角点的力矩平衡条 件，试问将导出什么形式的方程？ 【解答】将对形心的力矩平衡条件 C M 0=∑， 改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸取为单位1。 0A M =∑ 1()1()11222()1()1110 222 xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dy dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ????++??-+??-?? ????-+??++??+??-??=?? (a) 0B M =∑ ()1()1()122 111110 2222 yx y x x yx y xy x y x y dy dx dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ???+ ??++??++?????-??-??-??+??+??= (b) 0D M =∑ ()111122 1()1110 2222 y y xy x yx x x x x y dx dy dy dx dy dx dy dx dy y dx dy dy dx dx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ?+ ?? -??+??+????-??-+??-??+??=? (c) 0E M =∑ ()1111222 ()1()1110 222y y x yx y xy x x xy x y dx dy dx dy dx dy dx dy dx y dy dy dx dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ?-+ ?? +??+??+??- ???+??-+??-??+??=?? (d) 略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令22 ,d xdy dxd y 都趋于0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xy yx ττ=。 【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。