抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念:
抽象函数是指未给出具体函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足条件的函数,
如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。
它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,
由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，
做抽象函数题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
若对于函数()f x 定义域内的任意x 都存在非零常数T 使得()()f x T f x +=恒成立，
则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，且()0kT k Z k ∈≠，
也是()f x 的周期。 所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：
设()y f x =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: []()y f x x a b T b a =∈=-，，，。 把()y f x =沿x 轴平移()kT k b a =-个单位，即按向量(0)a kT =r ，平移即得()y f x =在其他周期
的图像：[]()y f x kT x kT a kT b =-∈++，
，。 [][]() x a b ()() x kT a kT b f x f x f x kT ?∈?=?-∈++??
，， 2、奇偶函数：
设[]()y f x x a b =∈，，或[][]x b a a b ∈--U ，，
①()()()f x f x y f x -=-??=是奇函数；
②()()()f x f x y f x -=??=是偶函数。
分段函数的奇偶性（略）
3、函数的对称性：
（1）中心对称（即：点对称）
①()(22)()A x y B a x b y a b --点，与，关于点，对称；
②()()()A a x b y B a x b y a b --++点，与，关于，对称；
③()2(2)()y f x b y f a x a b =-=-函数与关于点，成中心对称；
④()()()b y f a x b y f a x a b -=-+=+函数与关于点，成中心对称；
⑤)0(22)0()F x y F a x b y a b =--=函数（，与，关于点，成中心对称。
（2）轴对称（对称轴方程为0=++C By Ax ）
2222
2()2()()()0A Ax By C B Ax By C A x y B x y Ax By C A B A B ++++-
-++=++点，与点，关于直线成轴对称 2222
2()2()()()0B Ax By C A Ax By C y f x y f x Ax By C A B A B ++++=-=-++=++函数与函数关于直线成轴对称 22222()2()(,)0(,)00A Ax By C B Ax By C F x y F x y Ax By C A B A B ++++=--=++=++与关于直线成轴对称
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；
若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2
(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称
2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数
3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称
4、互为反函数)(x f y =与函数1
()y f x -=图象关于直线y x =对称
5、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2
a b x -=对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称
推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称
推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a ＋x)＝f(a －x)；②f(2a －x)＝f(x)；③f(2a ＋x)＝f(－x)。
性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a ＋x)＝－f(a －x)；②f(2a －x)＝－f(x)；③f(2a ＋x)＝－f(－x)
易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1 若对于定义域内任一变量x 均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。
定义2 若对于定义域内任一变量x 均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。
说明：
①复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，
复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
②两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；
y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)
③“y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数”等价于：
“单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）”
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(b －x)关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称
性质4复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(b －x)关于点（（b －a ）/2，0）中心对称
推论1、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于y 轴轴对称
推论2、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
设a 是非零常数，
若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，
①f(x＋a)＝f(x －a)；②f(x＋a)＝－f(x)；③f(x＋a)＝1/f(x)；④f(x＋a)＝－1/f(x)。
则函数y ＝f(x)是周期函数且2|a|是它的一个周期。
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数T ＝2|a －b|
性质6若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数且
T ＝2|a －b|
性质7若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期
函数，且T ＝4|a －b|
6、函数对称性的应用
（1）若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（,
即k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+
nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-
（2）例题
1、1)1()(2121)(=-++=
x f x f a
a a x f x x
）对称：，关于点（; 2)()(10122
14)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（ 1)1()2121)0,(1
1)(=+≠∈+=x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。
3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。
设()0f x n =有个不同的实数根，
则na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(22221121 . ),212(111a x x a x k n =?-=+=时，必有当
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、()()f x T f x ±=( 0T ≠) ?)(x f y =的周期为T ，kT (k Z ∈)也是函数的周期
2、()()f x a f x b +=+ ?)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =
+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)
(1)(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1
)(1)(+-=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2= 8、)
(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6=
10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则 11、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x = ()b a >?)(x f y = 周期)(2a b T -=
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 2=
12、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ()b a > ?)(x f y = 周期)(2a b T -=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 4=
13、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ()b a >?()f x 的)(4a b T -=
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，
它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.
下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）
设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（）
（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）
若)(x f 是定义在实数集上的函数且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989
(f 的值. 答案：23)1989(-=f 。
2、比较函数值大小
例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时,)(19981
x x f =试比较)1998(f 、)17
101(f 、)15
104(f 的大小. 解：∵()()f x x R ∈是以2为周期的偶函数，
又∵11998
()f x x =在[]1,0上是增函数且115
1419161710<<<<
， ∴1161410198104()()(),(()().171915171915f f f f f f <<<<即
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）
设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对于Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k
已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 解：设1211212),12,12(<-<-?+<<-∴+-∈k x k x k k k x
0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由
)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.
例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，2()2(3)4f x x =--+。求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.
解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f
又)(x f 是以2为周期的周期函数，
∴当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，()(4)f x f x =-
[]2
2()2(4)342(1)4(12).f x x x x ?=--++=--+≤≤
∴2()2(1)4(12).f x x x =--+≤≤
4、判断函数奇偶性
例6.若)(x f 的周期为4且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 解：由)(x f 的周期为4得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-，
∴()()f x f x -=，故)(x f 为偶函数.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数
例7、设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，
又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，
,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==
故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，
故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
例8.在数列{}n a 中，)2(11,31
11≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式并计算.1997951a a a a ++++ 分析：此题的思路与例2思路类似.
解：令,1αtg a =则)4
(1111112απαα+=-+=-+=tg tg tg a a a ??
????+-=-+=??????+?-=∴+?=---+=-+=---απαπαπαπαπ4)1(11,4)1()42()4
(1)4(111111223n tg a a a n tg a tg tg tg a a a n n n n 于是
不难用归纳法证明数列的通项为：)4
4(αππ+-=n tg a n 且以4为周期. 于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
1997951a a a a ====∴ ，由4)1(11997?-+=n 得总项数为500项，
.350050011997951=?=++++∴a a a a a
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第92
92天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
解：191919191)191(9291922909291192920929292+?++++=+=C C C C
9292092191902919292929292(7131)(713)(713)(713)(713)1C C C C ∴=?+=?+?++?+?+L 为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故9292天为星期四.
8、复数中的应用
例10.（上海市1994年高考题）
设)(2
321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是() （A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.
分析：运用i z 2
321+-
=方幂的周期性求值即可. 解：10)1(,11=?=-∴=--n n n z z z z z ， 3min 1,13,13()31().
1,,() 4.()z n n k k N n k k N k n n B =∴--=∈∴=+∈∴=∴=Q 必须是的倍数即，时最小故选择
9、解“立几”题
例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()
（A ）1； （B ）2；（C ）3 ； （D ）0.
解：依条件列出白蚁的路线→→→→→CB C C C D D A AA 111111,1 →→AA BA 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=64331+?，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D 点，白蚁在C 点，故所求距离是.2
例题与应用
例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值
例2：已知f(x)是定义在R 上的函数且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。
故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，当[]0,2-∈x 时f(x)=－2x+1，则当[]6,4∈x
时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)
(1x f -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当
[]6,4∈x 时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上
单调.求a 的值.
例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，
1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+10
20002?=401个根.
例1、 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ）
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，
0）中心对称，故选D 。（原卷错选为C ）
例2、（2001年理工类第22题） 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)
是周期函数。
例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)
等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)
是（C ）
A ．偶函数又是周期函数
B ．偶函数但不是周期函数
C ．奇函数又是周期函数
D ．奇函数但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象（ ）
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)=
A ．0.5
B ．－0.5
C ．1.5
D ．－1.5 （ ）
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，
则f(x)是（ ）
A ．偶函数又是周期函数
B ．偶函数但不是周期函数
C ．奇函数又是周期函数
D ．奇函数但不是周期函数
4、f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。
5、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，
求100x =-1．
参考答案：D ，B ，C ，T ＝2。
函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。
专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B
第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
精品文档 . 函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得： f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结 篇一：函数周期性结论总结 函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a ②f(x+a)=±1T=2af(x) ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称 所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)
代换x=x+2a得： f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)假设 a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞ b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称 =f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)]
2、()()f x a f x b +=+ ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1 )(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1 )(x f a x f - =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2= 8、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 2= 推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 4= 抽象函数的对称性
1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例 函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式
函数的对称性与周期性练习题 1.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且满足3)()1(=++x f x f ，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =+，则)5.2007(-f 的值为（ ） A ．0.5 B ．1.5 C ． 1.5- D ．1 2．定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()() ()()112,214 f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 14 B. 14- C. 12- D. 12 4.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增，如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 5．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()()2f x f x =+ D. ()3f x +是奇函数 6．函数31()1f x x x =++关于点__________对称 7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________ 8．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01 x x f x x x ?-+-≤<=?≤
一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?
函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___
函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 2、)2()(x a f x f -=?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=-?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++-?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2 a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称
函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0) ()(x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y 关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2() (x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成： )()(x b f x a f ，则函数)(x f y 关于直线22)() (b a x b x a x 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y 上，通过)2()(x a f x f 可知，)2()(111x a f x f y ，即点)(),2(11x f y y x a 也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a 关于x=a 对称。得证。说明：关于a x 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f （2）函数的点对称： 函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()(
函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x)?因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得： f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称
函数对称性与周期性几个重要结论赏析 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、 几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数 )(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。 5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。 6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。 7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。 3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。 4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________ 对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。 6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18 8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象
函数的周期性常见结论归类 四川省苍溪实验中学校 周万勇 一 . 周期函数的定义： 设函数 y f ( x) 的定义域为 D ，若存在常数 T ≠ 0，使得对一切 x ∈ D ，且 x+T ∈ D 时 都有 f ( x T ) f ( x) ，则称 y f ( x) 为 D 上的周期函数，非零常数 T 叫这个函数的周 期。 二 . 常见结论 ( 约定 a>0) （ 1） f (x ) f (x a) ，则 f (x) 的周期 T a ； （ 2） f ( x a) － f ( x) ，或 f (x a) f (x － a) 或 f (x a) 1 ( f (x ) 0) ，或 f ( x ) f (x a) 1 ( f (x) 0), 则 f ( x) 的周期 T 2a ； f ( x a) 1 f (x) ，则 f ( x) 是 f (x) 1 f (x) 以 T 2a 为周期的周期函数 . （ 3） f ( x a) 1 f ( x) ，则 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数 . 1 f ( x) （ 4） f ( x a) 1 f (x) ，则 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数 . 1 f (x) （ 5）函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x) （ a 0 ），若 f ( x) 为奇函数，则其周期 为 T 4a ，若 f ( x) 为偶函数，则其周期为 T 2a . （ 6）若 f (a x ) f (a x) 且 f(x) 是偶函数 , 则 y f (x) 是周期为 4a 的周期函数； 若 f(x) 是奇函数 , 则 y f (x) 是周期为 2a 的周期函数。 （ 7）若函数 f x 在 R 上满足 f (a x ) f a x ，且 f (b x ) f b x （其中 a b ），则函数 y f x 以 2 a b 为周期 . （ 8）若函数 f x 在 R 上满足 f ( a x) f a x ，且 f (b x ) f b x （其 中 a b ），则函数 y f x 以 2 a b 为周期 . （ 9）若函数 f x 在 R 上满足 f (a x ) f a x ，且 f ( b x) f b x （其中 a b ），则函数 y f x 以 4 a b 为周期 . (10) f ( x) (11) f ( x 1 f (x a) (12) f (x) 1 1 ( f ( x) 0) ，则 f (x) 的周期 T 3a ； f (x a) x 2) f ( x 1) f ( x 2) 且 f (a) 1( f (x 1) f ( x 2) 1,0 | x 1 x 2 | 2a) ，或 1 f (x 1) f (x 2) f ( x － a) 则 f ( x) 的周期 T=4a ；（证明方法：令 x 1 x, x 2 a ） f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x)f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a), 则 f ( x) 的周期 T 5a ； 证明： f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x)f (x a) f (x 2a)f (x 3a) f (x 4a) 令 x x a ，则 f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x 5a) f (x a)f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x 5a)